Granica ciągu

Aby zapoznać się z ogólną koncepcją matematyczną, zobacz Limit (matematyka) .

Sekwencja określona przez obwody wielokątów foremnych n -bocznych , które opisują okrąg jednostkowy, ma granicę równą obwodowi koła, tj. ${\ displaystyle 2 \ pi r}$ . Odpowiednia sekwencja wielokątów wpisanych ma tę samą granicę.

N	n grzech(1/ n )
1	0,841471
2	0,958851
...
10	0,998334
...
100	0,999983

Gdy dodatnia $n$ całkowita staje się coraz większa, wartość ${\ Displaystyle n \ cdot \ sin \ lewo ({\ tfrac {1} {n}} \ prawej)$ staje się arbitralnie blisko ${\ displaystyle 1}$ . Mówimy, że „granica ciągu jest równa ${\ Displaystyle n \ cdot \ sin \ lewo ({\ tfrac {1} {n}} \ prawej)}$ równa się ${\ Displaystyle 1}$ ”.

W matematyce granica ciągu jest wartością $_{n\do \infty }a_{n}} )$ „dążą” wyrazy ciągu i jest często oznaczana symbolem (np. $}$${\ displaystyle \ lim$ . Jeśli taka granica istnieje, ciąg nazywamy zbieżnym . Ciąg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym . Mówi się, że granica ciągu jest podstawowym pojęciem, na którym opiera się całość analiza matematyczna ostatecznie spoczywa.

Granice można zdefiniować w dowolnej przestrzeni metrycznej lub topologicznej , ale zwykle najpierw napotyka się je w liczbach rzeczywistych .

Historia

Grecki filozof Zenon z Elei słynie z formułowania paradoksów obejmujących procesy ograniczające .

Leucippus , Demokryt , Antyfon , Eudoksos i Archimedes opracowali metodę wyczerpania , która wykorzystuje nieskończoną sekwencję przybliżeń do określenia powierzchni lub objętości. Archimedesowi udało się zsumować coś, co obecnie nazywa się szeregiem geometrycznym .

Grégoire de Saint-Vincent podał pierwszą definicję granicy (końca) szeregu geometrycznego w swoim dziele Opus Geometricum (1647): „Koniec postępu jest końcem szeregu, którego nie może osiągnąć żaden postęp, nawet jeśli ona ciągnie się w nieskończoność, ale do którego może podejść bliżej niż do danego segmentu”.

Szeregami zajmował się Newton w swoich pracach Analiza z szeregami nieskończonymi (napisany w 1669 r., krążący w rękopisie, opublikowany w 1711 r.), Metoda strumieni i szeregów nieskończonych (napisany w 1671 r., opublikowany w tłumaczeniu na język angielski w 1736 r., oryginał łaciński opublikowany znacznie później) oraz Tractatus de Quadratura Curvarum (napisany w 1693 r., opublikowany w 1704 r. jako dodatek do jego Optiks ). W tej ostatniej pracy Newton rozważa rozwinięcie dwumianowe ( x + o ) ⁿ , które następnie linearyzuje, przyjmując granicę ponieważ o dąży do 0.

W XVIII wieku matematykom takim jak Euler udało się zsumować pewne rozbieżne szeregi, zatrzymując się w odpowiednim momencie; nie obchodziło ich zbytnio, czy istnieje granica, o ile można ją obliczyć. Pod koniec stulecia Lagrange w swojej Théorie des fonctions analytiques (1797) wyraził opinię, że brak rygoru uniemożliwia dalszy rozwój rachunku różniczkowego. Gauss w swojej etiudzie szeregów hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy dokładnie zbadał warunki, w których szereg zbiega się do granicy.

Nowoczesna definicja granicy (dla każdego ε istnieje indeks N taki, że ...) została podana przez Bernarda Bolzano ( Der binomische Lehrsatz , Praga 1816, co było wówczas mało zauważane) oraz przez Karla Weierstrassa w latach siedemdziesiątych XIX wieku .

Liczby rzeczywiste

Wykres zbieżnej sekwencji { a _n } jest pokazany na niebiesko. Tutaj widać, że ciąg jest zbieżny do granicy 0 wraz ze n .

W liczbach rzeczywistych liczba jest granicą ciągu $bliższe$ jeśli liczby w ciągu stają się coraz $}$$}$ displaystyle $L$ , a nie do żadnego innego numeru.

Przykłady

Zobacz też: Lista limitów

• Jeśli ${\ Displaystyle x_ {n} = c}$ dla stałej c , to ${\ Displaystyle x_ {n} \ do c}$ .
• Jeśli ${\ Displaystyle x_ {n} = {\ Frac {1} {n}}}$ , to ${\ Displaystyle x_ {n} \ do 0}$ .
• x $}}}$${\ Displaystyle x_ {n} = {\ Frac {1} {n ^ {2}}}}$ n $n$ parzysta i kiedy ${\ displaystyle n}$ jest nieparzyste, to ${\ displaystyle x_ {n} \ do 0}$ . $_$ Fakt _ ${\ displaystyle n}$ jest dziwne, nie ma znaczenia.)
• Biorąc pod uwagę dowolną liczbę rzeczywistą, można łatwo skonstruować ciąg, który jest zbieżny do tej liczby, przyjmując przybliżenia dziesiętne. Na przykład sekwencja ${\ Displaystyle 0,3,0,33, 0,333,0,3333, \ kropki}$ zbiega się do ${\ Displaystyle 1/3}$ . Zauważ, że reprezentacja dziesiętna jest granicą poprzedniej sekwencji, zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle 0,3333 \ kropki}$
  $${\ Displaystyle 0,3333...: = \ lim _ {n \ do \ infty} \ suma _ {k = 1} ^ {n} \frac {3}{10^{k}}}}$$
• Znalezienie granicy ciągu nie zawsze jest oczywiste. Dwa przykłady to ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ tfrac {1} {n}} \ prawej) ^ {n}}$ (której granicą jest liczba e ) i średnią arytmetyczno-geometryczną . Twierdzenie o wyciskaniu jest często przydatne przy ustalaniu takich granic.

Definicja

Nazywamy $Displaystyle$ sekwencji $(x_ {n})}$ , która jest napisana

${\ Displaystyle x_ {n} \ do x}$ lub

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n} = x}$ ,

jeśli spełniony jest następujący warunek:

Dla $liczby$ liczby $|$ istnieje taka liczba $każdej$ że ${\ Displaystyle | x_ {n} -x | <\ varepsilon}$ .

Innymi słowy, dla każdej miary bliskości $ciągu$ są ostatecznie tak bliskie granicy. Mówi $.$$_$ sekwencja zbiega się lub granicy _

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon > 0 \ lewo (\ istnieje N \ w \ mathbb {N } \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implikuje |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$ .

Jeśli sekwencja zbiega $się$ do pewnej granicy , to jest ${\ displaystyle (x_ {$ i jest jedyną granicą; $}$ } w przeciwnym razie ${\ Displaystyle (x_ {n})}$ jest rozbieżny . Sekwencja, której granicą jest zero, jest czasami nazywana sekwencją zerową .

Ilustracja

• 

  Przykład sekwencji, która zbiega się do granicy ${\ displaystyle a}$ .

• 

  Niezależnie od tego, który $istnieje$ indeks $epsilon$ więc sekwencja leży później całkowicie w tubie ${ \displaystyle (a-\varepsilon,a+\varepsilon)}$ .

• 

  Istnieje również dla mniejszego $tak$ że sekwencja jest $tuby$${\ Displaystyle (a- \ varepsilon _ {1}, a + \ varepsilon _ {1})}$ .

• 

  Dla każdego $epsilon$ tylko skończenie wiele elementów sekwencji poza tubą

Nieruchomości

Niektóre inne ważne właściwości granic rzeczywistych sekwencji obejmują:

• Gdy istnieje, granica ciągu jest niepowtarzalna.
• Granice ciągów zachowują się dobrze w odniesieniu do zwykłych operacji arytmetycznych . Jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n}}$ i ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} b_ {n}}$ istnieje zatem

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) =\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} ca_ {n} = c \ cdot \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} (a_ {n} \ cdot b_ {n}) = \ lewo (\ lim _ {n \ do \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo ({\ Frac {a_ {n}}} {b_ {n}}} \ dobrze)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}} pod warunkiem,$ że ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} b_ {n} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} ^ {p} = \ lewo (\ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} \ prawej) ^ {p}}$

• Dla dowolnej funkcji ciągłej fa , jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$ istnieje, to ${\ displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$ też istnieje. W rzeczywistości każda funkcja o wartościach rzeczywistych f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje granice sekwencji (choć niekoniecznie jest to prawdą, gdy używamy bardziej ogólnych pojęć ciągłości).

• Jeśli za ${\ Displaystyle a_ {n} \ równoważnik b_ {n}}$$wszystkich$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} \ równoważnik \ lim _ {n \ do \ infty} b_ {n}}$ niż jakiś ${\ Displaystyle N}$ , to .
• ( Twierdzenie o wyciskaniu ) Jeśli za ${\ Displaystyle N}$$a_ {n} \ równoważnik c_ {n} \ równoważnik b_ {n}}$$dla$ wszystkich niż niektóre i ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ do \ infty} b_ {n} = L}$ , następnie ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} c_ {n} = L}$ .
• ( $zbieżności$$niż$ monotonicznej $)$ Jeśli jest ograniczone i monotoniczne dla wszystkich niektóre to jest zbieżne.
• Ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podciąg jest zbieżny.
• Jeśli każdy podciąg ciągu ma swój własny podciąg, który zbiega się do tego samego punktu, to oryginalny ciąg zbiega się do tego punktu.

Własności te są szeroko stosowane do udowodnienia granic, bez konieczności bezpośredniego stosowania uciążliwej definicji formalnej. Na przykład, gdy udowodni się, że $+$$za {b + {\ Frac {c} {n}}}} \ do {\ Frac {a} {b}}}$ używając powyższych właściwości - że ${\ Displaystyle {$ (zakładając, że ${\ Displaystyle b \ neq 0}$ ).

Nieskończone granice

Mówi się $,$ dąży do napisana

${\ Displaystyle x_ {n} \ do \ infty}$ lub

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n} = \ infty$ }

jeśli spełniony jest następujący warunek:

Dla każdej liczby rzeczywistej $istnieje$ liczba naturalna , że ​​dla każdej liczby naturalnej $Displaystyle$$n \ geq N}$ mamy $displaystyle x_ {n}>K}$ ; to znaczy, terminy sekwencji są ostatecznie większe niż $jakiekolwiek$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall K \ in \ mathbb {R} \ lewo (\ istnieje N \ in \ mathbb { N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implikuje x_{n}>K\right)\right)\right)}$ .

Podobnie mówimy, że ciąg dąży do minus nieskończoności , zapisany

${\ Displaystyle x_ {n} \ do - \ infty}$ lub

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n} = - \ infty }$ ,

jeśli spełniony jest następujący warunek:

Dla każdej liczby rzeczywistej $istnieje$ liczba naturalna , że ​​dla każdej liczby naturalnej $Displaystyle$$n \ geq N}$ mamy $displaystyle x_ {n}<K}$ ; to znaczy, terminy sekwencji są ostatecznie mniejsze niż $jakikolwiek$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall K \ in \ mathbb {R} \ lewo (\ istnieje N \ w \ mathbb { N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implikuje x_{n}<K\right)\right)\right)}$ .

Jeśli ciąg dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, to jest rozbieżny. Jednak $.$ sekwencja takich przykładów

Przestrzenie metryczne

Definicja

Punkt przestrzeni metrycznej $(X, d)}$$Displaystyle$ jest granicą ciągu ( x n $x_ {n})}$ jeśli:

Dla każdej $> 0 }$ rzeczywistej taka $varepsilon$ naturalna , że ​​dla każdej liczby naturalnej mamy ${\ Displaystyle d (x_ {n}, x) <\ varepsilon}$$displaystyle$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon > 0 \ lewo (\ istnieje N \ w \ mathbb { N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implikuje d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$ .

${\ Displaystyle d (x, y) = | xy |}$ z definicją podaną dla liczb rzeczywistych $)$ i .

Nieruchomości

• Kiedy istnieje, granica ciągu jest wyjątkowa, ponieważ różne punkty są oddzielone pewną dodatnią odległością, więc dla mniej niż połowy tej odległości wyrazy ciągu nie mogą znajdować się w odległości $displaystyle$$\ varepsilon} }$ obu punktów.

• Dla dowolnej funkcji ciągłej fa , jeśli ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n}}$ istnieje, to ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} f (x_ {n}) = f \ lewo (\ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n} \prawo)}$ . W rzeczywistości funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje granice ciągów.

Sekwencje Cauchy'ego

Główny artykuł: sekwencja Cauchy'ego

Wykres sekwencji Cauchy'ego ( x _n ), pokazany na $kontra$ jako n . Wizualnie widzimy, że sekwencja wydaje się zbiegać do punktu granicznego, gdy wyrazy w sekwencji zbliżają się do siebie wraz ze n . W liczbach rzeczywistych każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny do pewnej granicy.

Sekwencja Cauchy'ego to sekwencja, której terminy ostatecznie stają się dowolnie bliskie siebie, po odrzuceniu wystarczającej liczby wyrazów początkowych. Pojęcie ciągu Cauchy'ego jest ważne w badaniu ciągów w przestrzeniach metrycznych , aw szczególności w analizie rzeczywistej . Szczególnie ważnym wynikiem analizy rzeczywistej jest kryterium Cauchy'ego dotyczące zbieżności ciągów : ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. Pozostaje to prawdą w innych kompletnych przestrzeniach metrycznych .

Przestrzenie topologiczne

Definicja

Punkt przestrzeni topologicznej $\$$Displaystyle (X, \ tau)$ } jest punktem granicznym ciągu $\ styl wyświetlania \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ { jeśli:

${$ każdego sąsiedztwa istnieje takie, że dla każdego $\ Displaystyle N \ in \ mathbb {N$$}$$\ Displaystyle n \ geq$ } mamy ${\ Displaystyle x_ {n} \ w U}$ .

$jest$${$ z definicją podaną dla przestrzeni metrycznych, jeśli jest przestrzenią metryczną i topologią generowaną przez $displaystyle$ .

Granica ciągu punktów ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {n} \ prawej) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ w przestrzeni topologicznej to ${\ displaystyle T}$ szczególny przypadek granicy funkcji : dziedzina jest w przestrzeni $\$$Displaystyle \ mathbb {N} \ puchar \ lbrace + \ infty \ rbrace$ , z indukowaną topologią $}$ rozszerzony system liczb rzeczywistych , zakres wynosi , a argument funkcji $displaystyle$ do $n$ co w tej przestrzeni jest punktem granicznym $styl wyświetlania \mathbb {N} }$${$ .

Nieruchomości

W przestrzeni Hausdorffa granice ciągów są unikalne, gdy tylko istnieją. Zauważ, że nie musi tak być w przestrzeniach innych niż Hausdorff; $y}$ szczególności, jeśli dwa punkty ${ \$$,$ topologicznie nie do odróżnienia to każda sekwencja, która zbiega się do musi zbiegać się do $displaystyle$ i odwrotnie.

Liczby hiperrzeczywiste

Definicja granicy za pomocą liczb hiperrzeczywistych formalizuje intuicję, że dla „bardzo dużej” wartości indeksu odpowiedni termin jest „bardzo blisko” granicy. Dokładniej, rzeczywista sekwencja $dąży$ do L , jeśli dla każdego nieskończonego nadprzyrodzonego H jest nieskończenie bliski L (tj. $H}}$ różnica ${\ Displaystyle x_ {H} -L}$ jest nieskończenie mały ). Równoważnie, L jest standardową częścią : ${\ displaystyle x_ {H}}$ :

${\ Displaystyle L = {\ rm {st}} (x_ {H})}$ .

Zatem granicę można zdefiniować za pomocą wzoru

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n} = {\ rm {st}} (x_ {H})}$ .

gdzie granica istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest niezależna od wyboru nieskończonego H .

Sekwencja więcej niż jednego indeksu

Czasami można również rozważyć sekwencję z więcej niż jednym indeksem, na przykład sekwencję podwójną ${\ Displaystyle (x_ {n, m})}$ . Ta sekwencja ma granicę , jeśli staje się coraz bliższa do $,$${\ displaystyle L}$ gdy zarówno n jak i m stają się bardzo duże.

Przykład

• Jeśli ${\ Displaystyle x_ {n, m} = c}$ dla stałej do , to ${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do c}$ .
• Jeśli ${\ Displaystyle x_ {n, m} = {\ Frac {1} {n + m}}}$ ​​, to ${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do 0}$ .
• Jeśli ${\ Displaystyle x_ {n, m} = {\ Frac {n} {n + m}}}$ ​​, to granica nie istnieje. W zależności od względnej „prędkości wzrostu” n i m , ta sekwencja może zbliżyć się do dowolnej wartości z przedziału od 0 do 1.

Definicja

Nazywamy $granicą$ sekwencji ${\ Displaystyle (x_ {n, m}$ ) } , napisane

${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do x}$ lub

${\ Displaystyle \ lim _ {\ rozpocząć {smallmatrix} n \ do \ infty \\m\to \infty \end{małamacierz}}x_{n,m}=x}$ ,

jeśli spełniony jest następujący warunek:

Dla każdej $N$ rzeczywistej liczba naturalna taka, że ​​dla każdej pary liczb naturalnych $displaystyle$$n, m \ geq$ , mamy ${\ Displaystyle | x_ {n, m} -x | <\ varepsilon}$ .

Innymi słowy, dla każdej miary bliskości $ciągu$ są ostatecznie tak bliskie granicy. Mówi się $że$ sekwencja zbiega lub _ $_$ _

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon > 0 \ lewo (\ istnieje N \in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implikuje |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\ prawo)\prawo)}$ .

Zauważ, że podwójna granica różni się od przyjęcia granicy najpierw w n , a potem w m . Ta ostatnia jest znana jako granica iterowana . Biorąc pod uwagę, że istnieje zarówno granica podwójna, jak i granica iterowana, mają one tę samą wartość. Jednak możliwe jest, że jeden z nich istnieje, a drugi nie.

Nieskończone granice

Mówi się $_$ że sekwencja

${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do \ infty}$ lub

${\ Displaystyle \ lim _ {\ rozpocząć {smallmatrix} n \ do \infty \\m\to \infty \end{małamacierz}}x_{n,m}=\infty }$ ,

jeśli spełniony jest następujący warunek:

Dla każdej liczby rzeczywistej $istnieje$ liczba naturalna $n, m \ geq N}$ że ​​dla każdej pary liczb naturalnych $Displaystyle$ , mamy $m}> K}$ ; to znaczy, terminy sekwencji są ostatecznie większe niż $jakiekolwiek$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall K \ in \ mathbb {R} \ lewo (\ istnieje N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implikuje x_{n,m}>K\right)\right)\right )}$ .

$tendencję$ sekwencja , _

${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do - \ infty}$ lub

${\ Displaystyle \ lim _ {\ rozpocząć {mała macierz} n\to \infty \\m\to \infty \end{małamacierz}}x_{n,m}=-\infty }$ ,

jeśli spełniony jest następujący warunek:

Dla każdej liczby rzeczywistej $istnieje$ liczba naturalna $n, m \ geq N}$ że ​​dla każdej pary liczb naturalnych $Displaystyle$ , mamy $m}<K}$ ; to znaczy, terminy sekwencji są ostatecznie mniejsze niż $jakikolwiek$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall K \ in \ mathbb {R} \ lewo (\ istnieje N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implikuje x_{n,m}<K\right)\right)\right )}$ .

Jeśli ciąg dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, to jest rozbieżny. Jednak rozbieżna sekwencja nie musi zmierzać do plus lub minus nieskończoności, a sekwencja ${\ Displaystyle x_ {n, m} = (-1) ^ {n + m}}$ podaje jeden taki przykład.

Granice punktowe i granice jednostajne

Dla podwójnej sekwencji ${\ Displaystyle (x_ {n, m})}$ , możemy wziąć granicę w jednym z indeksów, powiedzmy, aby otrzymać ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ pojedyncza sekwencja ${\ Displaystyle (y_ {m})}$ . W rzeczywistości istnieją dwa możliwe znaczenia przy przyjmowaniu tego limitu. Pierwsza nazywana jest granicą punktową , oznaczoną

${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do y_ {m} \ quad {\ tekst {punktowo}}}$ lub

${\ Displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{punktowo}}}$ ,

co znaczy:

Dla każdej liczby rzeczywistej $\$ ustalonej liczby naturalnej $m$$Displaystyle N (\ varepsilon, m)> 0 }$ naturalna takie, że dla każdej liczby naturalnej ${\ displaystyle n \ geq N}$ mamy ${\ Displaystyle | x_ {n, m} -y_ {m} | <\ varepsilon}$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ lewo ( \forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implikuje |x_{n, m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$ .

$(x_ {n, m})$ że sekwencja zbiega się punktowo do $Displaystyle$ .

Drugi nazywany jest jednolitą granicą , oznaczony

${\ Displaystyle x_ {n, m} \ do y_ {m} \ quad {\ tekst {jednolicie}}}$ lim

$\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n, m} = y_ {m} \ quad {\ tekst {jednolicie}}} , x n , m ⇉ y m {\ Displaystyle$ x_

$y_ {m}}$ lub

${\ Displaystyle {\ underset {n \ do \ infty}} {\ operatorname {unif} \ lim}} \; x_ {n, m} = y_ {m}}$ ,

co znaczy:

Dla każdej liczby rzeczywistej $Displaystyle$ liczba naturalna $N (\ varepsilon)> 0}$ taka, że ​​dla każdej liczby naturalnej $\ displaystyle m$ } dla każdej liczby naturalnej ${\ displaystyle n \ geq N}$ mamy ${\ Displaystyle | x_ {n, m} -y_ {m} | <\ varepsilon}$ .

Symbolicznie jest to:

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ lewo ( \exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implikuje |x_{n, m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$ .

${\ displaystyle$ tej definicji wybór jest niezależny od $N}$ . Innymi $liczb$ , wybór ma jednakowe zastosowanie $do$ wszystkich . Stąd łatwo zauważyć, że zbieżność jednostajna jest silniejszą właściwością niż zbieżność punktowa: istnienie granicy jednolitej implikuje istnienie i równość granicy punktowej:

Jeśli równomiernie, $m}}$$\$ punktowo.

$(x_ {n, m})}$ że sekwencja zbiega się równomiernie do $Displaystyle$ .

Limit iterowany

Dla podwójnej sekwencji ${\ Displaystyle (x_ {n, m})}$ , możemy wziąć granicę w jednym z indeksów, powiedzmy, aby otrzymać ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ pojedyncza sekwencja ${\ Displaystyle (y_ {m})}$ , a następnie weź granicę w innym indeksie, a mianowicie , aby uzyskać liczbę $}$$m \ do \ infty}$$Displaystyle$ . Symbolicznie,

${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty} \ lim _ {n \ do \ infty} x_ {n, m} =\lim _{m\to \infty}y_{m}=y}$ .

Ta granica jest znana jako iterowana granica podwójnej sekwencji. Należy pamiętać, że kolejność przyjmowania limitów może mieć wpływ na wynik, tj.

${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty} \ lim _ {n \ do \ infty} x_ { n,m}\neq \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}} ogólnie$ .

lim n $do \ infty} x_ {n, m} = y_ {m}}$ Displaystyle \ być jednolite w m .

Zobacz też

• Punkt graniczny
• Limit następczy
• Ogranicz nadrzędny i ogranicz dolny
• Granica funkcji
• Granica ciągu funkcji
• Granica ciągu zbiorów
• Granica sieci
• Zbieżność punktowa
• Jednolita zbieżność
• Tryby konwergencji

Notatki

Dowody

•    Császár, Akos (1978). Topologia ogólna . Przetłumaczone przez Császár, Klára. Bristol Anglia: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4 . OCLC 4146011 .
•    Dugundji, James (1966). Topologia . Boston: Allyn i Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
• Courant, Richard (1961). „Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I”, Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley i James Harkness Traktat o teorii funkcji (New York: Macmillan, 1893)

Linki zewnętrzne

• „Granica” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Historia rachunku różniczkowego , w tym granice