Twierdzenie Kreina-Milmana

$K$$pod$ uwagę wypukły kształt ( $jasnoniebieski ) i jego$${\ Displaystyle K.}$ skrajnych punktów wypukły kadłub to

W matematycznej teorii analizy funkcjonalnej twierdzenie Kreina – Milmana jest twierdzeniem o zwartych zbiorach wypukłych w lokalnie wypukłych topologicznych przestrzeniach wektorowych (TVS).

Twierdzenie Kreina – Milmana — zwarty wypukły podzbiór przestrzeni wektorowej topologicznej Hausdorffa lokalnie wypukłej jest równy zamkniętej wypukłej otoczce jej skrajnych punktów .

Twierdzenie to uogólnia do nieskończenie wymiarowych przestrzeni i dowolnych zwartych wypukłych zestawów następującej podstawowej obserwacji: wypukły (tj. wierzchołki, gdzie te wierzchołki są dokładnie skrajnymi punktami tego kształtu. Ta obserwacja dotyczy również każdego innego wielokąta ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$ w płaszczyźnie

Oświadczenie i definicje

Wstępy i definicje

Zestaw wypukły w kolorze jasnoniebieskim, a jego skrajne punkty na czerwono.

Przez cały czas $będzie$ rzeczywistą lub złożoną przestrzenią wektorową

x ${\ displaystyle x}$ i ${\ displaystyle y}$ w przestrzeni wektorowej zbiór ${\ displaystyle [ x, y]: = \ {tx + (1-t) y: 0 \ równoważnik t \ równoważnik 1 \}}$ nazywa się zamkniętym odcinkiem linii lub zamkniętym przedziałem między i ${\ displaystyle x$ } $kiedy$ _ _ _ _ _ $_$ _ $_$ _ $_$ _ ${\ Displaystyle x = y}$ podczas gdy jest ${\ Displaystyle (x, y): = \ {tx + (1-t) y: 0 <t <1 \}}$ kiedy ${\ Displaystyle x \ neq y;}$ spełnia ${\ Displaystyle (x, y) = [x, y] \ setminus \ {x, y \ }}$ i $kubek \ {x, y \}.}$$y}$ Punkty i $Displaystyle$ nazywane są punktami końcowymi tego przedziału. Mówimy, że przedział jest niezdegenerowany lub właściwy , jeśli jego punkty końcowe są różne.

Przedziały ${\ Displaystyle [x, x] = \ {x \}}$ i ${\ Displaystyle [x, y]}$ zawsze zawierają swoje punkty końcowe, podczas gdy ${\ Displaystyle (x, x) = \ varnothing}$ i ${\ Displaystyle (x, y)}$ nigdy nie zawierają żadnego z ich punktów końcowych. jeśli ${\ displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle y}$ są punktami na linii rzeczywistej, $}$ powyższa definicja taka sama, jak w zwykłej definicji $\ mathbb {$ przedział zamknięty .

Dla każdego ${\ Displaystyle p, x, y \ w X,}$$mówi$ się, że punkt leży między ${\ displaystyle x}$ a ${\ displaystyle y}$ jeśli $linii$ do otwartego odcinka ${\ Displaystyle (x, y).}$

Jeśli jest podzbiorem z $\ displaystyle p \$ p $K},$$,$$\ displaystyle p}$ p jest nazywany skrajnym punktem K $\ displaystyle K}$ jeśli nie leży między dowolnymi dwoma różnymi punktami ${\ Displaystyle K.}$ To znaczy, jeśli nie istnieje ${\ Displaystyle x, y \ w K}$ i ${\ Displaystyle 0 <t <1}$ takie, że ${\ Displaystyle x \ neq y}$ i ${\ Displaystyle p = tx + (1-t) y.}$ W tym artykule zbiór wszystkich skrajnych punktów $przez$ oznaczony ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {skrajność} (K).}$

$są$ przykład wierzchołki dowolnego wypukłego wielokąta na płaszczyźnie skrajnymi punktami tego wielokąta Skrajnymi punktami $jest$ dysku jednostkowego w okrąg . Każdy $,$ otwarty i zdegenerowany przedział domknięty w nie ma skrajnych punktów podczas gdy skrajne punkty niezdegenerowanego przedziału domkniętego ${\ Displaystyle [x, y]}$ są ${\ Displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle r.}$

Zbiór nazywany $x$ wypukłym $dla$ jeśli ${\ Displaystyle [x, y].}$$zawiera$ odcinek Najmniejszy zbiór wypukły zawierający ${\ Displaystyle S}$ nazywany jest wypukłym kadłubem i jest oznaczony przez $\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ operatorname {co} S.}$ Zamknięty wypukły kadłub zbioru ${\ Displaystyle S,}$ oznaczony przez ${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (S ),}$ jest najmniejszym zbiorem domkniętym i wypukłym zawierającym ${ \ displaystyle S}$ Jest to również równe przecięciu wszystkich zamkniętych wypukłych podzbiorów, które zawierają ${\ displaystyle S}$ i S zamknięcie wypukłej otoczki S ${\ displaystyle S$ } to jest,

$${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (S) = {\ overline {\ operatorname {co} (S)}}}$$

gdzie prawa strona oznacza zamknięcie, $lewa$ strona Na przykład wypukła powłoka dowolnego zestawu trzech różnych punktów tworzy albo zamknięty odcinek linii (jeśli są one współliniowe ), albo pełny (to znaczy „wypełniony”) trójkąt, w tym jego obwód. A na płaszczyźnie koło jednostkowe nie jest ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ wypukły, ale zamknięty dysk jednostkowy jest wypukły, a ponadto ten dysk jest równy wypukłej otoczce koła.

Oddzielna przestrzeń Hilberta Lp przestrzeń ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {N})}$ sekwencji sumowalnych do kwadratów ze zwykłą normą ${2}}$${\ Displaystyle \|\ cdot \|$$nie$ zwarty podzbiór $,$ którego wypukła obudowa jest zamknięta , a zatem również Jednak jak w sumie kompletne $otoczka$ , zamknięta wypukła tego zwartego podzbioru będzie $,$$jest kompletna$ to generalnie nie ma gwarancji, że będzie zwarta zawsze, jest przykład można nawet znaleźć w (niepełnej) podprzestrzeni wektora sprzed Hilberta ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ mathbb {N}).}$ Każdy podzbiór zwarty jest całkowicie ograniczony (zwany także „przedzwartym”), a zamknięta wypukła powłoka całkowicie ograniczonego podzbioru przestrzeni Hausdorffa lokalnie wypukłej gwarantuje być całkowicie ograniczony.

Oświadczenie

Twierdzenie Kreina – Milmana $to$$Jeśli$ jest zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej, zbiór skrajnych punktów ma taką samą zamkniętą wypukłą powłokę ${\ Displaystyle K.}$ .

W przypadku, gdy zbiór zwarty $jest$ wypukły, powyższe twierdzenie ma jako następstwo pierwszą część następnego twierdzenia, które jest również często nazywane twierdzeniem Kreina – Milmana.

Twierdzenie Kreina – Milmana $Załóżmy$ , że $jest$ lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową Hausdorffa (na przykład przestrzenią unormowaną ) i zwartym i wypukłym podzbiorem ${\ Displaystyle X.}$ Wtedy jest równa zamkniętej wypukłej otoczce jej skrajnych punktów : ${\ Displaystyle K}$

$${\ Displaystyle K ~ = ~ {\ overline {\ operatorname {co}}} (\ operatorname {extreme} (K)).}$$

Ponadto, jeśli jest równa zamkniętej wypukłej otoczce $\ subseteq K}$$skrajny$$i$ tylko wtedy, gdy jest $\ Displaystyle B} \ operatorname {extreme} K \ subseteq \ operatorname {cl} B,}$ gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} B}$ jest zamknięciem ${\ Displaystyle B.}$

Wypukły kadłub skrajnych punktów $K,$ wypukły podzbiór $więc$ głównym ciężarem dowodu jest wykazanie, że istnieje wystarczająca liczba skrajnych punktów, aby ich wypukły kadłub obejmował całe ${\ displaystyle K.}$ Z tego powodu następujący wniosek z powyższego twierdzenia jest również często nazywany twierdzeniem Kreina – Milmana.

( KM ) Twierdzenie Kreina-Milmana (Istnienie) — Każdy niepusty zwarty wypukły podzbiór Hausdorffa lokalnie wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej ma punkt ekstremalny ; to znaczy zbiór jego skrajnych punktów nie jest pusty.

$jest$ to twierdzenie i jego wnioski, rozważ konkretny przypadek, w którym wielokątem wypukłym . W tym przypadku rogi wielokąta (które są jego skrajnymi punktami) wystarczą, aby odzyskać kształt wielokąta. Stwierdzenie twierdzenia jest fałszywe, jeśli wielokąt nie jest wypukły, ponieważ istnieje wtedy wiele sposobów narysowania wielokąta, którego wierzchołki są punktami.

Wymóg, aby zbiór wypukły $zwarty,$ można osłabić, otrzymując następującą wzmocnioną wersję uogólnienia twierdzenia.

( SKM ) Silne twierdzenie Kreina – Milmana ( istnienie ) - Załóżmy , że jest lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową Hausdorffa i jest niepustym wypukłym podzbiorem $X}$$displaystyle$ z $\ displaystyle X}$ właściwość, która ilekroć $\ displaystyle X}$ pokryciem wypukłych zamkniętych podzbiorów $\ displaystyle$$do {$ takie, że ${\ Displaystyle \ {K \ cap C: C \ in {\ mathcal {C}} \}}$ ma skończoną własność przecięcia , a następnie ${\ displaystyle K\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}$ nie jest puste. Wtedy $_$ _

Powyższa właściwość jest czasami nazywana quasi-zwartością lub wypukłą zwartością . Zwartość implikuje wypukłą zwartość , ponieważ przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina zamkniętych podzbiorów mających właściwość skończonego przecięcia (FIP) ma niepuste przecięcie (to znaczy jej jądro nie jest puste). Definicja zwartości wypukłej jest podobna do tej charakterystyki przestrzeni zwartych pod względem FIP, z wyjątkiem tego, że obejmuje tylko te zamknięte podzbiory, które są również wypukłe (zamiast wszystkich zamkniętych podzbiorów).

Bardziej ogólne ustawienia

Założenie lokalnej wypukłości dla otaczającej przestrzeni jest konieczne, ponieważ James Roberts ( 1977 ) skonstruował kontrprzykład dla przestrzeni nielokalnie wypukłej. ${\ Displaystyle L ^ {p} [0,1]}$ gdzie ${\ Displaystyle 0 <p <1.}$

Potrzebna jest również liniowość, ponieważ stwierdzenie to zawodzi dla słabo zwartych zbiorów wypukłych w przestrzeniach CAT(0) , jak udowodnił Nicolas Monod ( 2016 ). Jednak Theo Buehler ( 2006 ) udowodnił, że twierdzenie Kreina-Milmana jest prawdziwe dla metrycznie zwartych przestrzeni CAT(0).

Powiązane wyniki

Zgodnie z poprzednimi założeniami, $,}$$zamknięta$ podzbiorem K , $Displaystyle$ wypukła powłoka $T$$}$ w całości ${\ Displaystyle K$ } $domknięcia$ to ${\ displaystyle T.}$ skrajny punkt należy do T Ten wynik jest znany jako (częściowa) odwrotność Milmana do twierdzenia Kreina – Milmana.

Choqueta -Bishopa-de Leeuw stwierdza $,$ że ​​każdy punkt w środkiem barycentrum miary prawdopodobieństwa obsługiwanej na zbiorze skrajnych punktów ${\ Displaystyle K.}$

Związek z aksjomatem wyboru

Zgodnie z ramami aksjomatycznymi teorii mnogości Zermelo-Fraenkla ( ZF ), aksjomat wyboru ( AC ) wystarcza do udowodnienia wszystkich wersji twierdzenia Kreina – Milmana podanego powyżej, w tym stwierdzenia KM i jego uogólnienia SKM . Aksjomat wyboru implikuje również, ale nie jest równoważny, twierdzenie Boole'a o ideałach pierwszych ( BPI ), które jest równoważne twierdzeniu Banacha – Alaoglu . I odwrotnie, twierdzenie Kreina – Milmana KM wraz z Twierdzenie Boole'a o ideałach liczb pierwszych ( BPI ) implikuje aksjomat wyboru. Podsumowując, AC obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno KM , jak i BPI są spełnione. Wynika z tego, że dla ZF aksjomat wyboru jest równoważny następującemu stwierdzeniu:

Zamknięta kula jednostkowa ciągłej przestrzeni dualnej dowolnej rzeczywistej przestrzeni znormalizowanej ma punkt skrajny.

