Twierdzenie M. Riesza o rozszerzeniu

M. Riesza o rozszerzeniu jest twierdzeniem matematycznym , udowodnionym przez Marcela Riesza podczas jego badania problemu momentów .

Sformułowanie

Niech $będzie$ rzeczywistą $wypukłym$ wektorową , będzie i $_$ . _ _ _ _

ϕ $R}}$ { nazywa się $Displaystyle$ tylko nieujemne wartości na stożku $K} }$ :

{\ Displaystyle \ phi (x) \ geq 0 \ quad {\ tekst {for}} \ quad x \ w F \ cap K.}

Funkcjonał liniowy nazywany jest $displaystyle$ rozszerzeniem ${\ Displaystyle \ psi: E \ do \ mathbb {R}}$ , jeśli jest identyczny z ϕ { $}$ ${\ Displaystyle \ phi}$ $w$ domenie , a także zwraca wartość co najmniej 0 dla wszystkich punktów w stożku: ${\ Displaystyle K$ :

{\ Displaystyle \ psi |_ {F} = \ phi \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ psi (x) \ geq 0 \ quad {\ tekst {dla}} \ quad x \ w K.}

Ogólnie rzecz biorąc, $.$ liniowego na -dodatni $funkcjonał liniowy$ $na$ $nie$ rozszerzyć na -dodatni funkcjonał liniowy Już w dwóch wymiarach otrzymuje się kontrprzykład. Niech ${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}, \ K = \ {(x, y): y> 0 \} \ kubek \ {(x, 0): x> 0 \ },}$ i być osią $}$ ${\ displaystyle x$ . Funkcjonału dodatniego ${$ funkcjonał dodatni na $E$ }

Jednak rozszerzenie istnieje przy dodatkowym założeniu, że dla $E$ mi $\ podzbiór$ $displaystyle x\in F}$ $}$ ${\ displaystyle yx \ w K.}$ takie, że

Dowód

Dowód jest podobny do dowodu twierdzenia Hahna – Banacha (patrz także poniżej).

Za pomocą indukcji pozaskończonej lub lematu Zorna wystarczy rozważyć przypadek dim mi $\ displaystyle E/F = 1}$ .

Wybierz dowolny ${\ Displaystyle y \ w E \ setminus F}$ . Ustawić

{\ Displaystyle a = \ sup \ {\, \ phi (x) \ mid x \ in F, \ yx \ in K \, \}, \ b = \ inf \ {\, \ phi (x) \ mid x \w F,xy\w K\,\}.}

Udowodnimy poniżej, że ${\ Displaystyle - \ infty <a \ równoważnik b}$ . Na razie wybierz dowolny $do$ i ustaw $psi (y) = c}$ ${\ Displaystyle \$ { ${\ Displaystyle \ psi | _ {F} = \ phi}$ , a następnie rozszerzyć ${\ displaystyle \ psi}$ do wszystkich $liniowości$ . Musimy $dodatnie$ $,$ jest . Załóżmy, ${\ Displaystyle Z \ w K.}$ . z $\ Displaystyle z = 0}$ lub ${\ Displaystyle z = p (x + y)}$ lub ${\ Displaystyle z = p (xy)}$ dla niektórych ${\ Displaystyle p> 0}$ i ${\ Displaystyle x \ in F}$ . Jeśli ${\ Displaystyle Z = 0}$ , to ${\ Displaystyle \ psi (z)> 0}$ . W pierwszym pozostałym przypadku ${\ Displaystyle x + y = y- (- x) \ w K}$ , a więc

{\ Displaystyle \ psi (y) = c \ geq a \ geq \ phi (-x) = \ psi (-x)}

zgodnie z definicją. Zatem

{\ Displaystyle \ psi (z) = p \ psi (x + y) = p (\ psi (x)+\psi (y))\geq 0.}

W drugim przypadku ${\ Displaystyle xy \ in K}$ , a więc podobnie

{\ Displaystyle \ psi (y) = c \ równoważnik b \ równoważnik \ fi (x) = \ psi (x)}

z definicji i tyle

{\ Displaystyle \ psi (z) = p \ psi (xy) = p (\ psi (x )-\psi (y))\geq 0.}

We wszystkich przypadkach $z)> 0}$ $\$ $displaystyle \ psi$ , a więc jest .

Udowodnimy teraz, że ${\ Displaystyle - \ infty <a \ równoważnik b}$ . Zauważ, że z założenia istnieje co najmniej jeden, dla którego ${\ Displaystyle yx \ in K}$ $,$ a więc $\ displaystyle - \ infty <$ . Może się jednak zdarzyć, że nie ma takich, dla których ${\ displaystyle x \ in F}$ ${\ Displaystyle xy \ in K}$ , w takim przypadku ${\ Displaystyle b = \ infty}$ i nierówność jest trywialna (w tym przypadku zauważ, że trzeci przypadek powyżej nie może się zdarzyć). Dlatego możemy założyć, że ${\ Displaystyle b <\ infty}$ i istnieje co najmniej jeden ${\ Displaystyle x \ in F}$ dla którego ${\ Displaystyle xy \ w K}$ . Aby udowodnić nierówność, wystarczy pokazać, że ilekroć i ${\ Displaystyle yx \$ $}$ i $Displaystyle x'\ w fa }$ i ${\ Displaystyle x'-y \ w K.}$ , a następnie ${\ Displaystyle \ phi (x) \ równoważnik \ phi (x ')}$ . Rzeczywiście,

{\ Displaystyle x'-x = (x'-y) + (yx) \ w K}

ponieważ jest $wypukłym$ stożkiem i tak

{\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ phi (x'-x) = \ phi (x') - \ phi (x)}

ponieważ ${\ displaystyle \ phi$ $}$ jest .

Wniosek: Twierdzenie o rozszerzeniu Kreina

Niech E będzie rzeczywistą przestrzenią liniową i niech K ⊂ E będzie stożkiem wypukłym . Niech x ∈ E \(− K ) będzie takie, że R x + K = E . Wtedy istnieje K -dodatni funkcjonał liniowy φ : E → R taki, że φ ( x ) > 0.

Związek z twierdzeniem Hahna – Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha można wydedukować z twierdzenia M. Riesza o rozszerzeniu.

Niech V będzie przestrzenią liniową i niech N będzie funkcją podliniową na V . Niech φ będzie funkcjonałem na podprzestrzeni U ⊂ V zdominowanej przez N :

{\ Displaystyle \ phi (x) \ równoważnik N (x), \ quad x \ w U.}

Twierdzenie Hahna – Banacha stwierdza, że φ można rozszerzyć do liniowego funkcjonału na V , który jest zdominowany przez N .

Aby wyprowadzić to z twierdzenia M. Riesza o rozszerzeniu, zdefiniuj stożek wypukły K ⊂ R × V przez

{\ Displaystyle K = \ lewo \ {(a, x) \ \ mid \, N (x) \ równoważnik a \ prawo \}.}

Zdefiniuj funkcjonał φ ₁ na R × U przez

{\ Displaystyle \ phi _ {1} (a, x) = a- \ phi (x).}

Widać, że φ ₁ jest K -dodatnie i że K + ( R × U ) = R × V . Dlatego φ ₁ można rozszerzyć do K -dodatniego funkcjonału ψ ₁ na R × V . Następnie

{\ Displaystyle \ psi (x) = - \ psi _ {1} (0, x)}

jest pożądanym rozszerzeniem φ . Rzeczywiście, jeśli ψ ( x ) > N ( x ), mamy: ( N ( x ), x ) ∈ K , natomiast

{\ Displaystyle \ psi _ {1} (N (x), x) = N (x) - \ psi (x) <0,}

prowadzi do sprzeczności.

Notatki

Castillo, Reńe E. (2005), „Notatka o twierdzeniu Kreina” (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 01.02.2014 , pobrane 18.01.2014
Riesz, M. (1923), "Sur le problème des moments. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (po francusku), 17 (16), JFM 49.0195.01
Akhiezer, NI (1965), Problem momentu klasycznego i niektóre powiązane pytania w analizie , Nowy Jork: Hafner Publishing Co., MR 0184042