Wygodna przestrzeń wektorowa

W matematyce dogodne przestrzenie wektorowe są lokalnie wypukłymi przestrzeniami wektorowymi spełniającymi bardzo łagodny warunek zupełności .

Tradycyjny rachunek różniczkowy jest skuteczny w analizie skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych i przestrzeni Banacha . Poza przestrzeniami Banacha zaczynają się pojawiać trudności; w szczególności złożenie ciągłych odwzorowań liniowych przestaje być łącznie ciągłe na poziomie przestrzeni Banacha, dla dowolnej kompatybilnej topologii na przestrzeniach ciągłych odwzorowań liniowych.

$odwzorowują$ dogodnymi przestrzeniami wektorowymi są gładkie lub jeśli gładkie krzywe na gładkie krzywe Prowadzi to do kartezjańskiej zamkniętej kategorii $-otwartymi$ odwzorowań między podzbiorami dogodnych przestrzeni wektorowych (patrz właściwość 6 poniżej) Odpowiedni rachunek gładkich odwzorowań nazywa się rachunkiem wygodnym . Jest słabsze niż jakiekolwiek inne rozsądne pojęcie różniczkowalności, jest łatwe do zastosowania, ale istnieją gładkie odwzorowania, które nie są ciągłe (patrz Uwaga 1). Sam ten rodzaj rachunku różniczkowego nie jest przydatny w rozwiązywaniu równań.

Topologia do ${\ displaystyle c ^ {\ infty}$

Zobacz też: Różniczkowalne funkcje wektorowe z przestrzeni euklidesowej i Różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta

Niech będzie $lokalnie$ przestrzenią wektorową. Krzywa nazywana jest gładką lub, jeśli wszystkie pochodne istnieją i są ciągłe, do $E$$displaystyle c: \ mathbb {R} \ do$ Niech będzie przestrzenią gładkich krzywych $\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, mi)}$$od$ wykazać, że zbiór gładkich krzywych nie zależy całkowicie od topologii lokalnie wypukłej powiązanej z nią bornologii (system zbiorów ograniczonych); patrz [KM], 2.11. $się$ zestawów odwzorowań na pokrywają ; patrz [KM], 2.13.

• ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, E).}$
• Zbiór wszystkich krzywych Lipschitza (tak, że ${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ dfrac {c ( t) -c (s) {ts}}: t \ neq s {,} | t |, | s | \ równoważnik C \ prawej \}} jest ograniczony$ w ${\ Displaystyle E,}$ dla każdego ${ \displaystyle C}$ ).
• Zbiór iniekcji $\ displaystyle E_ {B} \ do mi}$ gdzie przebiega przez wszystkie ograniczone absolutnie wypukłe podzbiory w $E}$$displaystyle$ gdzie $\ displaystyle E_ {B}}$$b$ rozpiętością liniową ${\ Displaystyle \|x\|_ {B}: = \ inf \ {\ lambda > 0: x \ w \ lambda B \}.}$ w funkcjonał Minkowskiego
• Zbiór wszystkich zbieżnych sekwencji Mackeya ( $0<\lambda _{n}\to \infty$ sekwencja $Displaystyle$ with $\lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)$ bounded).

$^ {\ infty} E}$ nazywana jest na mi $displaystyle$$c$ \ dla wynikowej . Ogólnie (na przykład w przestrzeni $}$ funkcji ze zwartym wsparciem na linii rzeczywistej) jest drobniejsza niż dana topologia lokalnie wypukła, nie jest to topologia przestrzeni wektorowej, ponieważ dodawanie nie jest już łącznie re {\ displaystyle D ciągły. Mianowicie, nawet ${\ Displaystyle c ^ {\ infty} (D \ razy D) \ neq \ lewo (c ^ {\ infty} D \ prawej) \ razy \ lewo (c ^ {\ infty} D \ prawej).} Najlepszy$ wśród wszystkie lokalnie wypukłe topologie na , które są bardziej zgrubne niż $E},$$są$ bornologizacją danej lokalnie wypukłej topologii. Jeśli ${\ displaystyle c ^ {\ infty} E = E.}$ przestrzenią Frécheta, $to$

Wygodne przestrzenie wektorowe

$\ displaystyle c ^ {\ infty}}$ że lokalnie wypukła przestrzeń wektorowa $∞$ dogodną przestrzenią wektorową , jeśli zachodzi jeden z następujących równoważnych warunków (zwanych -zupełnością); do patrz [KM], 2.14.

