Nierozróżnialność topologiczna

Aksjomaty separacji w przestrzeniach topologicznych
Klasyfikacja Kołmogorowa
T0	(Kołmogorow)
T 1	(Frechet)
T 2	(Hausdorffa)
T 2 ½	(Urysohn)
całkowicie T2	(całkowicie Hausdorffa)
T 3	(zwykły Hausdorff)
T 3½	(Tychonow)
T4 _	(normalny Hausdorff)
T 5	(całkowicie normalny Hausdorff)
T 6	(całkowicie normalny Hausdorff)
Historia

W topologii dwa punkty przestrzeni topologicznej X są topologicznie nierozróżnialne, jeśli mają dokładnie takie same sąsiedztwo . To znaczy, jeśli x i y są punktami w X , a N _x jest zbiorem wszystkich sąsiedztw zawierających x , a N _y jest zbiorem wszystkich sąsiedztw zawierających y , to x i y są „topologicznie nie do odróżnienia”   wtedy i tylko wtedy, gdy N _x = N _y . (Zobacz aksjomatyczny system sąsiedztwa Hausdorffa ).

Intuicyjnie, dwa punkty są topologicznie nierozróżnialne, jeśli topologia X nie jest w stanie rozróżnić punktów.

Dwa punkty X są rozróżnialne topologicznie, jeśli nie są topologicznie nierozróżnialne. Oznacza to, że istnieje zbiór otwarty zawierający dokładnie jeden z dwóch punktów (równoważnie istnieje zbiór domknięty zawierający dokładnie jeden z dwóch punktów). Ten zbiór otwarty można następnie wykorzystać do rozróżnienia między dwoma punktami. Przestrzeń T ₀ . jest przestrzenią topologiczną, w której każda para różnych punktów jest rozróżnialna topologicznie Jest to najsłabszy z aksjomatów separacji .

Nierozróżnialność topologiczna definiuje relację równoważności w dowolnej przestrzeni topologicznej X . Jeśli x i y są punktami X , piszemy x ≡ y dla „ x i y są topologicznie nie do odróżnienia”. Klasa równoważności x będzie oznaczona przez [ x ] .

Przykłady

₀₀ Dla przestrzeni T ₀ (w szczególności dla przestrzeni Hausdorffa ) pojęcie nierozróżnialności topologicznej jest trywialne, więc aby znaleźć interesujące przykłady, trzeba zajrzeć do przestrzeni innych niż T. Z drugiej strony regularność i normalność nie implikują T , więc możemy znaleźć przykłady o tych właściwościach. W rzeczywistości prawie wszystkie przykłady podane poniżej są całkowicie regularne .

• W przestrzeni niedyskretnej dowolne dwa punkty są topologicznie nierozróżnialne.
• W przestrzeni pseudometrycznej dwa punkty są topologicznie nierozróżnialne wtedy i tylko wtedy, gdy odległość między nimi wynosi zero.
• W półnormowanej przestrzeni wektorowej x ≡ y wtedy i tylko wtedy, gdy ‖ x − y ‖ = 0.
  • Na przykład niech L ² ( R ) będzie przestrzenią wszystkich mierzalnych funkcji od R do R , które są całkowalne w kwadracie (patrz przestrzeń L ^p ). Wtedy dwie funkcje f i g w L ² ( R prawie wszędzie są równe .
• W grupie topologicznej x ≡ y wtedy i tylko wtedy, gdy x −1 ^y ∈ cl{ e } gdzie cl{ e } jest domknięciem trywialnej podgrupy . Klasy równoważności to po prostu cosets cl{ e } (która zawsze jest normalną podgrupą ).
• Jednolite przestrzenie uogólniają zarówno przestrzenie pseudometryczne, jak i grupy topologiczne. W jednolitej przestrzeni x ≡ y wtedy i tylko wtedy, gdy para ( x , y ) należy do każdego otoczenia . Przecięcie wszystkich entourages jest relacją równoważności na X , która jest właśnie relacją topologicznej nierozróżnialności.
• Niech X ma początkową topologię w odniesieniu do rodziny funkcji ${\ Displaystyle \ {f_ {\ alfa}: X \ do Y _ {\ alfa} \}}$ . Wtedy dwa punkty x i y w X będą topologicznie nie , jeśli rodzina ich nie oddzieli (tj $)$${\ Displaystyle f _ {\ alfa} (x) = f _ {\ alfa} (y)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle \ alpha}$ .
• Biorąc pod uwagę dowolną relację równoważności na zbiorze X, istnieje topologia na X , dla której pojęcie nierozróżnialności topologicznej zgadza się z daną relacją równoważności. Można po prostu wziąć klasy równoważności jako podstawę topologii. Nazywa się to topologią partycji na X.

Przedsprzedaż specjalizacji

Relację topologicznej nierozróżnialności w przestrzeni X można odzyskać z naturalnego preorderu na X , zwanego preorderem specjalizacji . Dla punktów x i y w X ten porządek wstępny jest określony przez

x ≤ y wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ cl{ y }

gdzie cl{ y } oznacza domknięcie { y }. Równoważnie, x ≤ y jeśli system sąsiedztwa x , oznaczony jako N _{x , jest zawarty w} systemie sąsiedztwa y :

x ≤ y wtedy i tylko wtedy, gdy N _x ⊂ N _y .

Łatwo zauważyć, że ta relacja na X jest zwrotna i przechodnia , a więc definiuje preorder. Generalnie jednak ten preorder nie będzie antysymetryczny . Rzeczywiście, relacja równoważności określona przez ≤ jest właśnie relacją nierozróżnialności topologicznej:

x ≡ y wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y i y ≤ x .

Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest ₀ symetryczna (lub R ) , jeśli preorder specjalizacji jest symetryczny (tj. x ≤ y implikuje y ≤ x ). W tym przypadku relacje ≤ i ≡ są identyczne. Topologiczna nierozróżnialność lepiej zachowuje się w tych przestrzeniach i jest łatwiejsza do zrozumienia. Zauważ, że ta klasa przestrzeni obejmuje wszystkie regularne i całkowicie regularne .

Nieruchomości

Równoważne warunki

Istnieje kilka równoważnych sposobów określania, kiedy dwa punkty są topologicznie nie do odróżnienia. Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech x i y będą punktami X . Oznaczmy odpowiednie domknięcia x i y przez cl{ x } i cl { y }, a odpowiednie systemy sąsiedztwa przez N _x i N _y . Wtedy następujące stwierdzenia są równoważne:

• x ≡ y
• dla każdego zbioru otwartego U w X , U zawiera albo x i y , albo żadnego z nich
• N _x = N _y
• x ∈ cl{ y } i y ∈ cl{ x }
• cl{ x } = cl{ y }
• x ∈ ∩ N _y i y ∈ ∩ N _x
• ∩ N _x = ∩ N _y
• x ∈ cl{ y } i x ∈ ∩ N _y
• x należy do każdego zbioru otwartego i każdego zbioru domkniętego zawierającego y
• sieć lub filtr jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny do y

Warunki te można uprościć w przypadku, gdy X jest przestrzenią symetryczną . Dla tych przestrzeni (w szczególności dla przestrzeni regularnych ) następujące stwierdzenia są równoważne:

• x ≡ y
• dla każdego zbioru otwartego U , jeśli x ∈ U to y ∈ U
• N _x ⊂ N _y
• x ∈ kl { y }
• x ∈ ∩ N _y
• x należy do każdego zbioru domkniętego zawierającego y
• x należy do każdego zbioru otwartego zawierającego y
• każda sieć lub filtr, który jest zbieżny do x, jest zbieżny do y

Klasy równoważności

Aby omówić klasę równoważności x , wygodnie jest najpierw zdefiniować górny i dolny zbiór x . Oba są zdefiniowane w odniesieniu do preorderu specjalizacji omówionego powyżej.

Dolny zbiór x jest po prostu domknięciem { x }:

${\ Displaystyle \ mathop {\ strzałka w dół} x = \ {y \ w X: y \ równoważnik x \} = {\ textrm {cl}} \{X\}}$

podczas gdy górny zbiór x jest przecięciem systemu sąsiedztwa w x :

${\ Displaystyle \ mathop {\ uparrow} x = \ {y \ w X: x \ równoważnik y \} = \ bigcap {\ mathcal {N}} _ {x}.}$

Klasa równoważności x jest wtedy dana przez przecięcie

${\ Displaystyle [x] = {\ mathop {\ strzałka w dół} x} \ cap {\ mathop {\ uparrow} x}.}$

Ponieważ ↓ x jest przecięciem wszystkich zbiorów domkniętych zawierających x , a ↑ x jest przecięciem wszystkich zbiorów otwartych zawierających x , klasa równoważności [ x ] jest przecięciem wszystkich zbiorów otwartych i zbiorów domkniętych zawierających x .

Zarówno cl{ x }, jak i ∩ N _x będą zawierały klasę równoważności [ x ]. Ogólnie rzecz biorąc, oba zestawy będą zawierały również dodatkowe punkty. w przestrzeniach symetrycznych (w szczególności w przestrzeniach regularnych ) te trzy zbiory pokrywają się:

${\ Displaystyle [x] = {\ textrm {cl}} \ {x \} = \ bigcap {\ mathcal {N}} _ {x}.}$

Ogólnie rzecz biorąc, klasy równoważności [ x ] będą domknięte wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń jest symetryczna.

Funkcje ciągłe

Niech f : X → Y będzie funkcją ciągłą . Następnie dla dowolnego x i y w X

x ≡ y implikuje fa ( x ) ≡ fa ( y ).

₀ Odwrotność jest generalnie fałszywa (istnieją ilorazy T przestrzeni, które są trywialne ). Odwrotna sytuacja będzie miała miejsce, jeśli X ma początkową topologię indukowaną przez f . Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli X ma początkową topologię indukowaną przez rodzinę map, wtedy ${\ Displaystyle f_ {\ alfa}: X \ do Y_ {\ alfa}}$

x ≡ y wtedy i tylko wtedy, gdy f _α ( x ) ≡ f _α ( y ) dla wszystkich α.

Wynika z tego, że dwa elementy w przestrzeni produktu są topologicznie nierozróżnialne wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ich składników jest topologicznie nierozróżnialny.

iloraz Kołmogorowa

₀ Ponieważ nierozróżnialność topologiczna jest relacją równoważności na dowolnej przestrzeni topologicznej X , możemy utworzyć przestrzeń ilorazową KX = X /≡. Przestrzeń KX nazywana jest ilorazem Kołmogorowa lub ₀ T identyfikacją X . Przestrzeń KX to w rzeczywistości T (tj. wszystkie punkty są rozróżnialne topologicznie). Co więcej, przez charakterystyczną właściwość mapy ilorazowej dowolna mapa ciągła f : X → Y z ₀ X do współczynników przestrzeni T przez mapę ilorazową q : X → KX .

Chociaż mapa ilorazowa q generalnie nie jest homeomorfizmem (ponieważ generalnie nie jest iniekcyjna ), indukuje bijekcję między topologią na X a topologią na KX . Intuicyjnie iloraz Kołmogorowa nie zmienia topologii przestrzeni. Po prostu zmniejsza zestaw punktów, aż punkty staną się topologicznie rozróżnialne.

Zobacz też

• Przestrzeń Hausdorffa – Typ przestrzeni topologicznej
• Lokalnie przestrzeń Hausdorffa
• Aksjomat separacji - Aksjomaty w topologii definiujące pojęcia „separacji”
• Przedsprzedaż specjalizacji
• ₀ T space – Concept in topology Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań