Podwójna norma

W analizie funkcjonalnej norma dualna jest miarą wielkości ciągłej funkcji liniowej zdefiniowanej w znormalizowanej przestrzeni wektorowej .

Definicja

Niech $będzie$ $.$ przestrzenią wektorową z i $_$ oznacza ciągłą _ Podwójna norma ciągłego liniowego funkcjonału należącego do jest nieujemną liczbą rzeczywistą zdefiniowaną przez jeden z następujących równoważnych wzorów: fa $}$ $f$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {5} \ | f \ | & = \ sup && \ {\, | f (x)|&&~:~\|x\|\równoważnik 1~&&~{\text{ i }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)| &&~:~\|x\|<1~&&~{\text{ i }}~&&x\in X\}\\&=\inf &&\{\,c\in [0,\infty )&&~ :~|f(x)|\leq c\|x\|~&&~{\text{ dla wszystkich }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x) |&&~:~\|x\|=1{\text{ lub }}0~&&~{\text{ i }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f (x)|&&~:~\|x\|=1~&&~{\text{ i }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy } }X\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}\,{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}~&&~:~x\ neq 0&&~{\text{ i }}~&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy }}X\neq \{0\}\\ \end{wyrównanydat}}}

gdzie i

{\ displaystyle

\ inf}

oznaczają odpowiednio supremum infimum . Stała

{\ displaystyle 0}

jest początkiem przestrzeni wektorowej

\

ma normę

displaystyle \|0 \|= 0.}

Jeśli

\ displaystyle X = \ {0 \}}

wtedy jedynym funkcjonałem liniowym na

{\ displaystyle X}

stałej

{\ displaystyle 0}

, a ponadto zbiory w dwóch ostatnich wierszach będą puste i w konsekwencji ich supremumy będą równe

{\ displaystyle \ sup \ varnothing = - \ infty}

zamiast prawidłowej wartości

{\ displaystyle 0.}

Co ważne, funkcja liniowa $ogół$ nie gwarantuje osiągnięcia swojej normy ${\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup \ {| fx |: \ | x \ | \ równoważnik 1, x \ w X \}}$ na zamkniętej kuli jednostkowej $\}}, co$ $X}$ $1$ oznacza, że może nie istnieć żaden normy ${\ Displaystyle \|u \|\ równoważnik 1}$ taki, że $\|f \|=| fu |}$ $to$ (jeśli taki wektor istnieje i jeśli ${\ Displaystyle f \ neq 0,}$ koniecznie miałby normę jednostkową ${\ Displaystyle \|u \|=1}$ ). RC James udowodnił twierdzenie Jamesa w 1964 $}$ , które stwierdza, że Banacha jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja liniowa osiąga swoją normę na $displaystyle X$ zamknięta kula jednostkowa. Wynika z tego w szczególności, że każda nierefleksyjna przestrzeń Banacha ma pewien ograniczony funkcjonał liniowy, który nie osiąga swojej normy na zamkniętej kuli jednostkowej. Jednak twierdzenie Bishopa-Phelpsa gwarantuje, że zbiór ograniczonych funkcjonałów liniowych, które osiągają swoją normę na sferze jednostkowej przestrzeni Banacha, jest podzbiorem gęstym normowo ciągłej przestrzeni dualnej .

Mapa ${\ Displaystyle f \ mapsto \|f \|}$ definiuje normę na ${\ Displaystyle X ^ {*}.}$ (Patrz twierdzenia 1 i 2 poniżej). Norma podwójna jest szczególnym przypadkiem normy operatora zdefiniowanej dla każdej (ograniczonej) mapy liniowej między znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi. Ponieważ pole podłoża ( ${\$ jest kompletne , jest $Displaystyle X}$ ( lub do $\ Displaystyle \ mathbb {C$ $}$ Przestrzeń Banacha . Topologia na $Displaystyle X ^ {$ $}}$ ${\ Displaystyle X ^ {*}.}$ indukowana przez okazuje się być silniejsza niż * topologia na

Podwójna liczba dualna znormalizowanej przestrzeni liniowej

Podwójna podwójna (lub druga podwójna) jest liczbą podwójną znormalizowanej przestrzeni wektorowej X $} }$ \ Displaystyle $}$ ${\ displaystyle X$ Istnieje naturalna mapa ${\ Displaystyle \ varphi: X \ do X ^ {**}}$ . $}}$ $*$ \ w ^

{\ Displaystyle \ varphi (v) (w ^ {*}): = w ^ {*} (v).}

Mapa jest $_$ , iniekcyjna i zachowująca odległość . W szczególności, jeśli jest kompletna (tj $izometrią$ Przestrzeń Banacha), to $jest$ na zamkniętej podprzestrzeni $\ Displaystyle X ^ {**}}$ .

Ogólnie rzecz biorąc, mapa nie jest $.$ Na przykład, jeśli jest przestrzenią Banacha $składającą$ z funkcji ograniczonych na linii rzeczywistej z najwyższą normą, to mapa jest ${\ displaystyle L ^ {\ infty$ $}$ nie surjekcja. (Patrz spacja ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ). Jeśli $suriekcją$ , to $refleksyjną$ się, że jest Banacha . Jeśli ${\ Displaystyle 1 <p <\ infty,}$ refleksyjną $przestrzeń$ jest przestrzenią Banacha

Przykłady

Podwójna norma dla macierzy

Norma Frobeniusa zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \|A \|_ {\ tekst {F}} = {\ sqrt {\ suma _ {i = 1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {ślad} (A^{*} A)}}={\sqrt {\suma _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}

jest samodualny, tj. jego normą dualną jest

{\ Displaystyle \|\ cdot \|'_ {\ tekst {F}} = \|\ cdot \|_ {\ tekst {F}}.}

Norma widmowa , szczególny przypadek normy indukowanej , gdy jest określona przez maksymalne wartości osobliwe macierzy, to znaczy ${\ displaystyle p = 2}$

{\ Displaystyle \|A \|_ {2} = \ sigma _ {\ max} (A),}

ma normę nuklearną jako swoją podwójną normę, która jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ | B \ | '_ {2} = \ suma _ {i} \ sigma _ {i} (B),}

dla

macierzy

gdzie oznaczamy

_

^{_ ] .} _

p $q \ w [1, \ infty]}$ jest ${\ Displaystyle \ ell ^ {p}}$ , Schatten podwójna do Schatten ${\ Displaystyle \ ell ^ {q}}$ - norma.

Przestrzenie o skończonych wymiarach

Niech ${\ Displaystyle \|\ cdot \|}$ będzie normą na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ Powiązana norma podwójna , oznaczona jako ‖ $\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {*}}$

{\ Displaystyle \| z \ | _ {*} = \ sup \ {z ^ {\ intercal} x: \ | x \ | \ równoważnik 1 \}.}

(Można to wykazać jako normę.) Normę podwójną można interpretować jako normę operatora z ${\ Displaystyle z ^ {\ intercal}},$ jako za ${\ displaystyle 1 \ razy n}$ $}$ z normą i wartością bezwzględną na $}$ ${$ :

{\ Displaystyle \| z \|_ {*} = \ sup \ {| z ^ {\ intercal} x |: \ | x \ |\ równoważnik 1 \}.}

Z definicji podwójnej normy mamy nierówność

{\ Displaystyle z ^ {\ intercal} x = \| x \|\ lewo (z ^ {\ intercal}} {\ frac {x}{\|x\|}}\prawo)\równik \|x\|\|z\|_{*}}

{\ Displaystyle z.}

dotyczy

z

i Podwójna norma dualna jest normą pierwotną: mamy

=\|x\|}

}

{\ displaystyle x.}

(Nie musi to zachodzić w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach wektorowych).

liczba podwójna normy euklidesowej jest normą euklidesową

{\ Displaystyle \ sup \ {z ^ {\ intercal} x: \ | x \ | _ {2} \ równoważnik 1 \} = \ | z \ | _ {2}.}

(Wynika to z nierówności Cauchy'ego-Schwarza ; dla niezerowej wartości , ${\ Displaystyle \|x \|_ {2}\ równoważnik 1}$ maksymalizuje $Displaystyle z ^ {\ intercal}$ ${$ $x$ przez jest ${\ Displaystyle {\ tfrac {z} {\|z \|_ {2}}}.$ }

Podwójna z $ell ^$ { \ ${\ infty}}$

{\ Displaystyle \ sup \ {z ^ {\ intercal} x: \ | x \ | _ {\ infty} \ równoważnik 1 \} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} | z_{i}|=\|z\|_{1},}

a podwójna

_

jest

_

Mówiąc bardziej ogólnie, $p}}$ Höldera pokazuje $displaystyle \$ że podwójna z $ell ^$ -normy jest normą -normą, gdzie spełnia ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q}} = 1,}$ to znaczy ${\ displaystyle q = {\ tfrac {p} {p-1}}.}$

$} ^ {m \ razy n}}$ ${$ { Displaystyle . Powiązana podwójna norma to

{\ Displaystyle \| Z \ | _ {2*} = \ sup \ {\ mathbf {tr} (Z ^ {\intercal}X):\|X\|_{2}\równik 1\},}

która okazuje się być sumą wartości osobliwych,

{\ Displaystyle \| Z \|_ {2*} = \ sigma _ {1} (Z )+\cdots +\sigma _{r}(Z)=\mathbf {tr} ({\sqrt {Z^{\intercal}Z}}),}

gdzie

{\ Displaystyle r = \ mathbf {ranga} Z.}

Ta norma jest czasami nazywana normą jądrową .

L ^p i ℓ ^p przestrzenie

${\ Displaystyle p \ w [1, \ infty],}$ ∈ $\ ell _ {p}}$ $p$ { -norm) wektora ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {n}) _ {n}}$ jest

{\ Displaystyle \|\ mathbf {x} \|_ {p} ~: = ~ \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo | x_ {i} \ prawo | ^ {p} \ po prawej)^{1/p}.}

${\ Displaystyle p, q \ w [1, \ infty]}$ spełniają ${\ Displaystyle 1/p + 1/q = 1$ } wtedy ${\ Displaystyle \ ell ^ {q}}$ i ${\ Displaystyle \ ell ^ {q}}$ normy są podwójne względem siebie i to samo dotyczy ${\ displaystyle L ^ {q}}$ i ${\ Displaystyle L ^ {q}}$ normy, gdzie $\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ to pewna miara przestrzeni . W szczególności norma euklidesowa jest samodwoista, ponieważ ${\ Displaystyle p = q = 2.}$ Dla ${\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {\ operatorname {T}} Qx}} } ,$ $y}}$ norma to { } $określoną$

Dla $,} -$ ${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot, \, \ cdot \ rangle,}$ $Displaystyle p$ norma jest indukowana przez kanoniczny iloczyn wewnętrzny co oznacza, że ${\ Displaystyle \|\ mathbf {x} \|_ {2} = { \sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ dla wszystkich wektorów ${\ displaystyle \ mathbf {x}.}$ Ten iloczyn wewnętrzny można wyrazić w kategoriach normy za pomocą tożsamości polaryzacji . Na ${\ Displaystyle \ ell ^ {2},}$ jest to euklidesowy iloczyn wewnętrzny określony przez

{\ Displaystyle \ langle \ lewo (x_ {n} \ prawo) _ {n}, \ lewo (y_ {n} \right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}x_{n}{\overline {y_{n}}}}

podczas gdy dla przestrzeni związanej z

X, \ Sigma

miary

(

który składa się ze wszystkich funkcji całkowalnych z kwadratem , ten iloczyn wewnętrzny jest

{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} f (x) {\ overline {g (x)}} \ \ operatorname {d} x.}

Normy ciągłych podwójnych przestrzeni

spełniają

tożsamość polaryzacji , więc te podwójne normy mogą być użyte

iloczynów

. W przypadku tego iloczynu wewnętrznego ta podwójna przestrzeń jest również przestrzenią Hilberta .

Nieruchomości

$Displaystyle X}$ znormalizowane przestrzenie wektorowe , $Displaystyle$ $}$ niech będzie zbiorem wszystkich ograniczonych odwzorowań liniowych (lub operatorów ) ${\ displaystyle X$ $}$ w ${$ Wtedy kanoniczną.

Twierdzenie 1 - Niech $displaystyle X}$ $\$ i będą znormalizowanymi przestrzeniami. Przypisanie do każdego ciągłego operatora liniowego ${\ Displaystyle f \ w L (X, Y)$ }

{\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup \ {\ | f (x) \ |: x \ w X, \|x\|\równik 1\}}

definiuje normę

{\ Displaystyle \|\ cdot \|~: ~ L (X, Y) \ do \ mathbb {R}}

na

{\ displaystyle L (X, Y)}

, który sprawia, że

{\ Displaystyle L (X, Y)}

w przestrzeń znormalizowaną. Co więcej, jeśli jest przestrzenią Banacha, to tak samo

z

{\ Displaystyle L (X, Y).}

Dowód

Podzbiór przestrzeni unormowanej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy leży w jakiejś wielokrotności sfery jednostkowej ; zatem ${\ Displaystyle \ | f \ | <\ infty}$ dla każdego ${\ Displaystyle f \ w L (X, Y)}$ jeśli jest ${\ Displaystyle \ alpha}$ skalar, to ${\ Displaystyle (\ alfa f) (x) = \ alfa \ cdot fx}$ tak, że

{\ Displaystyle \|\ alfa f \|=|\ alfa |\|f \|.}

Pokazuje to nierówność trójkąta w Y $\ displaystyle Y}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \|\ lewo (f_ {1} + f_ {2} \ prawej) x \ | ~ & = ~ \ | f_ {1} x + f_ { 2}x\|\\&\równoważnik ~\|f_{1}x\|+\|f_{2}x\|\\&\równoważnik ~\left(\|f_{1}\|+\| f_{2}\|\right)\|x\|\\&\leq ~\|f_{1}\|+\|f_{2}\|\end{wyrównane}}}

${\ Displaystyle \|\ cdot \|~: ~ L (X, Y) \ do \ mathbb {R}}$ każdego $Displaystyle$ $\|x \|\ równoważnik 1.}$ wraz z definicją ‖ implikuje nierówność trójkąta:

{\ Displaystyle \|f + g \|\ równoważnik \|f \|+\|g \|.}

Od ${\ Displaystyle \ {| f (x) |: x \ w X, \| x \ | \ równoważnik 1 \}} jest niepustym$ zbiorem nieujemnych liczb rzeczywistych liczby, ${\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup \ lewo \ {| f (x) |: x \ w X, \ | x \ | \ równoważnik 1 \ prawo \} }$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą. fa ${\ Displaystyle f \ neq 0}$ to ${\ Displaystyle fx_ {0} \ neq 0}$ dla pewnego ${\ Displaystyle x_ {0} \ w X},$ co implikuje, że ${\ Displaystyle \ lewo \ | fx_ {0} \ prawo \ |> 0}$ iw konsekwencji ${\ Displaystyle \ | f \|> 0.}$ To pokazuje, że $_$ _

$_$ teraz $kompletna$ pokażemy _ Niech ${\ Displaystyle f _ {\ punktor} = \ lewo (f_ {n} \ prawo) _ {n = 1} ^ {\ infty}} będzie$ ciągiem Cauchy'ego w ${\ Displaystyle L (X, Y)},$ więc z definicji ${\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {n} -f_ {m} \ prawo \ | \ do 0 }$ jako ${\ Displaystyle n, m \ do \ infty.}$ Ten fakt wraz z relacją

{\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {n} xf_ {m} x \ prawo\|=\lewo\|\lewo(f_{n}-f_{m}\prawo)x\prawo\|\leq \lewo\|f_{n}-f_{m}\prawo\|\|x \|}

oznacza, że ${\ Displaystyle \ lewo (f_ {n} x \ prawej) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ jest sekwencją Cauchy'ego w ${\ displaystyle Y}$ dla każdego ${\ Displaystyle x \ w X.}$ $Displaystyle$ z tego, że dla każdego lim ${n} x}$ $\ lim _ {n \ do \$ istnieje w $więc$ oznaczymy tę (koniecznie unikalną) granicę przez, czyli: ${\ displaystyle fx}$

{\ Displaystyle fx ~ = ~ \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n} x.}

Można wykazać, że jest liniowy ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ . ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$ , to ‖ $\ Displaystyle \ lewo \ | f_ {n} -f_ {m} \ prawo \|\| x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|}$ dla wszystkich wystarczająco dużych liczb całkowitych $n$ i $m$ . Wynika, że

{\ Displaystyle \ lewo \|fx-f_ {m} x \ prawo \|~\ równoważnik ~ \ varepsilon \|x\|}

dla wystarczająco wszystkich dużych

{\ Displaystyle m.}

Stąd

{\ Displaystyle \|fx \|\ równoważnik \ lewo (\ lewo \ | f_ {m} \ prawo \ | + \varepsilon \right)\|x\|,}

tak, że

{\ Displaystyle f \ w L (X, Y)}

i

{\ Displaystyle \ lewo \ | f-f_ {m} \ prawo \|\ równoważnik \ varepsilon.}

To pokazuje, że

{\ Displaystyle f_ {m} \ do f}

w topologii norm

{\ Displaystyle L (X, Y).}

To określa kompletność

{\ Displaystyle L (X, Y).}

Gdy jest polem skalarnym (tj. $}})$ $Y$ $=$ \ , tak że $Y)}$ ${\ Displaystyle X.}$ to podwójna przestrzeń ${\ Displaystyle X ^ {*}}$ X

Twierdzenie 2 - Niech ${\ Displaystyle X}$ będzie przestrzenią unormowaną i dla każdego niech $in X ^ {*}}$ \

{\ Displaystyle \ lewo \ | x ^ {*} \ prawo \ | ~: = ~ \ sup \ lewo \ {| \ langle x, x ^ {*} \ rangle | ~:~x\in X{\text{z }}\|x\|\równik 1\prawo\}}

gdzie z definicji

{\ Displaystyle \ langle x, x ^ {*} \ rangle ~: = ~ x ^ {*} (x)

} Następnie

${\ Displaystyle \|\, \ cdot \, \|: X ^ {*} \ do \ mathbb {R}} jest$ normą , która sprawia, że ${\ Displaystyle X ^ {*} }$ przestrzeń Banacha.
Jeśli jest zamkniętą kulą jednostkową $to$ ${\ Displaystyle X ^ {*}},$ każdego $\ Displaystyle x \ w X,}$ ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane do} {4} \ | x \ | ~ & = ~ \ sup \ lewo \ {| \ langle x, x ^ {*} \ rangle | ~: ~ x ^ {*} \ w B^{*}\right\}\\&=~\sup \left\{\left|x^{*}(x)\right|~:~\left\|x^{*}\right\| \leq 1{\text{ z }}x^{*}\in X^{*}\right\}.\\\end{wyrównanydat}}}$ W konsekwencji ${\ Displaystyle x ^ {*} \ mapsto \ langle x, x ^ {*} \ rangle}$ jest ograniczonym funkcjonałem liniowym na ${\ Displaystyle X ^ {*}}$ z normą ${\ Displaystyle \|x^ {*}\|~=~\|x\|.}$
${\ Displaystyle B ^ {*}}$ jest słaby * - zwarty.

Dowód

Niech ${\ Displaystyle B ~ = ~ \ sup \ {x \ w X ~: ~ \ | x \ | \ równoważnik 1 \}}$ oznacza zamkniętą kulę jednostkową znormalizowana przestrzeń ${\ Displaystyle X.}$ Kiedy ${\ Displaystyle Y}$ jest polem skalarnym , to ${\ Displaystyle L (X, Y) = X ^ {*}}$ więc część (a) jest wniosek z Twierdzenia 1. Fix ${\ Displaystyle x \ w X.}$ Istnieje takie, że ${\ Displaystyle y ^ {*} \ w B ^ {*}}$

{\ Displaystyle \ langle {x, y ^ {*}} \ rangle = \ | x \ |.}

Ale,

{\ Displaystyle | \ langle {x, x ^ {*}} \ rangle |\ równoważnik \|x \ |\|x ^ {*} \|\ równoważnik \| x\|}

dla każdego

{\ Displaystyle x ^ {*} \ w B ^ {*}}

. (b) wynika z powyższego. Ponieważ otwarta kula jednostkowa

gęsta

w , definicja

\|x^ {*} \|}

Displaystyle

\

, że U { \ displaystyle U

{\ Displaystyle x ^ {*} \ w B ^ {*}}

wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle |\ langle {x, x ^ {*}} \ rangle |\ równoważnik 1}

dla każdego

{\ Displaystyle x \ w U}

. Dowód dla (c) następuje teraz bezpośrednio.

Jak zwykle, niech ${\ Displaystyle d (x, y): = \| x, y \|}$ oznacza metrykę kanoniczną indukowaną przez normę przez normę na ${\ Displaystyle X} i oznaczyć$ $}$ $X$ \ Displaystyle S

{\ Displaystyle d (x, S) ~: = ~ \ inf _ {s \ w S} d (x, s) ~ = ~ \ inf _ {s \ w S} \ | xs \ |.}

Jeśli jest ograniczonym funkcjonałem

\ w X}

w przestrzeni znormalizowanej

,

Displaystyle

dla każdego wektora

{\ Displaystyle | f (x) | = \ | f \ | \, d (x, \ ker f)}