Zbiór ograniczony (topologiczna przestrzeń wektorowa)

Ogólnie dla zbiorów ograniczonych zobacz zbiór ograniczony .

W analizie funkcjonalnej i pokrewnych dziedzinach matematyki zbiór w topologicznej przestrzeni wektorowej nazywany jest ograniczonym lub ograniczonym von Neumanna , jeśli każde sąsiedztwo wektora zerowego można rozszerzyć , aby zawierało zbiór . Zbiór, który nie jest ograniczony, nazywamy nieograniczonym .

Zbiory ograniczone są naturalnym sposobem definiowania topologii biegunowych lokalnie wypukłych na przestrzeniach wektorowych w parach podwójnych , ponieważ zbiór biegunowy zbioru ograniczonego jest zbiorem absolutnie wypukłym i absorbującym . Koncepcja ta została po raz pierwszy wprowadzona przez Johna von Neumanna i Andrieja Kołmogorowa w 1935 roku .

Definicja

Załóżmy, $TVS$ jest topologiczną przestrzenią wektorową ( ) nad polem ${\ Displaystyle \ mathbb {K}.}$

Podzbiór z $X}$${\ displaystyle$ nazywany jest ograniczonym von Neumanna lub po prostu ograniczonym w ${\ displaystyle X} ,$ spełniony jest którykolwiek z następujących równoważnych warunków: X {\ displaystyle X}

1. Definicja $B \ subseteq sV$ Dla każdego sąsiedztwa $istnieje$ rzeczywiste takie $}$ że dla wszystkich skalarów $Displaystyle$ zadowalający ${\ Displaystyle | s | \ geq r.}$
   • Taką definicję wprowadził John von Neumann w 1935 roku.
2. ${\ displaystyle B}$ jest wchłaniany przez każde sąsiedztwo pochodzenia.
3. ${\ Displaystyle B \ subseteq sV.}$ każdego sąsiedztwa $pochodzenia$ istnieje skalar $b$ ,
4. Dla każdego sąsiedztwa $pochodzenia$ istnieje rzeczywiste $,$ że dla wszystkich skalarów $displaystyle sB$$}$ \ ${\ displaystyle | s | \ równoważnik r.}$
5. $Dla$ każdego $sąsiedztwa$ pochodzenia ${\ Displaystyle 0 <t \ równoważnik r.}$$.$ że dla
6. Dowolne ze stwierdzeń od (1) do (5) powyżej, ale ze słowem „sąsiedztwo” zastąpione przez jedno z następujących: „ sąsiedztwo zrównoważone ”, „sąsiedztwo otwarte zbilansowane”, „sąsiedztwo zamknięte zrównoważone”, „sąsiedztwo otwarte”, „sąsiedztwo zamknięte” sąsiedztwo".
   • $Stwierdzenie ($$się$ : jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy jest wchłaniane przez każde sąsiedztwo pochodzenia.
   • Jeśli jest lokalnie wypukły $,$ to przymiotnik „wypukły” można również dodać do dowolnego z tych 5 zamienników
7. ${2}, s_ {3}, \ ldots}$ s_ ${\ Displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, \ ldots}$ która zbiega się do ${\ displaystyle 0}$ i każdej sekwencji w ${\ Displaystyle B,}$ sekwencja ${\ Displaystyle s_ {1} b_ {1}, s_ {2} b_ {2}, s_ {3} b_ {3}, \ ldots}$ zbiega się do ${\ Displaystyle 0}$ w ${\ Displaystyle X.}$
   • To była definicja „ograniczenia”, której użył Andriej Kołmogorow w 1934 r., Która jest taka sama, jak definicja wprowadzona przez Stanisława Mazura i Władysława Orlicza w 1933 r. Dla metryzowalnych TVS. Kołmogorow użył tej definicji, aby udowodnić, że TVS jest półnormalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma ograniczone wypukłe sąsiedztwo pochodzenia.
8. Dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, \ ldots}$ w ${\ Displaystyle B,}$ sekwencja ${\ textstyle \ lewo ({\ tfrac {1} {i}} b_ {i} \ prawej) _ {i = 1} ^ {\ infty}} zbiega się$ do ${\ Displaystyle 0}$ w ${\ Displaystyle X.}$
9. Każdy policzalny podzbiór jest $ograniczony (zgodnie$ dowolnym warunkiem definiującym innym niż ten).

Jeśli jest podstawą sąsiedztwa dla początku, to ta lista może zostać rozszerzona o: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}$$}$

10. Dowolne ze stwierdzeń (1) do (5) powyżej, ale z sąsiedztwami ograniczonymi do tych należących do ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}.}$
    • Np. Stwierdzenie (3) może stać się: Dla każdego $istnieje$ skalar jak ${\ Displaystyle V \ in {\ mathcal {B}}}$ że ${\ Displaystyle B \ subseteq sV.}$

Jeśli jest lokalnie wypukłą przestrzenią, której topologia jest zdefiniowana przez rodzinę ciągłych $półnorm , to tę listę$ rozszerzyć o: ${\ displaystyle X}$

11. ${\ Displaystyle p (B)}$${\ displaystyle p \ w {\ mathcal {P}}.}$ ograniczony dla wszystkich
12. $_$ niezerowych każdej ${\ Displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, \ ldots}$ b $\ Displaystyle B,}$ sekwencja ${\ Displaystyle b_ {1} s_ {1}, b_ {2} s_ {2}, b_ {3} s_ {3}, \ ldots}$ jest ograniczony w ${\ Displaystyle X}$ (według dowolnej definicji stan inny niż ten).
13. Dla wszystkich $znormalizowanej$$definiującym$ innym niż ten) częściowo ${\ Displaystyle (X, p).}$

Jeśli jest przestrzenią $znormalizowaną$ z normą (lub bardziej ogólnie, jeśli jest to $przestrzeń$ półnormowana i $}$${\ Displaystyle \|$ jest tylko seminormą ), to tę listę można rozszerzyć o:

14. ${\ displaystyle B}$ jest ograniczonym normą podzbiorem ${\ Displaystyle (X, \|\ cdot \|).}$ Z definicji oznacza to, że istnieje liczba rzeczywista ${\ displaystyle r> 0}$ taka, że ${\ displaystyle \|b\| \leq r}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle b \ w B.}$
15. ${\ Displaystyle \ sup _ {b \ w B} \ | b \ | <\ infty.}$
    • Tak więc, jeśli ${\ Displaystyle L: (X, \|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$ jest liniową mapą między dwiema znormalizowanymi (lub półnormalnymi) przestrzeniami i jeśli jest zamkniętą (alternatywnie otwartą) kulą jednostkową ${\ displaystyle B}$ w ${\ Displaystyle (X, \|\ cdot \|)}$ wyśrodkowany na początku, to jest $przypomina$ operatorem liniowym (co sobie, że jego norma operatora ${\ Displaystyle \|L \ |: = \ sup _ {b \ w B} \| L (b) \|<\ infty} jest$ skończony) jeśli i $tylko wtedy$$,$${\ Displaystyle (Y, \|\ cdot \|).}$ obraz tej piłki ograniczonym
16. ${\ displaystyle B}$ jest podzbiorem pewnej (otwartej lub zamkniętej) piłki.
    • Ta kula nie musi być wyśrodkowana w początku, ale jej promień musi (jak zwykle) być dodatni i skończony.

Jeśli jest wektorową podprzestrzenią TVS, $\ displaystyle B}$ ta lista może zostać rozszerzona o: ${$

17. ${\ displaystyle B}$ jest zawarte w zamknięciu ${\ Displaystyle \ {0 \}.}$
    • Innymi słowy, podprzestrzeń wektorowa $z$ ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem (przestrzeni wektorowej) ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {cl} _ {X} \ {0 \}.}$
    • $.$ że jest przestrzenią Hausdorffa $wtedy$ i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle X.}$ w Tak więc jedyną ograniczoną podprzestrzenią wektorową Hausdorffa TVS jest ${\ Displaystyle \ {0 \}.}$

Podzbiór, który nie jest ograniczony, nazywany jest nieograniczonym .

Bornologia i podstawowe systemy zbiorów ograniczonych

Zbiór wszystkich ograniczonych zbiorów w topologicznej przestrzeni wektorowej X nazywa ${\ Displaystyle X.}$ bornologią von Neumanna $lub$ ( kanoniczną )

Podstawowy lub podstawowy system ograniczonych zbiorów to $X}$ ograniczonych podzbiorów $\ displaystyle X$$} taki, że$ każdy ograniczony podzbiór $X$${\ displaystyle$ jest podzbiorem pewnego ${\ Displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}.}$ Zbiór wszystkich ograniczonych podzbiorów ${\ Displaystyle X}$ w trywialny sposób tworzy podstawowy system ograniczonych zbiorów ${\ Displaystyle X.}$

Przykłady

W dowolnym lokalnie wypukłym TVS zbiór dysków zamkniętych i ograniczonych jest podstawą zbioru ograniczonego.