Ponadto SKM wraz z twierdzeniem Hahna-Banacha dla rzeczywistych przestrzeni wektorowych ( HB ) są również równoważne aksjomatowi wyboru. Wiadomo, że BPI implikuje HB , ale nie jest z nim równoważne (mówiąc inaczej, BPI jest zdecydowanie silniejsze niż HB ).

Historia

Oryginalne stwierdzenie udowodnione przez Marka Kerina i Davida Milmana ( 1940 ) było nieco mniej ogólne niż forma podana tutaj.

Wcześniej Hermann Minkowski $($ 1911 ) , że jeśli jest $trójwymiarowy,$ to jest równy wypukłej otoczce zbioru jego skrajnych punktów Twierdzenie to zostało rozszerzone na przypadek dowolnego skończonego wymiaru przez Ernsta Steinitza ( 1916 ). Twierdzenie Kreina – Milmana uogólnia to na dowolne lokalnie wypukłe ${\ displaystyle X}$ ; jednakże, aby uogólnić od skończonych do nieskończonych przestrzeni wymiarowych, konieczne jest użycie domknięcia.

Zobacz też

• Twierdzenie Banacha-Alaoglu – Kula zamknięta w przestrzeni dualnej jest słabo* zwarta
• Twierdzenie Carathéodory'ego (łuk wypukły) - Punkt w płaszczu wypukłym zbioru P w Rd jest wypukłą kombinacją punktów d + 1 w P
• Teoria Choquet - obszar analizy funkcjonalnej i analizy wypukłej zajmujący się miarami, które mają wsparcie w skrajnych punktach zbioru wypukłego Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rezerwowe
• Twierdzenie Helly'ego - Twierdzenie o przecięciach d-wymiarowych zbiorów wypukłych
• Twierdzenie Radona - mówi, że d + 2 punkty w wymiarach d można podzielić na dwa podzbiory, których przecinają się wypukłe kadłuby
• Lemat Shapleya – Folkmana - Sumy zbiorów wektorów są prawie wypukłe
• Topologiczna przestrzeń wektorowa - Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości

Bibliografia

•    Adaś, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologiczne przestrzenie wektorowe: teoria bez warunków wypukłości . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 639. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8 . OCLC 297140003 .
•    Aliprantis, Charalambos D .; Granica, Kim C. (2006). Nieskończona analiza wymiarowa: przewodnik autostopowicza (wyd. Trzecie). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7 . OCLC 262692874 .
•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 . Éléments de mathématique . Przetłumaczone przez Egglestona, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
• Czarny, Paul E., wyd. (2004-12-17). „punkt skrajny” . Słownik algorytmów i struktur danych . Amerykański Narodowy Instytut Standardów i Technologii . Źródło 2011-03-24 .
•   Borowski, Efraim J.; Borwein, Jonathan M. (1989). „punkt skrajny”. Słownik matematyki . Słownik Collinsa. HarperCollins . ISBN 0-00-434347-6 .
•    Grothendieck, Aleksander (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Przetłumaczone przez Chaljub, Orlando. Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
•    Jarchow, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•    Kelley, John L.; Namioka, Izaak (1963). Liniowe przestrzenie topologiczne . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 36. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-662-41768-3 . OCLC 913438183 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiczne przestrzenie wektorowe I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 159. Przetłumaczone przez Garlinga, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Köthe, Gottfried (1979). Topologiczne przestrzenie wektorowe II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 237. Nowy Jork: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9 . OCLC 180577972 .
•    Pincus, David (1974). „Siła twierdzenia Hahna-Banacha”. W Hurd, A.; Loeb, P. (red.). Sympozjum Wiktorii na temat analizy niestandardowej . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 369. Berlin, Heidelberg: Springer. s. 203–248. doi : 10.1007/bfb0066014 . ISBN 978-3-540-06656-9 . ISSN 0075-8434 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
• NK Nikolskij (red.). Analiza funkcjonalna I. Springer-Verlag, 1992.
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 53. Cambridge Anglia: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
• HL Royden, Analiza rzeczywista . Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1988.
•    Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jej podstaw . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wilański, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

Ten artykuł zawiera materiał z twierdzenia Kreina-Milmana na temat PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Uznanie autorstwa / Na tych samych warunkach .