Geometria różniczkowa

Trójkąt zanurzony w płaszczyźnie siodłowej ( paraboloida hiperboliczna ) oraz dwie rozbieżne linie ultrarównoległe .

Geometria różniczkowa to dyscyplina matematyczna , która bada geometrię gładkich kształtów i gładkich przestrzeni, zwanych inaczej rozmaitościami gładkimi . Wykorzystuje techniki rachunku różniczkowego , rachunku całkowego , algebry liniowej i algebry wieloliniowej . Dziedzina ma swoje korzenie w badaniu geometrii sferycznej już w starożytności . Dotyczy to również astronomii, geodezji Ziemi , a później badań nad geometrią hiperboliczną Łobaczewskiego . Najprostszymi przykładami gładkich przestrzeni są płaskie i przestrzenne krzywe oraz powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , a badanie tych kształtów stanowiło podstawę rozwoju nowoczesnej geometrii różniczkowej w XVIII i XIX wieku.

Od końca XIX wieku geometria różniczkowa stała się dziedziną zajmującą się bardziej ogólnie strukturami geometrycznymi na rozmaitościach różniczkowalnych . Struktura geometryczna to taka, która definiuje pewne pojęcie rozmiaru, odległości, kształtu, objętości lub innej struktury usztywniającej. Na przykład w geometrii Riemanna określa się odległości i kąty, w geometrii symplektycznej można obliczyć objętości, w geometrii konforemnej określa się tylko kąty, aw teorii cechowania pewne pola są podane w przestrzeni. Geometria różniczkowa jest ściśle związana z topologią różniczkową , która zajmuje się właściwościami rozmaitości różniczkowalnych, które nie opierają się na żadnej dodatkowej strukturze geometrycznej (więcej dyskusji na temat rozróżnienia między tymi dwoma tematami można znaleźć w tym artykule). Geometria różniczkowa jest również związana z geometrycznymi aspektami teorii równań różniczkowych , inaczej zwanej analizą geometryczną .

Geometria różniczkowa znajduje zastosowanie w matematyce i naukach przyrodniczych . Przede wszystkim język geometrii różniczkowej był używany przez Alberta Einsteina w jego ogólnej teorii względności , a następnie przez fizyków w rozwoju kwantowej teorii pola i standardowego modelu fizyki cząstek elementarnych . Poza fizyką geometria różniczkowa znajduje zastosowanie w chemii , ekonomii , inżynierii , teorii sterowania , grafice komputerowej i wizji komputerowej , a ostatnio także w uczeniu maszynowym .

Historia i rozwój

Historia i rozwój geometrii różniczkowej jako przedmiotu zaczyna się co najmniej w klasycznej starożytności . Jest ściśle powiązany z ogólniejszym rozwojem geometrii, pojęcia przestrzeni i kształtu oraz topologii , zwłaszcza badania rozmaitości . W tej części skupimy się przede wszystkim na historii zastosowania nieskończenie małych do geometrii, a później do idei przestrzeni stycznych , a ostatecznie na rozwoju nowoczesnego formalizmu przedmiotu w kategoriach tensorów i pól tensorowych .

Starożytność klasyczna do renesansu (300 pne - 1600 ne)

Badanie geometrii różniczkowej lub przynajmniej badanie geometrii gładkich kształtów można prześledzić co najmniej do klasycznej starożytności . W szczególności wiele wiedziano o geometrii Ziemi , geometrii sferycznej , w czasach starożytnych greckich matematyków. Słynny Eratostenes obliczył obwód Ziemi około 200 rpne, a około 150 ne Ptolemeusz w swojej Geografii wprowadził rzut stereograficzny w celu odwzorowania kształtu Ziemi. W sposób dorozumiany przez cały ten czas zasady, które stanowią podstawę geometrii różniczkowej i rachunku różniczkowego, były stosowane w geodezji , chociaż w znacznie uproszczonej formie. Mianowicie, już w Elementach Euklidesa zrozumiano , że linię prostą można zdefiniować na podstawie jej właściwości zapewniającej najkrótszą odległość między dwoma punktami, a zastosowanie tej samej zasady do powierzchni Ziemi prowadzi do wniosku, że koła wielkie , które są tylko lokalnie podobne do linii prostych na płaskiej płaszczyźnie, zapewniają najkrótszą drogę między dwoma punktami na powierzchni Ziemi. Rzeczywiście pomiary odległości wzdłuż takich geodezyjnych ścieżek dokonane przez Eratostenesa i innych można uznać za podstawową miarę długości łuku krzywych, koncepcję, która nie doczekała się ścisłej definicji w kategoriach rachunku różniczkowego aż do XVII wieku.

Mniej więcej w tym czasie istniały tylko minimalne jawne zastosowania teorii nieskończenie małych do badania geometrii, prekursora współczesnego badania przedmiotu opartego na rachunku różniczkowym. W Elementach Euklidesa omówiono pojęcie styczności linii do koła, a Archimedes zastosował metodę wyczerpania do obliczenia obszarów gładkich kształtów, takich jak okrąg , oraz objętości gładkich trójwymiarowych brył, takich jak kula , stożki i cylindry.

renesansu rozwój teorii geometrii różniczkowej był niewielki . Przed opracowaniem rachunku różniczkowego przez Newtona i Leibniza najbardziej znaczący rozwój w zrozumieniu geometrii różniczkowej nastąpił dzięki opracowaniu przez Gerardusa Mercatora projekcji Merkatora jako sposobu mapowania Ziemi. Mercator rozumiał zalety i pułapki swojego projektu mapy, a w szczególności był świadom konforemnego charakteru jego odwzorowania, a także różnicy między praga , liniami o najkrótszej odległości na Ziemi, a directio , prostą ścieżki linii na jego mapie. Mercator zauważył, że praga była w tym rzucie skośną krzywizną . Fakt ten odzwierciedla brak zachowującej metrykę mapy powierzchni Ziemi na płaską płaszczyznę, co jest konsekwencją późniejszego Theorema Egregium Gaussa .

Po rachunku różniczkowym (1600–1800)

Oscylujący okrąg płaskiej krzywej

Pierwsze systematyczne lub rygorystyczne traktowanie geometrii przy użyciu teorii nieskończenie małych i pojęć z rachunku różniczkowego rozpoczęło się około XVII wieku, kiedy rachunek różniczkowy został opracowany przez Gottfrieda Leibniza i Izaaka Newtona . W tym czasie niedawna praca René Descartesa , wprowadzająca współrzędne analityczne do geometrii, pozwoliła na rygorystyczny opis geometrycznych kształtów o rosnącej złożoności. W szczególności mniej więcej w tym czasie Pierre de Fermat , Newton i Leibniz rozpoczęli badanie krzywych płaskich i badanie pojęć, takich jak punkty przegięcia i okręgi oskulacyjne , które pomagają w pomiarze krzywizny . Rzeczywiście już w swoim pierwszym artykule na $różniczkowego Leibniz zauważa$ że warunek nieskończenie mały istnienie punktu przegięcia. Wkrótce po tym czasie bracia Bernoulli , Jacob i Johann wnieśli ważny, wczesny wkład w wykorzystanie nieskończenie małych do studiowania geometrii. W wykładach ówczesnego Johanna Bernoulliego, później zestawionych przez L'Hopitala $,$ pierwszym podręczniku rachunku różniczkowego styczne do płaskich krzywych różnych typów są obliczane przy użyciu warunku podobnie przegięcia są obliczane. W tym samym czasie ortogonalność między oscylującymi okręgami krzywej płaskiej a kierunkami stycznymi i zapisywany jest pierwszy analityczny wzór na promień oscylującego koła, zasadniczo pierwszy analityczny wzór na pojęcie krzywizny .

W następstwie rozwoju geometrii analitycznej i krzywych płaskich, Alexis Clairaut rozpoczął badanie krzywych przestrzennych w wieku zaledwie 16 lat. W swojej książce Clairaut wprowadził pojęcie kierunków stycznych i podstycznych do krzywych przestrzennych w odniesieniu do kierunków leżących wzdłuż powierzchni , na której leży krzywa przestrzenna. W ten sposób Clairaut wykazał ukryte zrozumienie przestrzeni stycznej powierzchni i po raz pierwszy zbadał tę ideę za pomocą rachunku różniczkowego. Co ważne, Clairaut wprowadził terminologię krzywizny i podwójnej krzywizny , zasadniczo pojęcie krzywizn głównych, które później zbadał Gauss i inni.

Mniej więcej w tym samym czasie Leonhard Euler , pierwotnie uczeń Johanna Bernoulliego, wniósł wiele znaczących wkładów nie tylko w rozwój geometrii, ale szerzej w matematykę. Jeśli chodzi o geometrię różniczkową, Euler studiował pojęcie geodezji na powierzchni, wyprowadzając pierwsze analityczne równanie geodezyjne , a później wprowadził pierwszy zestaw wewnętrznych układów współrzędnych na powierzchni, rozpoczynając teorię geometrii wewnętrznej , na której oparte są współczesne idee geometryczne . Mniej więcej w tym czasie badania Eulera nad mechaniką w Mechanica doprowadziły do uświadomienia sobie, że masa poruszająca się po powierzchni, na którą nie działa żadna siła, przemierzałaby ścieżkę geodezyjną, co było wczesnym prekursorem ważnych fundamentalnych idei ogólnej teorii względności Einsteina, a także do równania Eulera -Lagrange'a i pierwsza teoria rachunku wariacyjnego , która leży u podstaw współczesnej geometrii różniczkowej wielu technik geometrii symplektycznej i analizy geometrycznej . Teoria ta została wykorzystana przez Lagrange'a , współtwórcę rachunku wariacyjnego, do wyprowadzenia pierwszego równania różniczkowego opisującego minimalną powierzchnię za pomocą równania Eulera-Lagrange'a. W 1760 roku Euler udowodnił twierdzenie wyrażające krzywiznę krzywej przestrzennej na powierzchni w kategoriach głównych krzywizn, znane jako twierdzenie Eulera .

Później, w XVIII wieku, nowa szkoła francuska kierowana przez Gasparda Monge'a zaczęła wnosić wkład w geometrię różniczkową. Monge wniósł ważny wkład w teorię krzywych płaskich, powierzchni i zbadał powierzchnie obrotowe oraz obwiednie krzywych płaskich i krzywych przestrzennych. Kilku uczniów Monge'a wniosło wkład w tę samą teorię, a na przykład Charles Dupin przedstawił nową interpretację twierdzenia Eulera w kategoriach krzywizn głównych, które są współczesną postacią równania.

Geometria wewnętrzna i geometria nieeuklidesowa (1800–1900)

Dziedzina geometrii różniczkowej stała się obszarem badań rozpatrywanym samodzielnie, odrębnym od szerszej idei geometrii analitycznej, w XIX wieku, głównie dzięki fundamentalnym pracom Carla Friedricha Gaussa i Bernharda Riemanna , a także dzięki ważnemu wkładowi Nikołaja Łobaczewskiego o geometrii hiperbolicznej i geometrii nieeuklidesowej oraz w tym samym okresie rozwój geometrii rzutowej .

Nazwany najważniejszym dziełem w historii geometrii różniczkowej, w 1827 roku Gauss stworzył Disquisitiones generales circa superficies curvas, szczegółowo opisując ogólną teorię zakrzywionych powierzchni. W tej pracy i jego późniejszych artykułach oraz niepublikowanych notatkach na temat teorii powierzchni Gauss został nazwany wynalazcą geometrii nieeuklidesowej i wynalazcą wewnętrznej geometrii różniczkowej. W swoim fundamentalnym artykule Gauss przedstawił mapę Gaussa , krzywiznę Gaussa , pierwszą i drugą podstawową formę , udowodnił Theorema Egregium pokazującą wewnętrzną naturę krzywizny Gaussa i studiował geodezję, obliczając obszar trójkąta geodezyjnego w różnych geometriach nieeuklidesowych na powierzchnie.

W tym czasie Gauss był już zdania, że standardowy paradygmat geometrii euklidesowej powinien zostać odrzucony i był w posiadaniu prywatnych rękopisów na temat geometrii nieeuklidesowej, które były podstawą jego badań nad trójkątami geodezyjnymi. Mniej więcej w tym samym czasie János Bolyai i Lobachevsky niezależnie odkryli geometrię hiperboliczną i tym samym wykazali istnienie spójnych geometrii poza paradygmatem Euklidesa. Konkretne modele geometrii hiperbolicznej zostały wyprodukowane przez Eugenio Beltramiego później w latach sześćdziesiątych XIX wieku, a Felix Klein ukuł termin geometria nieeuklidesowa w 1871 r., A poprzez program Erlangen zrównał geometrie euklidesową i nieeuklidesową. W domyśle sferyczna geometria Ziemi, którą badano od starożytności, była geometrią nieeuklidesową, geometrią eliptyczną .

Rozwój wewnętrznej geometrii różniczkowej w języku Gaussa został pobudzony przez jego ucznia Bernharda Riemanna w jego Habilitationsschrift , O hipotezach leżących u podstaw geometrii . W tej pracy Riemann po raz pierwszy wprowadził pojęcie metryki riemannowskiej i riemannowskiego tensora krzywizny i rozpoczął systematyczne badanie geometrii różniczkowej w wyższych wymiarach. Ten nieodłączny punkt widzenia w kategoriach metryki Riemanna, oznaczony $ds }$ $displaystyle$ rozwinięciem idei Gaussa dotyczącej elementu liniowego powierzchnia. W tym czasie Riemann zaczął wprowadzać do przedmiotu systematyczne stosowanie algebry liniowej i algebry wieloliniowej , robiąc wielki użytek z teorii form kwadratowych w swoich badaniach nad metryką i krzywizną. W tym czasie Riemann nie rozwinął jeszcze nowoczesnego pojęcia rozmaitości, ponieważ nie napotkano nawet pojęcia przestrzeni topologicznej , ale zaproponował, że możliwe byłoby zbadanie lub zmierzenie właściwości metryki czasoprzestrzeni poprzez analiza mas w czasoprzestrzeni, łącząca się z wcześniejszą obserwacją Eulera, że masy pod działaniem żadnych sił przemieszczałyby się wzdłuż geodezji po powierzchniach, oraz przewidywanie fundamentalnej obserwacji Einsteina dotyczącej zasady równoważności pełne 60 lat przed jej pojawieniem się w literaturze naukowej.

W następstwie nowego opisu Riemanna, punkt ciężkości technik stosowanych do badania geometrii różniczkowej przesunął się z ad hoc i zewnętrznych metod badania krzywych i powierzchni na bardziej systematyczne podejście w zakresie rachunku tensorowego i programu Erlangena Kleina, a postęp wzrósł na polu. Pojęcie grup przekształceń zostało opracowane przez Sophusa Lie i Jeana Gastona Darboux , co doprowadziło do ważnych wyników w teorii grup Liego i geometrii symplektycznej . Pojęcie rachunku różniczkowego na zakrzywionych przestrzeniach było badane przez Elwina Christoffela , który w 1868 roku wprowadził symbole Christoffela opisujące pochodną kowariantną , oraz przez innych, w tym Eugenio Beltrami , który badał wiele analitycznych pytań dotyczących rozmaitości. W 1899 roku Luigi Bianchi wydał swoje Wykłady z geometrii różniczkowej , które badały geometrię różniczkową z perspektywy Riemanna, a rok później Tullio Levi-Civita i Gregorio Ricci-Curbastro wydali swój podręcznik, systematycznie rozwijając teorię absolutnego rachunku różniczkowego i rachunku tensorowego . To właśnie w tym języku geometria różniczkowa była używana przez Einsteina przy opracowywaniu ogólnej teorii względności i geometrii pseudoriemannowskiej .

Nowoczesna geometria różniczkowa (1900–2000)

Temat nowoczesnej geometrii różniczkowej pojawił się na początku XX wieku w odpowiedzi na fundamentalny wkład wielu matematyków, w tym, co ważne, pracę Henri Poincarégo na temat podstaw topologii . Na początku XX wieku w matematyce nastąpił duży ruch mający na celu sformalizowanie podstawowych aspektów przedmiotu, aby uniknąć kryzysów rygoru i dokładności, znany jako program Hilberta . W ramach tego szerszego ruchu pojęcie przestrzeni topologicznej zostało wydestylowane przez Felixa Hausdorffa w 1914 r., A do 1942 r. Istniało wiele różnych pojęć rozmaitości o charakterze kombinatorycznym i różniczkowo-geometrycznym.

Zainteresowanie tematem skupiło się również na pojawieniu się ogólnej teorii względności Einsteina i znaczeniu równań pola Einsteina. Teoria Einsteina spopularyzowała rachunek tensorowy Ricciego i Levi - $.$ i wprowadziła notację dla metryki Riemanna i $dla$ symboli Christoffela, oba pochodzące z G grawitacji Élie Cartan pomógł przeformułować podstawy geometrii różniczkowej rozmaitości gładkich w zakresie rachunku różniczkowego i teorii ruchomych układów , prowadząc w świecie fizyki do teorii Einsteina-Cartana .

Po tym wczesnym rozwoju wielu matematyków przyczyniło się do rozwoju współczesnej teorii, w tym Jean-Louis Koszul , który wprowadził połączenia na wiązkach wektorowych , Shiing-Shen Chern , który wprowadził do przedmiotu charakterystyczne klasy i rozpoczął badanie rozmaitości zespolonych , Sir William Vallance Douglas Hodge i Georges de Rham , którzy poszerzyli rozumienie form różniczkowych , Charles Ehresmann , który przedstawił teorię wiązek włókien i połączeń Ehresmanna , i inni. Szczególne znaczenie miał Hermann Weyl , który wniósł ważny wkład w podstawy ogólnej teorii względności, wprowadził tensor Weyla zapewniający wgląd w geometrię konforemną i jako pierwszy zdefiniował pojęcie cechowania, prowadząc do rozwoju teorii cechowania w fizyce i matematyce .

W połowie i pod koniec XX wieku geometria różniczkowa jako przedmiot rozszerzył zakres i rozwinął powiązania z innymi dziedzinami matematyki i fizyki. Rozwój teorii cechowania i teorii Yanga-Millsa w fizyce skupił się na wiązkach i połączeniach, co doprowadziło do rozwoju teorii cechowania . Zbadano wiele wyników analitycznych, w tym dowód twierdzenia o indeksie Atiyaha – Singera . Rozwój złożonej geometrii został pobudzony przez równoległe wyniki w geometrii algebraicznej , a wyniki w geometrii i globalnej analizie złożonych rozmaitości zostały udowodnione przez Shing-Tung Yau i innych. W drugiej połowie XX wieku opracowano nowe techniki analityczne dotyczące przepływów krzywiznowych, takie jak przepływ Ricciego , których kulminacją był dowód hipotezy Poincarégo dokonany przez Grigorija Perelmana . W tym samym okresie, głównie pod wpływem Michaela Atiyaha , powstały nowe powiązania między fizyką teoretyczną a geometrią różniczkową. Techniki z badania równań Yanga-Millsa i teorii cechowania zostały wykorzystane przez matematyków do opracowania nowych niezmienników rozmaitości gładkich. Fizycy tacy jak Edward Witten , jedyny fizyk, któremu przyznano medal Fieldsa , wywarli nowy wpływ na matematykę, wykorzystując topologiczną kwantową teorię pola i teorię strun do przewidywania i dostarczania ram dla nowej rygorystycznej matematyki, co zaowocowało na przykład zwierciadłem domysłów symetria i niezmienniki Seiberga-Wittena .

Gałęzie

geometria riemannowska

Geometria riemannowska bada rozmaitości riemannowskie , rozmaitości gładkie z metryką riemannowską . Jest to pojęcie odległości wyrażone za pomocą gładkiej dodatnio określonej symetrycznej postaci dwuliniowej określonej na przestrzeni stycznej w każdym punkcie. Geometria Riemanna uogólnia geometrię euklidesową na przestrzenie, które niekoniecznie są płaskie, chociaż nadal przypominają przestrzeń euklidesową w każdym punkcie nieskończenie małym, tj. w pierwszym rzędzie przybliżenia . Różne koncepcje oparte na długości, takie jak długość łuku krzywych , powierzchnia obszarów płaskich i objętość brył, mają naturalne odpowiedniki w geometrii Riemanna. Pojęcie pochodnej kierunkowej funkcji z rachunku wielu zmiennych zostało rozszerzone na pojęcie pochodnej kowariantnej tensora . Wiele koncepcji analizy i równań różniczkowych zostało uogólnionych na ustawienie rozmaitości Riemanna.

Dyfeomorfizm zachowujący odległość między rozmaitościami Riemanna nazywamy izometrią . Pojęcie to można również zdefiniować lokalnie , tj. dla małych sąsiedztw punktów. Dowolne dwie krzywe regularne są lokalnie izometryczne. Jednak Theorema Egregium Carla Friedricha Gaussa wykazało, że w przypadku powierzchni istnienie lokalnej izometrii wymaga, aby krzywe Gaussa w odpowiednich punktach były takie same. W wyższych wymiarach tensor krzywizny Riemanna jest ważnym niezmiennikiem punktowym związanym z rozmaitością riemannowską, która mierzy, jak blisko jest płaskości. Ważną klasą rozmaitości riemannowskich są riemannowskie przestrzenie symetryczne , których krzywizna niekoniecznie jest stała. Są to najbliższe analogie do „zwykłej” płaszczyzny i przestrzeni rozważanej w geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej .

Geometria pseudo-riemanna

Geometria pseudo-riemanna uogólnia geometrię riemannowską na przypadek, w którym tensor metryczny nie musi być dodatnio określony . Szczególnym przypadkiem tego jest rozmaitość Lorentza , która jest matematyczną podstawą ogólnej teorii względności grawitacji Einsteina .

Geometria Finslera

Geometria Finslera ma rozmaitości Finslera jako główny przedmiot badań. Jest to rozmaitość różniczkowa z metryką Finslera , czyli normą Banacha zdefiniowaną na każdej przestrzeni stycznej. Rozmaitości riemannowskie są szczególnymi przypadkami bardziej ogólnych rozmaitości Finslera. Struktura Finslera na rozmaitości $M$ jest funkcją $F : TM M \to [0, \infty)$ taką, że:

$fa (x, my) = m fa (x, y)$ dla wszystkich $(x, y)$ w $TM \geq$ i wszystkich $m \geq 0$ ,
$F$ jest nieskończenie różniczkowalna w $T M ∖ {0}$ ,
Pionowy hesjan $F 2$ jest dodatnio określony.

Geometria symplektyczna

Geometria symplektyczna to nauka o rozmaitościach symplektycznych . Rozmaitość prawie symplektyczna to rozmaitość różniczkowalna wyposażona w płynnie zmieniającą się niezdegenerowaną postać dwuliniową skośno-symetryczną w każdej przestrzeni stycznej, tj. niezdegenerowaną postać 2- ω , zwaną formą symplektyczną . Rozmaitość symplektyczna to rozmaitość prawie symplektyczna, dla której postać symplektyczna ω jest domknięta: d ω = 0 .

Dyfeomorfizm między dwiema rozmaitościami symplektycznymi, który zachowuje formę symplektyczną, nazywa się symplektomorfizmem . Niezdegenerowane skośno-symetryczne formy dwuliniowe mogą istnieć tylko w parzystowymiarowych przestrzeniach wektorowych, więc rozmaitości symplektyczne z konieczności mają parzysty wymiar. W wymiarze 2 rozmaitość symplektyczna jest po prostu powierzchnią obdarzoną formą obszaru, a symplektomorfizm jest dyfeomorfizmem zachowującym obszar. Przestrzeń fazowa układu mechanicznego jest rozmaitością symplektyczną i pojawiła się ona implicite już w pracach Josepha Louisa Lagrange'a na temat mechaniki analitycznej , a później w sformułowaniach mechaniki klasycznej Carla Gustava Jacobiego i Williama Rowana Hamiltona .

W przeciwieństwie do geometrii Riemanna, gdzie krzywizna zapewnia lokalny niezmiennik rozmaitości Riemanna, twierdzenie Darboux stwierdza, że wszystkie rozmaitości symplektyczne są lokalnie izomorficzne. Jedyne niezmienniki rozmaitości symplektycznej mają charakter globalny, a aspekty topologiczne odgrywają znaczącą rolę w geometrii symplektycznej. Pierwszym wynikiem w topologii symplektycznej jest prawdopodobnie twierdzenie Poincaré-Birkhoffa , przypuszczane przez Henri Poincaré , a następnie udowodnione przez GD Birkhoffa w 1912 r. Twierdzi ono, że jeśli obszar zachowujący mapę pierścienia skręca każdy składnik brzegowy w przeciwnych kierunkach, to mapa ma co najmniej dwa stałe punkty.

Geometria kontaktu

Geometria kontaktu dotyczy pewnych rozmaitości o nieparzystym wymiarze. Jest bliska geometrii symplektycznej i podobnie jak ta druga wywodzi się z zagadnień mechaniki klasycznej. Struktura kontaktowa na (2 n + 1) -wymiarowej rozmaitości M jest dana przez gładkie hiperpłaszczyznowe pole H w wiązce stycznej , które jest jak najbardziej dalekie od powiązania ze zbiorami poziomów funkcji różniczkowalnej na M (termin techniczny jest „całkowicie niecałkowalnym stycznym rozkładem hiperpłaszczyzny”). W pobliżu każdego punktu p rozkład hiperpłaszczyzny jest określony przez nigdzie znikającą $\ displaystyle \ alpha}$ -formę , która jest unikalna aż do pomnożenia przez nigdzie znikającą funkcję: α {

{\ Displaystyle H_ {p} = \ ker \ alfa _ {p} \ podzbiór T_ {p} M.}

Lokalna forma 1 na M jest formą stykową , jeśli ograniczenie jej zewnętrznej pochodnej do H jest niezdegenerowaną dwuformą, a zatem indukuje symplektyczną strukturę na H _p w każdym punkcie. Jeśli rozkład H można zdefiniować za pomocą globalnej postaci jednowymiarowej, to ta forma jest kontaktowa wtedy i tylko wtedy, gdy forma górnowymiarowa ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ Displaystyle \ alfa \ klin (d \ alfa) ^ {n}}

jest formą objętościową na M , czyli nigdzie nie znika. Analog kontaktowy twierdzenia Darboux utrzymuje się: wszystkie struktury kontaktowe na rozmaitości nieparzystej są lokalnie izomorficzne i można je doprowadzić do określonej lokalnej postaci normalnej przez odpowiedni wybór układu współrzędnych.

Geometria złożona i Kählera

Złożona geometria różniczkowa to badanie złożonych rozmaitości . Prawie złożona rozmaitość to rozmaitość rzeczywista , wyposażona w tensor typu (1, 1), tj. $M {\ displaystyle M}$ wiązki wektorów (zwany strukturą prawie złożoną )

{\ Displaystyle J: TM \ rightarrow TM}

tak, że

{\ Displaystyle J ^ {2} = -1. \,}

Z tej definicji wynika, że prawie złożona rozmaitość jest parzystowymiarowa.

Prawie złożona rozmaitość nazywana jest $N_$ jot = { \ $N_{J}=0$ $}$ , called the Nijenhuis tensor (or sometimes the torsion). An almost complex manifold is complex if and only if it admits a holomorphic coordinate atlas. An almost Hermitian structure is given by an almost complex structure J, along with a Riemannian metric g, satisfying the compatibility condition

{\ Displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y). \,}

Struktura prawie hermitowska w naturalny sposób definiuje różniczkową dwuformę

{\ Displaystyle \ omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y). \,}

Następujące dwa warunki są równoważne:

${\ Displaystyle N_ {J} = 0 {\ mbox {i}} d \ omega = 0 \,}$
${\ Displaystyle \ nabla J = 0 \,}$

gdzie jest połączeniem ${$ -Civita $\ displaystyle g}$ . W tym przypadku $nazywana$ jest strukturą Kählera , a Kählera rozmaitość wyposażona w W szczególności rozmaitość Kählera jest zarówno rozmaitością złożoną, jak i symplektyczną . Duża klasa rozmaitości Kählera (klasa rozmaitości Hodge'a ) jest dana przez wszystkie gładkie zespolone rozmaitości rzutowe .

Geometria CR

Geometria CR to badanie wewnętrznej geometrii granic domen w złożonych rozmaitościach .

Geometria konforemna

Geometria konformalna to badanie zbioru przekształceń zachowujących kąt (konformalnych) w przestrzeni.

Topologia różniczkowa

Topologia różniczkowa to badanie globalnych niezmienników geometrycznych bez formy metrycznej lub symplektycznej.

Topologia różniczkowa rozpoczyna się od operacji naturalnych, takich jak pochodna Liego wiązek wektorów naturalnych i różniczka de Rham form . Oprócz algebroidów Liego coraz większą rolę zaczynają odgrywać algebroidy Couranta .

Grupy kłamstw

Grupa Liego to grupa należąca do kategorii rozmaitości gładkich. Oprócz właściwości algebraicznych ma to również różniczkowe własności geometryczne. Najbardziej oczywistą konstrukcją jest algebra Liego, która jest przestrzenią styczną w jednostce wyposażonej w nawias Liego między niezmiennymi w lewo polami wektorowymi . Obok teorii struktur istnieje również szeroka dziedzina teorii reprezentacji .

Analiza geometryczna

Analiza geometryczna to dyscyplina matematyczna, w której narzędzia z równań różniczkowych, zwłaszcza eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, są wykorzystywane do ustalania nowych wyników w geometrii różniczkowej i topologii różniczkowej.

