Norma (matematyka)

Ten artykuł dotyczy norm znormalizowanych przestrzeni wektorowych . Aby zapoznać się z teorią pola, zobacz Norma pola . Aby zapoznać się z ideałami, zobacz Idealna norma . Aby zapoznać się z teorią grup, zobacz Norma (grupa) . Aby zapoznać się z normami w opisowej teorii mnogości, zobacz prewellordering .

W matematyce norma jest funkcją z rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni wektorowej do nieujemnych liczb rzeczywistych, która zachowuje się w określony sposób, jak odległość od początku : dojeżdża ze skalowaniem , jest zgodna z formą nierówności trójkąta i wynosi zero tylko u źródła. W szczególności odległość euklidesowa w przestrzeni euklidesowej jest definiowana przez normę dotyczącą powiązanej euklidesowej przestrzeni wektorowej , zwaną Norma euklidesowa , norma 2 lub czasami wielkość wektora. Normę tę można zdefiniować jako pierwiastek kwadratowy iloczynu wewnętrznego wektora z samym sobą.

Seminorma spełnia dwie pierwsze właściwości normy, ale może wynosić zero dla wektorów innych niż pochodzenie . Przestrzeń wektorowa z określoną normą nazywana jest znormalizowaną przestrzenią wektorową . W podobny sposób przestrzeń wektorowa z półnormą nazywana jest półnormalną przestrzenią wektorową .

Termin pseudonorm był używany w kilku powiązanych znaczeniach. Może to być synonim „seminormu”. $,$ z równością zastąpioną nierównością w aksjomat jednorodności Może również odnosić się do normy, która może przyjmować nieskończone wartości lub do pewnych funkcji sparametryzowanych przez zbiór skierowany .

Definicja

Biorąc pod uwagę przestrzeń wektorową nad podpolem $liczb$ zespolonych $jest$ normą na $displaystyle X}$ \ funkcja $.$${\ displaystyle p: X \ do \ mathbb {R}}$ z następującymi właściwościami, gdzie ${\ displaystyle | s |}$ oznacza zwykłą wartość bezwzględną skalara ${\ displaystyle s}$ :

1. Subaddytywność / nierówność trójkąta : ${\ Displaystyle p (x + y) \ równoważnik p (x) + p (y)}$ dla wszystkich ${\ displaystyle x, y \ w X.}$
2. Absolutna jednorodność : ${\ Displaystyle p (sx) = \ lewo | s \ prawo | p (x)}$ dla wszystkich i wszystkich skalarów ${\ displaystyle s.}$${\ Displaystyle x \ in X}$
3. Pozytywna określoność / oddzielanie punktów $\ Displaystyle x =$ dla wszystkich jeśli $p (x) = 0}$$\ Displaystyle$ to
   • Because property (2.) implies $p(0)=0,$ some authors replace property (3.) with the equivalent condition: for every ${\ Displaystyle x \ w X,}$${\ Displaystyle p (x) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x = 0.}$

Półnormą na jest funkcja , która ma właściwości (1.) i ( $:$ ), tak że w szczególności każda norma p $displaystyle p: X \ do \ mathbb {R}}$ jest również półnormą (a więc także funkcjonałem podliniowym ). Istnieją jednak seminormy, które nie są normami. Właściwości (1.) i (2.) sugerują, że jeśli $p$ (lub bardziej ogólnie półnormą), to $\ displaystyle p (0) = 0}$ i że ${\ displaystyle p}$ ma również następującą właściwość: p {\ displaystyle p}

4. Nieujemność : ${\ Displaystyle p (x) \ geq 0}$ dla wszystkich ${\ displaystyle x \ w X.}$

Niektórzy autorzy włączają brak negatywności do definicji „normy”, chociaż nie jest to konieczne.