• dla $($ Riemanna- $_ \int _ {0}^ {1}c (t) \, dt}$ istnieje w ${\ Displaystyle E}$ .
• Każda krzywa Lipschitza w $całkowalna$ Riemanna.
• Do $^ {\ infty}}$ krzywa jest do $\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$ : Krzywa $}$${\ Displaystyle c: \ mathbb {R} \ do$ E $_$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}$ kompozycja _ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ lambda \ in E ^ {*}}$ gdzie ${\ Displaystyle E ^ {*}}$ jest liczbą podwójną wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na ${\ displaystyle E}$ .
  • $funkcjonałów$ , dla wszystkich liniowych.
  • Równoważnie dla wszystkich , $′$ jest podzbiorem mi $,$$displaystyle E'}$ który rozpoznaje ograniczone podzbiory w ${$ ; patrz [KM], 5.22.
• Dowolna sekwencja Mackeya-Cauchy'ego (tj. ${\ Displaystyle t_ {nm} (xx_ {m}) \ do 0}$ dla pewnego $do \ infty }$${\ displaystyle t_ { nm}$$\$ w $zbiega$ się w łagodnej kompletności.
• Jeśli $jest$$ograniczona,$ , absolutnie wypukła, to przestrzenią Banacha
• Jeśli ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do E}$ jest skalarna ${\ Displaystyle {\ tekst {Warga}} ^ {k}}$ , to jest ${\ Displaystyle {\ tekst {warga}} ^ {k}}$$: R → mi {\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do E}$ dla ${\ Displaystyle k> 1}$ .
• fa ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do E}$ jest skalarnie mądry do $\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$$jest$ różniczkowalna { $\ displaystyle 0}$ .

$\ Displaystyle {\ tekst$ odwzorowanie się $Warga}} ^ {k}}, jeśli wszystkie pochodne do rzędu k {\ Displaystyle {\ tekst {warga}}$ { $} displaystyle k}$ istnieją i są Lipschitz, lokalnie na ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ .

Płynne odwzorowania

Niech i $-otwarte$$przestrzeniami$ i $niech$ _ $_$ _ Odwzorowanie $się$ gładkim lub , jeśli kompozycja $\ displaystyle f \ circ c \ in do ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, F)}$$R , fa ) {\$ ( dla wszystkich ${\ Displaystyle c \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb { R} , U)}$ . Patrz [KM], 3.11.

Główne właściwości rachunku różniczkowego gładkiego

1. W przypadku map w przestrzeniach Frécheta to pojęcie gładkości pokrywa się ze wszystkimi innymi rozsądnymi definicjami. Jest to nietrywialne twierdzenie udowodnione przez Bomana, 1967. Zobacz także [KM] $,$

2. Odwzorowania wieloliniowe są gładkie wtedy i tylko wtedy, gdy są ograniczone ([KM], 5.5).

3. Jeśli ${\ Displaystyle f: E \ supseteq U \ do F}$ jest gładka, to pochodna ${\ Displaystyle df: U \ razy E \ do F}$ → $, F)}$ a także jest , gdzie oznacza ${\ Displaystyle L (E, F)$ przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań liniowych z topologią jednostajnej zbieżności na ograniczonych podzbiorach; patrz [KM], 3.18.

4. Zasada łańcucha obowiązuje ([KM], 3.18).

5. Przestrzeń wszystkich gładkich odwzorowań $fa$$do F}$ dogodną przestrzenią wektorową $niesie$ podane przez następujący zastrzyk, gdzie pochodnej oddzielnie patrz [KM], 3.11 i 3.7.

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, F) \ do \ prod _ {c \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, U), \ ell \ in F ^ {*}} C ^{\infty}(\mathbb {R},\mathbb {R}),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell}\,.}$

6. Obowiązuje prawo wykładnicze $F}$ [KM], 3,12): Dla -open ${ \ Displaystyle V \$ następujące odwzorowanie jest liniowym dyfeomorfizmem wygodnego wektora spacje.

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, C ^ {\ infty} (V, G)} \ cong C ^ {\ infty} (U \ razy V, G), \ qquad f \ mapsto g, \ qquad f(u)(v)=g(u,v).}$

To jest główne założenie rachunku wariacyjnego. Tutaj jest to twierdzenie. Ta właściwość jest źródłem nazwy dogodna , która została zapożyczona od (Steenrod 1967).

7. Twierdzenie o gładkiej jednostajnej ograniczoności ([KM], twierdzenie 5.26). $)$ liniowe jest gładkie ograniczonemu ${\ Displaystyle \ operatorname {ev} _ {v} \ circ f: V \ do G}$ jest gładki dla każdego ${\ Displaystyle v \ in V}$ .

8. Następujące odwzorowania kanoniczne są gładkie. Wynika to z prawa wykładniczego poprzez proste rozumowania kategoryczne, patrz [KM], 3.13.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ operatorname {ev}: C ^ {\ infty} (E, F) \ razy E \ do F, \quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\ quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\klin }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F ,G)\do C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\ razy C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty } (F,F_{1})\razy C^{\infty }(E_{1},E)\do C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\ infty }(E_{i},F_{i})\do C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{wyrównane}}}$

Powiązane wygodne rachunki

Wygodny rachunek gładkich odwzorowań pojawił się po raz pierwszy w [Frölicher, 1981], [Kriegl 1982, 1983]. Wygodny rachunek różniczkowy (o właściwościach 6 i 7) istnieje również dla:

• Realistyczne odwzorowania analityczne (Kriegl, Michor, 1990; zob. także [KM], rozdział II).
• Odwzorowania holomorficzne (Kriegl, Nel, 1985; zob. także [KM], rozdział II). Pojęcie holomorfii pochodzi od [Fantappié, 1930-33].
• Wiele klas funkcji ultraróżniczkowalnych Denjoya Carlemana, zarówno typu Beurlinga, jak i typu Roumieu [Kriegl, Michor, Rainer, 2009, 2011, 2015].
• Z pewnymi modyfikacjami, ${\ displaystyle \ operatorname {warga} ^ {k}}$ , [FK].
• Przy większej liczbie adaptacji nawet $($ tj. $-ta$$[$ jest Höldera Faure, 1989], [Faure, te Genewa, 1991]).

Odpowiednie pojęcie dogodnej przestrzeni wektorowej jest takie samo (dla leżącej u ich podstaw rzeczywistej przestrzeni wektorowej w przypadku złożonym) dla wszystkich tych teorii.

Zastosowanie: Rozmaitości odwzorowań między rozmaitościami skończonymi wymiarami

Prawo wykładnicze 6 wygodnego rachunku umożliwia bardzo proste dowody podstawowych faktów dotyczących rozmaitości odwzorowań. Niech i będą skończenie wymiarowymi gładkimi rozmaitościami $,$ gdzie $M}$$displaystyle$ jest zwarty Używamy pomocniczej metryki Riemanna ${\ displaystyle {\ bar {g}}}$ na ${\ displaystyle N}$ . Riemanna wykładnicze odwzorowanie jest opisane na poniższym diagramie: ${\ displaystyle {\ bar {g}}}$

$_$$_$ przestrzeni gładkich _ Wykres wyśrodkowany na , to: ${\ Displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (M, N)}$

${\ Displaystyle u_ {f }:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\podzbiór V^{N\razy N}\}\to {\tylda { U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),}$

${\ Displaystyle u_ {f} (g) = (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}} )^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1 }(g(x)),}$

${\ Displaystyle (u_ {f}) ^ {- 1} (s) = \ exp _ {f} ^ {\ bar {g}} \ circ s, \ qquad \ quad (u_ {f}) ^ {- 1 }(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).}$

Teraz podstawowe fakty następują z łatwością. Trywializacja wiązki wektorów wycofania i zastosowanie prawa wykładniczego 6 prowadzi do dyfeomorfizmu ${\ Displaystyle f ^ {*} TN}$

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, \ Gamma (M; f ^ {*} TN)) = \ Gamma (\ mathbb {R} \ razy M; \ operatorname {pr_ {2}} ^{*}f^{*}TN).}$

Wszystkie mapowania zmian wykresów są gładkie ( ), ponieważ odwzorowują gładkie krzywe na gładkie krzywe: do $\ displaystyle C ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {U}} _ {f_ {1}} \ ni s \ mapsto (\ pi _ {N}, \ exp ^ {\ bar {g}}) \ circ s \ mapsto (\ pi _ {N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).}$

Zatem $_$ . Przestrzeń wszystkich gładkich krzywych w tej rozmaitości jest dana przez

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, C ^ {\ infty} (M, N)} \ cong C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ razy M, N).}$

Ponieważ w widoczny sposób odwzorowuje gładkie krzywe na gładkie krzywe, kompozycja

${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (P, M) \ razy C^{\infty}(M,N)\to C^{\infty}(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,}$

jest gładki. Konsekwencją struktury wykresu wiązka styczna rozmaitości odwzorowań

${\ Displaystyle \ pi _ {C ^ {\ infty} (M, N)} = C ^ {\ infty} (M, \ pi _ {N}): TC ^ {\ infty} (M, N) = C ^{\infty}(M,TN)\do C^{\infty}(M,N).}$

Regularne grupy kłamstw

Niech $będzie$ połączoną gładką grupą Liego wzorowaną na wygodnych przestrzeniach , z algebrą Lie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ . Mnożenie i inwersja są oznaczone przez:

${\ Displaystyle \ mu: G \ razy G \ do G, \ quad \ mu (x, y) = xy = \ mu _ {x} (y) = \ mu ^ {y} (x), \ qquad \ nu :G\do G,\nu (x)=x^{-1}.}$

Pojęcie regularnej grupy Liego pochodzi pierwotnie od Omori i in. dla grup Frécheta Liego, został osłabiony i uczyniony bardziej przejrzystym przez J. Milnora, a następnie przeniesiony do dogodnych grup Liego; patrz [KM], 38.4.

Grupa kłamstw nazywana jest regularną , jeśli spełnione są następujące dwa warunki: ${\ displaystyle G}$

• $w$ gładkiej _ ${\ Displaystyle g \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, G)}$ w grupie Lie, której prawa pochodna logarytmiczna to ${\ Displaystyle X}$ . Okazuje się, że $,$$określony$ przez swoją wartość początkową . To znaczy

${\ Displaystyle g (0) = e, \ qquad \ częściowe _ {t} g (t) = T_ {e} (\ mu ^ {g (t)}) X (t) = X (t). g ( T).}$

Jeśli jest unikalnym rozwiązaniem dla krzywej $wymaganej$$displaystyle X}$ , oznaczamy sol {

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ewolucja} _ {G} ^ {r} (X) = g (1), \ quad \ nazwa operatora {ewolucja} _ {G} ^ {r} (X) (t): = g ( t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).}$

• Następujące odwzorowanie musi być płynne:

${\ Displaystyle \ operatorname {ewolucja} _ {G} ^ {r}: C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}, {\ mathfrak {g}}) \ do G.}$

Jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {evol} _ {G} ^ {r} (X$ stałą krzywą w algebrze Liego, to $X$ to mapowanie wykładnicze grupy.

Twierdzenie. $Dla$ każdej $rozmaitości$ grupa grupą $.$$to$ przestrzeń wszystkich gładkich pól wektorowych na minusem zwykłego nawiasu jako

Dowód: grupa dyfeomorfizmu ${$$M, M)}$ ponieważ jest podzbiorem otwartym w do $Displaystyle C ^ {\ infty$ . Kompozycja jest gładka przez ograniczenie. $operatorname$ : Jeśli jest gładką krzywą w ${ Różnicowanie} ($ to f ( t , ) ^-1
${\ Displaystyle f (t, \ ) ^ {- 1} (x)}$ spełnia ukryte równanie ${\ Displaystyle f (t, f (t, \ quad) ^ {- 1} (x)) = x}$ , więc według twierdzenia o funkcji uwikłanej o skończonych wymiarach $mapsto f (t, \) ^ {- 1} (x)}$ \ Tak więc inwersja odwzorowuje gładkie krzywe na gładkie krzywe, a zatem inwersja jest gładka. Niech $t, x)}$$\ Displaystyle C ^ {\ infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))} )$ zależnym od czasu polem wektorowym na (in do ${$ . Następnie operator przepływu odpowiedniego autonomicznego pola wektorowego ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ razy M}$$t$$Displaystyle \ częściowe _ {t} \ razy X}$ na indukuje operatora ewolucji poprzez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Fl} _ {s} (t, x) = (t + s, \ nazwa operatora {Rozwój} (X)(t,x))}$

co spełnia równanie różniczkowe zwyczajne

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} \ nazwa operatora {Evol} (X) (t, x) = X (t, \ nazwa operatora {Evol} (X) (t, x)).}$

Biorąc pod uwagę gładką krzywą w algebrze Liego, $R} ^ {2}, {\ mathfrak {X}} (M)}}$${\ Displaystyle X (s, t, x) \ w C ^ {\ infty} (\ mathbb$${$ , to rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego zależy płynnie również od dalszej zmiennej a więc ${\ Displaystyle \ operatorname {evol} _ {\ operatorname {Różnica} (M)} ^ {r}}$ odwzorowuje gładkie krzywe zależnych od czasu pól wektorowych na gładkie krzywe dyfeomorfizmu. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Główny pakiet osadzeń

Dla skończonych wymiarowych rozmaitości i ${ \ Displaystyle$$N$$}$ z kompaktowymi, przestrzeń $operatorname {Emb} (M, N)$ wszystkie gładkie osadzenia w $,$ są otwarte w $\$$M$ Displaystyle . Grupa dyfeomorfizmu ${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$ działa swobodnie i płynnie od prawej strony ${\ Displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N)}$ .

Twierdzenie: ${\ Displaystyle \ operatorname {Emb} (M, N) \ do \ operatorname {Emb} (M, N) / \ operatorname {Diff} (M)}$ to główna wiązka włókien z grupą strukturalną ${\ Displaystyle \ operatorname {Diff} (M)}$ .

Dowód: Ponownie używa się pomocniczej metryki riemannowskiej na $displaystyle N }$ \ ${\ displaystyle {\ bar {g}}}$ Biorąc pod uwagę ${\ Displaystyle f \ w \ operatorname {Emb} (M, N)}$ , zobacz ${\ Displaystyle f (M)}$ jako podrozmaitość ${\ Displaystyle N }$ i podziel ograniczenie wiązki stycznej $\ Displaystyle f ($ fa $)}$ na podwiązkę normalną do i styczną do ${\ Displaystyle f (M)}$${\ Displaystyle f (M)}$ jak ${\ Displaystyle TN | _ {f (M)} = \ nazwa operatora {Nor} (f (M)) \ oplus Tf (M)}$ . Wybierz sąsiedztwo rurowe

${\ Displaystyle p_ {f (M)}: \ nazwa operatora {Nor} (f (M)) \ supset W_ {f (M)} \ do f (M).}$

Jeśli $Displaystyle g: M \ do N}$ \ jest $\ Displaystyle C ^ {1}$ do , to do $}$

${\ Displaystyle \ phi (g): = f ^ {-1} \ circ \, p_ {f (M)} \ circ \, g \ in \ operatorname {Różnica} (M) \ quad {\ tekst {i} }\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\podzbiór \Gamma (f^{*}\nazwa_operatora {Nor } (f(M))).}$

Jest to wymagany podział lokalny. CO BYŁO DO OKAZANIA

Dalsze zastosowania

Przegląd zastosowań wykorzystujących geometrię przestrzeni kształtu i grupy dyfeomorfizmu można znaleźć w [Bauer, Bruveris, Michor, 2014].

Notatki

• M. Bauer, M. Bruveris, PW Michor: Przegląd geometrii przestrzeni kształtów i grup dyfeomorfizmu. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv: 1305.11500)
• Boman J.: Różniczkowalność funkcji i jej składu funkcją jednej zmiennej, Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249–268.
• Faure, CA: Sur un théorème de Boman, CR Acad. Sci., Paryż}, tom. 309 (1989), 1003–1006.
• Faure, CA: Théorie de la différentiation dans les espaces convenables, These, Université de Genève, 1991.
• Frölicher, A.: Applications lisses entre espaces et variétés de Fréchet, CR Acad. nauka Paryż, tom. 293 (1981), 125-127.
• [FK] Frölicher A., ​​Kriegl A.: Przestrzenie liniowe i teoria różniczkowania. Matematyka czysta i stosowana, J. Wiley, Chichester, 1988.
• Kriegl, A.: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich – Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109-124.
• Kriegl, A.: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatter Abbildungen zwischen beliebigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287-309.
• [KM] Kriegl, A., Michor, PW: Wygodne ustawienie analizy globalnej. Ankiety i monografie matematyczne, tom: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. (pdf)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: Wygodne ustawienie dla niequasanalitycznych mapowań różniczkowych Denjoya-Carlemana, Journal of Functional Analysis, tom. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv:0804.2995)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: Wygodne ustawienie dla quasanalitycznych mapowań różniczkowych Denjoya-Carlemana, Journal of Functional Analysis, tom. 261 (2011), 1799–1834. (arXiv:0909.5632)
• Kriegl, A., Michor, PW, Rainer, A.: Wygodne ustawienie różniczkowych odwzorowań Denjoya-Carlemana typu Beurlinga i Roumieu. Revista Matematica Complutense (2015). doi:10.1007/s13163-014-0167-1. (arXIV:1111.1819)
• Michor PW: Rozmaitości odwzorowań i kształtów. (arXiv:1505.02359)
• Steenrod, NE: Wygodna kategoria dla przestrzeni topologicznych, Michigan Mathematical Journal, tom. 14 (1967), 133–152.