Teoria miernika

Teoria cechowania jest badaniem połączeń na wiązkach wektorowych i wiązkach głównych i wywodzi się z problemów fizyki matematycznej i teorii cechowania fizycznego , które leżą u podstaw standardowego modelu fizyki cząstek elementarnych . Teoria cechowania zajmuje się badaniem równań różniczkowych dla połączeń na wiązkach i wynikającymi z nich przestrzeniami modułów geometrycznych rozwiązań tych równań, a także niezmiennikami, które można z nich wyprowadzić. Równania te często pojawiają się jako równania Eulera-Lagrange'a opisujące równania ruchu pewnych układów fizycznych w kwantowej teorii pola , dlatego ich badanie cieszy się dużym zainteresowaniem w fizyce.

Pakiety i połączenia

Aparat wiązek wektorowych , wiązek głównych i połączeń na wiązkach odgrywa niezwykle ważną rolę we współczesnej geometrii różniczkowej. Gładka rozmaitość zawsze zawiera naturalną wiązkę wektorów, wiązkę styczną . Mówiąc luźno, sama ta struktura jest wystarczająca tylko do opracowania analizy rozmaitości, podczas gdy wykonywanie geometrii wymaga dodatkowo pewnego sposobu powiązania przestrzeni stycznych w różnych punktach, tj. pojęcia transportu równoległego . Ważnym przykładem są połączenia afiniczne . W przypadku powierzchni w R3 płaszczyzny styczne w różnych punktach można zidentyfikować za pomocą naturalnej równoległości po ścieżce, wywołanej przez otaczającą przestrzeń euklidesową, która ma dobrze znaną standardową definicję metryki i równoległości ^. W geometrii Riemanna połączenie Levi -Civita służy podobnemu celowi. Mówiąc bardziej ogólnie, geometry różniczkowe rozważają przestrzenie z wiązką wektorów i dowolnym połączeniem afinicznym, które nie jest zdefiniowane za pomocą metryki. W fizyce rozmaitość może być czasoprzestrzenią , a wiązki i połączenia są powiązane z różnymi polami fizycznymi.

Wewnętrzne kontra zewnętrzne

Od początku i do połowy XIX wieku geometrię różniczkową badano z zewnętrznego punktu widzenia: krzywe i powierzchnie uważano za leżące w przestrzeni euklidesowej o wyższym wymiarze (na przykład powierzchnia w otaczającej przestrzeni o trzech wymiarach) . Najprostsze wyniki to wyniki w geometrii różniczkowej krzywych i geometrii różniczkowej powierzchni. Począwszy od prac Riemanna , rozwinął się wewnętrzny punkt widzenia, w którym nie można mówić o wychodzeniu „na zewnątrz” obiektu geometrycznego, ponieważ uważa się go za dany w sposób niezależny. Podstawowym wynikiem jest tutaj twierdzenie Gaussa egregium , zgodnie z którym krzywizna Gaussa jest wewnętrznym niezmiennikiem.

Wewnętrzny punkt widzenia jest bardziej elastyczny. Na przykład jest to przydatne w teorii względności, gdzie czasoprzestrzeń nie może być naturalnie traktowana jako zewnętrzna. Złożoność techniczna ma jednak swoją cenę: wewnętrzne definicje krzywizny i połączeń stają się znacznie mniej intuicyjne wizualnie.

Te dwa punkty widzenia można pogodzić, tzn. geometrię zewnętrzną można uznać za strukturę dodatkową w stosunku do wewnętrznej. (Zobacz twierdzenie Nasha o osadzeniu .) W formalizmie rachunku geometrycznego zarówno zewnętrzną, jak i wewnętrzną geometrię rozmaitości można scharakteryzować za pomocą pojedynczej jedynki o wartości dwuwektorowej, zwanej operatorem kształtu .

Aplikacje

Poniżej znajduje się kilka przykładów zastosowania geometrii różniczkowej w innych dziedzinach nauki i matematyki.

W fizyce geometria różniczkowa ma wiele zastosowań, w tym:
- Geometria różniczkowa to język, w którym wyrażona jest ogólna teoria względności Alberta Einsteina . Zgodnie z tą teorią wszechświat jest gładką rozmaitością wyposażoną w metrykę pseudoriemannowską, która opisuje krzywiznę czasoprzestrzeni . Zrozumienie tej krzywizny jest niezbędne do pozycjonowania satelitów na orbicie wokół Ziemi. Geometria różniczkowa jest również niezbędna w badaniu soczewkowania grawitacyjnego i czarnych dziur .
- Formy różniczkowe są wykorzystywane w badaniu elektromagnetyzmu .
- Geometria różniczkowa ma zastosowanie zarówno w mechanice Lagrange'a , jak i w mechanice Hamiltona . W szczególności rozmaitości symplektyczne można wykorzystać do badania układów hamiltonowskich .
- Geometria Riemanna i geometria kontaktowa zostały wykorzystane do skonstruowania formalizmu geometrotermodynamiki, który znalazł zastosowanie w klasycznej termodynamice równowagowej .
W chemii i biofizyce przy modelowaniu struktury błony komórkowej pod zmiennym ciśnieniem.
W ekonomii geometria różniczkowa ma zastosowanie w dziedzinie ekonometrii .
Modelowanie geometryczne (w tym grafika komputerowa ) i projektowanie geometryczne wspomagane komputerowo czerpią z pomysłów z geometrii różniczkowej.
W inżynierii geometrię różniczkową można zastosować do rozwiązywania problemów związanych z cyfrowym przetwarzaniem sygnałów .
W teorii sterowania geometrię różniczkową można wykorzystać do analizy regulatorów nieliniowych, w szczególności sterowania geometrycznego
W prawdopodobieństwie , statystyce i teorii informacji różne struktury można interpretować jako rozmaitości Riemanna, co daje pole geometrii informacyjnej , w szczególności za pomocą metryki informacyjnej Fishera .
W geologii strukturalnej geometria różniczkowa służy do analizy i opisu struktur geologicznych.
W wizji komputerowej geometria różniczkowa służy do analizy kształtów.
W przetwarzaniu obrazu geometria różniczkowa służy do przetwarzania i analizowania danych na niepłaskich powierzchniach.
Dowód hipotezy Poincarégo przeprowadzony przez Grigorija Perelmana przy użyciu technik przepływów Ricciego pokazał siłę różniczkowo-geometrycznego podejścia do zagadnień topologicznych i podkreślił ważną rolę, jaką odgrywają jego metody analityczne.
W komunikacji bezprzewodowej kolektory Grassmanna są wykorzystywane do technik formowania wiązki w systemach z wieloma antenami .

Zobacz też

Dalsza lektura

Ethan D. Bloch (27 czerwca 2011). Pierwszy kurs topologii geometrycznej i geometrii różniczkowej . Boston: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8122-7 . OCLC 811474509 .
Burke, William L. (1997). Stosowana geometria różniczkowa . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-26929-6 . OCLC 53249854 .
do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Różniczkowa geometria krzywych i powierzchni . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-212589-5 . OCLC 1529515 .
Frankel, Teodor (2004). Geometria fizyki: wprowadzenie (wyd. 2). Nowy Jork: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2 . OCLC 51855212 .
Elsa Abbena; Szymon Salamon; Alfreda Graya (2017). Nowoczesna geometria różniczkowa krzywych i powierzchni z Mathematica (wyd. 3). Boca Raton: Chapman i Hall/CRC. ISBN 978-1-351-99220-6 . OCLC 1048919510 .
Kreyszig, Erwin (1991). Geometria różniczkowa . Nowy Jork: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66721-8 . OCLC 23384584 .
Kühnel, Wolfgang (2002). Geometria różniczkowa: krzywe - powierzchnie - rozmaitości (wyd. 2). Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0-8218-3988-1 . OCLC 61500086 .
McCleary, John (1994). Geometria z różniczkowalnego punktu widzenia . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-13311-4 . OCLC 915912917 .
Spivak, Michael (1999). Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (5 tomów) (wyd. 3). Opublikuj lub zgiń. ISBN 0-914098-72-1 . OCLC 179192286 .
ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Wizja front-end i wieloskalowa analiza obrazu: wieloskalowa teoria widzenia komputerowego i zastosowania, napisana w języku Mathematica . Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-1-4020-1507-6 . OCLC 52806205 .

Linki zewnętrzne

Matematyka
Oś czasu historii Zarys Listy Słowniczek
Podwaliny	Teoria kategorii Teoria informacji Logika matematyczna Filozofia matematyki Teoria mnogości Teoria typów
Algebra	Abstrakcyjny przemienny Podstawowy Teoria grup Liniowy Wieloliniowy uniwersalny Homologiczny
Analiza	Rachunek różniczkowy Prawdziwa analiza Złożona analiza Analiza hiperzłożona Równania różniczkowe Analiza funkcjonalna Analiza harmoniczna Teoria miary
Oddzielny	Kombinatoryka Teoria grafów Teoria porządku
Geometria	Algebraiczny Analityczny Arytmetyka Mechanizm różnicowy Oddzielny euklidesowy Skończone
Teoria liczb	Arytmetyka Algebraiczna teoria liczb Analityczna teoria liczb Geometria diofantyczna
Topologia	Ogólny Algebraiczny Mechanizm różnicowy Geometryczny Teoria homotopii
Stosowany	Matematyka inżynierska Biologia matematyczna Chemia matematyczna Ekonomia matematyczna Finanse matematyczne Fizyka matematyczna Psychologia matematyczna Socjologia matematyczna Statystyka matematyczna Prawdopodobieństwo Statystyka Nauka o systemach Teoria sterowania Teoria gry Badania operacyjne
Obliczeniowy	Informatyka Teoria obliczeń Teoria złożoności obliczeniowej Analiza numeryczna Optymalizacja Algebra komputerowa
powiązane tematy	Matematyka nieformalna Matematyka rekreacyjna Matematyka i sztuka Edukacja matematyczna
Portal matematyczny Kategoria Lud WikiProjekt