Prawo Weyla

W matematyce , zwłaszcza w teorii spektralnej , prawo Weyla opisuje asymptotyczne zachowanie wartości własnych operatora Laplace'a-Beltramiego . Opis $Ω$ został odkryty w 1911 r. (W ${\ Displaystyle \ Omega \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {d}}$ Weyla dla wartości własnych operatora Laplace'a-Beltramiego działającego funkcjach, które znikają na granicy dziedziny ograniczonej . W szczególności udowodnił, że liczba $)$ własnych Dirichleta (licząc ich wielokrotności mniejsza lub równa λ $\ lambda}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ rightarrow \ infty}} {\ Frac {N (\ lambda) }{\lambda ^{d/2}}}=(2\pi)^{-d}\omega _{d}\mathrm {vol} (\Omega)}$

gdzie jest objętością kuli jednostkowej w $mathbb {R} ^ {d}}$$Displaystyle$ . W 1912 roku przedstawił nowy dowód oparty na metodach wariacyjnych .

Uogólnienia

Prawo Weyla zostało rozszerzone na bardziej ogólne domeny i operatorów. Dla operatora Schrödingera

${\ Displaystyle H = -h ^ {2} \ Delta + V (x)}$

został przedłużony do

${\ Displaystyle N (E, h) \ sim (2 \ pi h) ^ {- d} \ int _ {\ {|\ xi | ^ {2} + V(x)<E\}}dxd\xi }$

jako dążący do $+ \ infty}$$Displaystyle$ lub do dołu podstawowego widma i / lub ${\ displaystyle h \ do + 0$ }

Tutaj ${\ Displaystyle N (E, h)}$ jest liczbą wartości własnych poniżej $\ displaystyle H}$${$ , chyba że istnieje podstawowe widmo poniżej, w którym $E}$ przypadek ${\ Displaystyle N (E, h) = + \ infty}$ .

W rozwoju asymptotyki spektralnej zasadniczą rolę odegrały metody wariacyjne i analiza mikrolokalna .

Kontrprzykłady

Rozszerzone prawo Weyla zawodzi w pewnych sytuacjach. W szczególności rozszerzone $,$ że nie ma istotnego widma wtedy i tylko wtedy, gdy wyrażenie po prawej stronie jest skończone dla wszystkich .

Jeśli weźmie się pod uwagę domeny z wierzchołkami (tj. „kurczącymi się wyjściami do nieskończoności”), to (rozszerzone) prawo Weyla twierdzi, że nie ma istotnego widma wtedy i tylko wtedy, gdy objętość jest skończona. Jednak dla Laplaciana Dirichleta nie ma istotnego widma, nawet jeśli objętość jest nieskończona, o ile wierzchołki kurczą się w nieskończoności (więc skończoność objętości nie jest konieczna).

Z drugiej strony, dla Laplaciana Neumanna istnieje widmo istotne, chyba że wierzchołki kurczą się w nieskończoności szybciej niż ujemny wykładnik (więc skończoność objętości nie jest wystarczająca).

Przypuszczenie Weyla

Weyl domyślił się tego

${\ Displaystyle N (\ lambda) = (2 \ pi) ^ {- d} \ lambda ^ {d/2} \ omega _ {d} \ operatorname {tom} (\Omega)\mp {\frac {1}{4}}(2\pi)^{1-d}\omega _{d-1}\lambda ^{(d-1)/2}\mathrm { obszar} (\częściowy \Omega )+o(\lambda ^{(d-1)/2})}$

gdzie pozostała część jest ujemna dla warunków brzegowych Dirichleta i dodatnia dla Neumanna. Szacunek reszty został poprawiony przez wielu matematyków.

W $_$ Richard ograniczony _ W $_$ Boris ściślejsze _ Roberta Seeleya rozszerzył to, aby objąć pewne domeny euklidesowe w 1978 r. W 1975 r. Hans Duistermaat i Victor Guillemin udowodnili granicę ${\ Displaystyle o (\ lambda ^ {(d-1) / 2} )}$ , gdy zbiór okresowych bicharakterystyk ma miarę 0. Zostało to ostatecznie uogólnione przez Victora Ivrii w 1980 r. To uogólnienie zakłada, że ​​​​zbiór okresowych trajektorii bilarda w ${\ displaystyle \ Omega}$ ma miarę 0, co, jak przypuszczał Ivrii, jest spełnione dla wszystkich ograniczonych domen euklidesowych o gładkich granicach. Od tego czasu podobne wyniki uzyskano dla szerszych klas operatorów.