Klasa (teoria mnogości)

W teorii mnogości i jej zastosowaniach w matematyce klasa jest zbiorem zbiorów (lub czasami innych obiektów matematycznych), który można jednoznacznie zdefiniować za pomocą właściwości wspólnej dla wszystkich jego członków. Klasy działają jako sposób na posiadanie zbiorów podobnych do zestawów, różniących się od zestawów, aby uniknąć paradoksu Russella (patrz § Paradoksy ). Dokładna definicja „klasy” zależy od kontekstu podstawowego. W pracy nad teorią mnogości Zermelo – Fraenkela pojęcie klasy jest nieformalne, podczas gdy inne teorie mnogości, takie jak teoria mnogości von Neumanna – Bernaysa – Gödla , aksjomatyzują pojęcie „klasy właściwej”, np. Jako byty, które nie są członkami inny podmiot.

Klasa, która nie jest zbiorem (nieformalnie w Zermelo-Fraenkel) nazywana jest klasą właściwą , a klasa będąca zbiorem jest czasami nazywana małą klasą . Na przykład klasa wszystkich liczb porządkowych i klasa wszystkich zbiorów są klasami właściwymi w wielu systemach formalnych.

W pismach Quine'a zajmujących się teorią mnogości wyrażenie „klasa ostateczna” jest często używane zamiast wyrażenia „klasa właściwa”, podkreślając, że w rozważanych przez niego systemach pewne klasy nie mogą być członkami, a zatem są ostatnim terminem w dowolnym łańcuchu członkostwa do którego należą.

Poza teorią mnogości słowo „klasa” jest czasami używane jako synonim „zbioru”. To użycie pochodzi z okresu historycznego, w którym nie rozróżniano klas i zbiorów, tak jak ma to miejsce we współczesnej terminologii teorii mnogości. Wiele dyskusji na temat „klas” w XIX wieku i wcześniej w rzeczywistości odnosi się do zbiorów, a może raczej odbywa się bez uwzględnienia, że ​​niektóre klasy mogą nie być zbiorami.

Przykłady

Zbiór wszystkich struktur algebraicznych danego typu będzie zazwyczaj klasą właściwą. Przykłady obejmują klasę wszystkich grup , klasę wszystkich przestrzeni wektorowych i wiele innych. W teorii kategorii kategoria , której zbiór obiektów tworzy właściwą klasę (lub której zbiór morfizmów tworzy właściwą klasę) nazywana jest dużą kategorią .

Liczby surrealistyczne są odpowiednią klasą obiektów, które mają właściwości pola .

W ramach teorii mnogości wiele zbiorów zbiorów okazuje się klasami właściwymi. Przykłady obejmują klasę wszystkich zbiorów, klasę wszystkich liczb porządkowych i klasę wszystkich liczb głównych .

Jednym ze sposobów udowodnienia, że ​​klasa jest właściwa, jest umieszczenie jej w bijekcji z klasą wszystkich liczb porządkowych. Metodę tę stosuje się na przykład w dowodzie, że nie ma swobodnej pełnej sieci na trzech lub więcej generatorach .

Paradoksy

Paradoksy naiwnej teorii mnogości można wyjaśnić w kategoriach niespójnego milczącego założenia , że ​​„wszystkie klasy są zbiorami”. Mając rygorystyczne podstawy, paradoksy te sugerują zamiast tego dowody na to, że pewne klasy są właściwe (tj. że nie są zbiorami). Na przykład paradoks Russella sugeruje dowód, że klasa wszystkich zbiorów, które się nie zawierają, jest właściwa, a paradoks Burali-Forti sugeruje, że klasa wszystkich liczb porządkowych jest właściwa. Paradoksy nie powstają w przypadku klas, ponieważ nie ma pojęcia klas zawierających klasy. W przeciwnym razie można by na przykład zdefiniować klasę wszystkich klas, które nie zawierają siebie, co doprowadziłoby do paradoksu Russella dla klas. Z drugiej strony konglomerat może mieć odpowiednie klasy jako członków, chociaż teoria konglomeratów nie jest jeszcze dobrze ugruntowana.

Zajęcia z formalnych teorii mnogości

Teoria mnogości ZF nie formalizuje pojęcia klas, więc każda formuła z klasami musi być syntaktycznie zredukowana do formuły bez klas. $)$$_ x(x\w A\strzałka w lewo x=x)}$ można do . Semantycznie, w metajęzyku klasy można opisać jako klasy równoważności formuł logicznych : Jeśli jest strukturą interpretującą $ZF$ , to język obiektowy „wyrażenie konstruktora klas ${\ Displaystyle \ {x \ mid \ phi \}}$ jest interpretowany przez $}}}$ wszystkich elementów z domeny $}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A$ na którym obowiązuje; ${\ Displaystyle \ lambda x \ phi} ; zatem$$sam$ można opisać jako zbiór wszystkich predykatów równoważnych $który$ obejmuje ). W szczególności można utożsamić „klasę wszystkich zbiorów” ze zbiorem wszystkich predykatów równoważnych ${\ displaystyle x = x.}$

Ponieważ klasy nie mają żadnego formalnego statusu w teorii ZF, aksjomaty ZF nie mają natychmiastowego zastosowania do klas. Jeśli jednak niedostępny kardynał $podzbiory$ to zbiory o mniejszej randze tworzą model ZF ( wszechświat Grothendiecka ), a jego można traktować jako „klasy”.

W ZF pojęcie funkcji można również uogólnić na klasy. Funkcja klasy nie jest funkcją w zwykłym znaczeniu, ponieważ nie jest zbiorem; jest to raczej formuła z właściwością, że dla dowolnego zestawu nie ma więcej niż jednego zestawu takiego , że $) {\$$Displaystyle \$$x, y)$ para ${\ Displaystyle (x, y)}$ spełnia ${\ displaystyle \ Phi.}$ Na przykład funkcja klasy odwzorowująca każdy zestaw na jego następcę może być wyrażona wzorem ${\ Displaystyle y = x \ puchar \ {x \}.}$ Fakt, że uporządkowana para ${\ Displaystyle (x, y)}$ spełnia ${\ Displaystyle \ Phi}$ można wyrazić za pomocą skrótu ${\ Displaystyle \ Phi (x) = y.}$

Inne podejście przyjmują aksjomaty von Neumanna – Bernaysa – Gödla (NBG); klasy są podstawowymi obiektami w tej teorii, a zbiór jest wtedy definiowany jako klasa, która jest elementem innej klasy. Jednak aksjomaty istnienia klas NBG są ograniczone, tak że określają ilościowo tylko zbiory, a nie wszystkie klasy. To powoduje, że NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZF.

Teoria mnogości Morse'a-Kelleya dopuszcza klasy właściwe jako obiekty podstawowe, takie jak NBG, ale pozwala również na kwantyfikację wszystkich klas właściwych w swoich aksjomatach istnienia klas. To powoduje, że MK jest ściśle silniejszy niż zarówno NBG, jak i ZF.

W innych teoriach mnogości, takich jak New Foundations czy teoria półzbiorów , pojęcie „klasy właściwej” nadal ma sens (nie wszystkie klasy są zbiorami), ale kryterium mnogości nie jest zamknięte w podzbiorach. Na przykład każda teoria mnogości ze zbiorem uniwersalnym ma odpowiednie klasy, które są podklasami zbiorów.

Notatki

•   Jech, Thomas (2003), Teoria mnogości , Springer Monographs in Mathematics (wyd. Trzecie tysiąclecie), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Levy, A. (1979), Podstawowa teoria mnogości , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag
•   Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Teoria mnogości i problem kontinuum . Dover Publications ISBN 978-0-486-47484-7 .
•   Monk Donald J., 1969, Wprowadzenie do teorii mnogości . McGraw-Hill Book Co. ISBN 9780070427150 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Ustaw klasa” . MathWorld .