Teoria operatorów

W matematyce teoria operatorów jest badaniem operatorów liniowych w przestrzeniach funkcyjnych , zaczynając od operatorów różniczkowych i operatorów całkowych . Operatory można przedstawić abstrakcyjnie za pomocą ich cech, takich jak ograniczone operatory liniowe lub operatory domknięte , można też rozważyć operatory nieliniowe . Badanie, które w dużym stopniu zależy od topologii przestrzeni funkcyjnych, jest gałęzią analizy funkcjonalnej .

Jeśli zbiór operatorów tworzy algebrę na polu , to jest to algebra operatorów . Opis algebr operatorów jest częścią teorii operatorów.

Teoria pojedynczego operatora

Teoria pojedynczego operatora zajmuje się właściwościami i klasyfikacją operatorów rozpatrywanych pojedynczo. Na przykład klasyfikacja operatorów normalnych pod względem ich widm należy do tej kategorii.

Spektrum operatorów

Główny artykuł: Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne jest dowolnym z wielu wyników dotyczących operatorów liniowych lub macierzy . Mówiąc ogólnie, twierdzenie spektralne zapewnia warunki, w których operator lub macierz mogą być diagonalizowane (to znaczy reprezentowane jako macierz diagonalna w jakiejś podstawie). Ta koncepcja diagonalizacji jest stosunkowo prosta dla operatorów w przestrzeniach o skończonych wymiarach, ale wymaga pewnych modyfikacji dla operatorów w przestrzeniach o nieskończonych wymiarach. Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie spektralne identyfikuje klasę operatory liniowe , które można modelować za pomocą operatorów mnożenia , które są tak proste, jak tylko można mieć nadzieję znaleźć. W bardziej abstrakcyjnym języku twierdzenie spektralne jest stwierdzeniem o przemiennych C*-algebrach . Zobacz także teorię spektralną, aby zapoznać się z perspektywą historyczną.

Przykładami operatorów, do których stosuje się twierdzenie widmowe, są operatory samosprzężone lub bardziej ogólnie operatory normalne w przestrzeniach Hilberta .

Twierdzenie spektralne zapewnia również rozkład kanoniczny , zwany rozkładem widmowym , rozkładem wartości własnych lub rozkładem własnym podstawowej przestrzeni wektorowej, na której działa operator.

Zwykli operatorzy

Główny artykuł: Normalny operator

Operator normalny na zespolonej przestrzeni Hilberta H jest ciągłym operatorem liniowym N : H → H , który komutuje ze swoim hermitowskim sprzężeniem N* , czyli: NN* = N*N .

Normalne operatory są ważne, ponieważ obowiązuje dla nich twierdzenie widmowe . Obecnie klasa operatorów normalnych jest dobrze poznana. Przykładami normalnych operatorów są

• operatory unitarne : N* = N ^-1
• Operatory hermitowskie (tj. operatory samosprzężone: N* = N ; także operatory anty-samosprzężone: N* = − N )
• operatory dodatnie : N = MM*
• normalne macierze można postrzegać jako normalne operatory, jeśli przyjmie się, że przestrzeń Hilberta to C ⁿ .

Twierdzenie spektralne rozciąga się na bardziej ogólną klasę macierzy. Niech A będzie operatorem na skończenie wymiarowej przestrzeni iloczynu wewnętrznego. Mówimy, że A jest normalne , jeśli A ^* A = AA ^* . Można pokazać, że A jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest unitarnie diagonalizowalne: Z rozkładu Schura mamy A = UTU ^* , gdzie U jest unitarne, a T górnotrójkątne. odkąd A jest normalne, TT ^* = T ^* T . Dlatego T musi być przekątna, ponieważ normalne górne macierze trójkątne są przekątne. Konwersja jest oczywista.

Innymi słowy, A jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz unitarna U taka, że

$${\ Displaystyle A = UDU ^ {*}}$$

gdzie D jest macierzą diagonalną . Wtedy wpisy przekątnej D są wartościami własnymi A . Wektory kolumnowe U są wektorami własnymi A i są ortonormalne. W przeciwieństwie do przypadku hermitowskiego, wpisy D nie muszą być rzeczywiste.

Rozkład polarny

Główny artykuł: rozkład polarny

Rozkład biegunowy dowolnego ograniczonego operatora liniowego A między zespolonymi przestrzeniami Hilberta jest rozkładem na czynniki kanoniczne jako iloczyn częściowej izometrii i operatora nieujemnego.

Rozkład biegunowy dla macierzy uogólnia się w następujący sposób: jeśli A jest ograniczonym operatorem liniowym, to istnieje jednoznaczna faktoryzacja A jako iloczyn A = UP , gdzie U jest izometrią częściową, P jest nieujemnym operatorem samosprzężonym, a początkowy przestrzeń U jest domknięciem zakresu P .

Operator U musi zostać osłabiony do izometrii częściowej, a nie jednolitej, z powodu następujących problemów. Jeśli A jest jednostronnym przesunięciem na l ² ( N ), to | | _ = ( ZA* ZA ) ^1/2 = ja . Więc jeśli A = U | A |, U musi być A , które nie jest jednolite.

Istnienie rozkładu biegunowego jest konsekwencją lematu Douglasa :

Lemat — Jeśli A , B są operatorami ograniczonymi na przestrzeni Hilberta H , a A*A ≤ B*B , to istnieje skrócenie C takie, że A = CB . Co więcej, C jest unikalne, jeśli Ker ( B* ) ⊂ Ker ( C ).

Operator C może być zdefiniowany przez C ( Bh )= Ah , przedłużony ciągłością do domknięcia Ran ( B ) i przez zero na dopełnienie ortogonalne Ran( B ) . Operator C jest dobrze zdefiniowany, ponieważ A*A ≤ B*B implikuje Ker( B ) ⊂ Ker( A ) . Następnie następuje lemat.

W szczególności, jeśli A*A = B*B , to C jest izometrią częściową, która jest niepowtarzalna, jeśli Ker( B* ) ⊂ Ker( C ). Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnego operatora ograniczonego A ,

$${\ Displaystyle A ^ {*} A = (A ^ {*} A) ^ {\ Frac {1} {2}} (A ^{*}A)^{\frac {1}{2}},}$$

gdzie ( A*A ) ^1/2 jest unikalnym dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z A*A danym zwykłym rachunkiem funkcyjnym . Więc zgodnie z lematem mamy

$${\ Displaystyle A = U (A ^ {*} A) ^ {\ Frac {1} {2}}}$$

dla pewnej częściowej izometrii U , która jest jednoznaczna, jeśli Ker( A ) ⊂ Ker( U ). (Uwaga Ker( A ) = Ker( A*A ) = Ker( B ) = Ker( B* ) , gdzie B = B* = ( A*A ) ^1/2 .) Weź P jako ( A*A ) ^1/2 i otrzymujemy rozkład biegunowy A = UP . Zauważ, że analogicznego argumentu można użyć do pokazania A = P'U' , gdzie P' jest dodatnie, a U' jest izometrią częściową.

Gdy H jest skończonym wymiarem, U można rozszerzyć do operatora unitarnego; ogólnie nie jest to prawdą (patrz przykład powyżej). Alternatywnie rozkład biegunowy można przedstawić za pomocą operatorowej wersji rozkładu na wartości osobliwe .

Według właściwości ciągłego rachunku funkcyjnego , | | _ jest w C*-algebrze generowanej przez A . Podobne, ale słabsze stwierdzenie dotyczy izometrii częściowej: część biegunowa U jest w algebrze von Neumanna generowanej przez A . Jeśli A jest odwracalne, U będzie również w C*-algebrze generowanej przez A.

Połączenie ze złożoną analizą

Wiele badanych operatorów to operatory w przestrzeniach Hilberta funkcji holomorficznych , a badanie operatora jest ściśle powiązane z pytaniami z teorii funkcji. Na przykład twierdzenie Beurlinga opisuje niezmienne podprzestrzenie jednostronnego przesunięcia w kategoriach funkcji wewnętrznych, które są ograniczonymi funkcjami holomorficznymi na dysku jednostkowym z jednomodułowymi wartościami brzegowymi prawie wszędzie na okręgu. Beurling zinterpretował jednostronne przesunięcie jako pomnożenie przez zmienną niezależną w przestrzeni Hardy'ego . Sukces w badaniu operatorów mnożenia, a bardziej ogólnie operatorów Toeplitza (które są mnożeniem, po którym następuje rzutowanie na przestrzeń Hardy'ego) zainspirował badanie podobnych pytań dotyczących innych przestrzeni, takich jak przestrzeń Bergmana .

Algebry operatorów

Teoria algebr operatorów wysuwa na pierwszy plan algebry operatorów, takie jak C*-algebry .

C*-algebry

Główny artykuł: C*-algebra

AC*-algebra, A , jest algebrą Banacha na ciele liczb zespolonych , razem z mapą * : A → A . Piszemy x* dla obrazu elementu x z A . Mapa * ma następujące właściwości:

• Jest to inwolucja dla każdego x w A
  $${\ Displaystyle x ^ {**} = (x ^ {*}) ^ {*} = x}$$
• Dla wszystkich x , y w A :
  $${\ Displaystyle (x + y) ^ {*} = x ^ {*} + y ^ {*}}$$
  $${\ Displaystyle (xy) ^ {*} = y ^ {*} x ^ {*}}$$
• Dla każdego λ w C i każdego x w A :
  $${\ Displaystyle (\ lambda x) ^ {*} = {\ overline {\ lambda}} x ^ {*}.}$$
• Dla wszystkich x w A :
  $${\ Displaystyle \|x ^ {*}x \|=\ lewo \|x\ prawo \|\ lewo \|x^ {*}\ prawo \|.}$$

Uwaga. Pierwsze trzy tożsamości mówią, że A jest *-algebrą . Ostatnia tożsamość nazywana jest tożsamością C* i jest równoważna z:

$${\ Displaystyle \|xx ^ {*} \|=\|x\|^ {2},}$$

Tożsamość C* jest bardzo silnym wymaganiem. Na przykład, wraz ze wzorem na promień widmowy , oznacza to, że norma C* jest jednoznacznie określona przez strukturę algebraiczną:

$${\ Displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \| x ^ {*} x \ | = \ sup \ {| \ lambda |: x ^ {*} x- \ lambda \, 1 {\ tekst {jest nieodwracalne}}\}.}$$

Zobacz też

• Niezmienna podprzestrzeń
• Rachunek funkcjonalny
• Teoria spektralna
  • Formalizm rozdzielczy
• Kompaktowy operator
  • Teoria równań całkowych Fredholma
    • Operator integralny
    • operatora Fredholma
• Operator samosprzężony
• Operator nieograniczony
  • Operator różniczkowy
• Rachunek umbralny
• Mapowanie skurczu
• Operator dodatni w przestrzeni Hilberta
• Operator nieujemny na częściowo uporządkowanej przestrzeni wektorowej

Dalsza lektura

•   Conway, JB : Kurs analizy funkcjonalnej , wydanie 2, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
•   Yoshino, Takashi (1993). Wprowadzenie do teorii operatorów . Chapmana i Halla/CRC. ISBN 978-0582237438 .

Linki zewnętrzne

• Historia teorii operatorów