Topologiczna kwantowa teoria pola

W teorii cechowania i fizyce matematycznej topologiczna kwantowa teoria pola (lub topologiczna teoria pola lub TQFT ) jest kwantową teorią pola , która oblicza niezmienniki topologiczne .

Chociaż TQFT zostały wymyślone przez fizyków, mają również znaczenie matematyczne, ponieważ są związane między innymi z teorią węzłów i teorią czterech rozmaitości w topologii algebraicznej oraz z teorią przestrzeni modułowych w geometrii algebraicznej . Donaldson , Jones , Witten i Kontsevich zdobyli medale Fieldsa za pracę matematyczną związaną z topologiczną teorią pola.

W fizyce materii skondensowanej topologiczne kwantowe teorie pola to niskoenergetyczne efektywne teorie stanów uporządkowanych topologicznie , takich jak ułamkowe kwantowe stany Halla, stany skondensowane w sieci strun i inne silnie skorelowane kwantowe stany ciekłe .

Przegląd

W topologicznej teorii pola funkcje korelacji nie zależą od metryki czasoprzestrzeni . Oznacza to, że teoria nie jest wrażliwa na zmiany kształtu czasoprzestrzeni; jeśli czasoprzestrzeń zakrzywia się lub kurczy, funkcje korelacji nie zmieniają się. W konsekwencji są one niezmiennikami topologicznymi.

Topologiczne teorie pola nie są zbyt interesujące na płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego stosowanej w fizyce cząstek elementarnych. Przestrzeń Minkowskiego można skrócić do punktu , więc TQFT zastosowane do przestrzeni Minkowskiego daje trywialne niezmienniki topologiczne. W konsekwencji TQFT są zwykle stosowane do zakrzywionych czasoprzestrzeni, takich jak na przykład powierzchnie Riemanna . Większość znanych topologicznych teorii pola jest zdefiniowana w czasoprzestrzeniach o wymiarze mniejszym niż pięć. Wydaje się, że istnieje kilka teorii wyższych wymiarów, ale nie są one zbyt dobrze poznane ^{[ potrzebne źródło ]} .

Uważa się, że grawitacja kwantowa jest niezależna od tła (w pewnym odpowiednim sensie), a TQFT dostarczają przykładów niezależnych od tła kwantowych teorii pola. To skłoniło do ciągłych badań teoretycznych tej klasy modeli.

(Zastrzeżenie: często mówi się, że TQFT mają tylko skończenie wiele stopni swobody. Nie jest to podstawowa właściwość. Zdarza się, że jest to prawda w większości przykładów, które badają fizycy i matematycy, ale nie jest to konieczne. Topologiczny model sigma celuje w nieskończenie wymiarową przestrzeń rzutową, a gdyby coś takiego można było zdefiniować, miałoby to przeliczalnie nieskończenie wiele stopni swobody).

Konkretne modele

Znane topologiczne teorie pola dzielą się na dwie ogólne klasy: TQFT typu Schwarza i TQFT typu Wittena. Witten TQFT są czasami nazywane kohomologicznymi teoriami pola. Patrz ( Schwarz 2000 ).

TQFT typu Schwarza

W TQFT typu Schwarza funkcje korelacji lub funkcje podziału systemu są obliczane na podstawie całki po ścieżce funkcjonałów akcji niezależnych od metryki. Na przykład w modelu BF czasoprzestrzeń jest dwuwymiarową rozmaitością M, obserwabli są zbudowane z dwupostaciowego F, pomocniczego skalara B i ich pochodnych. Akcja (która określa całkę po trajektorii) to

{\ Displaystyle S = \ int \ ograniczenia _ {M} BF}

Metryka czasoprzestrzeni nie pojawia się nigdzie w teorii, więc teoria jest wyraźnie topologicznie niezmienna. Pierwszy przykład pojawił się w 1977 roku i pochodzi od A. Schwarza ; jego funkcjonał działania to:

{\ Displaystyle S = \ int \ ograniczenia _ {M} A \ klin dA.}

Innym bardziej znanym przykładem jest teoria Cherna-Simonsa , którą można zastosować do niezmienników węzłów . Ogólnie rzecz biorąc, funkcje podziału zależą od metryki, ale powyższe przykłady są niezależne od metryki.

TQFT typu Wittena

Pierwszy przykład TQFT typu Wittena pojawił się w artykule Wittena w 1988 roku ( Witten 1988a ), tj. topologiczna teoria Yanga-Millsa w czterech wymiarach. Chociaż jego funkcjonał działania zawiera metrykę czasoprzestrzenną g _αβ , po przekręceniu topologicznym okazuje się, że jest niezależny metrycznie. Niezależność tensora energii naprężenia T ^αβ układu od metryki zależy od tego, czy operator BRST jest domknięty. Idąc za przykładem Wittena, w teorii strun można znaleźć wiele innych przykładów .

TQFT typu Wittena powstają, jeśli spełnione są następujące warunki:

Działanie $symetrię$ $.$ jeśli oznacza transformację symetrii (np. $)$ Liego , to zachodzi
Transformacja symetrii jest dokładna , tj. ${\ Displaystyle \ delta ^ {2} = 0}$
Istnieją obserwowalne ${$ = $=$ \ $i\in \{1,\dots ,n\}$ for all .
Tensor energii naprężenia (lub podobne wielkości fizyczne) ma postać ${\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta} = \ delta G ^ {\ alfa \ beta}}$ dla dowolnego tensor ${\ Displaystyle G ^ {\ alfa \ beta}}$ .

Jako przykład ( $\ delta ^ {2} = 0}$ 2015 ): Biorąc pod uwagę pole 2-postaciowe $operatorem$ różniczkowym , który spełnia $Displaystyle$ , to działanie ${\ Displaystyle S = \ int \ ograniczenia _ {M} B \ klin \ delta B}$ ma symetrię, jeśli ${\ Displaystyle \ delta B \ klin \ delta B=0}$ od

{\ Displaystyle \ delta S = \ int \ ograniczenia _ {M} \ delta (B \ klin \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0}

.

Co więcej, zachodzi (pod warunkiem, że jest niezależny od $}$ działa podobnie do pochodnej funkcjonalnej ): ${\ displaystyle \ delta$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ delta}} {\ delta B ^ {\ alfa \ beta}}} S = \ int \ ograniczenia _ {M} {\ frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta}}}B\klin \delta B+\int \limits _{M}B\klin \delta {\frac {\delta}}{\delta B^{ \alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\klin \delta B-\int \limits _{ M}\delta B\klin {\frac {\delta}}{\delta B^{\alpha \beta}}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\klin {\frac {\delta }{\delta B^{\alfa \beta}}}B}

.

δ ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta}} {\ delta B ^ {\ alfa \ beta}}} S} jest$ proporcjonalne do innej formy 2-formalnej ${\ Displaystyle {\ Frac {\ delta}}}$ ${\ displaystyle G}$ .

$rangle: = \ int d \ mu O_ {i} e ^ {iS} }$ re dla odpowiedniej miary Haara $niezależne$ od pola „geometrycznego” i dlatego są topologiczne: ${\ displaystyle B}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ delta} {\ delta B}} \ lewo \ langle O_ {i} \ prawo \ rangle = \ int d \ mu O_ {i} i {\ Frac {\ delta} {\ delta B }}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0 }

.

$wykorzystuje$ fakt, że miary Haara Ponieważ $_$ _

Sformułowania matematyczne

Oryginalne aksjomaty Atiyaha-Segala

Atiyah zasugerował zestaw aksjomatów dla topologicznej kwantowej teorii pola, zainspirowany aksjomatami zaproponowanymi przez Segala dla konforemnej teorii pola (później pomysł Segala został podsumowany w Segal (2001) ) oraz geometrycznym znaczeniem supersymetrii Wittena w Witten (1982) . Aksjomaty Atiyaha są konstruowane przez sklejenie granicy z transformacją różniczkowalną (topologiczną lub ciągłą), podczas gdy aksjomaty Segala dotyczą przekształceń konforemnych. Te aksjomaty były stosunkowo przydatne w matematycznym traktowaniu QFT typu Schwarza, chociaż nie jest jasne, czy oddają całą strukturę QFT typu Wittena. , że TQFT jest funktorem z pewnej kategorii współrzędnych do kategorii przestrzeni wektorowych .

W rzeczywistości istnieją dwa różne zestawy aksjomatów, które można rozsądnie nazwać aksjomatami Atiyah. Te aksjomaty różnią się zasadniczo tym, czy mają zastosowanie do TQFT zdefiniowanego na pojedynczej ustalonej n -wymiarowej czasoprzestrzeni Riemanna/Lorentza M lub TQFT zdefiniowanej na wszystkich n -wymiarowych czasoprzestrzeniach jednocześnie.

Niech Λ będzie pierścieniem przemiennym z 1 (dla prawie wszystkich rzeczywistych celów będziemy mieć Λ = Z , R lub C ). Atiyah pierwotnie zaproponował aksjomaty topologicznej kwantowej teorii pola (TQFT) w wymiarze d zdefiniowanym na pierścieniu uziemienia Λ w następujący sposób:

Skończenie wygenerowany moduł Λ Z ( Σ ) powiązany z każdą zorientowaną zamkniętą gładką rozmaitością d-wymiarową Σ (odpowiadający aksjomatowi homotopii ),
Element Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) związany z każdą zorientowaną gładką ( d + 1)-wymiarową rozmaitością (z granicą) M (odpowiadającą addytywnemu aksjomatowi).

Dane te podlegają następującym aksjomatom (4 i 5 dodał Atiyah):

Z jest funkcjonalne w odniesieniu do dyfeomorfizmów zachowujących orientację Σ i M ,
Z jest inwolucyjne , tj. Z (Σ*) = Z (Σ)* gdzie Σ* to Σ o przeciwnej orientacji, a Z (Σ)* oznacza moduł dualny,
Z jest multiplikatywne .
Z ( ${\ displaystyle \ emptyset}$ ) = Λ dla d-wymiarowej pustej rozmaitości i Z ( ${\ displaystyle \ emptyset}$ ) = 1 dla ( d + 1) -wymiarowej pustej rozmaitości.
Z ( M* ) = Z ( M ) ( aksjomat hermitowski ). Jeśli $Z$ ( M ) transformację między przestrzeni wektorowych, to jest to równoważne temu, że Z ( M * ) jest sprzężeniem Z ( M ).

Uwaga. Jeśli dla zamkniętej rozmaitości M postrzegamy Z ( M ) jako niezmiennik liczbowy, to dla rozmaitości z granicą powinniśmy myśleć o Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) jako niezmienniku „względnym”. Niech f : Σ → Σ będzie dyfeomorfizmem zachowującym orientację i zidentyfikuj przeciwne końce Σ × I przez f . Daje to rozmaitość Σ _f i implikują to nasze aksjomaty

{\ Displaystyle Z (\ Sigma _ {f}) = \ operatorname {Ślad} \ \ Sigma (f)}

gdzie Σ( f ) jest indukowanym automorfizmem Z (Σ).

Uwaga. Dla rozmaitości M $która$ zawsze możemy utworzyć podwójną rozmaitość, zamkniętą. Pokazuje to piąty aksjomat

{\ Displaystyle Z \ lewo (M \ kubek _ {\ Sigma} M ^ {*} \ prawej) = | Z (M) | ^ {2}}

gdzie po prawej obliczamy normę w metryce hermitowskiej (być może nieokreślonej).

Stosunek do fizyki

Fizycznie (2) + (4) są związane z niezmienniczością relatywistyczną, podczas gdy (3) + (5) wskazują na kwantową naturę teorii.

Σ ma wskazywać przestrzeń fizyczną (zwykle d = 3 dla fizyki standardowej), a dodatkowy wymiar w Σ × I to czas „wyimaginowany”. Przestrzeń Z (Σ) jest przestrzenią Hilberta teorii kwantów, a teoria fizyczna, z hamiltonianem H , będzie miała operator ewolucji czasu e ^itH lub operator „czasu urojonego” e ^−tH . Główną cechą topologicznych QFT jest to, że H ₀ = 0, co oznacza, że nie ma rzeczywistej dynamiki ani propagacji wzdłuż cylindra Σ × I . Jednak może istnieć nietrywialna „propagacja” (lub amplitudy tunelowania) od Σ do Σ ₁ przez pośrednią rozmaitość M z ${\ Displaystyle \ częściowe M = \ Sigma _ {0} ^ { *}\cup \Sigma _{1}}$ ; odzwierciedla to topologię M .

Jeśli ∂ M = Σ, to wyróżniony wektor Z ( M ) w przestrzeni Hilberta Z (Σ) jest uważany za stan próżni zdefiniowany przez M . Dla zamkniętego kolektora M liczba Z ( M ) jest wartością oczekiwaną podciśnienia . W analogii do mechaniki statystycznej nazywana jest również funkcją podziału .

Powód, dla którego można rozsądnie sformułować teorię z zerowym hamiltonianem, tkwi w podejściu Feynmana do QFT z całką po ścieżce. Obejmuje to relatywistyczną niezmienniczość (która ma zastosowanie do ogólnych ( d + 1)-wymiarowych „czasoprzestrzeni”), a teoria jest formalnie zdefiniowana przez odpowiedni Lagrange'a - funkcjonał klasycznych dziedzin teorii. Lagrange'a, który obejmuje tylko pierwsze pochodne w czasie, formalnie prowadzi do zerowego hamiltonianu, ale sam lagrange'a może mieć nietrywialne cechy, które odnoszą się do topologii M .

Przykłady Atiyaha

W 1988 roku M. Atiyah opublikował artykuł, w którym opisał wiele nowych przykładów topologicznej kwantowej teorii pola, które były wówczas rozważane ( Atiyah 1988a )( Atiyah 1988b ). Zawiera kilka nowych niezmienników topologicznych wraz z kilkoma nowymi pomysłami: niezmiennik Cassona , niezmiennik Donaldsona , teoria Gromowa , homologia Floera i teoria Jonesa-Wittena .

d = 0

W tym przypadku Σ składa się ze skończenie wielu punktów. Pojedynczemu punktowi przypisujemy przestrzeń wektorową V = Z (punkt), a n - punktom n -krotny iloczyn tensorowy: V ^{⊗ n} = V ⊗ … ⊗ V . Grupa symetryczna S _n działa na V ^{⊗ n} . Standardowym sposobem uzyskania kwantowej przestrzeni Hilberta jest rozpoczęcie od klasycznej rozmaitości symplektycznej (lub przestrzeni fazowej ), a następnie kwantyzować. Rozciągnijmy S _n do zwartej grupy Liego G i rozważmy „całkowalne” orbity, dla których struktura symplektyczna pochodzi z wiązki linii , wtedy kwantyzacja prowadzi do nieredukowalnych reprezentacji V z G . To jest fizyczna interpretacja twierdzenia Borela – Weila lub twierdzenia Borela – Weila – Botta . Lagrange'em tych teorii jest działanie klasyczne ( holonomia wiązki liniowej). Zatem topologiczne QFT z d = 0 odnoszą się naturalnie do klasycznej teorii reprezentacji grup Liego i grupy symetrii .

re = 1

Powinniśmy rozważyć okresowe warunki brzegowe określone przez pętle zamknięte w zwartej rozmaitości symplektycznej X . Wraz z Wittena (1982) takie pętle, jakie są używane w przypadku d = 0 jako Lagrange'a, są następnie używane do modyfikacji hamiltonianu. Dla powierzchni zamkniętej M niezmiennikiem Z ( M ) teorii jest liczba pseudoholomorficznych odwzorowań f : M → X w sensie Gromowa (są to zwykłe odwzorowania holomorficzne, jeśli X jest rozmaitość Kählera ). Jeśli ta liczba stanie się nieskończona, tj. jeśli istnieją „moduły”, to musimy ustalić dalsze dane na M . Można to zrobić, wybierając kilka punktów P _i , a następnie patrząc na holomorficzne mapy f : M → X , gdzie f ( Pi _. ) jest ograniczone do leżenia na ustalonej hiperpłaszczyźnie Witten (1988b) spisał odpowiedni Lagrange'a dla tej teorii. Floer poddał rygorystyczne traktowanie, tj. homologię Floera , opartą na metodzie Wittena teorii Morse'a ; w przypadku, gdy warunki brzegowe są poza przedziałem, a nie okresowe, punkty początkowe i końcowe ścieżki leżą na dwóch stałych podrozmaitościach Lagrange'a . Teoria ta została rozwinięta jako niezmienna teoria Gromowa-Wittena .

Innym przykładem jest holomorficzna konforemna teoria pola . W tamtym czasie mogło to nie być uważane za ściśle topologiczną kwantową teorię pola, ponieważ przestrzenie Hilberta są nieskończenie wymiarowe. Konforemne teorie pola są również związane ze zwartą grupą Liego G , w której faza klasyczna składa się z centralnego przedłużenia grupy pętli (LG) . Kwantyzacja ich daje przestrzenie Hilberta teorii nieredukowalnych (rzutowych) reprezentacji LG . Grupa Różnic ₊ ( S ¹ ) zastępuje teraz grupę symetryczną i odgrywa ważną rolę. W rezultacie funkcja podziału w takich teoriach zależy od złożonej struktury , a więc nie jest czysto topologiczna.

d = 2

Najważniejszą teorią w tym przypadku jest teoria Jonesa-Wittena. Tutaj klasyczna przestrzeń fazowa związana z zamkniętą powierzchnią Σ jest przestrzenią modułów płaskiej G nad Σ. Lagrange'a jest całkowitą wielokrotnością funkcji Cherna-Simonsa połączenia G na rozmaitości 3 (która musi być „w ramce”). Wielokrotność całkowita k , zwana poziomem, jest parametrem teorii, a k → ∞ wyznacza granicę klasyczną. Teorię tę można w naturalny sposób połączyć z d = 0 teorii, aby stworzyć teorię „względną”. Szczegóły zostały opisane przez Wittena, który pokazuje, że funkcja podziału dla (w ramce) łącza w 3-sferze jest po prostu wartością wielomianu Jonesa dla odpowiedniego pierwiastka jedności. Teorię można zdefiniować na podstawie odpowiedniego pola cyklotomii , patrz Atiyah (1988) . Rozważając powierzchnię Riemanna z granicą, możemy połączyć ją z teorią konforemną d = 1 zamiast łączyć teorię d = 2 z d = 0. Rozwinęło się to w teorię Jonesa-Wittena i doprowadziło do odkrycia głębokich powiązań między teorią węzłów a kwantową teorią pola.

re = 3

Donaldson zdefiniował niezmiennik całkowity gładkich 4-rozmaitości, używając przestrzeni modułowych SU (2) -czasów. Te niezmienniki są wielomianami drugiej homologii. Zatem 4-rozmaitości powinny mieć dodatkowe dane składające się z algebry symetrycznej H ₂ . Witten (1988a) stworzył supersymetryczny Lagrange'a, który formalnie odtwarza teorię Donaldsona. Formułę Wittena można rozumieć jako nieskończenie wymiarową analogię twierdzenia Gaussa-Bonneta . W późniejszym czasie teoria ta była dalej rozwijana i stała się teorią cechowania Seiberga-Wittena co redukuje SU(2) do U(1) w teorii cechowania N = 2, d = 4. Hamiltonowska wersja teorii została rozwinięta przez Floera w odniesieniu do przestrzeni połączeń na 3-rozmaitości. Floer używa funkcji Cherna-Simonsa , która jest teorią Lagrange'a Jonesa-Wittena do modyfikacji hamiltonianu. Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz Atiyah (1988) . Witten (1988a) pokazał również, jak można połączyć d = 3 i d = 1 teorie razem: jest to całkiem analogiczne do sprzężenia między d = 2 i d = 0 w teorii Jonesa-Wittena.

Teraz topologiczna teoria pola jest postrzegana jako funktor , nie w stałym wymiarze, ale we wszystkich wymiarach jednocześnie.

Przypadek ustalonej czasoprzestrzeni

Niech Bord _M będzie kategorią, której morfizmy są n-wymiarowymi podrozmaitościami M i której obiektami są połączone składowe granic takich podrozmaitości. Uznaj dwa morfizmy za równoważne, jeśli są homotopijne poprzez podrozmaitości M , a więc tworzą kategorię ilorazową hBord _M : Obiekty w hBord _M są obiektami Bord _M , a morfizmy hBord _M są klasami równoważności homotopii morfizmów w Bord _M . TQFT na M jest symetrycznym funktorem monoidalnym z hBord _M do kategorii przestrzeni wektorowych.

Zauważ, że kobordyzmy mogą, jeśli ich granice są zgodne, zostać zszyte razem, tworząc nowy bordyzm. To jest prawo składu dla morfizmów w kategorii kobordyzmu. Ponieważ funktory są wymagane do zachowania kompozycji, mówi to, że mapa liniowa odpowiadająca zszytemu morfizmowi jest po prostu kompozycją mapy liniowej dla każdego kawałka.

Istnieje równoważność kategorii między kategorią dwuwymiarowych topologicznych kwantowych teorii pola a kategorią przemiennych algebr Frobeniusa .

Wszystkie n -wymiarowe czasoprzestrzenie naraz

Para spodni to (1+1)-wymiarowy bordyzm, który odpowiada produktowi lub koproduktowi w dwuwymiarowym TQFT.

Aby wziąć pod uwagę wszystkie czasoprzestrzenie na raz, konieczne jest zastąpienie hBord _M większą kategorią. Niech więc Bord _n będzie kategorią bordyzmów, tj. kategorią, której morfizmami są rozmaitości n -wymiarowe z brzegiem, a przedmiotami są połączone składowe granic rozmaitości n-wymiarowych. (Zauważ, że dowolna ( n -1)-wymiarowa rozmaitość może pojawić się jako obiekt w Bord _n .) Jak wyżej, potraktuj dwa morfizmy w Bord _n jako równoważne, jeśli są homotopijne i tworzą kategorię ilorazu hBord _n . Bord _n jest kategorią monoidalną w ramach operacji, która odwzorowuje dwa bordyzmy na bordyzm utworzony z ich rozłącznego związku. TQFT na n -wymiarowych jest zatem funktorem z hBord _n do kategorii przestrzeni wektorowych, który odwzorowuje rozłączne związki bordyzmów na ich iloczyn tensorowy.

Na przykład dla (1 + 1)-wymiarowych bordyzmów (2-wymiarowych bordyzmów między 1-wymiarowymi rozmaitościami) mapa powiązana z parą spodni daje produkt lub koprodukt, w zależności od tego, jak pogrupowane są komponenty brzegowe - co jest przemienne lub kokomutatywne, podczas gdy mapa powiązana z dyskiem daje counit (ślad) lub jednostkę (skalary), w zależności od grupowania składowych brzegowych, a zatem TQFT w wymiarze (1 + 1) odpowiadają algebrom Frobeniusa .

Co więcej, możemy rozważać jednocześnie rozmaitości 4-wymiarowe, 3-wymiarowe i 2-wymiarowe powiązane powyższymi bordyzmami iz nich możemy uzyskać obfite i ważne przykłady.

Rozwój w późniejszym czasie

Patrząc na rozwój topologicznej kwantowej teorii pola, powinniśmy rozważyć jej liczne zastosowania w teorii cechowania Seiberga-Wittena , topologicznej teorii strun , relacji między teorią węzłów a kwantową teorią pola oraz kwantowych niezmienników węzłów . Ponadto wygenerował tematy cieszące się dużym zainteresowaniem zarówno w matematyce, jak i fizyce. Również nielokalni operatorzy w TQFT cieszą się ostatnio dużym zainteresowaniem ( Gukov i Kapustin (2013) ). Jeśli teoria strun jest postrzegana jako podstawa, to nielokalne TQFT można postrzegać jako modele niefizyczne, które zapewniają wydajne obliczeniowo przybliżenie lokalnej teorii strun.

TQFT typu Wittena i systemy dynamiczne

Stochastyczne (cząstkowe) równania różniczkowe (SDE) są podstawą modeli wszystkiego w przyrodzie powyżej skali kwantowej degeneracji i koherencji i są zasadniczo TQFT typu Wittena. Wszystkie SDE posiadają supersymetrię topologiczną lub BRST , $aw$ operatora dynamiki stochastycznej jest pochodna zewnętrzna , która jest przemienna z operatorem ewolucji stochastycznej. Ta supersymetria zachowuje ciągłość przestrzeni fazowej przez ciągłe przepływy, a zjawisko supersymetrycznego spontanicznego rozpadu przez globalny niesupersymetryczny stan podstawowy obejmuje takie dobrze ugruntowane koncepcje fizyczne, jak chaos , turbulencja , 1/f i trzaski , samoorganizująca się krytyczność itp. Sektor topologiczny teorii dowolnego SDE można uznać za TQFT typu Wittena.

Zobacz też

Atiyah, Michael (1988a). „Nowe niezmienniki trójwymiarowych i czterowymiarowych rozmaitości” . Matematyczne dziedzictwo Hermanna Weyla . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Tom. 48. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 285–299 . doi : 10.1090/pspum/048/974342 . ISBN 9780821814826 .
Atiyah, Michael (1988b). „Topologiczne kwantowe teorie pola” (PDF) . Publikacje Mathématiques de l'IHÉS . 68 (68): 175–186. doi : 10.1007/BF02698547 . MR 1001453 . S2CID 121647908 .
Gukow, Siergiej; Kapustin, Anton (2013). „Topologiczna kwantowa teoria pola, operatory nielokalne i fazy z przerwami w teoriach cechowania”. arXiv : 1307,4793 [ hep-th ].
Linker, Patrick (2015). „Topologiczna teoria pola dipolowego” . Winnower . 2 : e144311.19292. doi : 10.15200/winn.144311.19292 .
Lurie, Jakub (2009). „O klasyfikacji topologicznych teorii pola”. arXiv : 0905.0465 [ matematyka CT ].
Schwarz, Albert (2000). „Topologiczne kwantowe teorie pola”. arXiv : hep-th/0011260 .
Segal, Graeme (2001). „Struktury topologiczne w teorii strun”. Transakcje filozoficzne Royal Society of London. Seria A: Nauki matematyczne, fizyczne i inżynierskie . 359 (1784): 1389-1398. Bibcode : 2001RSPTA.359.1389S . doi : 10.1098/rsta.2001.0841 . S2CID 120834154 .
Witten, Edward (1982). „Supersymetria i teoria Morse'a” . Dziennik geometrii różniczkowej . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
Witten, Edward (1988a). „Topologiczna kwantowa teoria pola” . Komunikacja w fizyce matematycznej . 117 (3): 353–386. Bibcode : 1988CMaPh.117..353W . doi : 10.1007/BF01223371 . MR 0953828 . S2CID 43230714 .
Witten, Edward (1988b). „Topologiczne modele sigma” . Komunikacja w fizyce matematycznej . 118 (3): 411–449. Bibcode : 1988CMaPh.118..411W . doi : 10.1007/bf01466725 . S2CID 34042140 .