Kula jednostkowa

Niektóre 1-kulki.

{\ Displaystyle \|{\ boldsymbol {x}} \|_ {2}}

jest normą dla przestrzeni euklidesowej omówioną w pierwszej sekcji poniżej.

W matematyce sfera jednostkowa jest po prostu kulą o promieniu jeden wokół danego środka . Mówiąc bardziej ogólnie, jest to zbiór punktów oddalonych o 1 od stałego punktu centralnego, w którym różne normy mogą być używane jako ogólne pojęcia „odległości”. Kula jednostkowa to zamknięty zbiór punktów oddalonych od stałego punktu centralnego o mniej niż 1 lub równą 1. Zwykle środek znajduje się na początku przestrzeni, więc mówi się o „kuli jednostkowej” lub „sferze jednostkowej”. Szczególnymi przypadkami są koło jednostkowe i dysk jednostkowy .

Znaczenie sfery jednostkowej polega na tym, że każdą sferę można przekształcić w sferę jednostkową przez połączenie translacji i skalowania . W ten sposób właściwości sfer w ogólności można sprowadzić do badania sfery jednostkowej.

Kule i kule jednostkowe w przestrzeni euklidesowej

W przestrzeni euklidesowej o n wymiarach sfera jednostkowa $(n -1)$ jest zbiorem wszystkich punktów ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ które spełniają równanie

{\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1 .}

N -wymiarowa otwarta kula jednostkowa jest zbiorem wszystkich punktów spełniających nierówność

{\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}<1 ,}

a n -wymiarowa zamknięta kula jednostkowa jest zbiorem wszystkich punktów spełniających nierówność

{\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ równoważnik 1.}

Ogólne wzory na pole i objętość

Wykresy objętości ( V ) i pól powierzchni ( S ) jednostkowych n -kulek.

Klasycznym równaniem kuli jednostkowej jest równanie elipsoidy o promieniu 1 i bez zmian w osiach x , y lub z :

{\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 }

Objętość kuli jednostkowej w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej oraz pole powierzchni kuli jednostkowej pojawiają się w wielu ważnych wzorach analitycznych . Objętość kuli jednostkowej w n wymiarach, którą oznaczamy V _n , można wyrazić za pomocą funkcji gamma . To jest

{\ Displaystyle V_ {n} = {\ Frac {\ pi ^ {n/2}} {\ Gamma (1 + n/2)}} = {\ rozpocząć {przypadki} {\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {jeśli ~} n\geq 0\mathrm {~jest~parzyste,} \\~\\{\pi ^{\ lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~jest~nieparzyste,} \end{przypadki} }}

gdzie n !! jest podwójną silnią .

Hiperobjętość ( n -1)-wymiarowej kuli jednostkowej ( tj . „obszar” granicy n -wymiarowej kuli jednostkowej), którą oznaczamy jako An _{- 1} , można wyrazić jako

{\ Displaystyle A_ {n-1} = nV_ {n} = {\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)} }\,,}

gdzie ostatnia równość zachodzi tylko dla n > 0 . Na przykład ${\ Displaystyle A_ {0} = 2}$ to „obszar” granicy kuli jednostkowej ${\ Displaystyle [-1,1] \ podzbiór \ mathbb { R} }$ , która po prostu liczy dwa punkty. Wtedy ${\ Displaystyle A_ {1} = 2 \ pi}$ jest „obszarem” granicy dysku jednostkowego, który jest obwodem koła jednostkowego. ${\ Displaystyle A_ {2} = 4 \ pi}$ to obszar granicy kuli jednostkowej ${\ Displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}} ,$ czyli pole powierzchni sfery jednostkowej ${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {R} ^ {3}: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^{2}=1\}}$ .

Pola powierzchni i objętości dla niektórych wartości są następujące: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n}$	${\ Displaystyle A_ {n-1}}$ (powierzchnia)		${\ Displaystyle V_ {n}}$ (objętość)
0			${\ Displaystyle (1/0!) \ pi ^ {0}}$	1
1	${\ Displaystyle 1 (2 ^ {1}/1 !!) \ pi ^ {0}}$	2	${\ Displaystyle (2 ^ {1}/1 !!) \ pi ^ {0}}$	2
2	${\ Displaystyle 2 (1/1!) \ pi ^ {1} = 2 \ pi}$	6.283	${\ Displaystyle (1/1!) \ pi ^ {1} = \ pi}$	3.141
3	${\ Displaystyle 3 (2 ^ {2}/3 !!) \ pi ^ {1} = 4 \ pi}$	12.57	${\ Displaystyle (2 ^ {2}/3 !!) \ pi ^ {1} = (4/3) \ pi}$	4.189
4	${\ Displaystyle 4 (1/2!) \ pi ^ {2} = 2 \ pi ^ {2}}$	19.74	${\ Displaystyle (1/2!) \ pi ^ {2} = (1/2) \ pi ^ {2}}$	4.935
5	$pi ^ {2} = (8/3) \ pi ^ { 2}}$	26.32	$(2 ^ {3}/5 !!) \ pi ^ {2} = (8/15) \ pi ^$	5.264
6	${\ Displaystyle 6 (1/3!) \ pi ^ {3} = \ pi ^$	31.01	${\ Displaystyle (1/3!) \ pi ^ {3} = (1/6) \ pi ^ {3}}$	5.168
7	$7 !!) \ pi ^ {3} = (16/15) \ pi ^ { 3}}$	33.07	$2 ^ {4}/7 !!) \ pi ^ {3} = (16/105) \ pi$	4.725
8	${\ Displaystyle 8 (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/3) \ pi ^ {4}}$	32.47	${\ Displaystyle (1/4!) \ pi ^ {4} = (1/24) \ pi ^ {4}}$	4.059
9	$/9 !!) \ pi ^ {4} = (32/105) \ pi ^ { 4}}$	29.69	${5}/9 !!) \ pi ^ {4} = (32/945) \ pi ^$	3.299
10	${\ Displaystyle 10 (1/5!) \ pi ^ {5} = (1/12) \ pi ^$	25.50	$\ Displaystyle (1/5!) \ pi ^ {5} = (1/120) \ pi$	2550

gdzie wartości dziesiętne z rozwinięciem dla n ≥ 2 są zaokrąglane do wyświetlanej dokładności.

rekursja

Wartości A _n spełniają rekurencję:

{\ Displaystyle A_ {0} = 2}

{\ Displaystyle A_ {1} = 2 \ pi}

{\ Displaystyle A_ {n} = {\ Frac {2 \ pi} {n-1}} A_ {n-2}}

dla

{\ displaystyle n> 1}

.

Wartości V _n spełniają rekurencję:

{\ Displaystyle V_ {0} = 1}

{\ Displaystyle V_ {1} = 2}

{\ Displaystyle V_ {n} = {\ Frac {2 \ pi {n}} V_ {n-2}}

dla

{\ displaystyle n> 1}

.

Nieujemne wymiary o wartościach rzeczywistych

$- n} V_ {n} = {\ Frac {\ pi ^ {n/2}} 2^{n}\Gamma (1+n/2)}}}$ { przy nieujemnych rzeczywistych wartościach $n$ jest czasami używane do normalizacji miary Hausdorffa.

Inne promienie

Pole powierzchni ( n −1)-wymiarowej kuli o promieniu r wynosi A _{n −1} r ^{n −1} , a objętość n -wymiarowej kuli o promieniu r wynosi V _n r ⁿ . Na przykład pole powierzchni wynosi A = 4 π r ² dla dwuwymiarowej powierzchni trójwymiarowej kuli o promieniu r . Objętość wynosi V = 4 π r ^3/3 dla trójwymiarowej kuli o promieniu r .

Kule jednostkowe w znormalizowanych przestrzeniach wektorowych

Otwarta kula jednostkowa znormalizowanej przestrzeni wektorowej $Displaystyle$ normą jest dana wzorem $\|\ cdot \|}$

{\ Displaystyle \ {x \ w V: \ | x \ | <1 \}}

Jest to topologiczne wnętrze zamkniętej kuli jednostkowej ( V , ||·||):

{\ Displaystyle \ {x \ w V: \ | x \ | \ równoważnik 1 \}}

Ten ostatni jest rozłącznym związkiem pierwszego i ich wspólnej granicy, sferą jednostkową ( V ,||·||):

{\ Displaystyle \ {x \ w V: \ | x \ | = 1 \}}

„Kształt” kuli jednostkowej jest całkowicie zależny od wybranej normy; może równie dobrze mieć „rogi” i na przykład może wyglądać jak [−1,1] ⁿ , w przypadku maksymalnej normy w R ⁿ . Otrzymuje się naturalnie okrągłą kulę jako kulę jednostkową odnoszącą się do zwykłej normy przestrzennej Hilberta , opartej w przypadku skończonych wymiarów na odległości euklidesowej ; jego granica jest tym, co zwykle rozumie się przez sferę jednostkową .

Niech ${\ Displaystyle x = (x_ {1}, ... x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}$ Zdefiniuj zwykłą normę dla ${\ Displaystyle \ ell _ {p}}$ -normę dla p ≥ 1 jako:

{\ Displaystyle \|x\|_ {p} = \ lewo (\ suma _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k}|^{p}\right)^{1/p}}

Wtedy $_$ zwykłą przestrzenną _ $Displaystyle \|x\|_ {1}}$ $nazywa$ się normą Hamminga lub . Warunek p ≥ 1 jest konieczny w definicji normy , ponieważ kula jednostkowa w dowolnej znormalizowanej przestrzeni musi być $ell _ {p}}$ { \ displaystyle . Niech ${\ Displaystyle \|x \|_ {\ infty}}$ $oznacza$ maksymalną normę lub x

Zauważ, że dla jednowymiarowych obwodów dwuwymiarowych kul jednostkowych mamy: do ${p}}$

{\ Displaystyle C_ {1} = 4 {\ sqrt {2}}}

to wartość minimalna.

{\ Displaystyle C_ {2} = 2 \ pi \,.}

{\ Displaystyle C _ {\ infty} = 8}

to maksymalna wartość.

Uogólnienia

Przestrzenie metryczne

Wszystkie trzy powyższe definicje można bezpośrednio uogólnić na przestrzeń metryczną , w odniesieniu do wybranego pochodzenia. Jednak względy topologiczne (wnętrze, zamknięcie, granica) nie muszą mieć zastosowania w ten sam sposób (np. w ultrametrycznych wszystkie trzy są jednocześnie zbiorami otwartymi i domkniętymi), a sfera jednostkowa może nawet być pusta w niektórych przestrzeniach metrycznych.

Formy kwadratowe

Jeśli V jest przestrzenią liniową o rzeczywistej postaci kwadratowej F : V → R, to { p ∈ V : F (p) = 1 } można nazwać sferą jednostkową lub jednostkową quasi-sferą V . Na przykład forma kwadratowa $gdy$ równa jeden, tworzy która pełni rolę „okręgu jednostkowego” na płaszczyźnie. dzielonych liczb zespolonych . Podobnie forma kwadratowa x ² daje parę linii dla sfery jednostkowej na płaszczyźnie liczb podwójnych .

Zobacz też

Uwagi i odniesienia

Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces , strona 24, Springer-Verlag .
Deza, E .; Deza, M. (2006), Słownik odległości , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2 . Zrecenzowano w Biuletynie Europejskiego Towarzystwa Matematycznego 64 (czerwiec 2007) , s. 57. Ta książka jest zorganizowana jako lista wielu rodzajów odległości, każda z krótkim opisem.

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Sfera jednostkowa” . MathWorld .