Przykłady i warunki wystarczające

O ile nie wskazano inaczej, topologiczna przestrzeń wektorowa (TVS) nie musi być Hausdorffa ani lokalnie wypukła .

• Zbiory skończone są ograniczone.
• Każdy całkowicie ograniczony podzbiór TVS jest ograniczony.
• Każdy względnie zwarty zbiór w topologicznej przestrzeni wektorowej jest ograniczony. Jeśli przestrzeń jest wyposażona w słabą topologię , sytuacja jest również odwrotna.
• Zbiór punktów ciągu Cauchy'ego jest ograniczony, zbiór punktów sieci Cauchy'ego nie musi być ograniczony.
• $jest$ pochodzenia (odnoszące się do domknięcia zbioru zawsze ograniczoną zamkniętą podprzestrzenią wektorową. Ten zestaw $Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}$ jest unikalnym największym (w odniesieniu do włączenia zestawu) $\$ podprzestrzenią wektorową z ${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle B + \ nazwa operatora {cl} _ {X} \ {0 \}.}$$X$ jeśli ograniczonym podzbiorem $}$ jest

Nieograniczone zbiory

O zbiorze, który nie jest ograniczony, mówimy, że jest nieograniczony .

Każda podprzestrzeń wektorowa TVS, która nie jest zawarta w zamknięciu ${\ displaystyle \ {0 \}}$ jest nieograniczona

Istnieje przestrzeń Frécheta $($ ograniczony podzbiór $, a$${\ Displaystyle X}$ gęsta podprzestrzeń wektorowa taka, że ​​​​nie jest $zawarta$ w domknięciu $)$ ) dowolnego ograniczonego podzbioru ${\ Displaystyle M.}$

Właściwości stabilności

• W każdym TVS skończone sumy , skończone sumy Minkowskiego , wielokrotności skalarne, translacje, podzbiory, domknięcia , wnętrza i zrównoważone kadłuby zbiorów ograniczonych są ponownie ograniczone.
• W każdym lokalnie wypukłym TVS wypukła otoczka (zwana także obwiednią wypukłą ) zbioru ograniczonego jest ponownie ograniczona. Jednak może to być fałszywe, jeśli przestrzeń nie jest lokalnie wypukła, ponieważ (nielokalnie wypukła) przestrzeń Lp ${\ displaystyle L ^ {p}}$ spacje dla ${\ displaystyle 0 <p <1}$ nie mają nietrywialnych otwartych wypukłych podzbiorów.
• Obraz zbioru ograniczonego pod ciągłą mapą liniową jest ograniczonym podzbiorem kodomeny.
• Podzbiór dowolnego (kartezjańskiego) iloczynu TVS jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jego obraz pod każdym odwzorowaniem współrzędnych jest ograniczony.
• Jeśli i $jest$ topologiczną wektorową podprzestrzenią $jest$$S$$\ Displaystyle Y},$$to$ \ w $\displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $ograniczony$ w ${\ Displaystyle Y.}$
  • Innymi słowy, podzbiór jest ograniczony w ${\ Displaystyle S \ subseteq X}$$Displaystyle X} wtedy i tylko wtedy$ gdy jest ograniczony w każdym (lub równoważnie w niektórych) wektorze topologicznym S superprzestrzeń ${\ Displaystyle X.}$

Nieruchomości

Zobacz też: Topologiczna przestrzeń wektorowa § Właściwości

Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa ma ograniczone sąsiedztwo zera wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologię można zdefiniować za pomocą pojedynczej seminormy .

Biegunowy zbioru ograniczonego jest zbiorem absolutnie wypukłym i absorbującym .

Warunek policzalności Mackeya - Jeśli jest policzalną sekwencją ograniczonych podzbiorów metryzowalnego lokalnie wypukłego wektora topologicznego ${\ Displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ ldots}$ przestrzeń $wtedy$ istnieje ograniczony podzbiór X $\ Displaystyle$$X}$ i sekwencja $r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}, \ ldots }$ dodatnich liczb rzeczywistych takich, że ${\ Displaystyle B_ {i} \ subseteq r_ {i} B}$ dla wszystkich ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$ (lub równoważnie, tak że ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {r_ {1}}} B_ {1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}$ ) .

$z$ poniżej definicji jednostajnie ograniczonych Mackeya można $dodatnich$ podzbiorami metryzowalnej przestrzeni sekwencja liczb t ${\ Displaystyle t_ {1} B_ {1}, \, t_ {2} B_ {2}, \, t_ {3} B_$ są jednostajnie ograniczone . Innymi słowy, mając dowolną policzalną rodzinę zbiorów ograniczonych w metryzowalnej lokalnie wypukłej przestrzeni, możliwe jest skalowanie każdego zbioru przez jego własną dodatnią liczbę rzeczywistą, tak aby stały się jednostajnie ograniczone.

Uogólnienia

Jednostajnie ograniczone zbiory

Zobacz też: Jednolita zasada ograniczoności

$ograniczony$ , { \ displaystyle Y } , $jakiś$ podzbiór B ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}$${\ displaystyle D}$ z ${\ displaystyle Y}$ takie, że

$${\ Displaystyle B \ subseteq D \ quad {\ tekst {dla każdego}} B \ in {\ mathcal {B}},}$$

co dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy jest to związek

$${\ Displaystyle \ puchar {\ mathcal {B}} ~: = ~ \ bigcup _ {B \ w {\ mathcal {B}}} B}$$

jest ograniczonym podzbiorem ${\ Displaystyle Y.}$ W przypadku przestrzeni znormalizowanej (lub półnormowanej ), rodzina $jest$ jednostajnie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jej związek $B}}}$${\ displaystyle \ puchar {$$\ Displaystyle M$ jest ograniczony normą , ${\ Displaystyle b \ in \ cup {\ mathcal {B}},}$ ​​istnieje jakiś rzeczywisty że każdego $\ geq 0 }$ lub równoważnie wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ textstyle \ sup _ {\ stackrel {b \ w B} {B \ w {\ mathcal {B}}}} \ | b \ | <\ infty.}$

$, że$$Displaystyle$ zbiór map od ${\ Displaystyle H (C): = \ {h (C): h \ in H \}}$ Y $\$$Y}$ jest równomiernie ograniczony na danym zbiorze rodzina jest równomiernie ograniczony w ${\ Displaystyle Y,$ } z definicji oznacza, że ​​istnieje pewien ograniczony podzbiór Y $taki$$\ displaystyle Y}$ , że $}}h$${\ Displaystyle h (C) \ subseteq D {\ tekst$$równoważnie$ wtedy jest ograniczonym podzbiorem $\$$ograniczony$${$ displaystyle Y } $jednostajnie$ na niektórych (lub równoważnie na każdym) otwartym X {\ piłka (i / lub niezdegenerowana zamknięta piłka) w $,$ gdy ich normy operatora są jednostajnie ograniczone; to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy ${\textstyle \sup _ {h\in H}\|h\|<\infty.}$

Twierdzenie - Niech będzie zbiorem ciągłych operatorów liniowych między dwiema $\ Displaystyle$ przestrzeniami wektorowymi i $H \ subseteq L (X,$$)}$ i niech $podzbiorem$ ograniczonym ${\ Displaystyle X.}$ Wtedy $H}$$Displaystyle$ jest równomiernie ograniczony na (to znaczy rodzina $\in H \}}$${\ Displaystyle \ {h (C):$ jest jednostajnie ograniczona w $\ displaystyle Y} }$ , jeśli spełniony jest którykolwiek z następujących warunków: Y {

1. ${\ displaystyle H}$ jest równociągły .
2. $}$ { ${\ Displaystyle H (c): = \ {h (c): h \ in H \}}$ jest wypukłą zwartą podprzestrzenią Hausdorffa i $dla$$orbity$ h ( jest ograniczonym podzbiorem ${\ Displaystyle Y.}$

Dowód części (1)

Załóżmy $,$$równociągły$ i niech będzie otoczeniem pochodzenia w ${\ Displaystyle Y.}$$Ponieważ$ jest ${\ displaystyle h (U} )\subseteq W}$ , istnieje sąsiedztwo $takie$ w ${\ Displaystyle X}$ , że dla każdego $h \ in H.}$$displaystyle$ Ponieważ jest ograniczony w $X,}$ istnieje jakiś rzeczywisty ${\ displaystyle r> 0}$ taki, że jeśli ${\ displaystyle t \geq r}$ wtedy $\ Displaystyle C \ subseteq tU.}$${\ Displaystyle h (C) \ subseteq h (tU) = th (U) \ subseteq tW},$$Displaystyle t \ geq r,$ dla każdego i każdego ${\$ co implikuje, że $) \ subseteq tW.}$${\ textstyle \ bigcup _ {h \ in H} h (C)}$ Zatem jest ograniczone w ${\ Displaystyle Y.}$ QED

Dowód części (2)

Niech $będzie$ zrównoważonym sąsiedztwem pochodzenia $w$ i niech ${\ Displaystyle V + V \ subseteq W.}$$displaystyle$ , zrównoważonym sąsiedztwem pochodzenia takim , że $W}$ Zdefiniuj $${\ Displaystyle E ~: = ~ \ bigcap _ {h \ w H} h ^ {- 1} (V),}$$ is a homeomorphism) and so every $C\cap nE$ is closed in ${\ Displaystyle h (E) \ subseteq V}$$jest$ podzbiorem $mi$ ponieważ domknięty, podczas gdy każdy $jest$ , ${\ displaystyle h \ in H.}$ każdego Zauważ, że dla każdego niezerowego skalara $n \ neq 0,}$${\ displaystyle n \ neq 0}$$zbiór$ jest domknięty w (od skalarnego ) mnożenie przez $n\neq 0$$C.$ ${\ Displaystyle C = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} (C \ cap nE)}$ zostanie $N$ że następuje. Jeśli $\$$Displaystyle c \ w C},$ bycie ograniczonym gwarantuje pewnej dodatniej liczby całkowitej $w \mathbb {N}}$$Displaystyle n = n_ {c}$ takie, że ${\ Displaystyle H (c) \ subseteq n_ {c} V,}$ gdzie liniowość każdego ${\ Displaystyle h \ in H}$ implikuje teraz ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {n_ {c}}} c \ w h ^ {- 1} (V);} więc$ 1 $\ displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)=E} i$ stąd ${ \displaystyle C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N}}nE,}$ według potrzeb. Zatem do $cdots }$$(C \ czapka 1E) \ kubek (C \ czapka 2E) \ kubek (C \ czapka 3E) \$$kubek$$\$ wyraża jako przeliczalną sumę zamkniętych (w . Ponieważ jest nieskromnym podzbiorem $samego$ siebie (ponieważ jest to przestrzeń Baire'a o kategorii Baire'a ), jest to możliwe tylko wtedy, gdy istnieje pewna liczba całkowita ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {N} }$ takie, że ma niepuste wnętrze w ${\ displaystyle C \ cap nE$${\ Displaystyle C.}$ Niech ${\ Displaystyle k \ in \ operatorname {Int} _ {C} (C \ cap nE)}$ będzie dowolnym punktem należącym do tego otwartego podzbioru $displaystyle C.}$$\$ Niech będzie dowolnym zrównoważonym otwartym sąsiedztwem pochodzenia w takim, że $\ displaystyle X}$ $${\ Displaystyle C \ cap (k + U) ~ \ subseteq ~ \ operatorname {Int} _ {C} (C \ cap nE).}$$ Zbiory $p$ ( $\ Displaystyle k + pU \ subseteq k + qU}$$p$ implikuje ${\ Displaystyle C \ subseteq k + pU}$ ) pokrycie przestrzeni zwartej do $\ displaystyle C,}$ więc istnieje takie, że ${\ displaystyle p> 1}$ (a więc ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {p}} (Ck) \ subseteq U}$ ). Zostanie $\ Displaystyle \ {h (C): h \ in H \}}$$\$ dla każdego $pnW$${$ jest równomiernie ograniczony w i kończy dowód. Więc $do$ do ${\ displaystyle c \ w C.}$ Niech $${\ Displaystyle z ~: = ~ {\ tfrac {p-1} {p}} k + {\ tfrac {1} {p}} c.}$$ Wypukłość gwarantuje, $\ Displaystyle z \ in k + U}$${\ Displaystyle z \ w C}$$,$ a ponadto z $${\ Displaystyle zk = {\ tfrac {-1} {p}} k + {\ tfrac {1} {p}} c = {\ tfrac {1} {p}} (ck) \ w {\ tfrac {1} {p}}(Ck)\subseteq U.}$$ Zatem ${\ Displaystyle z \ w C \ cap (k + U)} ,$ który jest podzbiorem ${\ Displaystyle \ operatorname {Int} _ {C} (C \ cap nE).}$ Ponieważ ${\ Displaystyle nV}$ jest zrównoważony i ${\ Displaystyle | 1-p | = p-1 <p,}$ mamy ${\ Displaystyle (1-p) nV \ subseteq pnV, }$ co w połączeniu z daje ${\ Displaystyle h (E) \ subseteq V}$ $${\ Displaystyle pnh (E) + (1-p) nh (E) ~ \ subseteq ~ pnV + (1-p) nV ~ \ subseteq ~ pnV + pnV ~ \ subseteq ~ pn (V + V) ~ \ subseteq ~ pnW .}$$ do ${\ Displaystyle c = pz + (1-p) k}$ i , $Displaystyle k, z \ in nE}$ $${\ Displaystyle h (c) ~=~ph(z)+(1-p)h(k)~\in ~pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnW,}$$ zgodnie z życzeniem. CO BYŁO DO OKAZANIA

Ponieważ każdy podzbiór singleton $jest$ jest ${\$ ograniczonym, wynika z tego, że jeśli zbiorem ciągłych operatorów liniowych, X między dwiema $textstyle H (x):=\{h(x):h\in H\}}$ przestrzeniami $wektorowymi$ i (niekoniecznie $H.$ lub lokalnie wypukłymi), a następnie orbita ( x z każdego $x\in X$ jest ograniczonym podzbiorem ${\ Displaystyle Y.}$

Ograniczone podzbiory modułów topologicznych

Definicję zbiorów ograniczonych można uogólnić na moduły topologiczne . Podzbiór modułu topologicznego $A}$ { $\$ Displaystyle $ZA$ { ${$ } $\$ istnieje sąsiedztwo R $displaystyle$${\ displaystyle wA \ subseteq B.}$$0_ {R}}$ takie, że

Zobacz też

• Przestrzeń bornologiczna - Przestrzeń, w której operatory ograniczone są ciągłe
• Zestaw Bornivorous - zestaw, który może wchłonąć dowolny ograniczony podzbiór
• Funkcja ograniczona — funkcja matematyczna, której zbiór wartości jest ograniczony
• Operator ograniczony – Transformacja liniowa między topologicznymi przestrzeniami wektorowymi
• Punkt graniczny - Pojęcie matematyczne związane z podzbiorami przestrzeni wektorowych
• Przestrzeń zwarta – Rodzaj przestrzeni matematycznej
• Kryterium normowalności Kołmogorowa – Charakterystyka przestrzeni normowalnych
• Lokalna ograniczoność
• Przestrzeń całkowicie ograniczona - przestrzeń metryczna X taka, że ​​dla każdego ε > 0 istnieje skończona okładka X taka, że ​​promień każdego elementu okładki wynosi co najwyżej ε Strony wyświetlające opisy danych wikidanych jako rozwiązanie awaryjne

Notatki

Bibliografia

•    Adaś, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologiczne przestrzenie wektorowe: teoria bez warunków wypukłości . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 639. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8 . OCLC 297140003 .
•    Berberyjski, Sterling K. (1974). Wykłady z analizy funkcjonalnej i teorii operatorów . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 15. Nowy Jork: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0 . OCLC 878109401 .
•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 . Éléments de mathématique . Przetłumaczone przez Egglestona, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•    Conway, John (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 96 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9 . OCLC 21195908 .
•    Edwards, Robert E. (1995). Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania . Nowy Jork: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . OCLC 30593138 .
•    Grothendieck, Aleksander (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Przetłumaczone przez Chaljub, Orlando. Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
•    Jarchow, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiczne przestrzenie wektorowe I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 159. Przetłumaczone przez Garlinga, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
• Robertson, AP; WJ Robertsona (1964). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 53. Cambridge University Press . s. 44–46.
•    Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 53. Cambridge Anglia: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•   Schäfer, HH (1970). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 3. Springer-Verlag . s. 25–26. ISBN 0-387-05380-8 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Wilański, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .