Różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta

W matematyce , aw szczególności w analizie funkcjonalnej i analizie nieliniowej , możliwe jest zdefiniowanie pochodnej funkcji między dwiema przestrzeniami Frécheta . To pojęcie różniczkowania, ponieważ jest pochodną Gateaux między przestrzeniami Frécheta, jest znacznie słabsze niż pochodna w przestrzeni Banacha , nawet między ogólnymi topologicznymi przestrzeniami wektorowymi . Niemniej jednak jest to najsłabsze pojęcie różniczkowania, dla którego utrzymuje się wiele znanych twierdzeń z rachunku różniczkowego . W szczególności reguła łańcuchowa jest prawdziwa. Z pewnymi dodatkowymi ograniczeniami związanymi z przestrzeniami i funkcjami Frécheta, istnieje odpowiednik twierdzenia o funkcji odwrotnej zwany twierdzeniem o funkcji odwrotnej Nasha-Mosera , mający szerokie zastosowanie w analizie nieliniowej i geometrii różniczkowej .

Szczegóły matematyczne

Formalnie definicja różniczkowania jest identyczna z pochodną Gateaux . Konkretnie, niech $X$ będą ${\ displaystyle F: U \ to Y}$ Frécheta, będą zbiorem otwartym i $\ Displaystyle U \ subseteq X}$${$ zbiorem otwartym i będzie funkcją. ${\ displaystyle$ kierunkowa w kierunku przez $F }$

$${\ Displaystyle DF (u) v = \ lim _ {\ tau \ do 0} {\ Frac {F (u + v\tau )-F(u)}{\tau }}}$$

jeśli granica istnieje. Mówi się, że $jest różniczkowalna$$}$ sposób ciągły lub jeśli granica istnieje dla wszystkich do $\ displaystyle C ^$

$${\ Displaystyle DF: U \ razy X \ do Y}$$

jest mapą ciągłą .

Pochodne wyższego rzędu są definiowane indukcyjnie przez

$${\ Displaystyle D ^ {k + 1} F (u) \ lewo \ {v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {k + 1} \ prawo \} = \ lim _ {\ tau \ do 0}{\frac {D^{k}F(u+\tau v_{k+1})\lewo\{v_{1},\ldots,v_{k}\prawo\}-D^{k}F (u)\lewo\{v_{1},\ldots,v_{k}\prawo\}}{\tau }}.}$$

$X\ do Y}$ , że funkcja jest taka , że $fa$$X$$times$ Jest to $\ Displaystyle C ^ {\ infty},}$ lub gładkie, jeśli jest to dla każdego ${\ Displaystyle k.}$

Nieruchomości

Niech ${\ displaystyle X, Y}$ i ${\ displaystyle Z}$ będą przestrzeniami Frécheta. Załóżmy, że jest otwartym podzbiorem $\$$displaystyle X,}$${\ displaystyle V} i$ jest otwartym podzbiorem $displaystyle Y}$ i ${\ displaystyle F: U \ do V,}$${\ Displaystyle G: V \ do Z}$ to para funkcji do $^ {1}}$ . Wtedy zachodzą następujące właściwości:

• Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego . Jeśli odcinek linii od do ${\ displaystyle$$b}$ leży całkowicie w granicach ${\ displaystyle U},$ a następnie za {\ displaystyle a
  $${\ Displaystyle F (b) -F (a) = \ int _ {0} ^ {1} DF (a + (ba) t) \ cdot (ba) dt.}$$
• Reguła łańcucha . dla wszystkich ${\ Displaystyle u \ w U}$ i ${\ Displaystyle x \ w X,}$
  $$G \ circ F) (u) x = DG (F (u)) DF (u )X}$$
• Liniowość . ${\ Displaystyle DF (u) x}$ jest liniowy w ${\ Displaystyle x.}$$}, a$ Displaystyle C $}$ następnie ${ \displaystyle DF(u)\left\{x_{1},\ldots, x_{k}\right\}}$ jest wieloliniowy w $x$ 's.
• Twierdzenie Taylora z resztą . Załóżmy, że odcinek linii między ${\ displaystyle u \ in U}$ a ${\ displaystyle u + h}$ leży całkowicie w obrębie ${\ Displaystyle U.}$${k}},$ { \ $^$ to
  $${\ Displaystyle F (u + h) = F (u) + DF (u) h + {\ Frac {1} {2!} }D^{2}F(u)\{h,h\}+\cdots +{\frac {1}{(k-1)!}}D^{k-1}F(u)\{h ,h,\ldkropki ,h\}+R_{k}}$$
  gdzie reszta wyrazu jest podana przez
  $${\ Displaystyle R_ {k} (u, h) = {\ Frac {1} (k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}D^{k}F(u+th)\{h,h,\ldots ,h \}dt}$$
• Przemienność pochodnych kierunkowych . Jeśli jest wtedy ${k}}$$displaystyle C$
  $${\ Displaystyle D ^ {k} F (u) \ left\{h_{1},\ldots ,h_{k}\right\}=D^{k}F(u)\left\{h_{\sigma (1)},\ldots ,h_{\sigma ( k)}\prawo\}}$$
  dla każdej permutacji σ z ${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, k \}.}$

Dowody wielu z tych właściwości opierają się zasadniczo na fakcie, że możliwe jest zdefiniowanie całki Riemanna ciągłych krzywych w przestrzeni Frécheta.

Płynne odwzorowania

Co zaskakujące, odwzorowanie między otwartymi podzbiorami przestrzeni Frécheta jest gładkie (nieskończenie często różniczkowalne), jeśli odwzorowuje gładkie krzywe na gładkie krzywe; zobacz Wygodna analiza . Co więcej, gładkie krzywe w przestrzeniach funkcji gładkich są po prostu gładkimi funkcjami jednej zmiennej więcej.

Konsekwencje w geometrii różniczkowej

Istnienie reguły łańcuchowej pozwala na zdefiniowanie rozmaitości wzorowanej na przestrzeni Frècheta: rozmaitości Frécheta . Ponadto liniowość pochodnej implikuje, że istnieje odpowiednik wiązki stycznej dla rozmaitości Frécheta.

Oswoić przestrzenie Frécheta

Główny artykuł: Przestrzeń Tame Fréchet

Często przestrzenie Frécheta, które powstają w praktycznych zastosowaniach pochodnej, mają dodatkową właściwość: są oswojone . Z grubsza mówiąc, oswojona przestrzeń Frécheta to taka, która jest prawie przestrzenią Banacha . Na oswojonych przestrzeniach można zdefiniować preferowaną klasę odwzorowań, zwaną mapami oswojonymi. W kategorii oswojonych przestrzeni pod oswojonymi mapami podstawowa topologia jest wystarczająco silna, aby wspierać w pełni rozwiniętą teorię topologii różniczkowej . W tym kontekście istnieje wiele innych technik z rachunku różniczkowego. W szczególności istnieją wersje twierdzeń o funkcjach odwrotnych i uwikłanych.

Zobacz też

• Różniczkowalne funkcje wektorowe z przestrzeni euklidesowej
• Nieskończenie wymiarowa funkcja wektorowa - funkcja, której wartości leżą w nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne

•   Hamilton, RS (1982). „Twierdzenie o funkcji odwrotnej Nasha i Mosera” . Byk. Amer. Matematyka soc . 7 (1): 65–222. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 . MR 0656198 .