Twierdzenie Ursescu

W matematyce, zwłaszcza w analizie funkcjonalnej i analizie wypukłej , twierdzenie Ursescu jest twierdzeniem, które uogólnia twierdzenie o grafie zamkniętym , twierdzenie o otwartym odwzorowaniu i zasadę jednolitej ograniczoności .

Twierdzenie Ursescu

Stosowana jest następująca notacja i pojęcia, gdzie jest funkcją o wartościach ustalonych i jest niepustym podzbiorem ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows$$}$ topologiczna przestrzeń wektorowa ${\ displaystyle X}$ : X {\ displaystyle X}

• rozpiętość afiniczna jest oznaczona przez $\ operatorname {aff} S},$$displaystyle$ a rozpiętość liniowa oznaczona przez ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {rozpiętość} S.}$
• $: = \ operatorname {aint} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$ oznacza algebraiczne wnętrze S w ${\ Displaystyle X.}$
• ${\ Displaystyle {} ^ {i} S: = \ operatorname {aint} _ {\ operatorname {aff} (SS)} S}$ oznacza względne algebraiczne wnętrze ${\ Displaystyle S}$ (tj. algebraiczne wnętrze ${\ Displaystyle S}$ w ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (SS)}$ ).
• ${\ Displaystyle {} ^ {ib} S: = {} ^ {i} S}$ jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {rozpiętość} \ lewo (S-s_ { 0} \ prawej)}$ jest lufowany przez jakiś / co ${\ Displaystyle s_ {0} \ w S},$ podczas gdy ${\ Displaystyle {} ^ {ib} S: = \ varnothing}$ inaczej.
  • jeśli ${\ Displaystyle S}$ $wypukła,$ wykazać, że dla dowolnego $stożek$ przez $}$$displaystyle$ jest beczkowatą liniową podprzestrzenią lub równoważnie, wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ kubek _ {n \ w \ mathbb { N} }n(Sx)}$ jest beczkowatą liniową podprzestrzenią ${\ displaystyle X}$
• Domena ≠ $mathcal {R}}}$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Dom} {\ mathcal {R}}: = \ {x \ w X: {\ mathcal {R}} (x) \ neq \ varnothing \}.}$ to
• Obrazem jest $_$ Im ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} {\ mathcal {R}}: = \ puchar _ {x \ w X} {\ mathcal {R}} (x).} Dla dowolnego podzbioru ZA ⊆ X$ , $\ podzbiór X,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (A): = \ kubek _ {x \ w A} {\ mathcal {R}} (x).}$
• Wykres R ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$ to ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {gr} {\ mathcal {R}}: = \ {(x, y) \ w X \ razy Y: y \ w {\ mathcal {R}} (x) \}.}$
• $}}}$$R$ jest zamknięty (odpowiednio wypukły ), jeśli wykres jest zamknięty (odpowiednio wypukły) w ${\ Displaystyle X \ razy Y.}$
  • Zauważ, że $jest$ wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $\ Displaystyle x_ {0}, x_ {1} \ w X}$ i wszystkie ${\ Displaystyle r \ w [0,1],}$${\ Displaystyle R {\ mathcal {R}} \ lewo (x_ {0} \ prawo) + (1-r) {\ mathcal {R}} \ lewo (x_ {1} \ prawo) \ subseteq {\ mathcal { R}}\lewo(rx_{0}+(1-r)x_{1}\prawo).}$
• Odwrotność R ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}}$ jest funkcją o wartościach ustalonych ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {- 1}: Y \ rightrightarrows X$ zdefiniowana przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {- 1} (y): = \ {x \ w X: y \ w {\ mathcal {R}} (x) \}.} Dla dowolnego$ podzbioru ${\ Displaystyle B \ subseteq Y,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} ^ {- 1} (B): = \ kubek _ {y \ w B} {\ mathcal {R}} ^ {- 1} (y).}$
  • Jeśli ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ jest funkcją, a następnie jej odwrotnością jest funkcja o wartościach zadanych ${\ Displaystyle f ^ {- 1}: Y \ rightrightarrows X}$ uzyskane z kanonicznej identyfikacji ${\ displaystyle f}$ z funkcją o wartościach ustawionych ${\ Displaystyle f: X \ rightarrows Y}$ zdefiniowaną przez ${\ displaystyle x \ mapsto \ {f (x) \}.}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {T} S}$ jest topologicznym wnętrzem S $\ Displaystyle S}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle T,}$ gdzie ${\ Displaystyle S \ subseteq T.}$
• $\ operatorname {rint} S: = \ operatorname {int} _ {\ operatorname {aff} S} S}$ Displaystyle jest wnętrzem ${\ displaystyle S}$ z szacunkiem aff ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {aff} S.}$

Oświadczenie

  Twierdzenie ( Ursescu ) - Niech ${\ Displaystyle X}$ będzie kompletną półmetryzowalną lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową i będzie zamkniętym wypukłym wielofunkcyjnym ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows Y}$ z niepustą domeną. Załóżmy, że ${\ Displaystyle \ operatorname {span} (\ operatorname {Im} {\ mathcal {R}} -y)}$ to beczkowata przestrzeń dla niektórych / każdego ${\ Displaystyle y \ w \ operatorname {Im} {\ mathcal {R}}.}$ Załóżmy, że ${\ Displaystyle y_ {0} \ in {} ^ {i} (\ operatorname {Im } {\mathcal {R}})}$ i niech ${\ Displaystyle x_ {0} \ w {\ mathcal {R}} ^ {-1} \ lewo (y_ {0} \ prawo)} ($ tak, że ${\ Displaystyle y_ {0} \ w {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)}$ ). Następnie dla każdego sąsiedztwa w $X$$,}$${\ Displaystyle$$Displaystyle y_ {0}}$ \ do względnego wnętrza ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} (U)}$ w ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {im} {\ mathcal {R}})}$ (czyli ${\ Displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)} )$ . W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle {} ^ {ib} (\ operatorname {Im} {\ mathcal {R}}} \ neq \ varnothing}$ wtedy ${\ Displaystyle {} ^ {ib} (\ operatorname {im} {\ mathcal {R}}) = {} ^ {i} (\ operatorname {im} {\ mathcal {R}}) = \ operatorname {rint} (\nazwa_operatora {Im} {\mathcal {R}}).}$

Wnioski

Twierdzenie o grafie zamkniętym

$i$ grafie - Niech $Y$ i $\ displaystyle Y}$ będą przestrzeniami Frécheta będą liniową Wtedy jest ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy wykres $displaystyle$${\ Displaystyle X \ razy Y.}$$T}$ jest zamknięty w

Dowód

Dla nietrywialnego kierunku załóżmy, że wykres $jest$ i niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}: = T ^ {-1}: Y \ rightrightarrows X.} Łatwo$ zauważyć, że ${\ Displaystyle \ operatorname {gr} {\ mathcal {R}}}$ jest domknięty i wypukły, a jego obrazem jest ${\ Displaystyle X.}$ Biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle x \ w X,}$ ${\ Displaystyle (Tx, x)}$ należy ${\ Displaystyle Y,}$ Y $\ Displaystyle Y \ razy X}$ tak, że dla każdego otwartego sąsiedztwa w $Tx}$$Displaystyle$${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (V) = T ^ {- 1} (V$ } ${\ displaystyle x$${\ Displaystyle X.}$ w Zatem $jest$ w ${\ displaystyle x.}$ QED

Zasada jednostajnej ograniczoności

Zasada $_$ - Niech $bijektywną$ i $.$ będą przestrzeniami Frécheta i Wtedy $_$ i wtedy $gdy$ Ponadto, jeśli ${\ displaystyle T}$ jest ciągły, to $jest$ przestrzeni Frécheta .

Dowód

Zastosuj twierdzenie o wykresie zamkniętym do ${\ displaystyle T}$ i ${\ Displaystyle T ^ {- 1}.}$ QED

Twierdzenie o otwartym odwzorowaniu

Twierdzenie o mapowaniu otwartym $X$ i Y $}$ \ $będą$ przestrzeniami Frécheta i ciągłą suriekcją liniową mapą Wtedy T jest otwartą mapą .

Dowód

Oczywiście, jest $relacją$ zamkniętą i wypukłą, której obrazem ${\ Displaystyle Y.}$ Niech ${\ Displaystyle U}$ będzie niepustym otwartym podzbiorem ${\ Displaystyle X,}$ niech ${\ Displaystyle y}$ będzie w ${\ Displaystyle T (U) ,}$ i niech $\$ U $displaystyle U}$ będzie takie, że ${\ Displaystyle y = Tx.}$ Z twierdzenia Ursescu wynika, że ${\ Displaystyle T (U)}$ jest sąsiedztwem ${\ displaystyle y.}$ QED

Dodatkowe wnioski

Poniższa notacja i pojęcia są używane dla tych wniosków, gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows Y}$ jest funkcją o wartościach ustalonych, ${\ displaystyle S}$ jest nie- pusty podzbiór topologicznej przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle X}$ : X {\ displaystyle X}

• wypukły szereg z elementami $to$ szereg postaci ∑ $\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {i} s_ {$ gdzie wszystkie ${\ Displaystyle s_ {i} \ w S}$ i ${\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {i} = 1}$ to ciąg liczb nieujemnych. Jeśli ${\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} r_ {i} s_ {i}} jest zbieżny, to$ szereg nazywamy zbieżnym, podczas gdy ${\ Displaystyle \ lewo (s_ {i} \ prawej) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ jest ograniczony, to szereg nazywa się ograniczonym i b-wypukłym .
• ${\ displaystyle S}$ jest idealnie wypukła $, jeśli jakakolwiek$ b-wypukła seria elementów ma swoją sumę w ${\ Displaystyle S.}$
• ${\ displaystyle S}$ jest niższy idealnie wypukły, jeśli istnieje przestrzeń Frécheta taka, że $displaystyle S}$$\$ jest równa rzutowi na ${\ displaystyle X}$ idealnie wypukłego podzbioru B z ${\ Displaystyle X \ razy Y.}$ Każdy zestaw idealnie wypukły jest niższy idealnie wypukły.

Wniosek - Niech będzie ${\ Displaystyle X.}$ przeliczalną przestrzenią z $lufą$ i $podzbiorem$ X Następnie:

1. Jeśli ${\ Displaystyle C ^ {i} = \ operatorname {int} C.}$$niższy$ idealnie wypukły, to
2. Jeśli jest ${\ Displaystyle C ^ {i} = \ nazwa operatora {int} C = \ nazwa operatora {int} \ lewo (\ nazwa operatora {cl} C \ prawa) = \ lewo (\ nazwa operatora {cl} C \ prawa) ^ {i} .}$$wypukła$ , to

Powiązane twierdzenia

Twierdzenie Simonsa

Twierdzenie Simonsa - Niech i $Y$ będą najpierw policzalne z lokalnie wypukłym $displaystyle X}$$.$ Załóżmy, że ${\$ multimapą z niepustą domeną, która spełnia warunek ( Hw x ) lub załóżmy, że jest $Displaystyle {\ mathcal {R}}: X \ rightrightarrows Y$ Przestrzeń Frécheta i że $jest$ idealnie wypukły . Załóżmy $_$ jest lufowana ${\ Displaystyle y \ in \ operatorname {Im} {\ mathcal {R}}.}$ jakiś Załóżmy, że ${\ Displaystyle y_ {0} \ in {} ^ {i} (\ operatorname {Im} {\ mathcal {R}})} i$ niech ${\ Displaystyle x_ {0} \ in {\ mathcal {R}} ^ {-1} \ lewo (y_ {0} \ prawo).} Następnie$ dla każdego sąsiedztwa ${\ Displaystyle U}$ z ${\ Displaystyle x_ { 0}}$ w ${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle y_ {0}}$ należy do względnego wnętrza ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (U)}$ w ${\ Displaystyle \ operatorname {aff} (\ operatorname {Im} {\ mathcal {R}})}$ (tj. ${\ Displaystyle y_ {0} \ w \ nazwa operatora {int} _ {\ nazwa operatora {aff} (\ nazwa operatora {im} {\ mathcal {R}})} {\ matematyczny {R}}(U)}$ ). W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle {} ^ {ib} (\ operatorname {Im} {\ mathcal {R}}) \ neq \ varnothing}$ wtedy ${\ Displaystyle {} ^ {ib} (\ operatorname {im} {\ mathcal {R}}) = {} ^ {i} (\ operatorname {im} {\ mathcal {R}}) = \ operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}$

Twierdzenie Robinsona-Ursescu

Implikacja ( 1 ) $.$ następującym twierdzeniu jest znana jako twierdzenie Robinsona – Ursescu

Twierdzenie Robinsona-Ursescu - Niech ${\ Displaystyle (X, \ | \, \ cdot \, \ |)}$ i $|)}$${\ Displaystyle (Y, \|\, \$$cdot \$ być przestrzeniami i multimapą z niepustą domeną Załóżmy, że jest przestrzenią w $kształcie$ , wykres weryfikuje stan warunku ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ w \ operatorname {gr} {\ mathcal {R}}.}$$Hw$ x ) i że Niech ${\ Displaystyle C_ {X}}$ (odp. ${\ Displaystyle C_ {Y}}$ ) oznaczają zamkniętą kulę jednostkową $odpowiednio$ ( ${\ Displaystyle Y}$ ) (więc do $\ Displaystyle C_ {X} = \ {x \ w X: \ | x \ | \ równoważnik 1 \}})$ . Wtedy następujące są równoważne:

1. $\ Displaystyle y_ {0}}$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {im} {\ mathcal {R}}.}$ do algebraicznego wnętrza Im
2. ${\ Displaystyle y_ {0} \ w \ nazwa operatora {int} {\ mathcal {R}} \ lewo (x_ {0} + C_ {X} \ prawo).}$
3. Istnieje takie $,$ że dla wszystkich ${\ Displaystyle y_ {0} + BrC_ {Y} \ subseteq {\ mathcal {R}} \ lewo (x_ {0} + rC_ {X} \ prawo).}$$\ Displaystyle 0 \ równoważnik r \ równoważnik 1,$
4. Istnieją ${\ Displaystyle A> 0}$ i ${\ Displaystyle B> 0}$ takie, że dla wszystkich i wszystkich ${0} + AC_ {X}}$ x_ $\ Displaystyle y \ w y_ {0} + AC_ {Y}}$${\ Displaystyle d \ lewo (x, {\ mathcal {R}} ^ {- 1} (y) \ prawej) \ równoważnik B \ cdot d (y, {\ mathcal {R}} (x)).}$
5. Istnieje $takie$$},}$ że dla wszystkich + $Displaystyle$$in y_ {0} + BC_$${\ Displaystyle d \ lewo (x, {\ mathcal {R}} ^ {-1} (y) \ prawo) \ równoważnik {\ Frac {1+ \ lewo \ | x-x_ {0} \ prawo \ |} {B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}$

Zobacz też

• Twierdzenie o grafie zamkniętym - Twierdzenie dotyczące ciągłości grafów
• Twierdzenie o grafie zamkniętym (analiza funkcjonalna) - Twierdzenia łączące ciągłość z zamknięciem grafów
• Twierdzenie o otwartym odwzorowaniu ( analiza funkcjonalna ) - Warunek, aby operator liniowy był otwarty
• Surjekcja przestrzeni Frécheta – Charakteryzacja surjekcji
• Zasada jednolitej ograniczoności - twierdzenie stwierdzające, że ograniczoność punktowa implikuje ograniczoność jednostajną
• Przestrzeń sieciowa - Przestrzeń, w której obowiązują twierdzenia o otwartym mapowaniu i zamkniętym grafie

Notatki

•     Zălinescu, Constantin (30 lipca 2002). Analiza wypukła w ogólnych przestrzeniach wektorowych . River Edge, NJ Londyn: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0 . MR 1921556 . OCLC 285163112 – za pośrednictwem archiwum internetowego .
•   Baggs, Iwan (1974). „Funkcje z wykresem zamkniętym” . Proceedings of the American Mathematical Society . 43 (2): 439–442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .