Kompletna teoria

W logice matematycznej teoria jest kompletna , jeśli jest spójna i dla każdej zamkniętej formuły w języku teorii można udowodnić albo tę formułę, albo jej zaprzeczenie . Oznacza to, że dla każdego zdania teoria zawiera zdanie lub jego zaprzeczenie, ale nie oba (to znaczy albo $displaystyle T \ vdash \ varphi}$ ${\ Displaystyle T \ vdash \$ $lub T$ ${\ Displaystyle T \ vdash \ neg \ varphi}$ ). Rekurencyjnie aksjomatyzowalne teorie pierwszego rzędu , które są spójne i wystarczająco bogate, aby umożliwić sformułowanie ogólnego rozumowania matematycznego, nie mogą być kompletne, jak pokazuje twierdzenie Gödla o pierwszej niezupełności .

To poczucie kompletności różni się od pojęcia logiki zupełnej , która twierdzi, że dla każdej teorii, którą można sformułować w logice, wszystkie semantycznie ważne zdania są twierdzeniami do udowodnienia (dla odpowiedniego znaczenia „semantycznie ważne”). Twierdzenie Gödla o zupełności dotyczy tego drugiego rodzaju zupełności.

Kompletne teorie są zamknięte w szeregu warunków wewnętrznie modelujących schemat T :

Dla zestawu formuł ${\ Displaystyle S}$ : ${\ Displaystyle A \ ziemia B \ w S}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ w S}$ i ${\ Displaystyle B\w S}$ ,
Dla zestawu formuł ${\ Displaystyle S}$ : ${\ Displaystyle A \ lor B \ w S}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ w S}$ lub ${\ Displaystyle B\w S}$ .

Maksymalne zbiory zgodne są podstawowym narzędziem w teorii modeli logiki klasycznej i logiki modalnej . Ich istnienie w danym przypadku jest zwykle prostą konsekwencją lematu Zorna , opartego na założeniu, że sprzeczność wymaga użycia tylko skończenie wielu przesłanek. W przypadku logik modalnych zbiorowi maksymalnych zgodnych zbiorów rozszerzającym teorię T (zamkniętą regułą konieczności) można nadać strukturę modelu T , zwanego modelem kanonicznym.

Przykłady

Niektóre przykłady kompletnych teorii to:

Arytmetyka Presburgera
Aksjomaty Tarskiego dla geometrii euklidesowej
Teoria gęstych rzędów liniowych bez punktów końcowych
Teoria ciał algebraicznie domkniętych o danej charakterystyce
Teoria rzeczywistych pól zamkniętych
Każda niepoliczalnie kategoryczna teoria policzalna
Każda przeliczalnie kategoryczna przeliczalna teoria
Grupa trzech elementów

Zobacz też

Mendelson, Elliott (1997). Wprowadzenie do logiki matematycznej (wyd. Czwarte). Chapmana i Halla. P. 86. ISBN 978-0-412-80830-2 .