Podstawy geometrii

Podstawy geometrii to badanie geometrii jako systemów aksjomatycznych . Istnieje kilka zestawów aksjomatów, które dają początek geometrii euklidesowej lub geometrii nieeuklidesowej . Są one fundamentalne dla badań i mają znaczenie historyczne, ale istnieje wiele współczesnych geometrii, które nie są euklidesowe i które można badać z tego punktu widzenia. Termin geometria aksjomatyczna można zastosować do dowolnej geometrii opracowanej na podstawie systemu aksjomatów, ale często jest używany do oznaczenia geometrii euklidesowej badanej z tego punktu widzenia. Kompletność i niezależność ogólnych systemów aksjomatycznych to ważne kwestie matematyczne, ale w grę wchodzą również kwestie związane z nauczaniem geometrii.

Systemy aksjomatyczne

Oparty na metodach starożytnej Grecji system aksjomatyczny to formalny opis sposobu ustalania prawdy matematycznej , który wypływa z ustalonego zbioru założeń. Chociaż geometria ma zastosowanie w każdej dziedzinie matematyki, jest gałęzią matematyki elementarnej, w której metoda ta została z powodzeniem zastosowana najszerzej.

Istnieje kilka elementów systemu aksjomatycznego.

  1. Prymitywy (terminy nieokreślone) to najbardziej podstawowe idee. Zazwyczaj obejmują one obiekty i relacje. W geometrii obiektami są punkty , linie i płaszczyzny , podczas gdy podstawowym związkiem jest występowanie jeden obiekt spotyka się lub łączy z innym. Same warunki są nieokreślone. Hilberta zauważył kiedyś, że zamiast punktów, linii i płaszczyzn równie dobrze można mówić o stołach, krzesłach i kuflach. Chodzi mu o to, że prymitywne terminy są tylko pustymi skorupami, jeśli wolisz, symbolami zastępczymi i nie mają żadnych wewnętrznych właściwości.
  2. Aksjomaty (lub postulaty) to stwierdzenia dotyczące tych prymitywów; na przykład dowolne dwa punkty są razem incydentne tylko z jedną prostą (tj. dla dowolnych dwóch punktów istnieje tylko jedna prosta, która przechodzi przez oba z nich). Zakłada się, że aksjomaty są prawdziwe, a nie udowodnione. Są budulcem koncepcji geometrycznych, ponieważ określają właściwości, które mają prymitywy.
  3. Prawa logiki .
  4. Twierdzenia są logicznymi konsekwencjami aksjomatów, to znaczy twierdzeń, które można uzyskać z aksjomatów za pomocą praw logiki dedukcyjnej .

Interpretacja systemu aksjomatycznego jest pewnym szczególnym sposobem nadawania konkretnego znaczenia prymitywom tego systemu . Jeśli to skojarzenie znaczeń sprawia, że ​​aksjomaty systemu są prawdziwymi zdaniami, to interpretacja nazywana jest modelem systemu . W modelu wszystkie twierdzenia systemu są automatycznie stwierdzeniami prawdziwymi.

Własności systemów aksjomatycznych

Podczas omawiania systemów aksjomatycznych często skupia się kilka właściwości:

  • Mówi się, że aksjomaty systemu aksjomatycznego są spójne , jeśli nie można z nich wyprowadzić żadnej logicznej sprzeczności. Z wyjątkiem najprostszych systemów spójność jest właściwością trudną do ustalenia w systemie aksjomatycznym. Z drugiej strony, jeśli model dla systemu aksjomatycznego, to każda sprzeczność, którą można wyprowadzić w systemie, jest również wyprowadzalna w modelu, a system aksjomatyczny jest tak samo spójny, jak każdy system, do którego należy model. Właściwość ta (posiadająca model) jest określana jako spójność względna lub spójność modelu .
  • Aksjomat nazywamy niezależnym , jeśli nie można go udowodnić ani obalić na podstawie innych aksjomatów systemu aksjomatycznego. Mówimy, że system aksjomatyczny jest niezależny, jeśli każdy z jego aksjomatów jest niezależny. Jeżeli zdanie prawdziwe jest logiczną konsekwencją systemu aksjomatycznego, to będzie ono stwierdzeniem prawdziwym w każdym modelu tego systemu. Aby udowodnić, że aksjomat jest niezależny od pozostałych aksjomatów systemu, wystarczy znaleźć dwa modele pozostałych aksjomatów, dla których aksjomat jest zdaniem prawdziwym w jednym i fałszywym w drugim. Niezależność nie zawsze jest cechą pożądaną z pedagogicznego punktu widzenia.
  • System aksjomatyczny nazywamy zupełnym , jeśli każde zdanie dające się wyrazić terminami systemu jest albo dowodliwe, albo ma możliwą do udowodnienia negację. Innym sposobem na stwierdzenie tego jest to, że nie można dodać żadnego niezależnego stwierdzenia do kompletnego systemu aksjomatycznego, który byłby zgodny z aksjomatami tego systemu.
  • System aksjomatyczny jest kategoryczny , jeśli dowolne dwa modele systemu są izomorficzne (w zasadzie istnieje tylko jeden model systemu). System kategoryczny jest koniecznie kompletny, ale kompletność nie implikuje kategoryczności. W niektórych sytuacjach kategoryczność nie jest pożądaną właściwością, ponieważ kategoryczne systemy aksjomatyczne nie mogą być uogólniane. Na przykład wartość systemu aksjomatycznego dla teorii grup jest to, że nie jest kategoryczny, więc udowodnienie wyniku w teorii grup oznacza, że ​​wynik jest ważny we wszystkich różnych modelach teorii grup i nie trzeba potępiać wyniku w każdym z modeli nieizomorficznych.

Geometria euklidesowa

Geometria euklidesowa to system matematyczny przypisywany aleksandryjskiemu greckiemu matematykowi Euklidesowi , który opisał (choć nie rygorycznie według współczesnych standardów) w swoim podręczniku geometrii : Elementy . Metoda Euklidesa polega na przyjęciu niewielkiego zestawu intuicyjnie atrakcyjnych aksjomatów i wydedukowaniu wielu innych twierdzeń ( twierdzeń ) z tych. Chociaż wiele wyników Euklidesa zostało podanych przez wcześniejszych matematyków, Euclid jako pierwszy pokazał, w jaki sposób te twierdzenia mogą pasować do kompleksowego systemu dedukcyjnego i logicznego . Elements zaczyna się od geometrii płaskiej, nauczanej jeszcze w szkole średniej jako pierwszy system aksjomatyczny i pierwsze przykłady formalnego dowodu . Przechodzi do bryłowej geometrii trzech wymiarów . Wiele Elementów podaje wyniki tego, co obecnie nazywa się algebrą i teoria liczb wyjaśniona w języku geometrycznym.

Przez ponad dwa tysiące lat przymiotnik „euklidesowy” był zbędny, ponieważ nie wymyślono żadnego innego rodzaju geometrii. Aksjomaty Euklidesa wydawały się tak intuicyjnie oczywiste (z możliwym wyjątkiem postulatu równoległości ) , że każde twierdzenie z nich udowodnione uznano za prawdziwe w sensie absolutnym, często metafizycznym. Jednak obecnie znanych jest wiele innych geometrii, które nie są euklidesowe, a pierwsze odkryto na początku XIX wieku.

Elementy Euklidesa

Elementy Euklidesa to traktat matematyczno - geometryczny składający się z 13 ksiąg napisanych przez starożytnego greckiego matematyka Euklidesa w Aleksandrii ok. 300 pne. Jest to zbiór definicji, postulatów ( aksjomatów ), twierdzeń ( twierdzeń i konstrukcji ) oraz matematycznych dowodów tych twierdzeń. Trzynaście książek obejmuje geometrię euklidesową i starożytną grecką wersję elementarnej teorii liczb . Z wyjątkiem „ O ruchomej kuli ” Autolycusa , Elements jest jednym z najstarszych zachowanych greckich traktatów matematycznych i najstarszym zachowanym aksjomatycznym dedukcyjnym podejściem do matematyki . Okazał się pomocny w rozwoju logiki i współczesnej nauki .

Euclid's Elements jest określany jako najbardziej udany i wpływowy podręcznik, jaki kiedykolwiek napisano. Po raz pierwszy spisany w Wenecji w 1482 roku, jest to jedno z najwcześniejszych dzieł matematycznych, które zostały wydrukowane po wynalezieniu prasy drukarskiej i zostało oszacowane przez Carla Benjamina Boyera jako drugie po Biblii pod względem liczby opublikowanych wydań, z liczbą sięgającą grubo ponad tysiąc. Od wieków, kiedy quadrivium od wszystkich studentów wymagana była znajomość przynajmniej części Elementów Euklidesa. Dopiero w XX wieku, kiedy jego treść była powszechnie nauczana w innych podręcznikach szkolnych, przestała być uważana za coś, co czytali wszyscy wykształceni ludzie.

Elementy to przede wszystkim usystematyzowanie wcześniejszej wiedzy o geometrii. Zakłada się, że uznano jego wyższość nad wcześniejszymi zabiegami, w wyniku czego nie było zainteresowania zachowaniem wcześniejszych, a teraz prawie wszystkie zaginęły.

Książki I – IV i VI omawiają geometrię płaszczyzny. Udowodniono wiele wyników dotyczących figur płaskich, np. Jeśli trójkąt ma dwa równe kąty, to boki oparte na kątach są równe. Twierdzenie Pitagorasa zostało udowodnione.

Księgi V i VII – X dotyczą teorii liczb, z liczbami traktowanymi geometrycznie poprzez ich reprezentację jako odcinki linii o różnych długościach. Wprowadzane są takie pojęcia, jak liczby pierwsze oraz liczby wymierne i niewymierne. Udowodniono nieskończoność liczb pierwszych.

Księgi XI – XIII dotyczą geometrii bryłowej. Typowym wynikiem jest stosunek 1:3 między objętością stożka i walca o tej samej wysokości i podstawie.

Postulat równoległy: jeśli dwie linie przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza niż dwa kąty proste, to te dwie linie nieuchronnie muszą przecinać się po tej stronie, jeśli są wystarczająco rozciągnięte.

Na początku pierwszej księgi Elementów Euklides podaje pięć postulatów (aksjomatów) dotyczących geometrii płaszczyzny, określonych w kategoriach konstrukcji (w tłumaczeniu Thomasa Heatha):

„Niech postulujemy, co następuje”:

  1. „Aby narysować linię prostą z dowolnego punktu do dowolnego punktu”.
  2. „Aby wytworzyć [przedłużyć] skończoną linię prostą w sposób ciągły w linii prostej”.
  3. „Aby opisać okrąg o dowolnym środku i odległości [promieniu]”.
  4. „Że wszystkie kąty proste są sobie równe”.
  5. Postulat równoległy : „Jeżeli prosta leżąca na dwóch prostych sprawia, że ​​kąty wewnętrzne po tej samej stronie są mniejsze niż dwa kąty proste, to te dwie proste, utworzone w nieskończoność, spotykają się po tej stronie, po której kąty są mniejsze od dwa kąty proste”.

Chociaż stwierdzenie postulatów Euklidesa tylko wyraźnie potwierdza istnienie konstrukcji, zakłada się również, że tworzą one unikalne przedmioty.

Sukces Elementów wynika przede wszystkim z logicznej prezentacji większości wiedzy matematycznej dostępnej dla Euclida. Wiele materiałów nie jest dla niego oryginalnych, chociaż wiele dowodów jest rzekomo jego. Systematyczny rozwój Euklidesa w jego temacie, od małego zestawu aksjomatów do głębokich wyników, oraz spójność jego podejścia w całym Elementach , zachęciły go do używania go jako podręcznika przez około 2000 lat. Elementy nadal wpływają na współczesne książki o geometrii . Co więcej, jego logiczne aksjomatyczne podejście i rygorystyczne dowody pozostają kamieniem węgielnym matematyki.

Krytyka Euklidesa

Standardy matematycznego rygoru zmieniły się od czasu, gdy Euclid napisał Elementy . Współczesne postawy i poglądy na system aksjomatyczny mogą sprawiać wrażenie, że Euklides był w jakiś sposób niechlujny lub nieostrożny w swoim podejściu do tematu, ale jest to ahistoryczna iluzja. Dopiero po dokładnym zbadaniu fundamentów w odpowiedzi na wprowadzenie geometrii nieeuklidesowej zaczęło się pojawiać to, co obecnie uważamy za wady . Matematyk i historyk WW Rouse Ball spojrzeć na tę krytykę z perspektywy, zauważając, że „fakt, że przez dwa tysiące lat [Elementy ] był zwykłym podręcznikiem na ten temat, rodzi silne domniemanie, że nie jest nieodpowiedni do tego celu”.

Niektóre z głównych problemów związanych z prezentacją Euclida to:

  • Brak rozpoznania pojęcia prymitywnych terminów , przedmiotów i pojęć, które muszą pozostać niezdefiniowane w rozwoju systemu aksjomatycznego.
  • Użycie superpozycji w niektórych dowodach bez aksjomatycznego uzasadnienia tej metody.
  • Brak pojęcia ciągłości, które jest potrzebne do udowodnienia istnienia pewnych punktów i linii konstruowanych przez Euklidesa.
  • Brak jasności co do tego, czy prosta jest nieskończona, czy nieograniczona w drugim postulatie.
  • Brak pojęcia pośrednictwa stosowanego m.in. do rozróżniania wnętrza i zewnętrza różnych figur.

Lista aksjomatów Euklidesa w Elementach nie była wyczerpująca, ale przedstawiała zasady, które wydawały się najważniejsze. Jego dowody często odwołują się do aksjomatycznych pojęć, które nie zostały pierwotnie przedstawione na jego liście aksjomatów. Z tego powodu nie błądzi i nie udowadnia błędnych rzeczy, ponieważ posługuje się ukrytymi założeniami, których ważność wydaje się uzasadniać diagramami towarzyszącymi jego dowodom. Późniejsi matematycy włączyli ukryte aksjomatyczne założenia Euklidesa do listy aksjomatów formalnych, znacznie rozszerzając w ten sposób tę listę.

Na przykład w pierwszej konstrukcji Księgi 1 Euclid posłużył się przesłanką, która nie była ani postulowana, ani udowodniona: że dwa koła o środkach w odległości ich promienia przetną się w dwóch punktach. Później, w czwartej konstrukcji, użył superpozycji (przesuwania trójkątów jeden na drugim), aby udowodnić, że jeśli dwa boki i ich kąty są równe, to są przystające; w tych rozważaniach posługuje się pewnymi własnościami superpozycji, które jednak nie są w traktacie opisane wprost. Jeśli superpozycja ma być uważana za ważną metodę dowodu geometrycznego, cała geometria byłaby pełna takich dowodów. Na przykład twierdzenia od I.1 do I.3 można w prosty sposób udowodnić za pomocą superpozycji.

Aby odnieść się do tych kwestii w pracy Euclida, późniejsi autorzy albo próbowali wypełnić luki w prezentacji Euclida - najbardziej godna uwagi z tych prób jest zasługa D. Hilberta - albo zorganizować system aksjomatów wokół różnych koncepcji, jak zrobił to GD Birkhoff .

Pascha i Peano

Niemiecki matematyk Moritz Pasch (1843–1930) był pierwszym, który wykonał zadanie postawienia geometrii euklidesowej na solidnych podstawach aksjomatycznych. W swojej książce Vorlesungen über neuere Geometrie opublikowanej w 1882 roku Pasch położył podwaliny pod nowoczesną metodę aksjomatyczną. Zapoczątkował pojęcie pojęcia pierwotnego (które nazwał Kernbegriffe ) i wraz z aksjomatami ( Kernsätzen ) konstruuje system formalny wolny od wpływów intuicyjnych. Według Pascha, jedynym miejscem, w którym intuicja powinna odgrywać rolę, jest decydowanie, jakie powinny być pierwotne pojęcia i aksjomaty. Tak więc dla Pascha punkt jest pojęciem pierwotnym, ale linia (linia prosta) nie, ponieważ mamy dobrą intuicję co do punktów, ale nikt nigdy nie widział ani nie miał doświadczenia z nieskończoną linią. Pierwotnym pojęciem, którego używa Pasch w jego miejsce, jest odcinek liniowy .

Pasch zauważył, że uporządkowanie punktów na linii (lub równoważne właściwości zawierania odcinków linii) nie jest właściwie rozwiązane przez aksjomaty Euklidesa; tak więc twierdzenie Pascha , stwierdzające, że jeśli zachodzą dwie relacje zawierania odcinków linii, to zachodzi również trzecia, nie można udowodnić na podstawie aksjomatów Euklidesa. Powiązany aksjomat Pascha dotyczy właściwości przecięcia linii i trójkątów.

Praca Pascha nad podstawami wyznaczyła standardy rygoru nie tylko w geometrii, ale także w szerszym kontekście matematyki. Jego przełomowe idee są dziś tak powszechne, że trudno sobie przypomnieć, że miały jednego pomysłodawcę. Praca Pascha wywarła bezpośredni wpływ na wielu innych matematyków, w szczególności na D. Hilberta i włoskiego matematyka Giuseppe Peano (1858–1932). Praca Peano z 1889 r. Na temat geometrii, w dużej mierze tłumaczenie traktatu Pascha na notację logiki symbolicznej (którą wynalazł Peano), wykorzystuje prymitywne pojęcia punktu i między . Peano zrywa empiryczną więź w wyborze prymitywnych pojęć i aksjomatów, których wymagał Pasch. Dla Peano cały system jest czysto formalny, oderwany od jakichkolwiek danych empirycznych.

Pieri i włoska szkoła geometrii

Włoski matematyk Mario Pieri (1860-1913) przyjął inne podejście i rozważał system, w którym istniały tylko dwa prymitywne pojęcia, punkt i ruch . Pasch użył czterech prymitywów, a Peano zredukował to do trzech, ale oba te podejścia opierały się na pewnej koncepcji między, którą Pieri zastąpił swoim sformułowaniem ruchu . W 1905 roku Pieri przedstawił pierwszą aksjomatyczną analizę złożonej geometrii rzutowej , która nie rozpoczęła się od zbudowania rzeczywistej geometrii rzutowej.

Pieri był członkiem grupy włoskich geometrów i logików, którą Peano zebrał wokół siebie w Turynie. Ta grupa asystentów, młodszych kolegów i innych osób była oddana realizacji logiczno-geometrycznego programu Peano, polegającego na umieszczeniu podstaw geometrii na solidnych podstawach aksjomatycznych opartych na logicznej symbolice Peano. Oprócz Pieri w tej grupie byli Burali-Forti , Padoa i Fano . W 1900 roku w Paryżu odbyły się dwie międzynarodowe konferencje: Międzynarodowy Kongres Filozoficzny i II Międzynarodowy Kongres Matematyków . Ta grupa włoskich matematyków była bardzo widoczna na tych kongresach, forsując swój aksjomatyczny program. Padoa wygłosił dobrze oceniane przemówienie, a Peano, w okresie pytań po słynnym przemówieniu Davida Hilberta na temat nierozwiązanych problemów , zauważył, że jego koledzy już rozwiązali drugi problem Hilberta.

Aksjomaty Hilberta

Dawida Hilberta

Na Uniwersytecie w Getyndze w semestrze zimowym 1898–1899 wybitny matematyk niemiecki David Hilbert (1862–1943) wygłosił cykl wykładów z podstaw geometrii. Na prośbę Feliksa Kleina profesor Hilbert został poproszony o spisanie notatek z wykładów z tego przedmiotu przed uroczystością poświęcenia pomnika CF Gaussa i Wilhelma Webera latem 1899 r ., która miała się odbyć na uniwersytecie. Przeorganizowane wykłady zostały opublikowane w czerwcu 1899 roku pod tytułem Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). Wpływ książki był natychmiastowy. Według Eves (1963 , s. 384-385):

Rozwijając postulat ustalony dla geometrii euklidesowej, który nie odbiega zbytnio w duchu od postulatu Euklidesa, i stosując minimum symboliki, Hilbertowi udało się przekonać matematyków w znacznie większym stopniu niż Paschowi i Peano, do czysto hipotetyczno-dedukcyjnego charakter geometrii. Ale wpływ pracy Hilberta wykraczał daleko poza to, ponieważ wsparta wielkim matematycznym autorytetem autora, mocno zaszczepiła metodę postulacyjną nie tylko w dziedzinie geometrii, ale także w zasadzie w każdej innej gałęzi matematyki. Trudno przecenić bodziec do rozwoju podstaw matematyki, jaki dała mała książeczka Hilberta. Pozbawione dziwnej symboliki prac Pascha i Peano, prace Hilberta mogą być w dużej mierze odczytane przez każdego inteligentnego studenta geometrii w szkole średniej.

Trudno określić stosowane przez Hilberta aksjomaty bez odwoływania się do historii wydawniczej Grundlagen, gdyż Hilbert kilkakrotnie je zmieniał i modyfikował. Po oryginalnej monografii szybko pojawiło się francuskie tłumaczenie, w którym Hilbert dodał V.2, Aksjomat Kompletności. Tłumaczenie na język angielski, autoryzowane przez Hilberta, zostało wykonane przez EJ Townsenda i chronione prawem autorskim w 1902 r. Tłumaczenie to uwzględniało zmiany wprowadzone w tłumaczeniu francuskim i dlatego jest uważane za tłumaczenie drugiego wydania. Hilbert kontynuował wprowadzanie zmian w tekście i ukazało się kilka wydań w języku niemieckim. Siódma edycja była ostatnią, która ukazała się za życia Hilberta. Nowe wydania nastąpiły po siódmym, ale główny tekst zasadniczo nie został poprawiony. Zmiany w tych wydaniach występują w dodatkach iw dodatkach. Zmiany w tekście były duże w porównaniu z oryginałem, a nowe tłumaczenie na język angielski zostało zlecone przez wydawnictwo Open Court Publishers, które opublikowało tłumaczenie Townsenda. Tak więc drugie wydanie angielskie zostało przetłumaczone przez Leo Ungera z 10. wydania niemieckiego z 1971 r. To tłumaczenie zawiera kilka poprawek i rozszerzeń późniejszych wydań niemieckich autorstwa Paula Bernaysa. Różnice między dwoma angielskimi tłumaczeniami wynikają nie tylko z Hilberta, ale także z różnych wyborów dokonanych przez dwóch tłumaczy. To, co nastąpi dalej, będzie oparte na tłumaczeniu Ungera.

System aksjomatów Hilberta jest zbudowany z sześciu prymitywnych pojęć : punkt , linia , płaszczyzna , między , leży na (ograniczanie) i kongruencja .

Wszystkie punkty, linie i płaszczyzny w następujących aksjomatach są różne, chyba że zaznaczono inaczej.

I. Zdarzenie
  1. Dla każdych dwóch punktów A i B istnieje prosta a zawierająca je oba. Piszemy AB = a lub BA = a . Zamiast „zawiera” możemy też zastosować inne formy wyrazu; na przykład możemy powiedzieć „ A leży na a ”, „ A jest punktem a ”, „ a przechodzi przez A i przez B ”, „ a łączy A z B ” itd. Jeżeli A leży na a i jednocześnie na innej prostej b , to posługujemy się także wyrażeniem: „Proste a i b mają wspólny punkt A ” itd.
  2. Na każde dwa punkty istnieje nie więcej niż jedna linia, która zawiera je oba; w konsekwencji, jeśli AB = a i AC = a , gdzie B C , to także BC = a .
  3. Istnieją co najmniej dwa punkty na prostej. Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na prostej.
  4. Dla każdych trzech punktów A , B , C nie leżących na tej samej prostej istnieje płaszczyzna α zawierająca je wszystkie. Dla każdej płaszczyzny istnieje punkt, który na niej leży. Piszemy ABC = α . Używamy również wyrażeń: „ A , B , C , leżą w α”; „A, B, C to punkty α” itd.
  5. Dla każdych trzech punktów A , B , C , które nie leżą na tej samej prostej, istnieje nie więcej niż jedna płaszczyzna zawierająca je wszystkie.
  6. Jeżeli dwa punkty A , B prostej a leżą na płaszczyźnie α, to każdy punkt a leży w α. W tym przypadku mówimy: „Prosta a leży na płaszczyźnie α” itd.
  7. wspólny punkt A , to mają co najmniej drugi wspólny punkt B.
  8. Istnieją co najmniej cztery punkty, które nie leżą na płaszczyźnie.
II. Zamówienie
  1. Jeśli punkt B leży między punktami A i C , to punkt B jest również między C i A , i istnieje prosta zawierająca różne punkty A, B, C .
  2. Jeśli A i C są dwoma punktami prostej, to istnieje co najmniej jeden punkt B leżący między A i C.
  3. Spośród dowolnych trzech punktów położonych na linii nie ma więcej niż jeden, który leży między dwoma pozostałymi.
  4. Aksjomat Pascha : Niech A , B , C będą trzema punktami nie leżącymi na tej samej prostej i niech a będzie prostą leżącą na płaszczyźnie ABC i nie przechodzącą przez żaden z punktów A , B , C . Wtedy, jeśli prosta a przechodzi przez punkt odcinka AB , to będzie też przechodzić przez punkt odcinka BC lub punkt odcinka AC .
III. Stosowność
  1. Jeśli A , B są dwoma punktami na prostej a , a A′ jest punktem na tej samej lub innej prostej a′ , to po danym boku A′ na prostej a′ zawsze możemy znaleźć punkt B′ tak, że odcinek AB jest przystający do odcinka A′B′ . Relację tę wskazujemy zapisując AB A′ B′ . Każdy segment jest przystający do siebie; to znaczy zawsze mamy AB
    AB . Możemy krótko sformułować powyższy aksjomat, mówiąc, że każdy odcinek można położyć na dany bok danego punktu danej prostej co najmniej w jeden sposób.
  2. Jeżeli odcinek AB jest przystający do odcinka A′B′ , a także do odcinka A″B″ , to odcinek A′B′ jest przystający do odcinka A″B″ ; to znaczy, jeśli AB A′B′ i AB A″B″ , to A′B′ A″B″ .
  3. Niech AB i BC będą dwoma odcinkami prostej a , które nie mają punktów wspólnych poza punktem B , a ponadto niech A′B′ i B′C′ będą dwoma odcinkami tej samej lub innej prostej a′ mającej , podobnie, nie ma wspólnego punktu innego niż B′ . Wtedy, jeśli AB A′B′ i BC B′C′ , mamy AC A′C′ .
  4. Niech kąt ∠ ( h , k ) będzie dany na płaszczyźnie α i niech prosta a′ będzie dana na płaszczyźnie α′. Załóżmy również, że w płaszczyźnie α′ wyznaczono określony bok prostej a′ . Oznaczmy przez h′ promień prostej a′ wychodzący z punktu O′ tej prostej. Wtedy w płaszczyźnie α′ jest jeden i tylko jeden promień k′ taki, że kąt ∠ ( h , k ) lub ∠ ( k , h ) jest przystający do kąta ∠ ( h′ , k′ ) i jednocześnie wszystkie wewnętrzne punkty kąta ∠ ( h′ , k′ ) leżą po danym boku a′ . Relację tę wyrażamy za pomocą notacji ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
  5. Jeżeli kąt ∠ ( h , k ) jest przystający do kąta ∠ ( h′ , k′ ) i do kąta ∠ ( h″ , k″ ), to kąt ∠ ( h′ , k′ ) jest przystający do kąt ∠ ( h″ , k″ ); to znaczy, jeśli ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) i ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), to ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).
IV. Paralele
  1. (aksjomat Euklidesa): Niech a będzie dowolną linią, a A punktem, który na niej nie leży. Wtedy istnieje co najwyżej jedna prosta na płaszczyźnie, określona przez a i A , która przechodzi przez A i nie przecina a .
V. Ciągłość
  1. Aksjomat Archimedesa . Jeśli AB i CD są dowolnymi odcinkami, to istnieje taka liczba n , że n odcinków CD zbudowanych w sposób ciągły z A , wzdłuż promienia od A do B , przejdzie poza punkt B.
  2. Aksjomat kompletności linii . Rozszerzenie zbioru punktów na prostej wraz z jej relacjami porządków i kongruencji, które zachowałoby relacje istniejące między pierwotnymi elementami oraz podstawowe własności porządku i kongruencji linii, które wynikają z Aksjomatów I-III i V-1, jest niemożliwe.

Zmiany w aksjomatach Hilberta

Kiedy monografię z 1899 roku przetłumaczono na język francuski, Hilbert dodał:

V.2 Aksjomat kompletności . Do układu punktów, linii prostych i płaszczyzn nie można dodawać innych elementów w taki sposób, aby tak uogólniony układ tworzył nową geometrię zgodną ze wszystkimi pięcioma grupami aksjomatów. Innymi słowy, elementy geometrii tworzą system, który nie jest podatny na rozszerzenie, jeśli uznamy pięć grup aksjomatów za ważne.

Ten aksjomat nie jest potrzebny do rozwoju geometrii euklidesowej, ale jest potrzebny do ustalenia bijekcji między liczbami rzeczywistymi a punktami na linii. Był to istotny składnik dowodu Hilberta na spójność jego systemu aksjomatów.

W siódmym wydaniu Grundlagen ten aksjomat został zastąpiony aksjomatem kompletności linii podanym powyżej, a stary aksjomat V.2 stał się Twierdzeniem 32.

W monografii z 1899 r. (i pojawiającej się w tłumaczeniu Townsenda) można również znaleźć:

II.4. Dowolne cztery punkty A , B , C , D prostej można zawsze opisać tak, że B leży między A i C , a także między A i D , a ponadto C leży między A i D oraz między B i D. D. _

Jednak EH Moore i RL Moore niezależnie udowodnili, że ten aksjomat jest zbędny, a pierwszy z nich opublikował ten wynik w artykule opublikowanym w Transactions of the American Mathematical Society w 1902 r. Hilbert przeniósł aksjomat do Twierdzenia 5 i odpowiednio przenumerował aksjomaty (stare aksjomat II-5 (aksjomat Pascha) stał się teraz II-4).

Chociaż nie tak dramatyczne jak te zmiany, większość pozostałych aksjomatów również została zmodyfikowana pod względem formy i / lub funkcji w ciągu pierwszych siedmiu wydań.

Spójność i niezależność

Wykraczając poza ustalenie zadowalającego zestawu aksjomatów, Hilbert udowodnił również spójność swojego systemu w stosunku do teorii liczb rzeczywistych, konstruując model swojego systemu aksjomatów z liczb rzeczywistych. Udowodnił niezależność niektórych swoich aksjomatów, konstruując modele geometrii, które spełniają wszystkie z wyjątkiem jednego rozważanego aksjomatu. Tak więc istnieją przykłady geometrii spełniających wszystkie z wyjątkiem aksjomatu Archimedesa V.1 (geometrie niearchimedesowe), wszystkie z wyjątkiem aksjomatu równoległości IV.1 (geometrie nieeuklidesowe) i tak dalej. Używając tej samej techniki, pokazał również, jak niektóre ważne twierdzenia zależą od pewnych aksjomatów i są niezależne od innych. Niektóre z jego modeli były bardzo złożone, a inni matematycy próbowali je uprościć. Na przykład model Hilberta pokazujący niezależność Twierdzenie Desarguesa z pewnych aksjomatów ostatecznie doprowadziło Raya Moultona do odkrycia niedesarguezowskiej płaszczyzny Moultona . Te badania Hilberta praktycznie zainaugurowały współczesne badania geometrii abstrakcyjnej w XX wieku.

Aksjomaty Birkhoffa

George'a Davida Birkhoffa

W 1932 roku GD Birkhoff stworzył zestaw czterech postulatów geometrii euklidesowej, czasami określanych jako aksjomaty Birkhoffa . Wszystkie te postulaty opierają się na podstawowej geometrii , którą można eksperymentalnie zweryfikować za pomocą skali i kątomierza . W radykalnym odejściu od syntetycznego podejścia Hilberta Birkhoff jako pierwszy zbudował podstawy geometrii na liczb rzeczywistych . To właśnie to potężne założenie pozwala na istnienie niewielkiej liczby aksjomatów w tym systemie.

Postulaty

Birkhoff używa czterech niezdefiniowanych terminów: punkt , linia , odległość i kąt . Jego postulaty to:

Postulat I: Postulat miary liniowej . Punkty A , B , ... dowolnej linii można umieścić w zgodności 1:1 z liczbami rzeczywistymi x tak , że | x B - x   ZA | = d( A, B ) dla wszystkich punktów A i B .

Postulat II: Postulat punktowo-liniowy . Istnieje jedna i tylko jedna prosta , która zawiera dowolne dwa różne punkty P i Q .

Postulat III: Postulat miary kąta . Promienie { ℓ, m, n , ...} przechodzące przez dowolny punkt O można sprowadzić do zgodności 1: 1 z liczbami rzeczywistymi a (mod 2 π ) tak, że jeśli A i B są punktami (nie równymi O ) i m , odpowiednio, różnica a m - a (mod 2π) liczb związanych z liniami i m wynosi AOB . Ponadto, jeśli punkt B na m zmienia się w sposób ciągły na linii r niezawierającej wierzchołka O , liczba a m również zmienia się w sposób ciągły.

Postulat IV: Postulat podobieństwa . Jeżeli w dwóch trójkątach ABC i A'B'C' i dla pewnej stałej k > 0, d ( A', B' ) = kd ( A, B ), d ( A', C' ) = kd ( A, C ) i B'A'C' = ± BAC , a następnie re (   b ', do' ) = kd ( b, do ), C'B'A' = ± CBA i A'C' b ' = ± ACB .

Geometria szkolna

George'a Bruce'a Halsteda

To, czy mądrze jest uczyć geometrii euklidesowej z aksjomatycznego punktu widzenia na poziomie szkoły średniej, było przedmiotem dyskusji. Było wiele prób, aby to zrobić i nie wszystkie z nich zakończyły się sukcesem. W 1904 roku George Bruce Halsted opublikował tekst o geometrii w szkole średniej oparty na zbiorze aksjomatów Hilberta. Logiczna krytyka tego tekstu doprowadziła do mocno zmienionego drugiego wydania. W reakcji na wystrzelenie rosyjskiego satelity Sputnik w Stanach Zjednoczonych wezwano do zmiany szkolnego programu nauczania matematyki. Z tego wysiłku powstała Nowa Matematyka program z lat 60. Mając to za tło, wiele osób i grup postanowiło dostarczyć materiał tekstowy na zajęcia z geometrii w oparciu o podejście aksjomatyczne.

Aksjomaty Mac Lane'a

Saundersa MacLane'a

Saunders Mac Lane (1909–2005), matematyk, napisał w 1959 r. Artykuł, w którym zaproponował zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej w duchu leczenia Birkhoffa, używając funkcji odległości do powiązania liczb rzeczywistych z odcinkami linii. Nie była to pierwsza próba oparcia leczenia na poziomie szkolnym na systemie Birkhoffa, w rzeczywistości Birkhoff i Ralph Beatley napisali w szkole średniej w 1940 roku, w którym opracowano geometrię euklidesową na podstawie pięciu aksjomatów oraz możliwość pomiaru odcinków linii i kątów. Jednak w celu dostosowania leczenia do publiczności w szkole średniej niektóre argumenty matematyczne i logiczne zostały albo zignorowane, albo niewyraźne.

W systemie Mac Lane'a istnieją cztery pojęcia pierwotne (terminy nieokreślone): punkt , odległość , linia i miara kąta . Istnieje również 14 aksjomatów, z których cztery podają właściwości funkcji odległości, cztery opisują właściwości linii, cztery omawiają kąty (które w tym leczeniu są kątami skierowanymi), aksjomat podobieństwa (zasadniczo taki sam jak aksjomat Birkhoffa) i aksjomat ciągłości, który może być użyte do wyprowadzenia twierdzenia o poprzeczce i jego odwrotność. Zwiększona liczba aksjomatów ma tę zaletę pedagogiczną, że ułatwia śledzenie wczesnych dowodów w rozwoju, a użycie znanej miary pozwala na szybki postęp w podstawowym materiale, dzięki czemu można szybciej dotrzeć do bardziej „interesujących” aspektów tematu.

Aksjomaty SMSG (School Mathematics Study Group).

School Mathematics Study Group (SMSG ) wprowadził nowy zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej, odpowiedni dla amerykańskich kursów geometrii w szkołach średnich, jako część nowych programów nauczania matematyki . Ten zestaw aksjomatów jest zgodny z modelem Birkhoffa polegającym na używaniu liczb rzeczywistych w celu szybkiego wejścia w podstawy geometryczne. Jednakże, podczas gdy Birkhoff starał się zminimalizować liczbę używanych aksjomatów, a większość autorów była zaniepokojona niezależnością aksjomatów w ich leczeniu, lista aksjomatów SMSG została celowo powiększona i zbędna ze względów pedagogicznych. SMSG wyprodukowało tylko skopiowany tekst przy użyciu tych aksjomatów, ale Edwin E. Moise , członek SMSG, napisał tekst do szkoły średniej oparty na tym systemie oraz tekst na poziomie college'u, Moise (1974) , z usunięciem części nadmiarowości i modyfikacjami aksjomatów dla bardziej wyrafinowanej publiczności.

Istnieje osiem niezdefiniowanych terminów: punkt , linia , płaszczyzna , leży na , miara kąta , odległość , powierzchnia i objętość . 22 aksjomatom tego systemu nadano indywidualne nazwy dla ułatwienia odniesienia. Wśród nich można znaleźć: Postulat linijki, Postulat umieszczenia linijki, Postulat separacji płaszczyzn, Postulat dodania kąta, Postulat kąta bocznego ( SAS), Postulat równoległy (w formie Playfair ) i Zasada Cavalieriego .

Aksjomaty UCSMP (University of Chicago School Mathematics Project).

Chociaż znaczna część nowego programu nauczania matematyki została drastycznie zmodyfikowana lub porzucona, część geometrii pozostała względnie stabilna w Stanach Zjednoczonych. Nowoczesne amerykańskie podręczniki do szkół średnich używają systemów aksjomatów, które są bardzo podobne do tych z SMSG. Na przykład teksty opracowane przez University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP) wykorzystują system, który oprócz pewnych aktualizacji języka różni się głównie od systemu SMSG tym, że zawiera pewne koncepcje transformacji w ramach „postulatu refleksji”.

Istnieją tylko trzy niezdefiniowane terminy: punkt , linia i płaszczyzna . Istnieje osiem „postulatów”, ale większość z nich składa się z kilku części (które w tym systemie są ogólnie nazywane założeniami ). Licząc te części, w tym systemie są 32 aksjomaty. Wśród postulatów można znaleźć postulat punkt-linia-płaszczyzna , nierówność trójkąta postulat, postulat odległości, pomiaru kąta, odpowiednich kątów, powierzchni i objętości oraz postulat odbicia. Postulat odbicia jest używany jako zamiennik postulatu SAS systemu SMSG.

Inne systemy

Oswald Veblen (1880 – 1960) przedstawił nowy system aksjomatów w 1904 roku, zastępując pojęcie „między”, używane przez Hilberta i Pascha, nowym prymitywnym porządkiem . Pozwoliło to kilku prymitywnym terminom używanym przez Hilberta stać się zdefiniowanymi bytami, zmniejszając liczbę prymitywnych pojęć do dwóch, punkt i porządek .

Na przestrzeni lat zaproponowano wiele innych systemów aksjomatycznych dla geometrii euklidesowej. Porównanie wielu z nich można znaleźć w monografii Henry'ego George'a Fordera z 1927 roku. Forder podaje również, łącząc aksjomaty z różnych systemów, swoje własne podejście oparte na dwóch prymitywnych pojęciach punktu i porządku . Przedstawia również bardziej abstrakcyjne podejście do jednego z systemów Pieriego (od 1909 r.) opartego na punkcie prymitywów i kongruencji .

Począwszy od Peano, wśród logików istniał równoległy wątek zainteresowania aksjomatycznymi podstawami geometrii euklidesowej. Można to częściowo zobaczyć w notacji używanej do opisu aksjomatów. Pieri twierdził, że chociaż pisał w tradycyjnym języku geometrii, zawsze myślał w kategoriach notacji logicznej wprowadzonej przez Peano i używał tego formalizmu, aby zobaczyć, jak coś udowodnić. Typowy przykład tego typu notacji można znaleźć w pracy EV Huntingtona (1874 – 1952), który w 1913 roku stworzył aksjomatyczną obróbkę trójwymiarowej geometrii euklidesowej, opartą na prymitywnych pojęciach sfera i inkluzja (jedna sfera leży w drugiej). Poza notacją istnieje również zainteresowanie strukturą logiczną teorii geometrii. Alfred Tarski udowodnił, że część geometrii, którą nazwał geometrią elementarną , jest teorią logiczną pierwszego rzędu (patrz aksjomaty Tarskiego ).

Współczesne traktowanie tekstu aksjomatycznych podstaw geometrii euklidesowej jest zgodne ze wzorem HG Fordera i Gilberta de B. Robinsona , którzy mieszają i dopasowują aksjomaty z różnych systemów, aby uzyskać różne akcenty. Venema (2006) jest nowoczesnym przykładem takiego podejścia.

Geometria nieeuklidesowa

Wobec roli, jaką matematyka odgrywa w nauce i implikacji wiedzy naukowej dla wszystkich naszych wierzeń, rewolucyjne zmiany w rozumieniu przez człowieka natury matematyki nie mogły nie oznaczać rewolucyjnych zmian w jego rozumieniu nauki, doktryn filozoficznych, religijnych i etycznych. wierzeń i właściwie wszystkich dyscyplin intelektualnych.

W pierwszej połowie XIX wieku dokonała się rewolucja w dziedzinie geometrii, która pod względem naukowym była równie ważna jak rewolucja kopernikańska w astronomii i głęboka filozoficznie jak darwinowska teoria ewolucji w swoim wpływie na nasz sposób myślenia. Było to konsekwencją odkrycia geometrii nieeuklidesowej. Przez ponad dwa tysiące lat, począwszy od czasów Euklidesa, postulaty leżące u podstaw geometrii uważano za oczywiste prawdy o przestrzeni fizycznej. Geometry sądzili, że wyprowadzają z nich inne, bardziej niejasne prawdy, bez możliwości popełnienia błędu. Pogląd ten stał się nie do utrzymania wraz z rozwojem geometrii hiperbolicznej. Istniały teraz dwa niekompatybilne systemy geometrii (a później pojawiło się więcej), które były wewnętrznie spójne i kompatybilne z obserwowalnym światem fizycznym. „Od tego momentu cała dyskusja na temat relacji między geometrią a przestrzenią fizyczną toczyła się w zupełnie innych kategoriach”. Moise 1974 , s. 388)

Aby otrzymać geometrię nieeuklidesową, postulat równoległości (lub jego odpowiednik) należy zastąpić jego negacją . Zaprzeczenie aksjomatu Playfair , ponieważ jest to zdanie złożone (...istnieje jeden i tylko jeden...), można zrobić na dwa sposoby. Albo będzie istniało więcej niż jedna prosta przechodząca przez punkt równoległy do ​​danej prostej, albo nie będzie żadnych prostych przechodzących przez punkt równoległy do ​​danej prostej. W pierwszym przypadku, zastępując postulat równoległości (lub jego odpowiednik) stwierdzeniem „Na płaszczyźnie, mając dany punkt P i prostą ℓ nieprzechodzącą przez P, istnieją dwie proste przechodzące przez P, które nie przecinają się ”i zachowując wszystkie inne aksjomaty, daje geometrię hiperboliczną . Drugi przypadek nie jest tak łatwy do rozwiązania. Po prostu zastąpienie postulatu równoległości stwierdzeniem: „Na płaszczyźnie, dany punkt P i prosta ℓ nie przechodząca przez P, wszystkie linie przechodzące przez P spotykają się z ”, nie daje spójnego zestawu aksjomatów. Wynika to z tego, że w geometrii absolutnej istnieją proste równoległe, ale to stwierdzenie mówiłoby, że nie ma prostych równoległych. Problem ten był znany (w innej postaci) Khayyamowi, Saccheri i Lambertowi i było podstawą do odrzucenia przez nich tego, co było znane jako „przypadek kąta rozwartego". Aby uzyskać spójny zestaw aksjomatów, który zawiera ten aksjomat o braku równoległych, niektóre inne aksjomaty muszą zostać poprawione. Korekty, które należy wprowadzić zależą od używanego systemu aksjomatów. Między innymi te poprawki będą miały wpływ na modyfikację drugiego postulatu Euklidesa ze stwierdzenia, że ​​odcinki linii można rozciągać w nieskończoność, na stwierdzenie, że linie są nieograniczone. Geometria eliptyczna Riemanna jawi się jako najbardziej naturalna geometria spełniająca ten aksjomat.

To Gauss ukuł termin „geometria nieeuklidesowa”. Miał na myśli swoją własną, nieopublikowaną pracę, którą dziś nazywamy geometrią hiperboliczną . Kilku autorów nadal uważa, że ​​„geometria nieeuklidesowa” i „geometria hiperboliczna” są synonimami. W 1871 roku Felix Klein , dostosowując metrykę omówioną przez Arthura Cayleya w 1852 roku, był w stanie wprowadzić właściwości metryczne do układu rzutowego, a tym samym był w stanie ujednolicić traktowanie geometrii hiperbolicznej, euklidesowej i eliptycznej pod parasolem geometrii rzutowej . Klein jest odpowiedzialny za terminy „hiperboliczny” i „eliptyczny” (w swoim systemie nazwał geometrię euklidesową „paraboliczną”, termin, który nie przetrwał próby czasu i jest dziś używany tylko w kilku dyscyplinach). Jego wpływ doprowadził do powszechnego używania terminu „geometria nieeuklidesowa” w znaczeniu geometrii „hiperbolicznej” lub „eliptycznej”.

Jest kilku matematyków, którzy na różne sposoby rozszerzyliby listę geometrii, które należy nazwać „nieeuklidesowymi”. W innych dyscyplinach, zwłaszcza w fizyce matematycznej , gdzie wpływ Kleina nie był tak silny, często przyjmuje się, że termin „nieeuklidesowy” oznacza nieeuklidesowy .

Równoległy postulat Euklidesa

Przez dwa tysiące lat podejmowano wiele prób udowodnienia postulatu równoległego za pomocą pierwszych czterech postulatów Euklidesa. Możliwym powodem, dla którego taki dowód był tak bardzo poszukiwany, było to, że w przeciwieństwie do pierwszych czterech postulatów, postulat równoległy nie jest oczywisty. Jeśli kolejność, w jakiej postulaty zostały wymienione w Elementach, jest znacząca, wskazuje to, że Euklides uwzględnił ten postulat tylko wtedy, gdy zdał sobie sprawę, że nie może go udowodnić ani postępować bez niego. Podejmowano wiele prób udowodnienia piątego postulatu z pozostałych czterech, a wiele z nich przyjmowano jako dowody przez długi czas, aż do znalezienia błędu. Nieodmiennie błędem było przyjmowanie jakiejś „oczywistej” własności, która okazała się równoważna piątemu postulatowi. W końcu zdano sobie sprawę, że ten postulat może nie być możliwy do udowodnienia na podstawie pozostałych czterech. Według Trudeau (1987 , s. 154) ta opinia na temat postulatu równoległości (postulat 5) pojawia się w druku:

Najwyraźniej pierwszym, który to uczynił, był GS Klügel (1739–1812), doktorant na Uniwersytecie w Getyndze, przy wsparciu swojego nauczyciela AG Kästnera, w swojej rozprawie Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio z 1763 r . Próby wykazania teorii podobieństw). W tej pracy Klügel zbadał 28 prób udowodnienia Postulatu 5 (w tym Saccheriego), uznał je wszystkie za wadliwe i przedstawił opinię, że Postulat 5 jest nie do udowodnienia i jest poparty wyłącznie osądem naszych zmysłów.

Na początku XIX wieku ostatecznie nastąpiły decydujące kroki w tworzeniu geometrii nieeuklidesowej. Około 1813 r. Carl Friedrich Gauss i niezależnie około 1818 r. Niemiecki profesor prawa Ferdinand Karl Schweikart opracował pierwotne idee geometrii nieeuklidesowej, ale żaden z nich nie opublikował żadnych wyników. Następnie, około 1830 roku, węgierski matematyk János Bolyai i rosyjski matematyk Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski opublikowali oddzielnie traktaty na temat tego, co dziś nazywamy geometrią hiperboliczną . W konsekwencji geometrię hiperboliczną nazwano geometrią Bolyai-Lobachevskian, ponieważ obaj niezależni matematycy są podstawowymi autorami geometrii nieeuklidesowej. Gauss wspomniał ojcu Bolyai, kiedy pokazano mu pracę młodszego Bolyai, że opracował taką geometrię kilka lat wcześniej, chociaż nie opublikował. Podczas gdy Łobaczewski stworzył geometrię nieeuklidesową, negując postulat równoległości, Bolyai opracował geometrię, w której zarówno geometria euklidesowa, jak i hiperboliczna są możliwe w zależności od parametru k . Bolyai kończy swoją pracę, wspominając, że nie jest możliwe rozstrzygnięcie na podstawie samego rozumowania matematycznego, czy geometria fizycznego wszechświata jest euklidesowa, czy nieeuklidesowa; jest to zadanie dla nauk fizycznych. Niezależność postulatu równoległego od innych aksjomatów Euklidesa została ostatecznie wykazana przez Eugenio Beltrami w 1868 roku .

Różne próby udowodnienia postulatu równoległości dały długą listę twierdzeń, które są równoważne z postulatem równoległości. Równoważność oznacza tutaj, że w obecności innych aksjomatów geometrii można założyć, że każde z tych twierdzeń jest prawdziwe, a postulat równoległy można udowodnić na podstawie tego zmienionego zestawu aksjomatów. To nie to samo, co równoważność logiczna . W różnych zestawach aksjomatów geometrii euklidesowej każdy z nich może zastąpić postulat równoległości euklidesowej. Poniższa częściowa lista wskazuje niektóre z tych twierdzeń, które mają znaczenie historyczne.

  1. Równoległe linie proste są jednakowo oddalone. ( Posejdonios , I wiek pne)
  2. Wszystkie punkty w równej odległości od danej prostej, po danym jej boku, tworzą linię prostą. (Christoph Clavius, 1574)
  3. Aksjomat Playfair . Na płaszczyźnie istnieje co najwyżej jedna linia, którą można poprowadzić równolegle do innej, przechodzącej przez punkt zewnętrzny. (Proclus, V wiek, ale spopularyzowany przez Johna Playfaira, koniec XVIII wieku)
  4. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, początek XIX wieku)
  5. Istnieje trójkąt, którego kąty sumują się do 180°. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, początek XIX wieku)
  6. Istnieje para podobnych , ale nieprzystających trójkątów . (Gerolamo Saccheri, 1733)
  7. Każdy trójkąt można opisać . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, początek XIX wieku)
  8. Jeżeli trzy kąty czworokąta kątami prostymi , to czwarty kąt też jest kątem prostym. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
  9. Istnieje czworokąt, w którym wszystkie kąty są proste. (Geralamo Saccheri, 1733)
  10. postulat Wallisa . Na danej skończonej prostej zawsze można zbudować trójkąt podobny do danego trójkąta. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
  11. Nie ma górnej granicy pola trójkąta . (Carl Friedrich Gauss, 1799)
  12. Kąty wierzchołkowe czworoboku Saccheri wynoszą 90°. (Geralamo Saccheri, 1733)
  13. Proklosa . Jeśli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, z których obie są współpłaszczyznowe z oryginalną linią, to przecina również drugą. (Proklus, V wiek)

Neutralna (lub absolutna) geometria

Geometria absolutna to geometria oparta na systemie aksjomatów składającym się ze wszystkich aksjomatów dających geometrię euklidesową z wyjątkiem postulatu równoległości lub dowolnej jego alternatywy. Termin został wprowadzony przez Jánosa Bolyai w 1832 roku. Czasami określa się go jako geometrię neutralną , ponieważ jest neutralny w stosunku do postulatu równoległości.

Stosunek do innych geometrii

W Elementach Euklidesa pierwsze 28 twierdzeń i Twierdzenie I.31 unikają stosowania postulatu równoległego, a zatem są ważnymi twierdzeniami w geometrii absolutnej. Twierdzenie I.31 dowodzi istnienia linii równoległych (z konstrukcji). również twierdzenie Saccheriego-Legendre'a , zgodnie z którym suma kątów w trójkącie wynosi co najwyżej 180°.

Twierdzenia geometrii absolutnej obowiązują zarówno w geometrii hiperbolicznej , jak iw geometrii euklidesowej .

Geometria absolutna jest niezgodna z geometrią eliptyczną : w geometrii eliptycznej w ogóle nie ma linii równoległych, ale w geometrii absolutnej istnieją linie równoległe. Ponadto w geometrii eliptycznej suma kątów w dowolnym trójkącie jest większa niż 180°.

Niekompletność

Logicznie rzecz biorąc, aksjomaty nie tworzą kompletnej teorii , ponieważ można dodać dodatkowe niezależne aksjomaty bez powodowania niespójności systemu aksjomatów. Można rozszerzyć geometrię absolutną, dodając różne aksjomaty dotyczące równoległości i uzyskać niekompatybilne, ale spójne systemy aksjomatów, dając początek geometrii euklidesowej i hiperbolicznej. Zatem każde twierdzenie geometrii absolutnej jest twierdzeniem geometrii hiperbolicznej i geometrii euklidesowej. Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa. Ponadto geometria absolutna nie jest teorią kategoryczną , ponieważ ma modele, które nie są izomorficzne. [ potrzebne źródło ]

Geometria hiperboliczna

W aksjomatycznym podejściu do geometrii hiperbolicznej (nazywanej także geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyai-Lobaczewskiego) do aksjomatów dających geometrię absolutną dodaje się jeden dodatkowy aksjomat . Nowym aksjomatem jest równoległy postulat Łobaczewskiego (znany również jako charakterystyczny postulat geometrii hiperbolicznej ):

Przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzą (w płaszczyźnie wyznaczonej przez ten punkt i prostą) co najmniej dwie proste, które nie przecinają się z daną prostą.

Dzięki temu dodatkowi system aksjomatów jest teraz kompletny.

Chociaż nowy aksjomat stwierdza istnienie tylko dwóch linii, łatwo jest ustalić, że istnieje nieskończona liczba linii przechodzących przez dany punkt, które nie spotykają się z daną linią. Biorąc pod uwagę tę pełnię, należy uważać z terminologią w tym ustawieniu, ponieważ termin linia równoległa nie ma już unikalnego znaczenia, jakie ma w geometrii euklidesowej. W szczególności P będzie punktem spoza danej linii . Niech PA będzie prostopadłą poprowadzoną z P. do (spotkanie w punkcie A ). Linie przechodzące przez P dzielą się na dwie klasy, te, które spełniają te, które ich nie spełniają. Charakterystyczny postulat geometrii hiperbolicznej mówi, że istnieją co najmniej dwie linie tego ostatniego typu. Z linii, które się nie spotykają (po każdej stronie PA ) linia tworząca najmniejszy kąt z PA . Czasami te linie są określane jako pierwsze linie przechodzące przez P , które się nie spotykają i są różnie nazywane liniami granicznymi, asymptotycznymi lub równoległymi (kiedy używany jest ten ostatni termin, są to jedyne linie równoległe). Wszystkie inne linie przechodzące przez P , które nie spotykają się, liniami nieprzecinającymi się lub ultrarównoległymi .

Ponieważ zarówno geometria hiperboliczna, jak i geometria euklidesowa są zbudowane na aksjomatach geometrii absolutnej, mają wiele wspólnych właściwości i twierdzeń. Jednak konsekwencje zastąpienia postulatu równoległości geometrii euklidesowej charakterystycznym postulatem geometrii hiperbolicznej mogą być dramatyczne. Aby wymienić kilka z nich:

Czworokąt Lamberta w geometrii hiperbolicznej
  • Czworokąt Lamberta to czworokąt, który ma trzy kąty proste. Czwarty kąt czworoboku Lamberta jest ostry , jeśli geometria jest hiperboliczna, a kąt prosty, jeśli geometria jest euklidesowa. Co więcej, prostokąty mogą istnieć (stwierdzenie równoważne z postulatem równoległości) tylko w geometrii euklidesowej.
  • Czworokąt Saccheriego to czworokąt, który ma dwa boki równej długości, oba prostopadłe do boku zwanego podstawą . Pozostałe dwa kąty czworokąta Saccheriego nazywane są kątami wierzchołkowymi i mają równe miary. Kąty wierzchołkowe czworoboku Saccheriego są ostre, jeśli geometria jest hiperboliczna, a kąty proste, jeśli geometria jest euklidesowa.
  • Suma miar kątów dowolnego trójkąta jest mniejsza niż 180 °, jeśli geometria jest hiperboliczna, i równa 180 °, jeśli geometria jest euklidesowa. Wadą ( 180° – suma miar kątów trójkąta). Wynik ten można również zapisać jako: wada trójkątów w geometrii hiperbolicznej jest dodatnia, a wada trójkątów w geometrii euklidesowej jest równa zeru.
  • Obszar trójkąta w geometrii hiperbolicznej jest ograniczony, podczas gdy trójkąty istnieją z dowolnie dużymi obszarami w geometrii euklidesowej.
  • Zbiór punktów po tej samej stronie i jednakowo oddalonych od danej linii prostej sam tworzy linię w geometrii euklidesowej, ale nie w geometrii hiperbolicznej (tworzą hipercykl ) .

Zwolennicy stanowiska, że ​​geometria euklidesowa jest jedyną „prawdziwą” geometrią, ponieśli porażkę, gdy we wspomnieniach opublikowanych w 1868 r. „Fundamentalna teoria przestrzeni o stałej krzywiźnie” Eugenio Beltrami podał abstrakcyjny dowód równości hiperbolicznej i euklidesowej geometria dla dowolnego wymiaru. Osiągnął to, wprowadzając kilka modeli geometrii nieeuklidesowej, które są obecnie znane jako model Beltramiego – Kleina , model dysku Poincarégo i model półpłaszczyzny Poincarégo , wraz z przekształceniami, które je wiążą. W przypadku modelu półpłaszczyzny Beltrami zacytował notatkę Liouville'a w traktacie Monge'a o geometrii różniczkowej . Beltrami wykazał również, że n -wymiarowa geometria euklidesowa jest realizowana na horosferze ( n + 1)-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej , więc logiczna zależność między spójnością geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej jest symetryczna.

Geometria eliptyczna

Innym sposobem modyfikacji postulatu równoległości euklidesowej jest założenie, że na płaszczyźnie nie ma prostych równoległych. W przeciwieństwie do sytuacji z geometrią hiperboliczną , gdzie dodajemy tylko jeden nowy aksjomat, nie możemy uzyskać spójnego systemu, dodając to stwierdzenie jako nowy aksjomat do aksjomatów geometrii absolutnej . Wynika to z faktu, że w geometrii absolutnej istnieją linie równoległe, które można udowodnić. Inne aksjomaty muszą zostać zmienione.

Wychodząc od aksjomatów Hilberta, konieczne zmiany polegają na usunięciu czterech Hilbertowskich aksjomatów porządku i zastąpieniu ich tymi siedmioma aksjomatami separacji dotyczącymi nowej niezdefiniowanej relacji.

Istnieje niezdefiniowana ( prymitywna ) relacja między czterema punktami A , B , C i D oznaczonymi przez ( A , C | B , D ) i odczytywanymi jako „ A i C oddzielają B i D ”, spełniająca te aksjomaty:

  1. Jeśli ( A , B | C , D ), to punkty A , B , C i D współliniowe i różne.
  2. Jeśli ( A , B | C , D ), to ( C , D | A , B ) i ( B , A | D , C ).
  3. Jeśli ( A , B | C , D ), to nie ( A , C | B , D ).
  4. Jeśli punkty A , B , C i D są współliniowe i różne, to ( A , B | C , D ) lub ( A , C | B , D ) lub ( A , D | B , C ).
  5. Jeśli punkty A , B i C są współliniowe i różne, to istnieje punkt D taki, że ( A , B | C , D ).
  6. Dla dowolnych pięciu różnych współliniowych punktów A , B , C , D i E , jeśli ( A , B | D , E ), to albo ( A , B | C , D ) albo ( A , B | C , E ).
  7. Perspektywy zachowują separację.

Ponieważ pojęcie „między” Hilberta zostało usunięte, terminy, które zostały zdefiniowane za pomocą tego pojęcia, wymagają ponownego zdefiniowania. Zatem odcinek AB zdefiniowany jako punkty A i B oraz wszystkie punkty między A i B w geometrii absolutnej muszą zostać przeformułowane. Segment linii w tej nowej geometrii jest wyznaczony przez trzy współliniowe punkty A , B i C i składa się z tych trzech punktów oraz wszystkich punktów nie oddzielonych od B przez A i C. _ Są dalsze konsekwencje. Ponieważ dwa punkty nie określają jednoznacznie odcinka linii, trzy punkty niewspółliniowe nie określają unikalnego trójkąta, a definicja trójkąta musi zostać przeformułowana.

Po ponownym zdefiniowaniu tych pojęć wszystkie inne aksjomaty geometrii absolutnej (incydentalność, kongruencja i ciągłość) mają sens i zostają pozostawione w spokoju. Wraz z nowym aksjomatem o nieistnieniu prostych równoległych mamy spójny system aksjomatów dających nową geometrię. Powstała geometria nazywana jest (płaską) geometrią eliptyczną .

Czworokąty Saccheriego w geometrii euklidesowej, eliptycznej i hiperbolicznej

Chociaż geometria eliptyczna nie jest rozszerzeniem geometrii absolutnej (jak geometria euklidesowa i hiperboliczna), istnieje pewna „symetria” w propozycjach trzech geometrii, która odzwierciedla głębszy związek, który zaobserwował Felix Klein. Niektóre z propozycji, które wykazują tę właściwość, to:

  • Czwarty kąt czworoboku Lamberta jest kątem rozwartym w geometrii eliptycznej.
  • Kąty wierzchołkowe czworoboku Saccheriego są rozwarte w geometrii eliptycznej.
  • Suma miar kątów dowolnego trójkąta jest większa niż 180°, jeśli geometria jest eliptyczna. Oznacza to, że wada trójkąta jest ujemna.
  • Wszystkie proste prostopadłe do danej linii spotykają się we wspólnym punkcie geometrii eliptycznej, zwanym biegunem linii . W geometrii hiperbolicznej linie te nie przecinają się wzajemnie, podczas gdy w geometrii euklidesowej są wzajemnie równoległe.

Inne wyniki, takie jak twierdzenie o kącie zewnętrznym , wyraźnie podkreślają różnicę między geometrią eliptyczną a geometrią, która jest przedłużeniem geometrii absolutnej.

Geometria sferyczna

Inne geometrie

Geometria rzutowa

Geometria afiniczna

Geometria zamówiona

Geometria absolutna jest rozszerzeniem geometrii uporządkowanej , a zatem wszystkie twierdzenia w geometrii uporządkowanej mają zastosowanie w geometrii absolutnej. Odwrotność nie jest prawdziwa. Geometria absolutna przyjmuje pierwsze cztery Aksjomaty Euklidesa (lub ich odpowiedniki) w przeciwieństwie do geometrii afinicznej , która nie przyjmuje trzeciego i czwartego aksjomatu Euklidesa. Uporządkowana geometria jest wspólną podstawą zarówno geometrii absolutnej, jak i afinicznej.

Skończona geometria

Zobacz też

Notatki

      (3 tomy): ISBN 0-486-60088-2 (tom 1), ISBN 0-486-60089-0 (tom 2), ISBN 0-486-60090-4 (tom 3).

Linki zewnętrzne