Równoważne normy

Załóżmy, że $dwiema$ są $)$ w przestrzeni wektorowej $\ displaystyle$ wtedy $p}$ i $q}$${\ displaystyle c>0}$ nazywane są równoważnymi , jeśli istnieją dwie dodatnie stałe rzeczywiste ${\ displaystyle c}$ i do ${\ displaystyle C}$ z takie, że dla każdego wektora ${\ displaystyle x \ w X,}$

$${\ displaystyle cq (x) \ równoważnik p (x) \ równoważnik Cq (x).}$$

q ${\ Displaystyle p}$ jest równoważne z ${\ displaystyle q}$ " jest zwrotna , symetryczna ( $Displaystyle cq \ równoważnik p \ równoważnik Cq}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {C}} p \ równoważnik q \ leq {\ tfrac {1} {c}} p}$ 1 ) i przechodni , a tym samym definiuje relację równoważności na zbiorze wszystkich norm na $,$ Normy i $\ displaystyle q} są równoważne wtedy i tylko wtedy$${$ indukują tę samą topologię na ${\ displaystyle X.}$ Dowolne dwie normy dotyczące przestrzeni o skończonych wymiarach są równoważne, ale nie dotyczy to przestrzeni o nieskończonych wymiarach.

Notacja

Jeśli norma jest podana w przestrzeni wektorowej $p:$ to norma wektora jest ${\ Displaystyle$$w X}$$\ mathbb {$ jest zwykle oznaczany przez zawarcie go w podwójnych pionowych liniach: ${\ Displaystyle \|z\|= p (z).}$ Taka notacja jest również czasami używana, jeśli ${\ displaystyle p}$ jest tylko seminormą. Dla długości wektora w przestrzeni euklidesowej (która jest przykładem normy, jak wyjaśniono poniżej ), notacja ${\ displaystyle | x|}$ z pojedynczymi pionowymi liniami jest również szeroko rozpowszechniony.

Przykłady

Każda (rzeczywista lub złożona) przestrzeń wektorowa dopuszcza normę: Jeśli ${\ Displaystyle x_ {\ punktor} = \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}$ jest podstawą Hamela dla przestrzeni wektorowej, $a$ następnie mapą o wartościach rzeczywistych, która wysyła $\ Displaystyle x = \ suma _ {i \ w I} s_ { i}x_{i}\w X}$ (gdzie wszystkie, ale skończenie wiele skalarów $Displaystyle$$0}$ ) do ${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} \ lewo | s_ {i} \ prawo |}$ jest normą na ${\ displaystyle X.}$ Istnieje również wiele norm, które wykazują dodatkowe właściwości, dzięki którym są przydatne w przypadku określonych problemów.

Norma wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna

$${\ Displaystyle \|x\|=|x|}$$

jest normą jednowymiarowych przestrzeni wektorowych utworzonych przez liczby rzeczywiste lub zespolone .

Każda norma $jednowymiarowej$ przestrzeni wektorowej jest równoważna (do skalowania) z normą wartości bezwzględnej, co oznacza, że ​​istnieje zachowujący $normę$ przestrzeni wektorowych $,}$$\ mathbb {R}},$ gdzie jest albo $\ Displaystyle$ albo ${\ Displaystyle \ mathbb {C} } ,}$ a zachowanie norm oznacza, że ${\ Displaystyle | x | = p (f (x)).}$ Ten izomorfizm jest dany przez wysłanie do wektora normy ${\ Displaystyle 1 \ in \ mathbb {$$}$ który istnieje, ponieważ taki wektor otrzymuje się przez pomnożenie dowolnego niezerowego wektora przez odwrotność jego normy.

Norma euklidesowa

Dalsze informacje: norma euklidesowa i odległość euklidesowa

W $)$ przestrzeni euklidesowej intuicyjne pojęcie długości wektora ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {x}} = \ lewo (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ prawej)}$ 2 $, {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n$ jest ujmowane przez formułę

$${\ Displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \|_ {2}: = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}$$

Jest to norma euklidesowa , która podaje zwykłą odległość od początku do punktu X — konsekwencja twierdzenia Pitagorasa . Ta operacja może być również określana jako „SRSS”, co jest akronimem pierwiastka kwadratowego sumy kwadratów .

Norma euklidesowa jest zdecydowanie najczęściej używaną normą w $.$ ale istnieją inne normy dotyczące tej przestrzeni wektorowej, jak zostanie to pokazane Jednak wszystkie te normy są równoważne w tym sensie, że wszystkie definiują tę samą topologię.

Iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów euklidesowej przestrzeni wektorowej jest iloczynem skalarnym ich wektorów współrzędnych na podstawie ortonormalnej . Stąd normę euklidesową można zapisać w sposób wolny od współrzędnych jako

$${\ Displaystyle \|{\ boldsymbol {x}} \|: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}.}$$

Norma normą $,$ jest również normą $,$ normą 2 lub kwadratową patrz spacja ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ . Definiuje $}$ odległością . odległości zwaną długością euklidesową , $L ^$ odległością lub .

Zbiór wektorów $których$ jest normą $euklidesową$ dana dodatnia stała

Norma euklidesowa liczb zespolonych

Zobacz też: Iloczyn skalarny § Wektory zespolone

Normą euklidesową liczby zespolonej jest jej wartość bezwzględna (zwana także modułem ), jeśli płaszczyznę zespoloną utożsamia się z płaszczyzną euklidesową ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$$,$ identyfikacja liczby zespolonej że ilość $textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (jak po raz pierwszy zasugerował Euler) norma euklidesowa związana z liczbą zespoloną.

Kwaterniony i oktoniony

Zobacz też: Quaternion i Octonion

Istnieją dokładnie cztery euklidesowe algebry Hurwitza nad liczbami rzeczywistymi . Są to liczby rzeczywiste R , {\ Displaystyle \ mathbb {R}} liczby zespolone do , {\ Displaystyle \ mathbb {C}} kwaterniony ${$ \ $mathbb$ { $}$ i wreszcie oktoniony ${\ Displaystyle \ mathbb {O},}$ gdzie wymiary tych przestrzeni nad liczbami rzeczywistymi wynoszą ${\ Displaystyle 1,2,4, {\ tekst {i}} 8,}$ . Normy kanoniczne na $i$ są ich wartości bezwzględnej , $jak$ wcześniej.

Norma kanoniczna dotycząca czwartorzędów jest zdefiniowana przez ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

$${\ Displaystyle \ lVert q \ rVert = {\ sqrt {\, qq ^ {*} ~}} = {\ sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$

dla każdego kwaternionu ${\ Displaystyle q = a + b \, \ mathbf {i} + c \, \ mathbf {j} + d \, \ mathbf {k}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}.}$$na$ jest to samo, co norma euklidesowa rozważanej jako przestrzeń wektorowa ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$ Podobnie kanoniczna norma dotycząca oktonionów jest po prostu normą euklidesową na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}.}$

Skończenie wymiarowe zespolone przestrzenie unormowane

W wielowymiarowej przestrzeni zespolonej ${\$ normą jest $n$

$${\ Displaystyle \ | {\ boldsymbol {z}} \ |: = {\ sqrt {\ lewo | z_ {1} \ prawo | ^ {2} + \ cdots + \ lewo | z_ {n} \ prawo | ^ { 2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

W takim przypadku normę można wyrazić jako pierwiastek kwadratowy z iloczynu wewnętrznego wektora i samego siebie:

$${\ Displaystyle \ | {\ pogrubiony symbol {x}} \ |: = {\ sqrt {{\ pogrubiony symbol {x}} ^ {H} ~ {\ pogrubiony symbol {x}}}} ,}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ jest reprezentowany jako wektor kolumnowy $}}$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \;$$}$ i oznacza jego sprzężoną transpozycję .

Ta formuła jest ważna dla dowolnej przestrzeni iloczynu wewnętrznego , w tym przestrzeni euklidesowych i zespolonych. W przypadku przestrzeni zespolonych iloczyn wewnętrzny jest równoważny zespolonemu iloczynowi skalarnemu . Stąd wzór w tym przypadku można również zapisać przy użyciu następującego zapisu:

$${\ Displaystyle \|{\ boldsymbol {x}} \|: = {\ sqrt {{\ boldsymbol {x}} \ cdot {\ boldsymbol {x}}}}.}$$

Norma taksówkowa lub norma Manhattanu

Główny artykuł: Geometria taksówki

$${\ Displaystyle \|{\ boldsymbol {x}} \|_ {1}: = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo | x_ {i} \ prawo |.}$$

Nazwa odnosi się do odległości, jaką taksówka musi przejechać w prostokątnej siatce ulic (takiej jak nowojorska dzielnica Manhattan ) , aby dostać się od początku do punktu ${\ displaystyle x.}$

Zbiór wektorów, których norma 1 jest daną stałą, tworzy powierzchnię politopu krzyżowego o wymiarze równoważnym wymiarowi normy minus 1. Norma taksówki jest również nazywana normą ℓ $\ displaystyle \ ell ^ {1}}$ . Odległość wyprowadzona z tej normy $nazywana$ . jest Manhattanu lub

Norma 1 jest po prostu sumą wartości bezwzględnych kolumn.

W przeciwieństwie,

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$$

nie jest normą, ponieważ może dawać negatywne rezultaty.

p - norma

Główny artykuł: przestrzeń L ^p

Niech ${\ displaystyle p \ geq 1}$ będzie liczbą rzeczywistą. p ${\ displaystyle p}$$-normą$ (zwaną także ) wektora $= ( x_{1},\ldots ,x_{n})}$ jest

$${\ Displaystyle \|\ mathbf {x} \|_ {p}: = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo | x_ {i} \ prawo | ^ {p} \ prawo) ^{1/p}.}$$

p ${\ Displaystyle p = 1,}$$=$ normę taksówki, dla otrzymujemy normę euklidesową i gdy zbliża $się$ p 2 { $} infty }$ -norm zbliża się do normy nieskończoności lub normy maksymalnej : ${\ displaystyle p }$

$${\ Displaystyle \|\ mathbf {x} \| _ {\ infty}: = \ max _ {i} \ lewo | x_ {i} \ prawo |.}$$

Norma jest związana ze $lub$ uogólnioną średnią potęgową.

Dla $,} -$${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot, \, \ cdot \ rangle,}$$Displaystyle p$ norma jest indukowana przez kanoniczny iloczyn wewnętrzny co oznacza, że ${\ Displaystyle \|\ mathbf {x} \|_ {2} = { \sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ dla wszystkich wektorów ${\ Displaystyle \ mathbf {x}.}$ Ten iloczyn wewnętrzny można wyrazić w kategoriach normy za pomocą tożsamości polaryzacji . Na ${\ displaystyle \ ell ^ {2},}$ ten iloczyn wewnętrzny jest iloczynem wewnętrznym euklidesa zdefiniowanym przez

$${\ Displaystyle \ langle \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n}, \ lewo (y_ {n} \right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$

podczas gdy dla przestrzeni związanej z $),}$ miary $($$X, \ Sigma$ który składa się ze wszystkich funkcji całkowalnych z kwadratem , ten iloczyn wewnętrzny jest

$${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} {\ overline {f (x)}} g (x) \ \ operatorname {d} x.}$$

Ta definicja jest nadal interesująca dla ${\ displaystyle 0 <p <1,},$ ale wynikowa funkcja nie definiuje normy, ponieważ narusza nierówność trójkąta . W tym przypadku nawet w mierzalnym analogu prawdą jest $, {\ displaystyle 0 <p$ klasa jest przestrzenią wektorową i $}$ prawdą jest również, że funkcja

$${\ Displaystyle \ int _ {X} | f (x) -g (x) | ^ {p} ~ \ operatorname {d} \ mu}$$

$​​​​jest$ bez $root )$ odległość, która sprawia, że metryczna topologiczna przestrzeń wektorowa Przestrzenie te cieszą się dużym zainteresowaniem w analizie funkcjonalnej , teorii prawdopodobieństwa i analizie harmonicznej . Jednak poza trywialnymi przypadkami ta topologiczna przestrzeń wektorowa nie jest lokalnie wypukła i nie ma ciągłych niezerowych form liniowych. Zatem topologiczna przestrzeń dualna zawiera tylko funkcjonał zerowy.

Częściowa pochodna normy $jest$ dana przez

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {k}}} \|\ mathbf {x} \|_ {p} = {\ Frac {x_ {k} \ lewo | x_ {k} \ prawo |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

Dlatego pochodna względem ${\ displaystyle x,} jest$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \|\ mathbf {x} \|_ {p}} {\ częściowy \ mathbf {x}}} = {\ Frac {\ mathbf {x} \ circ |\ mathbf {x } |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

gdzie $iloczyn$ Hadamarda i ${\ displaystyle |\ cdot |}$ _ służy do określania wartości bezwzględnej każdego składnika wektora.

W szczególnym przypadku ${\ displaystyle p = 2,}$ tak się dzieje

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy x_ {k}}} \|\ mathbf {x} \|_ {2} = { \frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$

Lub

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy \ mathbf {x}}} \|\ mathbf {x} \|_ {2} = {\ Frac {\ mathbf {x}}} {\|\ mathbf { x} \|_{2}}}.}$$

Norma maksymalna (specjalny przypadek: normy nieskończoności, normy jednolitej lub normy najwyższej)

${\ Displaystyle \|x\|_ {\ infty} = 1}$

Główny artykuł: Maksymalna norma

x ${\ Displaystyle \ mathbf {x}}$ jest jakimś wektorem takim, że $\ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2} ,\ldots ,x_{n}),}$ wtedy:

$${\ Displaystyle \|\ mathbf {x} \|_ {\ infty}: = \ max \ lewo (\ lewo | x_ {1} \ prawo |, \ ldots, \ lewo | x_ {n} \ prawo | \ prawo ).}$$

Zbiór wektorów, których normą nieskończoności jest dana stała , $tworzy$ powierzchnię hipersześcianu długości ${\ Displaystyle 2c.}$

Zerowa norma

W analizie prawdopodobieństwa i analizie funkcjonalnej norma zerowa indukuje pełną topologię metryczną dla przestrzeni funkcji mierzalnych i przestrzeni F sekwencji z normą F ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.} Tutaj przez$ F-normę rozumiemy pewną rzeczywistą- ceniona funkcja ${\ Displaystyle \ lVert \ cdot \ rVert}$ w przestrzeni F z $,$ że ${\ displaystyle \ lVert x \ rVert = d (x, 0).} Opisana powyżej$ norma F nie jest normą w zwykłym znaczeniu, ponieważ nie ma wymaganej właściwości jednorodności.

Odległość Hamminga wektora od zera

Zobacz też: Odległość Hamminga i metryka dyskretna

W geometrii metrycznej metryka dyskretna przyjmuje wartość jeden dla odrębnych punktów i zero w przeciwnym razie. Po zastosowaniu współrzędnych do elementów przestrzeni wektorowej odległość dyskretna określa odległość Hamminga , która jest ważna w kodowaniu i teorii informacji . W dziedzinie liczb rzeczywistych lub zespolonych odległość metryki dyskretnej od zera nie jest jednorodna w punkcie niezerowym; w rzeczywistości odległość od zera pozostaje równa jeden, ponieważ jego niezerowy argument zbliża się do zera. Jednak dyskretna odległość liczby od zera spełnia inne właściwości normy, a mianowicie nierówność trójkąta i dodatnią określoność. Po zastosowaniu składowych do wektorów, dyskretna odległość od zera zachowuje się jak niejednorodna „norma”, która zlicza liczbę niezerowych składowych w swoim argumencie wektorowym; ponownie ta niejednorodna „norma” jest nieciągła.

W przetwarzaniu sygnałów i statystyce David Donoho odniósł się do zerowej „ normy ” w cudzysłowie. Zgodnie z notacją $Donoho$ „normą” zera $jest$ prostu liczba niezerowych współrzędnych odległość Hamminga wektora od zera. Kiedy ta „norma” jest zlokalizowana w zbiorze ograniczonym, jest to granica norm jako ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$ zbliża się do 0. Oczywiście zerowa „norma” nie jest tak naprawdę normą, ponieważ nie jest dodatnio jednorodna . Rzeczywiście, nie jest to nawet normą F w znaczeniu opisanym powyżej, ponieważ jest nieciągła, solidarnie, w odniesieniu do argumentu skalarnego w mnożeniu skalarno-wektorowym oraz w odniesieniu do argumentu wektorowego. Nadużywanie terminologii , niektórzy inżynierowie pomiń cudzysłowy Donoho i niewłaściwie wywołaj funkcję liczby niezerowej ${\ displaystyle L ^ {0}}$ norma, powtarzając notację dla przestrzeni Lebesgue'a funkcji mierzalnych .

Nieskończone wymiary

Uogólnienie powyższych norm na nieskończoną liczbę składników prowadzi do $p}}$$\ ell ^ {$ i przestrzeni z normami

$${\ Displaystyle \|x\|_ {p} = {\ bigg (} \ suma _ {i \ w \ mathbb {N}} \ lewo | x_ {i} \ prawo | ^ {p} {\ bigg)} ^{1/p}{\text{i }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

dla sekwencji i funkcji o wartościach $na ,$ można dalej uogólnić (patrz Haara ).

Każdy produkt wewnętrzny wywołuje w naturalny sposób normę ${\ textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle}}.}$

Inne przykłady nieskończenie wymiarowych znormalizowanych przestrzeni wektorowych można znaleźć w artykule o przestrzeni Banacha .

Normy złożone

Inne normy dotyczące $skonstruować,$ powyższe; Na przykład

$${\ Displaystyle \ | x \ |: = 2 \ lewo | x_ {1} \ prawo | + {\ sqrt {3 \ lewo | x_ {2} \right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$

jest normą na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Dla dowolnej normy i dowolnej $displaystyle$ transformacji liniowej możemy zdefiniować nową normę równą $x}$

$${\ Displaystyle \| Topór \|.}$$

W 2D, z $o$ 45 ° i odpowiednim skalowaniem, zmienia to normę taksówki na normę maksymalną. Każda $taksówki , aż do odwrócenia i$ osi, daje inną kulę jednostkową: równoległobok o określonym kształcie, rozmiarze i orientacji.

W 3D jest to podobne, ale inne dla normy 1 ( ośmiościany ) i normy maksymalnej ( pryzmaty o podstawie równoległoboku).

Istnieją przykłady norm, które nie są zdefiniowane przez formuły „entrywise”. Na przykład $^ { n}}$ Minkowskiego centralnie symetrycznego wypukłego ciała w (wyśrodkowany na $zero)$ definiuje normę na (patrz § Klasyfikacja seminorm: bezwzględnie wypukłe zbiory absorbujące poniżej).

Wszystkie powyższe wzory dają również normy $na$ modyfikacji

Istnieją również normy dotyczące przestrzeni macierzy (z wpisami rzeczywistymi lub zespolonymi), tzw. normy macierzowe .

W algebrze abstrakcyjnej

Główny artykuł: Norma terenowa

Niech $będzie$ skończonym rozszerzeniem pola nierozłącznego stopnia $i$$ma$ _ $_$ _ ${\ Displaystyle K.}$ Jeśli różne osadzenia są mi ${\ displaystyle E$${\ Displaystyle \ lewo \ {\ sigma _ {j} \ prawo \} _ {j},}$ wtedy teoretyczna norma Galois elementu ${\ Displaystyle \ alpha \ in E}$ jest wartością ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.} Skoro ta funkcja jest jednorodna$ stopnia ${\ Displaystyle [E: k]}$ , teoretyczna norma Galois nie jest normą w rozumieniu tego artykułu. Jednak $pierwiastek$ normy (zakładając, że koncepcja ma

Algebry kompozycji

Za $_$ _ _ _ _ _ $_$ _ algebra składu ${\ Displaystyle (A, {} ^ {*}, N)}$ się z algebry nad polem ${\ Displaystyle A,}$ inwolucji ∗ $\ Displaystyle {} ^ {*$$}$ kwadratowa zwana normą

Cechą charakterystyczną algebr kompozycji jest $homomorfizmu$$:$ dla iloczynu dwóch elementów algebry $kompozycji$ i $z}$ norma spełnia ${\ Displaystyle N (wz) = N (w) N (z).}$ Dla ${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle \ mathbb {C},}$${\ Displaystyle \ mathbb {H},}$ i O norma algebry składu jest kwadratem normy omówionej powyżej . W takich przypadkach normą jest określona forma kwadratowa . W innych algebrach składu normą jest izotropowa forma kwadratowa .

Nieruchomości

Dla dowolnej normy w przestrzeni wektorowej nierówność odwróconego trójkąta $}$ : ${\ Displaystyle p: X \ do \ mathbb {R$

$${\ Displaystyle p (x \ pm y) \ geq | p (x) -p (y) | {\ tekst {dla wszystkich}} x, y \ w X.}$$

Jeśli ${\ Displaystyle u: X \ do Y} jest ciągłą liniową$$u}$ między znormalizowanymi przestrzeniami, to norma z $displaystyle$ norma transpozycji są równe u {\ .

