Operator Laplace'a

Ten artykuł dotyczy operatora matematycznego na polach skalarnych. Aby zapoznać się z operacjami na polach wektorowych, zobacz Wektor Laplacian . Aby zapoznać się z rozkładem prawdopodobieństwa Laplace'a, zobacz Rozkład Laplace'a . Aby zapoznać się z teoretycznym pojęciem wykresu, zobacz macierz Laplace'a .

W matematyce operator Laplace'a lub Laplacian jest operatorem różniczkowym określonym przez rozbieżność gradientu funkcji skalarnej w przestrzeni euklidesowej . Zwykle jest $\ cdot$ symbolami (gdzie jest $\ nabla$ nabla ) lub ${\ Displaystyle$ \ nabla ${\ Displaystyle \ Delta}$ . W kartezjańskim układzie współrzędnych Laplacian jest sumą drugich pochodnych cząstkowych funkcji względem każdej zmiennej niezależnej . W innych układach współrzędnych , takich jak współrzędne cylindryczne i sferyczne , Laplacian ma również użyteczną formę. Nieformalnie Laplacian Δ f ( p ) funkcji f w punkcie p mierzy, o ile średnia wartość f na małych kulach lub kulach wyśrodkowanych w p odbiega od f ( p ) .

Operator Laplace'a został nazwany na cześć francuskiego matematyka Pierre-Simona de Laplace'a (1749–1827), który jako pierwszy zastosował ten operator do badania mechaniki nieba : Laplacian potencjału grawitacyjnego wynikającego z danego rozkładu gęstości masy jest stałą wielokrotnością ten rozkład gęstości. Rozwiązania równania Laplace'a Δ f = 0 nazywane są funkcjami harmonicznymi i przedstawiają możliwe potencjały grawitacyjne w obszarach próżni .

Laplacian występuje w wielu równaniach różniczkowych opisujących zjawiska fizyczne. Równanie Poissona opisuje potencjały elektryczne i grawitacyjne ; równanie dyfuzji opisuje przepływ ciepła i płynu , równanie fal opisuje propagację fali , a równanie Schrödingera opisuje funkcję falową w mechanice kwantowej . W przetwarzaniu obrazu i widzenia komputerowego , operator Laplace'a był używany do różnych zadań, takich jak wykrywanie kropli i krawędzi . Laplacian jest najprostszym operatorem eliptycznym i leży u podstaw teorii Hodge'a , jak również wyników kohomologii de Rham .

Definicja

Operator Laplace'a jest $w$ różniczkowym drugiego rzędu n -wymiarowej przestrzeni $)$ , jako rozbieżność ( ) gradientu ( Zatem jeśli jest funkcją o wartościach rzeczywistych dwukrotnie różniczkowalną $,$ to Laplacian z jest funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną przez: $\ displaystyle f}$

$${\ Displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$$

 

 

 

 

()

gdzie te ostatnie oznaczenia wywodzą się z formalnego zapisu:

$${\ Displaystyle \ nabla = \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {1}}}, \ ldots, {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {n}}} \ prawo).}$$

Wyraźnie, Laplacian f jest zatem sumą wszystkich niezmieszanych drugich pochodnych cząstkowych we współrzędnych kartezjańskich x _i :

$${\ Displaystyle \ Delta f = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x_ {i}^{2}}}}$$

 

 

 

 

()

Jako operator różniczkowy drugiego rzędu, operator Laplace'a odwzorowuje funkcje C ^{k na funkcje} C ^{k -2} dla k ≥ 2 . Jest to operator liniowy Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) , lub bardziej ogólnie operator Δ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω) dla dowolnego zbioru otwartego Ω ⊆ R ⁿ .

Motywacja

Dyfuzja

W fizycznej teorii dyfuzji operator Laplace'a pojawia się naturalnie w matematycznym opisie równowagi . W szczególności, jeśli u jest gęstością w stanie równowagi pewnej wielkości, takiej jak stężenie chemiczne, wówczas strumień wypadkowy u przez granicę ∂ V dowolnego gładkiego obszaru V wynosi zero, pod warunkiem , że w V nie ma źródła ani ujścia :

$${\ Displaystyle \ int _ {\ częściowe V} \ nabla u \ cdot \ mathbf {n} \, dS = 0,}$$

gdzie n jest jednostką zewnętrzną normalną do granicy V . Z twierdzenia o dywergencji

$${\ Displaystyle \ int _ {V} \ operatorname {div} \ nabla u \, dV = \ int _ {\ częściowe V} \nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Ponieważ dotyczy to wszystkich gładkich obszarów V , można pokazać, że implikuje to:

$${\ Displaystyle \ operatorname {div} \ nabla u = \ Delta u = 0.}$$

Lewa strona tego równania to operator Laplace'a, a całe równanie Δ u = 0 jest znane jako równanie Laplace'a . Rozwiązania równania Laplace'a, tj. funkcje, których laplacian jest identycznie zerowy, przedstawiają zatem możliwe gęstości równowagowe w warunkach dyfuzji.

Sam operator Laplace'a ma fizyczną interpretację dyfuzji nierównowagowej jako stopień, w jakim punkt reprezentuje źródło lub ujście stężenia chemicznego, w pewnym sensie sprecyzowanym przez równanie dyfuzji . Ta interpretacja Laplace'a jest również wyjaśniona następującym faktem dotyczącym średnich.

Średnie

Biorąc pod uwagę dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły funkcję ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ , punkt ${\ Displaystyle p \ w \ mathbb { R} ^ {n}}$ i liczba rzeczywista ${\ Displaystyle h> 0}$ , pozwalamy ${\ Displaystyle {\ overline {f}} _ {B} (p, h) }$ być średnią wartością ${\ displaystyle f}$ nad piłką o promieniu wyśrodkowanym w ${\ Displaystyle$$p}$ i być ${\ Displaystyle {\ overline {f}} _ {S} (p, h)$ średnia wartość na $}$ (granica kuli) o promieniu $displaystyle$ w $p$ . Następnie mamy:

$${\ Displaystyle {\ overline {f}} _ {B} (p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\tekst {dla}}\;\;h\do 0}$$

I

$${\ Displaystyle {\ overline {f}} _ {S} (p ,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\ ;h\do 0.}$$

Gęstość związana z potencjałem

Jeśli φ oznacza potencjał elektrostatyczny związany z rozkładem ładunku q , to sam rozkład ładunku jest określony przez ujemną wartość Laplace'a φ :

$${\ Displaystyle q = - \ varepsilon _ {0} \ Delta \ varphi,}$$

gdzie ε ₀ jest stałą elektryczną .

Jest to konsekwencja prawa Gaussa . Rzeczywiście, jeśli V jest dowolnym gładkim obszarem z granicą ∂ V , to zgodnie z prawem Gaussa strumień pola elektrostatycznego E przez granicę jest proporcjonalny do zawartego ładunku:

$${\ Displaystyle \ int _ {\ częściowe V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {n} \, dS = \ int _ {V} \ operatorname {div} \ mathbf {E} \, dV = {\ frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

gdzie pierwsza równość wynika z twierdzenia o dywergencji . Ponieważ pole elektrostatyczne jest (ujemnym) gradientem potencjału, daje to:

$${\ Displaystyle - \ int _ {V} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) \, dV = {\ Frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} q \,dV.}$$

Ponieważ dotyczy to wszystkich regionów V , musimy mieć

$${\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} \ varphi) = - {\ Frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} q}$$

potencjału grawitacyjnego Laplace'a jest rozkład masy . Często podaje się rozkład ładunku (lub masy), a związany z nim potencjał jest nieznany. Znalezienie funkcji potencjału podlegającej odpowiednim warunkom brzegowym jest równoznaczne z rozwiązaniem równania Poissona .

Minimalizacja energii

Inną motywacją pojawienia się Laplace'a w fizyce jest to, że rozwiązania dla Δ f = 0 w regionie U są funkcjami, które powodują, że funkcjonał energii Dirichleta jest stacjonarny :

$${\ Displaystyle E (f) = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {U} \ lVert \ nabla f \ rVert ^ {2} \, dx.}$$

Aby to zobaczyć, załóżmy, że f : U → R jest funkcją, a u : U → R jest funkcją, która znika na granicy U . Następnie:

$${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d} {d \ varepsilon}} \ prawo |_ {\varepsilon = 0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

gdzie następuje ostatnia równość przy użyciu pierwszej tożsamości Greena . To obliczenie pokazuje, że jeśli Δ f = 0 , to E jest stacjonarne wokół f . I odwrotnie, jeśli E jest stacjonarne wokół f , to Δ f = 0 na mocy podstawowego lematu rachunku wariacyjnego .

Wyrażenia współrzędnych

Dwa wymiary

Operator Laplace'a w dwóch wymiarach jest określony przez:

We współrzędnych kartezjańskich ,

$${\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac { \częściowy ^{2}f}{\częściowy ^{2}}}}$$

gdzie x i y to standardowe współrzędne kartezjańskie płaszczyzny xy .

we współrzędnych biegunowych ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta f & = {\ Frac {1} {r}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r {\ Frac {\ częściowy f}} {\ częściowe r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\częściowe ^{2}f}{\częściowe \theta ^{2}}}\\&={ \frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy f}{\częściowy r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\częściowe ^{2}f}{\częściowe \theta ^{2}}},\end{wyrównane}}}$$

gdzie r oznacza odległość promieniową, a θ kąt.

Trzy wymiary

Zobacz też: Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych

W trzech wymiarach często pracuje się z Laplace'em w różnych układach współrzędnych.

We współrzędnych kartezjańskich ,

$${\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe y ^ {2} }}+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy z^{2}}}.}$$

We współrzędnych cylindrycznych

$$\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {1} {\ rho} }{\frac {\częściowy }{\częściowy \rho}}\left(\rho {\frac {\częściowy f}{\częściowy \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{ 2}}}{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy \varphi ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}f}{\częściowy z^{2}}} ,}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ rho}$ reprezentuje odległość promieniową, φ kąt azymutu i z wysokość.

We współrzędnych sferycznych :

$${\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {1} {r ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r ^ {2} {\ Frac {\ częściowy f} {\częściowe r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\częściowe }{\częściowe \theta}}\left(\sin \theta { \frac {\częściowe f}{\częściowe \theta}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta}}{\frac {\częściowe ^{2} f}{\częściowe \varphi ^{2}}},}$$

Lub

$${\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe r ^ {2}}} (rf) + {\ Frac {1} {r ^{2}\sin \theta }}{\frac {\częściowy}}{\częściowy \theta}}\left(\sin \theta {\frac {\częściowy f}{\częściowy \theta}}\right)+ {\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta}}{\frac {\częściowe ^{2}f}{\częściowe \varphi ^{2}}},}$$

gdzie φ reprezentuje kąt azymutu , a θ kąt zenitalny lub wspólną szerokość geograficzną .

Ogólnie współrzędne krzywoliniowe ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ):

$${\ Displaystyle \ Delta = \ nabla \ xi ^ {m} \ cdot \ nabla \ xi ^ {n} {\ frac {\ częściowe ^ {2}}} {\ częściowe \ xi ^ {m} \, \ częściowe \ xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\częściowy }{\częściowy \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac { \częściowy ^{2}}{\częściowy \xi ^{m}\,\częściowy \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\częściowy }{\częściowy \ xi ^{l}}}\prawo),}$$

gdzie implikowane jest sumowanie po powtarzających się indeksach , g ^mn to odwrotny tensor metryczny , a Γ ^l _mn to symbole Christoffela dla wybranych współrzędnych.

N wymiarów

W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych w wymiarach N ( ξ ¹ , …, ξ ^N ) możemy zapisać Laplace'a w kategoriach odwrotnego tensora metrycznego $\ Displaystyle g ^ {ij}}$ { :

$$\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ det g}}} {\ Frac {\ częściowy} {\częściowe \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\częściowe}}{\częściowe \xi ^{j}}}\right), }$$

ze wzoru Vossa - Weyla na rozbieżność .

We współrzędnych sferycznych w N wymiarach , przy parametryzacji x = rθ ∈ R ^N , gdzie r oznacza dodatni promień rzeczywisty, a θ element sfery jednostkowej S ^{N −1} ,

$${\ Displaystyle \ Delta f = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\częściowy f}{\częściowy r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\ Delta _{S^{N-1}}f}$$

gdzie Δ _{S ^{N −1}} jest operatorem Laplace'a-Beltramiego na ( N - 1) -sferze, znanym jako sferyczny Laplacian. Dwa radialne terminy pochodne można równoważnie zapisać jako:

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {r ^ {N-1}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r ^ {N-1} {\ Frac {\ częściowy f} {\częściowe r}}\po prawej).}$$

W konsekwencji sferyczny laplacian funkcji określonej na S ^{N −1} ⊂ R ^N można obliczyć jako zwykły laplacian funkcji rozciągniętej na R ^N ∖{0} tak, że jest on stały wzdłuż promieni, tj. jednorodny stopnia zero.

Niezmienność euklidesowa

Laplacian jest niezmienny we wszystkich transformacjach euklidesowych : rotacjach i translacjach . Na przykład w dwóch wymiarach oznacza to, że:

$${\ Displaystyle \ Delta (f (x \ cos \ teta -y \ sin \ teta + a, x \ sin \ teta + y \ cos \ teta + b)) = (\ delta f) (x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$

dla wszystkich θ , a i b . W dowolnych wymiarach,

$${\ Displaystyle \ Delta (f \ circ \ rho) = (\ Delta f) \ circ \ rho}$$

zawsze, gdy ρ jest obrotem, i podobnie:

$${\ Displaystyle \ Delta (f \ circ \ tau) = (\ Delta f) \ circ \ tau}$$

zawsze, gdy τ jest tłumaczeniem. (Mówiąc bardziej ogólnie, pozostaje to prawdą, gdy ρ jest transformacją ortogonalną , taką jak odbicie ).

W rzeczywistości algebra wszystkich skalarnych liniowych operatorów różniczkowych ze stałymi współczynnikami, które dojeżdżają ze wszystkimi transformacjami euklidesowymi, jest algebrą wielomianową generowaną przez operatora Laplace'a.

Teoria spektralna

Zobacz też: Słyszenie kształtu bębna i wartość własna Dirichleta

Widmo operatora Laplace'a składa się ze wszystkich wartości własnych λ , dla których istnieje odpowiednia funkcja własna f z:

$${\ Displaystyle - \ Delta f = \ lambda f.}$$

Jest to znane jako równanie Helmholtza .

Jeśli Ω jest dziedziną ograniczoną w Rn ^dla , to funkcje własne Laplace'a są bazą ortonormalną przestrzeni Hilberta L ² (Ω) . Wynik ten zasadniczo wynika z twierdzenia widmowego o zwartych operatorach samosprzężonych , zastosowanego do odwrotności Laplace'a (który jest zwarty przez nierówność Poincarégo i twierdzenie Rellicha-Kondrachowa ). Można również wykazać, że funkcje własne są nieskończenie różniczkowalne Funkcje. Mówiąc bardziej ogólnie, wyniki te dotyczą operatora Laplace'a-Beltramiego na dowolnej zwartej rozmaitości riemannowskiej z granicą, a nawet problemu wartości własnej Dirichleta dowolnego operatora eliptycznego z gładkimi współczynnikami w dziedzinie ograniczonej. Kiedy Ω jest n -sferą , funkcjami własnymi Laplace'a są sferyczne harmoniczne .

Wektor Laplace'a

Wektorowy operator Laplace'a $,$ również oznaczony przez jest różniczkowym zdefiniowanym na polu wektorowym . Wektor Laplacian jest podobny do skalarnego Laplace'a; podczas gdy skalarny Laplacian odnosi się do pola skalarnego i zwraca wielkość skalarną, wektorowy Laplacian odnosi się do pola wektorowego , zwracając wielkość wektorową. Przy obliczaniu we współrzędnych kartezjańskich ortonormalnych , zwrócone pole wektorowe jest równe polu wektorowemu skalarnego Laplace'a zastosowanego do każdej składowej wektora.

Wektor Laplace'a pola wektorowego jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A}) - \ nabla \ razy (\ nabla \ razy \ mathbf {A}).}$$

We współrzędnych kartezjańskich sprowadza się to do znacznie prostszej postaci, jak

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} = (\ nabla ^ {2} A_ {x}, \ nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$

gdzie ${\ Displaystyle A_ {x}}$ , ${\ Displaystyle A_ {y}}$ i ${\ Displaystyle A_ {z}}$ są składnikami pola wektorowego ${\ Displaystyle \ mathbf {A} }$ i tuż $.$ każdej składowej pola wektorowego znajduje się (skalarny) operator Laplace'a Można to postrzegać jako szczególny przypadek wzoru Lagrange'a; zobacz iloczyn potrójny wektora .

Aby zapoznać się z wyrażeniami wektora Laplace'a w innych układach współrzędnych, zobacz Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych .

Uogólnienie

Laplacian dowolnego pola tensorowego („tensor ” obejmuje skalar i wektor) definiuje się jako rozbieżność gradientu tensora : ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {T} = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ mathbf {T}.}$$

W szczególnym przypadku, gdy jest skalarem ( $przybiera$ stopnia zerowego), Laplacian znajomą formę.

Jeśli jest $)$ , gradient jest pochodną kowariantną , która daje tensor drugiego stopnia, a rozbieżność tego jest znowu wektorem. Powyższy wzór na wektor Laplace'a można zastosować w celu uniknięcia matematyki tensorowej i można wykazać, że jest równoważny z rozbieżnością macierzy Jakobianu pokazanej poniżej dla gradientu wektora:

$${\ Displaystyle \ nabla \ mathbf {T} = (\ nabla T_ {x}, \ nabla T_ {y}, \ nabla T_ {z}) = {\ rozpocząć {bmatrix} T_ {xx} i T_ {xy} i T_ { xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ gdzie }}T_{uv}\równoważnik {\frac {\częściowy T_{u}}{\częściowy v}}.}$$

I w ten sam sposób iloczyn skalarny , który daje wektor wektora przez gradient innego wektora (tensor drugiego stopnia), może być postrzegany jako iloczyn macierzy:

$${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} = {\ rozpocząć {bmatrix} A_ {x} i A_ {y} i A_ {z} \ koniec {bmatrix}} \ nabla \ mathbf {B} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{ bmacierz}}.}$$

Ta tożsamość jest wynikiem zależnym od współrzędnych i nie jest ogólna.

Zastosowanie w fizyce

Przykładem użycia wektora Laplaciana są równania Naviera-Stokesa dla przepływu nieściśliwego Newtona :

$${\ Displaystyle \ rho \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ mathbf {v}}} {\ częściowe t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf { v} \w prawo),}$$

$_$ wyraz z wektorem pola prędkości w płynie

Innym przykładem jest równanie falowe dla pola elektrycznego, które można wyprowadzić z równań Maxwella przy braku ładunków i prądów:

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} - \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ Frac {\ częściowe ^ { 2}\mathbf {E} }{\częściowe t^{2}}}=0.}$$

Równanie to można również zapisać jako:

$${\ Displaystyle \ Box \ \ mathbf {E} = 0,}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ Box \ równoważnik {\ Frac {1} {c ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe t ^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

jest D'Alembertianem , używanym w równaniu Kleina – Gordona .

Uogólnienia

Wersję Laplaciana można zdefiniować wszędzie tam, gdzie ma sens funkcjonał energii Dirichleta , czyli teoria form Dirichleta . W przypadku przestrzeni z dodatkową strukturą można podać bardziej wyraźne opisy Laplace'a w następujący sposób.

Operator Laplace'a-Beltramiego

Główny artykuł: operator Laplace'a-Beltramiego

Laplace'a można również uogólnić na operator eliptyczny zwany operatorem Laplace'a-Beltramiego zdefiniowany na rozmaitości riemannowskiej . Operator Laplace'a-Beltramiego zastosowany do funkcji jest śladem ( tr ) funkcji Hessian :

$${\ Displaystyle \ Delta f = \ nazwa operatora {tr} {\ duży (} H (f) {\ duży)}}$$

gdzie ślad jest pobierany w odniesieniu do odwrotności tensora metrycznego . Operator Laplace'a-Beltramiego można również uogólnić na operatora (zwanego także operatorem Laplace'a-Beltramiego), który działa na polach tensorowych , za pomocą podobnego wzoru.

Inne uogólnienie operatora Laplace'a, które jest dostępne na rozmaitościach pseudo-riemanna, wykorzystuje pochodną zewnętrzną , w której „laplacian geometra” jest wyrażony jako

$${\ Displaystyle \ Delta f = \ delta df.}$$

Tutaj δ jest koróżniczką , którą można również wyrazić za pomocą gwiazdy Hodge'a i pochodnej zewnętrznej. Operator ten różni się znakiem od zdefiniowanego powyżej „laplacyjskiego analityka”. Mówiąc bardziej ogólnie, Laplacian „Hodge” jest zdefiniowany na podstawie form różniczkowych α przez

$${\ Displaystyle \ Delta \ alfa = \ delta d \ alfa + d \ delta \ alfa.}$$

Jest to znane jako operator Laplace'a – de Rham , który jest powiązany z operatorem Laplace'a – Beltramiego przez tożsamość Weitzenböcka .

D'Alembertian

Laplacian można w pewien sposób uogólnić na przestrzenie nieeuklidesowe , gdzie może być eliptyczny , hiperboliczny lub ultrahiperboliczny .

W przestrzeni Minkowskiego operator Laplace'a -Beltramiego staje się operatorem D'Alemberta lub D'Alemberta : ${\ displaystyle \ Box}$

$${\ Displaystyle \ kwadrat = {\ Frac {1} {c ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe t ^ {2}}} - {\ Frac {\ częściowe ^ { 2}}{\częściowy x^{2}}}-{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy ^{2}}}-{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy z^{2}}}.}$$

Jest to uogólnienie operatora Laplace'a w tym sensie, że jest to operator różniczkowy, który jest niezmienny w grupie izometrii podstawowej przestrzeni i sprowadza się do operatora Laplace'a, jeśli jest ograniczony do funkcji niezależnych od czasu. Ogólny znak metryki jest tutaj wybrany w taki sposób, że przestrzenne części operatora dopuszczają znak ujemny, co jest zwykłą konwencją w fizyce cząstek o wysokiej energii . Operator D'Alemberta jest również znany jako operator falowy, ponieważ jest operatorem różniczkowym występującym w równaniach falowych , a także jest częścią Równanie Kleina – Gordona , które w przypadku bezmasy sprowadza się do równania falowego.

Dodatkowy współczynnik c w metryce jest potrzebny w fizyce, jeśli przestrzeń i czas są mierzone w różnych jednostkach; podobny współczynnik byłby wymagany, gdyby na przykład x był mierzony w metrach, podczas gdy kierunek y był mierzony w centymetrach. Rzeczywiście, fizycy teoretycy zwykle pracują w jednostkach takich, że c = 1, aby uprościć równanie.

Operator d'Alemberta uogólnia się do operatora hiperbolicznego na rozmaitościach pseudoriemannowskich .

Zobacz też

• Operator Laplace'a-Beltramiego , uogólnienie na podrozmaitości w przestrzeni euklidesowej oraz na rozmaitość riemannowską i pseudoriemannowską.
• Wektorowy operator Laplaca , uogólnienie pola Laplaca na pola wektorowe .
• Laplace'a w geometrii różniczkowej .
• Dyskretny operator Laplace'a jest analogiem różnicy skończonej ciągłego Laplace'a, zdefiniowanym na wykresach i siatkach.
• Laplacian jest powszechnym operatorem w przetwarzaniu obrazu i wizji komputerowej (patrz Laplacian of Gaussian , detektor blobów i skala przestrzeni ).
• Lista wzorów w geometrii Riemanna zawiera wyrażenia dla Laplace'a w postaci symboli Christoffela.
• Lemat Weyla (równanie Laplace'a) .
• Twierdzenie Earnshawa , które pokazuje, że stabilne statyczne zawieszenie grawitacyjne, elektrostatyczne lub magnetyczne jest niemożliwe.
• Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych .
• Inne sytuacje, w których Laplacian jest zdefiniowany to: analiza fraktali , rachunek skali czasu i dyskretny rachunek zewnętrzny .

Notatki

•   Evans, L. (1998), Równania różniczkowe cząstkowe , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Wykłady Feynmana z fizyki, tom. II Ch. 12: Analogi elektrostatyczne
•   Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4 .
•   Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl, and All That , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9 .

Dalsza lektura

• Laplacian - Richard Fitzpatrick 2006

Linki zewnętrzne

• „Operator Laplace'a” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Laplacian” . MathWorld .
• Laplace'a w wyznaczaniu współrzędnych biegunowych
• równania na kostkach fraktalnych i efekt Casimira