Wartość własna Dirichleta

W matematyce wartości własne Dirichleta to podstawowe mody drgań wyidealizowanego bębna o zadanym kształcie. Problem, czy można usłyszeć kształt bębna , polega na tym, że biorąc pod uwagę wartości własne Dirichleta, jakie cechy kształtu bębna można wywnioskować. Tutaj „bęben” jest uważany za elastyczną membranę Ω, która jest reprezentowana jako płaska domena, której granica jest ustalona. Wartości własne Dirichleta można znaleźć, rozwiązując następujący problem dla nieznanej funkcji u ≠ 0 i wartości własnej λ

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ Delta u + \ lambda u = 0 & {\ rm {{w \} \ Omega}} \\ u | _ {\ częściowe \ Omega} = 0. & \ zakończyć {przypadki}}}$

 

 

 

 

()

Tutaj Δ to Laplacian , który jest podany we współrzędnych xy przez

${\ Displaystyle \ Delta u = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe y ^ {2} }}.}$

Problem wartości brzegowych ( 1 ) jest problemem Dirichleta dla równania Helmholtza , dlatego λ jest znane jako wartość własna Dirichleta dla Ω. Wartości własne Dirichleta są przeciwstawiane wartościom własnym Neumanna: wartości własne dla odpowiedniego problemu Neumanna . Operator Laplace'a Δ występujący w ( 1 ) jest często nazywany Laplacianem Dirichleta , gdy uważa się, że przyjmuje tylko funkcje u spełniające warunek brzegowy Dirichleta. Mówiąc bardziej ogólnie, w geometrii widmowej rozważa się ( 1 ) na rozmaitości z granicą Ω. Wtedy przyjmuje się, że Δ jest operatorem Laplace'a-Beltramiego , również z warunkami brzegowymi Dirichleta.

twierdzenia widmowego dla zwartych operatorów samosprzężonych można wykazać, że przestrzenie własne są skończonymi wymiarami i że wartości własne Dirichleta λ są rzeczywiste, dodatnie i nie mają punktu granicznego . W ten sposób można je ułożyć w porządku rosnącym:

${\ Displaystyle 0 <\ lambda _ {1} \ równoważnik \ lambda _ {2} \ równoważnik \ cdots \ quad \ lambda _ {n} \ do \ infty ,}$

gdzie każda wartość własna jest liczona zgodnie z jej krotnością geometryczną. Przestrzenie własne są ortogonalne w przestrzeni funkcji całkowalnych do kwadratu i składają się z funkcji gładkich . W rzeczywistości Laplacian Dirichleta ma ciągłe rozszerzenie do operatora z przestrzeni Sobolewa do ${\ Displaystyle H_ {0}$ ^ $} 2}(\Omega)}$ . Ten operator jest odwracalny, a jego odwrotność jest zwarta i samosprzężona, dzięki czemu można zastosować zwykłe twierdzenie widmowe, aby uzyskać przestrzenie własne Δ i odwrotności 1/λ jego wartości własnych.

Jednym z podstawowych narzędzi w badaniu wartości własnych Dirichleta jest zasada max-min : pierwsza wartość własna λ ₁ minimalizuje energię Dirichleta . to znaczy,

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ inf _ {u \ nie = 0} {\ Frac {\ int _ {\ Omega} | \ nabla u | ^ {2}} {\ int _ {\ Omega }|u|^{2}}},}$

infimum obejmuje wszystkie u zwartego wsparcia , które nie znikają identycznie w Ω. Argumentem gęstości , to infimum zgadza się z przejętym niezerowym ${\ Displaystyle u \ w H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ . $korzystając$ z wyników wariacyjnego do twierdzenia Laxa-Milgrama , można wykazać, że minimalizator . Bardziej ogólnie, jeden ma

${\ Displaystyle \ lambda _ {k} = \ sup \ inf {\ Frac {\ int _ {\ Omega} | \ nabla u | ^ {2}} {\ int _ {\ Omega} | u | ^ {2 }}}}$

gdzie supremum jest przejmowane przez wszystkie ( k -1) -krotki ${\ Displaystyle \ phi _ {1}, \ kropki, \ phi _ {k-1} \ w H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ i infimum nad wszystkimi u prostopadłymi do ${\ Displaystyle \ phi _ {i}}$ .

Aplikacje

Ryc.1. Spiralna granica domeny (niebieska), jej fragment (czerwony) i 3 segmenty promienia (zielony).

Laplacian Dirichleta może wynikać z różnych problemów fizyki matematycznej ; może odnosić się do modów wyidealizowanego bębna, małych fal na powierzchni wyidealizowanej puli, jak również do modu wyidealizowanego światłowodu w przybliżeniu przyosiowym . To ostatnie zastosowanie jest najbardziej praktyczne w połączeniu z podwójnie oplatanymi włóknami ; w takich światłowodach ważne jest, aby większość modów domeny wypełniała jednorodnie domenę lub większość promieni przechodziła przez rdzeń. Najsłabszym kształtem wydaje się być domena kołowo-symetryczna ,. Tryby pompy nie powinny omijać aktywnego rdzenia stosowanego we wzmacniaczach światłowodowych z podwójnym płaszczem . Domena w kształcie spirali okazuje się szczególnie wydajna w takim zastosowaniu ze względu na zachowanie brzegowe modów Dirichleta Laplaciana .

Twierdzenie o zachowaniu brzegowym Dirichleta Laplaciana, jeśli analogia własności promieni w optyce geometrycznej (Rys.1); moment pędu promienia (kolor zielony) rośnie przy każdym odbiciu od spiralnej części granicy (kolor niebieski), aż promień uderzy w fragment (kolor czerwony); wszystkie promienie (z wyjątkiem tych równoległych do osi optycznej) nieuchronnie odwiedzają obszar w pobliżu kawałka, aby usunąć nadmiar momentu pędu. Podobnie wszystkie mody Dirichleta Laplaciana mają wartości niezerowe w pobliżu kawałka. Składową normalną pochodnej modu na granicy można interpretować jako ciśnienie ; ciśnienie zintegrowane na powierzchni daje siłę . Ponieważ mod jest rozwiązaniem równania propagacji w stanie ustalonym (z trywialną zależnością współrzędnej podłużnej), całkowita siła powinna wynosić zero. Podobnie moment pędu siły nacisku również powinien wynosić zero. Istnieje jednak dowód formalny, który nie odwołuje się do analogii z układem fizycznym.

Zobacz też

• Nierówność Rayleigha-Fabera-Krahna

Notatki

• Benguria, Rafael D. „Wartość własna Dirichleta” . Encyklopedia matematyki . Springera . Źródło 28 października 2021 r .
•   Chavel, Izaak (1984). Wartości własne w geometrii riemannowskiej . czysta aplikacja Matematyka Tom. 115. Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-170640-1 . .
• Kurant, Ryszard ; Hilberta, Dawida (1962). Metody fizyki matematycznej, tom I . Wiley-Interscience. .