Znormalizowana przestrzeń wektorowa

Hierarchia przestrzeni matematycznych. Znormalizowane przestrzenie wektorowe są nadzbiorem przestrzeni iloczynu wewnętrznego i podzbiorem przestrzeni metrycznych , który z kolei jest podzbiorem przestrzeni topologicznych .

W matematyce znormalizowana przestrzeń wektorowa lub znormalizowana przestrzeń to przestrzeń wektorowa nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi , na których zdefiniowana jest norma . Normą jest sformalizowanie i uogólnienie na rzeczywiste przestrzenie wektorowe intuicyjnego pojęcia „długości” w świecie rzeczywistym (fizycznym). Norma to funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana w przestrzeni wektorowej, która jest powszechnie oznaczana ${\ Displaystyle x \ mapsto \| x \ |,}$ i ma następujące właściwości:

1. Jest nieujemna, co oznacza, że ​​dla każdego wektora ${\ displaystyle x.}$${\ Displaystyle \|x\|\ geq 0$
2. Jest dodatni na wektorach niezerowych, to znaczy
   $${\ Displaystyle \|x\|= 0 {\ tekst {implikuje}} x = 0.}$$
3. Dla każdego wektora $\ alpha,}$ każdego skalara ${ \$
   $${\ Displaystyle \|\ alfa x \|=|\ alfa |\, \|x\|.}$$
4. Nierówność trójkąta zachodzi ; to znaczy dla każdego wektora $displaystyle$ y $y}$
   $${\ Displaystyle \|x+y \|\ równoważnik \|x\|+\|y\|.}$$

Norma indukuje odległość , zwaną jej (normą) indukowaną metryką , według wzoru

$${\ Displaystyle d (x, y) = \| yx \ |.}$$

co czyni dowolną znormalizowaną przestrzeń wektorową przestrzenią metryczną i topologiczną przestrzenią wektorową . Jeśli ta przestrzeń metryczna jest kompletna , to przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha . Każdą znormalizowaną przestrzeń wektorową można „wyjątkowo rozszerzyć” do przestrzeni Banacha, co czyni przestrzenie znormalizowane ściśle powiązanymi z przestrzeniami Banacha. Każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią znormalizowaną, ale odwrotność nie jest prawdziwa. Na przykład zbiór skończonych ciągów liczb rzeczywistych można znormalizować za pomocą normy euklidesowej , ale dla tej normy nie jest on zupełny.

Przestrzeń iloczynu wewnętrznego to znormalizowana przestrzeń wektorowa, której normą jest pierwiastek kwadratowy iloczynu wewnętrznego wektora i samego siebie. Norma euklidesowa euklidesowej przestrzeni wektorowej jest szczególnym przypadkiem, który pozwala zdefiniować odległość euklidesową za pomocą wzoru

$${\ Displaystyle d (A, B) = \| {\ overrightarrow {AB}} \ |.}$$

Badanie przestrzeni znormalizowanych i przestrzeni Banacha jest podstawową częścią analizy funkcjonalnej , która jest główną poddziedziną matematyki.

Definicja

Zobacz też: Przestrzeń częściowo uformowana

Znormalizowana przestrzeń wektorowa to przestrzeń wektorowa wyposażona w normę . Półnormalna przestrzeń wektorowa to przestrzeń wektorowa wyposażona w półnormę .

Przydatną odmianą nierówności trójkąta jest

$${\ Displaystyle \|xy \|\ geq |\|x\|-\|y\||}$$

dla ${\ Displaystyle r.}$$y$ i

Pokazuje to również, że norma wektorowa jest (jednostajnie) funkcją ciągłą .

Własność 3 zależy od wyboru normy ${\ Displaystyle |\ alfa |}$ na polu skalarów. Gdy pole skalarne to $pola$ lub bardziej ogólnie podzbiór $) ,$ przyjmuje się, że jest to zwykła wartość bezwzględna , ale możliwe są inne wybory. . Na przykład dla przestrzeni wektorowej nad $wziąć$ by ${\ Displaystyle |\ alpha |}$ być ${\ displaystyle p}$ -adic wartość bezwzględna .

Struktura topologiczna

Jeśli ${\ Displaystyle (V, \|\, \ cdot \, \|)}$ jest znormalizowaną przestrzenią wektorową, norma ${\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | }$ indukuje metrykę (pojęcie odległości ), a zatem topologię na ${\ Displaystyle V.}$ Ta metryka jest zdefiniowana w naturalny sposób: odległość między dwoma wektorami ${\ Displaystyle \ mathbf {u}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$ jest podane przez ${\ Displaystyle \|\ mathbf {u} -\ mathbf {v} \|.}$$i$ topologia jest dokładnie najsłabszą topologią, która sprawia, że która jest zgodny ze strukturą liniową w następującym sensie: ${\ displaystyle V}$

1. Dodatek wektorowy $w$ ciągły Wynika to bezpośrednio z nierówności trójkąta .
2. Mnożenie przez skalar ${\ Displaystyle \, \ cdot \,: \ mathbb {K} \ razy V \ do V},$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ jest bazowym polem skalarnym V ${\ Displaystyle V,}$ łącznie ciągłe. Wynika to z nierówności trójkąta i jednorodności normy.

$dla dowolnej$ przestrzeni wektorowej możemy zdefiniować odległość między ${\ Displaystyle \|\ mathbf {u} -\ mathbf {v} \|.}$ i jako $.$ To zamienia przestrzeń półnormowaną w przestrzeń pseudometryczną (zauważ, że jest słabsza niż metryka) i pozwala na zdefiniowanie pojęć, takich jak ciągłość i zbieżność . Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, każda seminormowana przestrzeń wektorowa to a topologiczna przestrzeń wektorowa , a zatem ma strukturę topologiczną , która jest indukowana przez półnormę.

Szczególnie interesujące są kompletne przestrzenie unormowane, które są znane jako przestrzenie Banacha . Każda znormalizowana przestrzeń wektorowa $znajduje$ jako gęsta podprzestrzeń wewnątrz jakiejś przestrzeni Banacha; ta przestrzeń Banacha jest zasadniczo jednoznacznie zdefiniowana przez ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V.}$ nazywana jest dopełnieniem V

Dwie normy w tej samej przestrzeni wektorowej nazywane są równoważnymi , jeśli definiują tę samą topologię . W skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej wszystkie normy są równoważne, ale nie dotyczy to nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych.

Wszystkie normy w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej są równoważne z topologicznego punktu widzenia, ponieważ indukują tę samą topologię (chociaż wynikowe przestrzenie metryczne nie muszą być takie same). A ponieważ każda przestrzeń euklidesowa jest zupełna, możemy zatem wywnioskować, że wszystkie znormalizowane przestrzenie wektorowe o skończonych wymiarach są przestrzeniami Banacha. Znormalizowana przestrzeń wektorowa $|$ lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy kula jednostkowa $x \|\ równoważnik 1 \} }$ jest zwarty , co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ wymiarowo; jest to konsekwencją lematu Riesza . (W rzeczywistości bardziej ogólny wniosek jest prawdziwy: topologiczna przestrzeń wektorowa jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona. Chodzi o to, że nie zakładamy, że topologia pochodzi z normy).

Topologia półnormowanej przestrzeni wektorowej ma wiele ciekawych właściwości. Biorąc pod uwagę system sąsiedztwa wokół 0, możemy skonstruować wszystkie inne systemy sąsiedztwa jako ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0)}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (x) = x + {\ mathcal {N}} (0): = \{x+N:N\w {\mathcal {N}}(0)\}}$$

z

$${\ Displaystyle x + N: = \ {x + n: n \ w N \}.}$$

Ponadto istnieje baza sąsiedztwa pochodzenia składająca się ze zbiorów absorbujących i wypukłych . Ponieważ właściwość ta jest bardzo przydatna w analizie funkcjonalnej , uogólnienia znormalizowanych przestrzeni wektorowych o tej własności są badane pod nazwą przestrzeni lokalnie wypukłych .

Norma (lub seminorma ) ${\ Displaystyle \|\ cdot \|}$ na topologicznej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy topologia ${\ Displaystyle \ tau _ {\|\ cdot \|}}$ , który ${\ Displaystyle \|\ cdot \|}$ wywołuje na ${\ Displaystyle X}$ jest grubszy niż ${\ Displaystyle \ tau}$ (czyli $,$$się wtedy$ istnieje jakaś w ${\ Displaystyle (X, \|\ cdot \ |)}$ (takie jak może ${\ Displaystyle \ {x \ w X: \ | x \ | < 1\}}$ na przykład), który jest otwarty w ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$ (powiedział inaczej, tak że ${\ Displaystyle B \ in \ tau}$ ).

Przestrzenie normowalne

Zobacz także: Metryzowalna topologiczna przestrzeń wektorowa § Normowalność

Przestrzeń wektorowa topologiczna $u200b$ jest ${$ , istnieje taka norma, że $}$ X metryka kanoniczna ${\ Displaystyle (x, y) \ mapsto \| yx \ |}$ indukuje topologię na ${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle X.}$ Następujące twierdzenie pochodzi od Kołmogorowa :

Kryterium normowalności Kołmogorowa : topologiczna przestrzeń wektorowa Hausdorffa jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wypukłe, ograniczone von Neumanna sąsiedztwo ${\ Displaystyle 0 \ w X.}$

Iloczyn rodziny przestrzeni normalnych jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy skończenie wiele przestrzeni jest nietrywialnych (to znaczy ${\ displaystyle \ neq \ {0 \}}$ . Ponadto iloraz przestrzeni znormalizowanej przez podprzestrzeń wektora zamkniętego ${\ Displaystyle \|\, \ cdot, \|}$$normalny , a$$displaystyle$ dodatkowo topologia jest dana przez normę $X}$ następnie mapa ${\ Displaystyle X/C \ do \ mathbb {R}}$ podane przez ${\ textstyle x + C \ mapsto \ inf _ {c \ w C} \ | x + c \ |}$ jest dobrze zdefiniowaną normą na ${\ displaystyle X/C}$ , która indukuje topologię ilorazu na ${\ displaystyle X/C.}$

Jeśli jest lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową Hausdorffa, to następujące są równoważne: ${\ displaystyle X}$

1. $normalne$ .
2. ${\ displaystyle X}$ ma ograniczone sąsiedztwo pochodzenia.
3. silna przestrzeń dualna ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ pierwsza}}$ z $b ′ {\ displaystyle X}$ jest normalna.
4. silna przestrzeń dualna jest metryzowalna $b} ^ {\ pierwsza}$$Displaystyle$ { }

Co więcej, $\ Displaystyle X _ {\ sigma} ^ {$ skończony wymiarowo wtedy i tylko wtedy, gdy $normalny$ tutaj ${$$obdarzona$ oznacza słabą topologią ).

Topologia $∞$ Frécheta ${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (K)},$ jak zdefiniowano w artykule o funkcji testowych i rozkładów , jest zdefiniowana przez a $.$$ponieważ$ , ale nie jest to nie istnieje taka, że ​​topologia, którą indukuje ta norma, jest równa ${\ Displaystyle \ tau.}$

Nawet jeśli metryzowalna topologiczna przestrzeń wektorowa ma topologię zdefiniowaną przez rodzinę norm, to mimo wszystko może nie być przestrzenią normowalną (co oznacza, że ​​​​jej topologii nie można zdefiniować żadną pojedynczą normą). Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Frécheta $, {\ Displaystyle C ^ {\ infty} (K)$ której definicję można znaleźć w artykule o przestrzeniach funkcji testowych i rozkładów , ponieważ jej topologia ${\ Displaystyle \ tau}$ jest zdefiniowany przez policzalną rodzinę norm, ale nie jest to $} (K)}$ normalna istnieje żadna norma $\ Displaystyle \|\ cdot \$ | taka, że ​​topologia wywołana przez tę normę jest równa ${\ displaystyle \ tau.}$ W rzeczywistości topologia przestrzeni ${\ displaystyle X}$ wypukłej może być zdefiniowana przez rodzinę norm na ${\ displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje co najmniej jedna ciągła norma na ${\ Displaystyle X.}$

Mapy liniowe i przestrzenie dualne

Najważniejszymi mapami między dwiema znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi są ciągłe mapy liniowe . Wraz z tymi mapami znormalizowane przestrzenie wektorowe tworzą kategorię .

Norma jest funkcją ciągłą w swojej przestrzeni wektorowej. Wszystkie liniowe mapy między skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi są również ciągłe.

Izometria między dwiema $znormalizowanymi$ przestrzeniami wektorowymi to mapa liniowa która zachowuje normę (co oznacza ${v}) \|=\ |\ mathbf {v} \|}$ \ dla wszystkich wektorów ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ). Izometrie są zawsze ciągłe i iniekcyjne . Izometria surjekcyjna $W$ przestrzeniami wektorowymi i { $.$$displaystyle W}$ nazywa się izomorfizmem izometrycznym , a i i $izometrycznym$ się izomorfizmem Izomorficznie izomorficzne znormalizowane przestrzenie wektorowe są identyczne ze wszystkich praktycznych powodów.

Mówiąc o znormalizowanych przestrzeniach wektorowych, rozszerzamy pojęcie przestrzeni dualnej , aby uwzględnić normę. Podwójny $znormalizowanej$ przestrzeni wektorowej jest przestrzenią wszystkich ciągłych map liniowych od pola podstawowego (zespoły lub liczby rzeczywiste) ${\ Displaystyle$$displaystyle V}$ ) — takie mapy liniowe nazywane są „funkcjonałami”. Norma $supremum$ jest jako | $}) |}$$mathbf {v$ gdzie obejmuje wszystkie wektory jednostkowe (to znaczy ${\ displaystyle V.}$$normy$ w To zamienia ${\ displaystyle V ^ {\ pierwsza}}$ w znormalizowaną przestrzeń wektorową. Ważnym twierdzeniem o ciągłych funkcjonałach liniowych w znormalizowanych przestrzeniach wektorowych jest twierdzenie Hahna – Banacha .

Przestrzenie znormalizowane jako przestrzenie ilorazowe przestrzeni seminormowanych

Definicja wielu przestrzeni znormalizowanych (w szczególności przestrzeni Banacha ) obejmuje półnormę zdefiniowaną na przestrzeni wektorowej, a następnie przestrzeń znormalizowaną definiuje się jako przestrzeń ilorazową przez podprzestrzeń elementów o półnormie zero. Na przykład ze ${\ displaystyle L ^ {p}}$ spacjami funkcja zdefiniowana przez

$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lewo (\ int | f (x) | ^ {p} \; dx\right)^{1/p}}$$

jest seminormą w przestrzeni wektorowej wszystkich funkcji, na których całka Lebesgue'a po prawej stronie jest zdefiniowana i skończona. Jednak seminorma jest równa zeru dla dowolnej funkcji obsługiwanej na zbiorze miary Lebesgue'a zero. Funkcje te tworzą podprzestrzeń, którą „wyliczamy”, co czyni je równoważnymi funkcji zerowej.

Skończone przestrzenie produktów

Biorąc $ja$ przestrzenie półnormowane ${\ Displaystyle \ lewo (X_ {i}, q_ {i} \ prawej)}$${\ Displaystyle q_ { i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$ półnormami oznacza przestrzeń iloczynu według

$${\ Displaystyle X: = \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$$

gdzie dodawanie wektorów zdefiniowane jako

$${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots,x_{n}+y_ {n}\prawo)}$$

i mnożenie przez skalar zdefiniowane jako

$${\ Displaystyle \ alfa \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ prawej): = \ lewo (\ alfa x_ {1}, \ ldots, \ alfa x_ {n} \ prawej).}$$

Zdefiniuj nową funkcję przez ${\ Displaystyle q: X \ do \ mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle q \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ prawej): = \ suma _{i=1}^{n}q_{i}\lewo(x_{i}\prawo),}$$

co jest seminormą na $X.}$$są$$displaystyle$ Funkcja jest wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie .

$\ Displaystyle q: X \ do \ mathbb {$ , dla każdego rzeczywistego ${$ q R

$${\ Displaystyle q \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ prawo) :=\left(\suma _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$

jest półnormą. Dla każdego $.$ to tę samą przestrzeń topologiczną

Prosty argument dotyczący elementarnej algebry liniowej pokazuje, że jedynymi półwymiarowymi przestrzeniami półnormowanymi są te, które powstają jako przestrzeń iloczynu przestrzeni unormowanej i przestrzeni z trywialną seminormą. W związku z tym wiele bardziej interesujących przykładów i zastosowań przestrzeni seminormowanych występuje dla nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych.

Zobacz też

• Przestrzeń Banacha , znormalizowane przestrzenie wektorowe, które są zupełne względem metryki indukowanej przez normę
• Compactum Banacha – Mazura - Zbiór n-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni unormowanej przekształconych w zwartą przestrzeń metryczną.
• Rozmaitość Finslera , gdzie długość każdego wektora stycznego jest określona przez normę
• Przestrzeń iloczynu wewnętrznego , znormalizowane przestrzenie wektorowe, w których normą jest iloczyn wewnętrzny
• Kryterium normowalności Kołmogorowa – Charakterystyka przestrzeni normowalnych
• Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa – przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte
• Przestrzeń (matematyka) – zbiór matematyczny z dodaną strukturą
• Topologiczna przestrzeń wektorowa - Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości

Bibliografia

•    Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. Tom. 8 (wyd. Drugie). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matematyka . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•   Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoria operacji liniowych ] (PDF) . Monografia Matematyczne (w języku francuskim). Tom. 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 11.01.2014 r . Źródło 2020-07-11 .
•     Rolewicz, Stefan (1987), Analiza funkcjonalna i teoria sterowania: systemy liniowe , Matematyka i jej zastosowania (seria wschodnioeuropejska), tom. 29 (z polskiego przełożyła red. Ewa Bednarczuk), Dordrecht; Warszawa: Wydawnictwo D. Reidel; PWN – Polskie Wydawnictwo Naukowe, s. xvi+524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8 , ISBN 90-277-2186-6 , MR 0920371 , OCLC 13064804
•    Schäfer, HH (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

Linki zewnętrzne

• Media związane z przestrzeniami znormalizowanymi w Wikimedia Commons