Widmo C*-algebry

W matematyce widmo C*-algebry lub dualne C*-algebry A , oznaczone  , jest zbiorem jednostkowych klas równoważności nieredukowalnych *-reprezentacji A . * -reprezentacja π A na przestrzeni Hilberta H jest nieredukowalna wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma zamkniętej podprzestrzeni K różnej od H i {0}, która jest niezmienna dla wszystkich operatorów π ( x ) z x ∈ ZA . Implicite zakładamy, że reprezentacja nieredukowalna oznacza niezerową reprezentację nieredukowalną, wykluczając w ten sposób trywialne (tj. identycznie 0) reprezentacje w przestrzeniach jednowymiarowych . Jak wyjaśniono poniżej, widmo  jest również naturalnie przestrzenią topologiczną ; jest to podobne do pojęcia widma pierścienia .

Jednym z najważniejszych zastosowań tej koncepcji jest zapewnienie pojęcia podwójnego obiektu dla dowolnej lokalnie zwartej grupy . Ten podwójny obiekt jest odpowiedni do sformułowania transformaty Fouriera i twierdzenia Plancherela dla jednomodułowych rozdzielnych grup lokalnie zwartych typu I oraz twierdzenia o dekompozycji dla dowolnych reprezentacji rozdzielnych grup lokalnie zwartych typu I. Wynikająca z tego teoria dualności dla grup lokalnie zwartych jest jednak dużo słabsza niż teoria dualności Tannaki-Kreina dla zwarte grupy topologiczne lub dwoistość Pontriagina dla lokalnie zwartych grup abelowych , z których oba są całkowitymi niezmiennikami. To, że liczba dualna nie jest całkowitym niezmiennikiem, łatwo zauważyć, ponieważ liczba dualna dowolnej skończenie wymiarowej algebry z pełną macierzą M _n ( C ) składa się z pojedynczego punktu.

Widmo prymitywne

Topologię Â można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów . Najpierw zdefiniujemy to w kategoriach prymitywnego widma .

Pierwotne widmo A jest zbiorem pierwotnych ideałów Prim( A ) z A , gdzie pierwotny ideał jest jądrem nieredukowalnej *-reprezentacji. Zbiór ideałów pierwotnych to przestrzeń topologiczna o topologii kadłub-jądro (lub topologia Jacobsona ). Jest to zdefiniowane w następujący sposób: jeśli X jest zbiorem prymitywnych ideałów, to jego domknięcie kadłuba-jądra jest

${\ Displaystyle {\ overline {X}} = \ lewo \ {\ rho \ w \ nazwa operatora {Prim} (A): \ rho \ supseteq \ bigcap _ {\ pi \ w X} \ pi \ po prawej \}.}$

Można łatwo wykazać, że zamknięcie kadłuba-jądra jest operacją idempotentną

${\ Displaystyle {\ overline {\ overline {X}}} = {\ overline {X}},}$

i można wykazać, że spełnia aksjomaty domknięcia Kuratowskiego . W konsekwencji można wykazać, że istnieje unikalna topologia τ na Prim( A ) taka, że ​​domknięcie zbioru X względem τ jest identyczne z domknięciem kadłub-jądro X .

Ponieważ unitarnie równoważne reprezentacje mają to samo jądro, mapa π ↦ ker(π) uwzględnia czynniki poprzez surjektywną mapę

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {k}: {\ kapelusz {A}} \ do \ nazwa operatora {Prim} (A).}$

Używamy mapy k do zdefiniowania topologii na  w następujący sposób:

Definicja . Zbiory otwarte  są odwrotnymi obrazami k ⁻¹ ( U ) otwartych podzbiorów U zbioru Prim( A ). To jest rzeczywiście topologia.

Topologia kadłuba-jądra jest odpowiednikiem nieprzemiennych pierścieni topologii Zariskiego dla pierścieni przemiennych.

Topologia na  indukowana z topologii kadłub-jądro ma inne charakterystyki pod względem stanów A .

Przykłady

Przemienne C*-algebry

Trójwymiarowa przemienna C*-algebra i jej ideały. Każdy z 8 ideałów odpowiada zamkniętemu podzbiorowi dyskretnej przestrzeni 3-punktowej (lub otwartemu dopełnieniu). Pierwotne ideały odpowiadają zamkniętym singletonom . Zobacz szczegóły na stronie opisu obrazu.

Widmo przemiennej C*-algebry A pokrywa się z dualnością Gelfanda A (nie mylić z dualnością A' przestrzeni Banacha A ). W szczególności załóżmy, że X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa . Wtedy występuje naturalny homeomorfizm

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {I}: X \ cong \ nazwa operatora {Prim} (\ nazwa operatora {C} (X)).}$

To odwzorowanie jest zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {I} (x) = \ {f \ w \ nazwa operatora {C} (X): f (x) = 0 \}.}$

I( x ) jest zamkniętym ideałem maksymalnym w C( X ), więc w rzeczywistości jest prymitywny. Aby uzyskać szczegółowe informacje na temat dowodu, zobacz odniesienie do Dixmiera. Dla przemiennej C*-algebry,

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} \ cong \ nazwa operatora {Prim} (A).}$

C*-algebra operatorów ograniczonych

₀₀ Niech H będzie rozdzielną nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta . L ( H ) ma dwa ideały zamknięte w normie: I = {0} i ideał K = K ( H ) operatorów zwartych. Zatem jako zbiór, Prim( L ( H )) = { ja , K }. Teraz

• { K } jest zamkniętym podzbiorem Prim( L ( H )).
• ₀ Domknięcie { I } to Prim ( L ( H )).

Zatem Prim( L ( H )) jest przestrzenią inną niż Hausdorff.

Z drugiej strony widmo L ( H ) jest znacznie większe. Istnieje wiele równoważnych nieredukowalnych reprezentacji z jądrem K ( H ) lub z jądrem {0}.

Skończenie-wymiarowe C*-algebry

Załóżmy, że A jest skończenie wymiarową algebrą C*. Wiadomo, że A jest izomorficzne ze skończoną sumą bezpośrednią pełnych algebr macierzowych:

${\ Displaystyle A \ cong \ bigoplus _ {e \ in \ nazwa operatora {min} (A)} Ae,}$

gdzie min( A ) to minimalne rzuty środkowe A . Widmo A jest kanonicznie izomorficzne z min( A ) o topologii dyskretnej . W przypadku skończenie wymiarowych C*-algebr mamy również izomorfizm

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} \ cong \ nazwa operatora {Prim} (A).}$

Inne charakterystyki widma

Topologię kadłuba-jądra łatwo jest opisać abstrakcyjnie, ale w praktyce dla C*-algebr powiązanych z lokalnie zwartymi grupami topologicznymi pożądane są inne charakterystyki topologii widma w kategoriach dodatnio określonych funkcji.

W rzeczywistości topologia na  jest ściśle związana z koncepcją słabego zawierania reprezentacji, jak pokazano w następujący sposób:

Twierdzenie . Niech S będzie podzbiorem  . Wtedy następujące są równoważne dla nieredukowalnej reprezentacji π;

1. Klasa równoważności π w  znajduje się w domknięciu S
2. Każdy stan związany z π, czyli jedną z postaci

${\ Displaystyle f _ {\ xi} (x) = \ langle \ xi \ mid \ pi (x) \ xi \ rangle}$

z ||ξ|| = 1, jest słabą granicą stanów związanych z reprezentacjami w S .

Drugi warunek oznacza dokładnie, że π jest słabo zawarte w S .

Konstrukcja GNS jest receptą na powiązanie stanów C*-algebry A z reprezentacjami A . Zgodnie z jednym z podstawowych twierdzeń związanych z konstrukcją GNS, stan f jest czysty wtedy i tylko wtedy, gdy związana z nim reprezentacja π _f jest nieredukowalna. Ponadto odwzorowanie κ : PureState( A ) → Â określone przez f ↦ π _f jest odwzorowaniem suriekcyjnym.

Z poprzedniego twierdzenia można łatwo udowodnić, co następuje;

Twierdzenie Odwzorowanie

$_$

_

Przestrzeń Irr _n ( A )

Istnieje jeszcze inna charakterystyka topologii na  , która wynika z traktowania przestrzeni reprezentacji jako przestrzeni topologicznej z odpowiednią topologią zbieżności punktowej. Dokładniej, niech n będzie liczbą kardynalną i niech H _n będzie kanoniczną przestrzenią Hilberta o wymiarze n .

Irr _n ( A ) jest przestrzenią nieredukowalnych *-reprezentacji A na H _n o topologii punktowo-słabej. Jeśli chodzi o zbieżność sieci, topologia ta jest zdefiniowana przez π _i → π; wtedy i tylko wtedy gdy

${\ Displaystyle \ langle \ pi _ {i} (x) \ xi \ mid \ eta \ rangle \ do \ langle \ pi (x) \ xi \ mid \ eta \ rangle \ quad \ forall \ xi, \ eta \ in H_{n}\ x\w A.}$

Okazuje się, że ta topologia na Irr _n ( A ) jest tożsama z topologią punktową, tj. π _i → π wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ pi _ {i} (x) \ xi \ do \ pi (x) \ xi \ quad {\ mbox {normalnie}} \ forall \ xi \ in H_ {n} \ x \ in A.}$

Twierdzenie . Niech  _n będzie podzbiorem  składającym się z klas równoważności reprezentacji, których podstawowa przestrzeń Hilberta ma wymiar n . Mapa kanoniczna Irr _n ( A ) →  _n jest ciągłe i otwarte. W szczególności,  _n może być traktowane jako iloraz przestrzeni topologicznej Irr _n ( A ) w ramach równoważności jednostkowej.

Uwaga . Łączenie różnych n _. może być dość skomplikowane

Struktura Mackeya-Borela

 jest przestrzenią topologiczną i dlatego też może być traktowana jako przestrzeń borelowska . Słynna hipoteza G. Mackeya zaproponowała, że ​​lokalnie zwarta grupa lokalnie rozdzielna jest typu I wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń borelowska jest standardowa, tj . . Mackey nazwał przestrzenie Borela z tą właściwością smooth . To przypuszczenie zostało udowodnione przez Jamesa Glimma dla rozdzielnych C*-algebr w artykule z 1961 roku wymienionym w poniższych odnośnikach.

Definicja . Niezdegenerowana *-reprezentacja π rozdzielnej C*-algebry A jest reprezentacją czynnikową wtedy i tylko wtedy, gdy środek algebry von Neumanna wygenerowanej przez π( A ) jest jednowymiarowy. AC*-algebra A jest typu I wtedy i tylko wtedy, gdy jakakolwiek separowalna reprezentacja czynnikowa A jest skończoną lub przeliczalną wielokrotnością nieredukowalnej jedynki.

Przykładami rozłącznych lokalnie zwartych grup G takich, że C*( G ) jest typu I, są połączone (rzeczywiste) nilpotentne grupy Liego i połączone rzeczywiste półproste grupy Liego. Tak więc grupy Heisenberga są typu I. Grupy zwarte i abelowe są również typu I.

Twierdzenie . Jeśli A jest separowalny, Â jest gładki wtedy i tylko wtedy, gdy A jest typu I.

Wynik implikuje daleko idące uogólnienie struktury reprezentacji separowalnych algebr typu IC* i odpowiednio separowalnych grup lokalnie zwartych typu I.

Prymitywne widma algebraiczne

Zobacz też: Prymitywne widmo

Ponieważ C*-algebra A jest pierścieniem , możemy również rozważyć zbiór pierwotnych ideałów A , gdzie A jest rozpatrywane algebraicznie. Dla pierścienia ideał jest prymitywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest anihilatorem prostego modułu . Okazuje się, że dla C*-algebry A ideał jest algebraicznie prymitywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest prymitywny w sensie zdefiniowanym powyżej.

Twierdzenie . Niech A będzie C*-algebrą. Każda algebraicznie nieredukowalna reprezentacja A w złożonej przestrzeni wektorowej jest algebraicznie równoważna topologicznie nieredukowalnej *-reprezentacji w przestrzeni Hilberta. Topologicznie nieredukowalne * -reprezentacje w przestrzeni Hilberta są algebraicznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są jednostkowo równoważne.

To jest wniosek z Twierdzenia 2.9.5 odniesienia Dixmiera.

Jeśli G jest lokalnie zwartą grupą, topologia w przestrzeni dualnej grupy C*-algebry C*( G ) z G jest nazywana topologią Fella , nazwaną na cześć JMG Fella .

• J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, 1969.
• J. Glimm, Typ IC*-algebry , Annals of Mathematics, tom 73, 1961.
• G. Mackey, Teoria reprezentacji grupowych , The University of Chicago Press, 1955.