Dla ${\ displaystyle L ^ {p}}$ norm mamy nierówność Höldera

$${\ Displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ równoważnik \| x \ | _ {p} \ | y \ | _ {q} \ qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$

Szczególnym przypadkiem tego jest nierówność Cauchy'ego – Schwarza :

$${\ Displaystyle \ lewo | \ langle x, y \ rangle \ prawo |\ równoważnik \|x \|_ {2}\|y\|_ {2}.}$$

Ilustracje okręgów jednostkowych w różnych normach.

Każda norma jest seminormą , a zatem spełnia wszystkie jej właściwości . Z kolei każda seminorma jest funkcją podliniową , a zatem spełnia wszystkie właściwości tej ostatniej . W szczególności każda norma jest funkcją wypukłą .

Równorzędność

Pojęcie koła jednostkowego (zbiór wszystkich wektorów normy 1) jest różne w różnych normach: dla normy 1 koło jednostkowe jest kwadratem , dla normy 2 (norma euklidesowa) jest to dobrze znana koło jednostkowe , podczas gdy dla normy nieskończoności jest to inny kwadrat. Dla dowolnej $jest$ to superelipsa z przystającymi osiami (patrz załączona ilustracja). Ze względu na definicję normy okrąg jednostkowy musi być wypukły $dla$$trójkątem$ prostokątem, ale nie może być -normy .

Jeśli chodzi o przestrzeń wektorową, seminorma definiuje topologię w przestrzeni i jest to topologia Hausdorffa dokładnie wtedy, gdy seminorma może rozróżnić różne wektory, co ponownie jest równoważne z tym, że seminorma jest normą. Zdefiniowaną w ten sposób topologię (przez normę lub seminormę) można rozumieć albo w kategoriach sekwencji, albo zbiorów otwartych. Mówi się, że $\ displaystyle$ zbiega się w normie do $v$ , jeśli ${\ Displaystyle \ lewo \| v_ {n} -v \ prawo \|\ do 0}$ jak ${\ Displaystyle n \ do \ infty.}$ Równoważnie topologia składa się ze wszystkich zbiorów, które można przedstawić jako sumę otwartych kul . Jeśli $,$ przestrzenią ${\ Displaystyle \| xy \ | = \ | xz \ | + \ | zy \ | {\ tekst {dla wszystkich}} x, y \ w X {\ tekst {i}} z \ w [x, y]. }$

Dwie normy ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {\ beta}}$ na przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle X }$ nazywane są równoważnymi , jeśli indukują tę samą topologię, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dodatnie liczby rzeczywiste $i$ re $\ displaystyle D}$ , że dla wszystkich ${\ displaystyle x \ in X}$

$${\ Displaystyle C \ | x \ | _ {\ alfa} \ równoważnik \|x \|_ {\ beta} \ równoważnik D \ | x \ | _ {\ alfa}.}$$

Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle p> r \ geq 1}$ na ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n},}$ wtedy

$${\ Displaystyle \|x \|_ {p} \ równoważnik \|x \|_ {r} \ równoważnik n ^ {(1/r-1/p)} \|x\|_ {p}.}$$

W szczególności,

$${\ Displaystyle \|x \|_ {2} \ równoważnik \|x \|_ {1} \ równoważnik {\ sqrt {n}} \ | x \|_{2}}$$

$${\ Displaystyle \|x \|_ {\ infty} \ równoważnik \|x \|_ {2} \ równoważnik {\ sqrt {n}} \| x\|_{\infty}}$$

$${\ Displaystyle \|x \|_ {\ infty} \ równoważnik \|x\|_ {1}\ równoważnik n \|x\|_ { \infty },}$$

To jest,

$${\ Displaystyle \|x\|_ {\ infty} \ równoważnik \|x\|_ {2}\ równoważnik \|x\|_ {1}\ równoważnik {\ sqrt {n}} \|x\|_ {2}\równik n\|x\|_{\infty}.}$$

Jeśli przestrzeń wektorowa jest rzeczywistą lub złożoną przestrzenią o skończonych wymiarach, wszystkie normy są równoważne. Z drugiej strony w przypadku nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nie wszystkie normy są równoważne.

Normy równoważne definiują te same pojęcia ciągłości i zbieżności iz wielu powodów nie trzeba ich rozróżniać. Mówiąc dokładniej, jednorodna struktura zdefiniowana przez równoważne normy w przestrzeni wektorowej jest jednorodnie izomorficzna .

Klasyfikacja seminorm: absolutnie wypukłe zbiory absorbujące

Główny artykuł: Seminorm

${\ Displaystyle X.}$ seminormy w przestrzeni wektorowej $wypukłych$$sklasyfikować$ pod względem absolutnie pochłaniających X Każdemu takiemu podzbiorowi odpowiada seminorma $\ displaystyle A,}$ miernikiem z ZA ${\ displaystyle p_ {A}$ zdefiniowana jako p ZA

$${\ Displaystyle p_ {A} (x): = \ inf \ {r \ w \ mathbb {R}: r> 0, x\w rA\}}$$

gdzie ${\ displaystyle \ inf _ {}}$ to infimum , z właściwością, która

$${\ Displaystyle \ lewo \ {x \ w X: p_ {A} (x) <1 \ prawo \} ~ \ subseteq ~ A ~ \ subseteq ~ \ lewo \ {x \ w X: p_ {A} (x) \równik 1\prawo\}.}$$

Odwrotnie:

Każda lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa ma lokalną bazę składającą się ze zbiorów absolutnie wypukłych. $półnorm,$ metodą konstruowania takiej podstawy jest użycie rodziny która $wszystkich$${\ Displaystyle \ {p <1/n \}}$ : zbiór skończonych przecięć zamienia przestrzeń w lokalnie wypukłą topologiczną przestrzeń wektorową tak, że każde p jest ciągłe .

Taka metoda służy do projektowania słabych i słabych* topologii .

przypadek normowy:

Załóżmy teraz, że $(p)}$ pojedynczy $Displaystyle$ ponieważ $\$ oddziela , ${\ displaystyle p:}$ normą, a ${\ Displaystyle A = \ {p <1 \}}$ to jego otwarta kula jednostkowa . Wtedy jest absolutnie $ograniczona$ sąsiedztwo 0, a ${\ displaystyle p = p_ {A}}$ jest ciągłe.

Odwrotna sytuacja jest spowodowana przez Andrieja Kołmogorowa : każda lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona topologiczna przestrzeń wektorowa jest normalna :

.

Jeśli absolutnie wypukłym ograniczonym sąsiedztwem 0, miernik $tak$$g$ że ${\ Displaystyle X = \ {g_ {X}<1 \}}$ jest normą.

Zobacz też

• Norma asymetryczna – Uogólnienie pojęcia normy
• F-seminorm - Topologiczna przestrzeń wektorowa, której topologię można zdefiniować za pomocą metryki Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Norma Gowersa
• Norma Kadec - Wszystkie nieskończenie wymiarowe, rozdzielne przestrzenie Banacha są stronami homeomorficznymi wyświetlającymi krótkie opisy celów przekierowań
• Analiza spektralna metodą najmniejszych kwadratów – metoda obliczania okresowości
• Odległość Mahalanobisa - Statystyczna miara odległości
• Wielkość (matematyka) – koncepcja matematyczna związana z porównywaniem i porządkowaniem Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Norma macierzowa – Norma dotycząca przestrzeni wektorowej macierzy
• Odległość Minkowskiego – odległość między wektorami lub punktami obliczona jako p-ty pierwiastek z sumy p-tych potęg różnic współrzędnych Strony wyświetlające opisy wikidanych jako awarie
• funkcjonał Minkowskiego
• Norma operatora - Miara „rozmiaru” operatorów liniowych
• Paranorm - topologiczna przestrzeń wektorowa, której topologię można zdefiniować za pomocą metryki Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Relacja norm i metryk – Przestrzeń matematyczna z pojęciem odległości Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań
• Seminorm - nieujemna funkcja o wartościach rzeczywistych w rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni wektorowej, która spełnia nierówność trójkąta i jest absolutnie jednorodna Strony wyświetlające opisy danych wiki jako rozwiązanie awaryjne
• Funkcja podliniowa

Bibliografia

•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 . Éléments de mathématique . Przetłumaczone przez Egglestona, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•    Khaleelulla SM (1982). Kontrprzykłady w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 936. Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wilański, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .