Lemat Riesza

Aby zapoznać się z innym wynikiem, nazywanym czasem lematem Riesza, zobacz twierdzenie Riesza o reprezentacji . Aby uzyskać więcej twierdzeń, które są nazywane twierdzeniem Riesza, zobacz twierdzenie Riesza .

Lemat Riesza (po Frigyes Riesz ) jest lematem w analizie funkcjonalnej . Określa (często łatwe do sprawdzenia) warunki gwarantujące, że podprzestrzeń w znormalizowanej przestrzeni wektorowej jest gęsta . Lemat ten można również nazwać lematem Riesza lub nierównością Riesza . Można to postrzegać jako substytut ortogonalności, gdy przestrzeń znormalizowana nie jest wewnętrzną przestrzenią iloczynu .

Oświadczenie

Lemat Riesza - Niech $będzie$ zamkniętą właściwą podprzestrzenią wektorową przestrzeni unormowanej ${\ Displaystyle (X, \|\ cdot \|)}$ i niech $\ Displaystyle \ alpha}$ być dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą < $\ Displaystyle 0 <\ alfa <1.}$ Wtedy istnieje wektor $Displaystyle$$X}$ normy jednostkowej ${\ Displaystyle \|u \|=1}$ takie, że ${\ Displaystyle \|uy \|\ geq \ alfa}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle y}$ w ${\ Displaystyle Y.}$

Dowód można znaleźć w tekstach dotyczących analizy funkcjonalnej, takich jak Kreyszig. Dostępny jest dowód online autorstwa prof. Paula Garretta .

Jak zwykle, niech ${\ Displaystyle d (x, y): = \| xy \ |}$ oznacza kanoniczną metrykę indukowaną przez normę, nazwijmy zbiór ${\ Displaystyle \ {x \ w X: \ | x \ | = 1 \}}$ wszystkich wektorów znajdujących się w odległości ${\ Displaystyle 1}$ od początku sfery jednostkowej $\ Displaystyle Y \ subseteq X}$ oznacz odległość od punktu ${$ zbioru przez Y

$${\ Displaystyle d (u, Y) ~: = ~ \ inf _ {y \ w Y} d (u, y) ~ = ~ \ inf _ {y \ w Y} \ | uy \ |.}$$

Nierówność $uy \|\ geq \$ i tylko wtedy, gdy $\$ dla wszystko $wyraża$$,$ pogląd $wynosi$ najmniej . ${\ displaystyle \ alpha.}$ Ponieważ każda podprzestrzeń wektora (taka jak $)$ zawiera początek $w$ zastępując ${\ displaystyle y: = 0}$ infimum pokazuje , że ${\ Displaystyle d (u, Y) \ równoważnik \|u \|}$ dla każdego wektora ${\ Displaystyle u \ w X.}$ W szczególności $u, Y) \ równoważnik 1$$kiedy$ jest jednostkowym

$_ u\|}$ Riesza zachodzi dla pewnego ${\ displaystyle u \ w X.}$

Używając tej nowej terminologii, lemat Riesza można również przekształcić w prostym języku angielskim jako:

Biorąc pod uwagę dowolną zamkniętą właściwą podprzestrzeń wektorową przestrzeni znormalizowanej dla dowolnej pożądanej minimalnej odległości $\ displaystyle$ niż $1,}$${$ istnieje jakiś wektor w sferze jednostkowej ${\ displaystyle X}$ , czyli co najmniej w tej pożądanej odległości od podprzestrzeni.

$nie$ odległości spełniające hipotez

Kiedy $trywialny,$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}.}$ ma właściwej podprzestrzeni wektorowej $Y ,$ obowiązuje bezsensownie dla wszystkich liczb rzeczywistych W pozostałej części tej sekcji założymy, że $\ displaystyle X \ neq \ {0 \},}$ co gwarantuje istnienie wektora jednostkowego.

Włączenie hipotez $\ Displaystyle \ alpha$ trzy przypadki: $leq 0}$ nie jest ujemne, $\ displaystyle \ alpha = 1,}$ i ${\ Displaystyle \ alpha > 1.}$ Lemat obowiązuje, gdy ${\ Displaystyle \ alpha \ leq 0}$ ponieważ każdy wektor jednostkowy ${\ Displaystyle u \ in X}$ spełnia wniosek $|.} Hipotezy są zawarte$$\$ wyłącznie celu wykluczenia tego trywialnego przypadku i czasami są pominięte w stwierdzeniu lematu.

$uy \ | \ geq \ alfa }$ Riesza jest zawsze fałszywy, gdy wektora $jednostkowego$ wymagana $u$${$ nie utrzymuje się przez ${\ Displaystyle y: = 0 \ w Y}$ (ponieważ ${\ Displaystyle \|u-0 \|=1 <\ alfa}$ ). $u, Y)$ konsekwencją nierówność $)$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość ${\ Displaystyle d (u, Y) = 1} .$

To pozostawia tylko ${\ displaystyle \ alpha = 1,}$ w którym to przypadku stwierdzenie przyjmuje postać: α = 1 , {\ displaystyle \ alpha = 1,}

dla każdej zamkniętej właściwej podprzestrzeni wektora z $\ displaystyle$$X,}$ istnieje jakiś wektor $re$ jednostkowej, który spełnia $d ( u,Y)=1.}$

Kiedy jest przestrzenią Banacha $,$$refleksyjną$ stwierdzenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, jest przestrzenią . Tak więc w nierefleksyjnej przestrzeni Banacha, takiej jak ${\ Displaystyle \ ell _ {\ infty} (\ mathbb {N})$ Lebesgue'a wszystkich ciągów ograniczonych, lemat Riesza nie obowiązuje dla ${\ Displaystyle \ alfa = 1.}$$pokazane$ przestrzenią Banacha, więc lemat Riesza obowiązuje, gdy znormalizowana przestrzeń jest skończenie wymiarowa, jak zostanie to teraz $jest$ wymiar $skończony,$ kula jednostkowa zwarta. Ponieważ funkcja odległości ${\ Displaystyle d (\, \ cdot \,, Y)}$ jest ciągły, jego obraz na zamkniętej kuli jednostkowej $musi$ zwartym podzbiorem linii rzeczywistej, co dowodzi twierdzenia.

Niektóre konsekwencje

Lemat Riesza gwarantuje, że dla dowolnej danej $2$$} \ ldots}$ zawiera ciąg ${\ Displaystyle x_ {1}, x_$ z (odrębnych) wektorów jednostkowych spełniających ${\ Displaystyle \|x_ {n} -x_ {m} \|> \ alfa}$ dla ${\ displaystyle m \ neq n;}$ lub mówiąc prostym angielskim, wszystkie te wektory są oddzielone od siebie na odległość większą niż ${\ displaystyle \ alpha}$ jednocześnie wszystkie leżą na sferze jednostkowej. Takiej nieskończonej sekwencji wektorów nie można znaleźć w sferze jednostkowej żadnej $)$ wymiarowej przestrzeni znormalizowanej (wystarczy wziąć pod uwagę na przykład jednostkowy w .

Sekwencja ta może być skonstruowana przez indukcję . $.$ od wybrania dowolnego elementu sfery jednostkowej Wybierz ze $jednostek$ takie,

${\ Displaystyle d \ lewo (x_ {n}, Y_ {n-1} \ prawej)> \ alfa}$ dla stałej ${\ Displaystyle 0 < \ alfa <1,}$ gdzie ${\ Displaystyle Y_ {n-1}}$ jest rozpiętością liniową ${\ Displaystyle \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1} \}}$ i ${\ Displaystyle d (x_ {n}, Y) = \ inf _ {y \ w Y} \| x_ {n} -y \ |.}$

Oczywiście ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$ nie zawiera zbieżnego podciągu i wynika z tego brak zwartości kuli jednostkowej.

Charakteryzacja skończonego wymiaru

Główny artykuł: Twierdzenie F. Riesza

Lemat Riesza można zastosować bezpośrednio, aby pokazać, że kula jednostkowa $nigdy$ wymiarowej przestrzeni unormowanej nie jest zwarta . Można to wykorzystać do scharakteryzowania skończenie wymiarowych znormalizowanych przestrzeni: jeśli $displaystyle X}$ znormalizowaną przestrzenią wektorową, to jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięta kula jednostkowa w ${\ displaystyle X}$ jest $X {$ kompaktowy.

$Mówiąc$ bardziej ogólnie, jeśli przestrzeń wektorowa jest lokalnie zwarta , to jest skończona wymiarowo. Odwrotność tego jest również prawdziwa. Mianowicie, jeśli topologiczna przestrzeń wektorowa jest skończona wymiarowo, jest lokalnie zwarta. Dlatego lokalna zwartość charakteryzuje skończoność wymiarową. Ten klasyczny wynik jest również przypisywany Rieszowi. Krótki dowód można naszkicować w następujący sposób: niech ${\ Displaystyle X.}$$.$ sąsiedztwem początku w Dzięki zwartości jest ${\ Displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n} \ w C}$ takie, że

$${\ Displaystyle C ~ \ subseteq ~ \ lewo (c_ {1} + {\ tfrac {1} {2}} C \ prawej) \ kubek \ cdots \ kubek \ lewo (c_ {n} + {\ tfrac {1} {2}}C\prawo).}$$

Twierdzimy, że skończona wymiarowa podprzestrzeń rozpięta przez ${$$}}$$\ {c_ {1}, \ ldots, c_ {n}$ jest gęsta w $\displaystyle X,}$ lub równoważnie, jego domknięcie to $\ Displaystyle X.}$${\ displaystyle C,}$ Ponieważ ${\ Displaystyle X}$ jest sumą skalarnych wielokrotności do wystarczy pokazać, że ${\ Displaystyle C \ subseteq Y.}$ Przez indukcję dla każdego ${\ Displaystyle m,}$

$${\ Displaystyle C ~ \ subseteq ~ Y + {\ Frac {1} {2 ^ {m}}} C.}$$

Ale zbiory zwarte są $domknięciu$ , więc leży w ${\ Displaystyle Y.}$ To dowodzi wyniku. Inny dowód oparty na twierdzeniu Hahna – Banacha można znaleźć w Crespín (1994) .

Teoria spektralna

Własności widmowe operatorów zwartych działających na przestrzeni Banacha są podobne do właściwości macierzy. Lemat Riesza jest kluczowy dla ustalenia tego faktu.

Inne aplikacje

Jak wyszczególniono w artykule na temat nieskończenie wymiarowej miary Lebesgue'a , jest to przydatne do wykazania nieistnienia pewnych miar w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha . $jest$ Riesza pokazuje również, że operator tożsamości w przestrzeni Banacha zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ wymiarowo.

Zobacz też

• Twierdzenie F. Riesza
• Twierdzenie Jamesa - twierdzenie w matematyce Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne

•    Diestel, Joe (1984). Ciągi i szeregi w przestrzeniach Banacha . Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5 . OCLC 9556781 .
•   Hashimoto, Kazuo; Nakamura, gen. Oharu, Shinnosuke (1986-01-01). „Lemat Riesza i ortogonalność w przestrzeniach znormalizowanych” (PDF) . Dziennik matematyczny z Hiroszimy . Hiroshima University - Wydział Matematyki. 16 (2). doi : 10.32917/hmj/1206130429 . ISSN 0018-2079 .
•    Kreyszig, Erwin (1978). Wstępna analiza funkcjonalna z aplikacjami . Nowy Jork: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 . OCLC 2818701 .
•    Rysz, Fryderyk ; Sz.-Nagy, Béla (1990) [1955]. Analiza funkcjonalna . Przetłumaczone przez Borona, Leo F. New York: Dover Publications . ISBN 0-486-66289-6 . OCLC 21228994 .
•    Rynne, Bryan P.; Youngson, Martin A. (2008). Liniowa analiza funkcjonalna (wyd. 2). Londyn: Springer. ISBN 978-1848000049 . OCLC 233972987 .