Twierdzenie Tychonowa

Aby zapoznać się z innymi twierdzeniami nazwanymi na cześć Tychonowa, zobacz Twierdzenie Tychonowa (ujednoznacznienie) .

W matematyce twierdzenie Tychonowa stwierdza , że ​​iloczyn dowolnego zbioru zwartych przestrzeni topologicznych jest zwarty względem topologii iloczynu . Twierdzenie nosi imię Andrieja Nikołajewicza Tichonowa (którego nazwisko jest czasami transkrybowane jako Tychonow ), który udowodnił je po raz pierwszy w 1930 roku dla potęg zamkniętego przedziału jednostkowego , aw 1935 roku podał pełne twierdzenie wraz z uwagą, że jego dowód był taki sam jak dla szczególny przypadek. Najwcześniejszy znany opublikowany dowód znajduje się w artykule A. Tychonowa z 1935 r., „Uber einen Funktionenraum”, Mathematical Annals, 111, s. 762–766 (1935). (To odniesienie jest wspomniane w „Topology” Hocking and Young, Dover Publications, Ind.)

Twierdzenie Tychonowa jest często uważane za prawdopodobnie najważniejszy wynik w topologii ogólnej (wraz z lematem Urysohna ). Twierdzenie to jest również ważne dla przestrzeni topologicznych opartych na zbiorach rozmytych .

Definicje topologiczne

Twierdzenie zależy zasadniczo od dokładnych definicji zwartości i topologii produktu ; w rzeczywistości artykuł Tychonoffa z 1935 r. po raz pierwszy definiuje topologię produktu. Z drugiej strony, częścią jego znaczenia jest przekonanie, że te konkretne definicje są najbardziej użyteczne (tj. najbardziej grzeczne).

Rzeczywiście, definicja zwartości Heinego-Borela - zgodnie z którą każde pokrycie przestrzeni zbiorami otwartymi dopuszcza skończone podpokrycie - jest stosunkowo nowa. Bardziej popularne w XIX i na początku XX wieku było Bolzano-Weierstrassa , zgodnie z którym każda ograniczona nieskończona sekwencja dopuszcza zbieżny podsekwencja, obecnie nazywana zwartością sekwencyjną . Warunki te są równoważne dla przestrzeni metryzowalnych , ale żaden z nich nie implikuje drugiego w klasie wszystkich przestrzeni topologicznych.

Niemal trywialne jest udowodnienie, że iloczyn dwóch sekwencyjnie zwartych przestrzeni jest sekwencyjnie zwarty - przechodzi się do podciągu dla pierwszego składnika, a następnie do podciągu dla drugiego składnika. Tylko nieco bardziej rozbudowany argument „diagonalizacji” ustanawia sekwencyjną zwartość policzalnego iloczynu sekwencyjnie zwartych przestrzeni. Jednak iloczyn kontinuum wielu kopii zamkniętego przedziału jednostkowego (z jego zwykłą topologią) nie jest sekwencyjnie zwarty względem topologii produktu, mimo że jest zwarty na mocy twierdzenia Tychonowa (np. patrz Wilansky 1970, s. 134 ) .

Jest to krytyczna porażka: jeśli X jest całkowicie regularną przestrzenią Hausdorffa , istnieje naturalne osadzenie z X w [0,1] ^{C ( X ,[0,1])} , gdzie C ( X ,[0,1]) jest zbiorem ciągłych map od X do [0,1]. Zwartość [0,1] ^{C ( X , [0,1])} pokazuje zatem, że każda całkowicie regularna przestrzeń Hausdorffa osadza się w zwartej przestrzeni Hausdorffa (lub może być „zwarta”). Konstrukcja ta jest Zagęszczanie kamienia – Čecha . Odwrotnie, wszystkie podprzestrzenie zwartych przestrzeni Hausdorffa są całkowicie regularnymi Hausdorffem, więc charakteryzuje to całkowicie regularne przestrzenie Hausdorffa jako te, które można zgęścić. Takie przestrzenie są teraz nazywane przestrzeniami Tychonowa .

Aplikacje

Twierdzenie Tychonowa zostało użyte do udowodnienia wielu innych twierdzeń matematycznych. Należą do nich twierdzenia o zwartości pewnych przestrzeni, takie jak twierdzenie Banacha-Alaoglu o słabej zwartości kuli jednostkowej przestrzeni dualnej znormalizowanej przestrzeni wektorowej oraz twierdzenie Arzelà-Ascoli charakteryzujące ciągi funkcji, w których każdy podciąg ma jednostajnie zbieżny podciąg. Obejmują one również stwierdzenia mniej wyraźnie związane ze zwartością, takie jak twierdzenie De Bruijna-Erdősa stwierdzające, że każdy minimalny wykres k -chromatyczny jest skończony, a twierdzenie Curtisa-Hedlunda-Lyndona dostarczające topologicznej charakterystyki automatów komórkowych .

Z reguły każdy rodzaj konstrukcji, który przyjmuje jako dane wejściowe dość ogólny obiekt (często o charakterze algebraicznym lub topologiczno-algebraicznym) i wyprowadza przestrzeń zwartą, prawdopodobnie wykorzystuje Tichonowa: np. Przestrzeń Gelfanda maksymalnych ideałów przemienna C*-algebra , przestrzeń Stone'a ideałów maksymalnych algebry Boole'a i widmo Berkovicha przemiennego pierścienia Banacha .

Dowody twierdzenia Tychonowa

1) Dowód Tychonowa z 1930 r. wykorzystywał koncepcję kompletnego punktu akumulacji .

2) Twierdzenie jest szybkim następstwem twierdzenia Aleksandra o subbazie .

Bardziej nowoczesne dowody zostały motywowane następującymi względami: podejście do zwartości poprzez zbieżność podciągów prowadzi do prostego i przejrzystego dowodu w przypadku policzalnych zbiorów indeksów. Jednak podejście do zbieżności w przestrzeni topologicznej za pomocą ciągów jest wystarczające, gdy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat policzalności (tak jak robią to przestrzenie metryzowalne), ale generalnie nie inaczej. Jednak iloczyn niezliczonej liczby metryzowalnych przestrzeni, z których każda ma co najmniej dwa punkty, nie jest najpierw policzalny. Naturalna jest więc nadzieja, że ​​odpowiednie pojęcie zbieżności w dowolnych przestrzeniach doprowadzi do kryterium zwartości uogólniającego zwartość sekwencyjną w przestrzeniach metryzowalnych, które równie łatwo będzie zastosować do wydedukowania zwartości produktów. Okazało się, że tak jest.

3) Teoria zbieżności przez filtry, za sprawą Henri Cartana i rozwinięta przez Bourbakiego w 1937 roku, prowadzi do następującego kryterium: zakładając lemat o ultrafiltrze , przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr w przestrzeni jest zbieżny. Mając to pod ręką, dowód staje się łatwy: (filtr wygenerowany przez a) obraz ultrafiltra na przestrzeni iloczynu pod dowolną mapą projekcji jest ultrafiltrem na przestrzeni czynnikowej, która zatem zbiega się do co najmniej jednego x _i . Następnie pokazuje się, że oryginalny ultrafiltr zbiega się do x = ( x _ja ). W swoim podręczniku Munkres przedstawia przeróbkę dowodu Cartana-Bourbakiego, która nie używa wyraźnie żadnego języka teorii filtrów ani wstępów.

4) Podobnie teoria zbieżności sieci Moore'a-Smitha , uzupełniona pojęciem sieci uniwersalnej Kelleya , prowadzi do kryterium, że przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda uniwersalna sieć w przestrzeni jest zbieżna. Kryterium to prowadzi do dowodu (Kelley, 1950) twierdzenia Tychonowa, który jest, słowo w słowo, identyczny z dowodem Cartana/Bourbakiego przy użyciu filtrów, z wyjątkiem wielokrotnego podstawienia „uniwersalnej sieci” zamiast „podstawy ultrafiltra”.

5) Dowód wykorzystujący sieci, ale nie sieci uniwersalne, dał w 1992 roku Paul Chernoff.

Twierdzenie Tychonowa i aksjomat wyboru

Wszystkie powyższe dowody wykorzystują w jakiś sposób aksjomat wyboru (AC). Na przykład trzeci dowód wykorzystuje fakt, że każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze (tj. filtrze maksymalnym), co widać po wywołaniu lematu Zorna . Lemat Zorna jest również używany do udowodnienia twierdzenia Kelleya, że ​​każda sieć ma uniwersalną podsieć. W rzeczywistości te zastosowania AC są niezbędne: w 1950 roku Kelley udowodnił, że twierdzenie Tychonowa implikuje aksjomat wyboru w ZF . Zauważ, że jednym ze sformułowań AC jest to, że iloczyn kartezjański rodziny niepustych zbiorów jest niepusty; ale ponieważ zbiór pusty jest z całą pewnością zwarty, dowód nie może przebiegać tak prostymi liniami. Tak więc twierdzenie Tychonowa łączy kilka innych podstawowych twierdzeń (np., że każda przestrzeń wektorowa ma bazę) w tym, że jest równoważne z AC.

Z drugiej strony stwierdzenie, że każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze, nie oznacza AC. Rzeczywiście, nietrudno zauważyć, że jest to równoważne z twierdzeniem Boole'a o ideałach pierwszych (BPI), dobrze znanym punktem pośrednim między aksjomatami teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF) i teorią ZF rozszerzoną o aksjomat wyboru (ZFC). Pierwszy rzut oka na drugi dowód Tychnowa może sugerować, że dowód wykorzystuje nie więcej niż (BPI), w przeciwieństwie do powyższego. Jednak przestrzenie, w których każdy filtr zbieżny ma unikalną granicę, to właśnie przestrzenie Hausdorffa. Ogólnie rzecz biorąc, dla każdego elementu zestawu indeksów musimy wybrać element niepustego zbioru granic projektowanej podstawy ultrafiltra, i oczywiście wykorzystuje to AC. Jednak pokazuje również, że zwartość iloczynu zwartych przestrzeni Hausdorffa można udowodnić za pomocą (BPI) iw rzeczywistości zachodzi również sytuacja odwrotna. studiowanie siła twierdzenia Tychonowa dla różnych ograniczonych klas przestrzeni jest obszarem aktywnym w topologii teoriomnogościowej .

Analogia twierdzenia Tychonowa w topologii bezsensownej nie wymaga żadnej postaci aksjomatu wyboru.

Dowód aksjomatu wyboru z twierdzenia Tychonowa

Aby udowodnić, że twierdzenie Tychonowa w wersji ogólnej implikuje aksjomat wyboru, ustalimy, że każdy nieskończony iloczyn kartezjański zbiorów niepustych jest niepusty. Najtrudniejszą częścią dowodu jest wprowadzenie właściwej topologii. Właściwa topologia, jak się okazuje, jest topologią współskończoną z niewielkimi zmianami. Okazuje się, że każdy zbiór przy takiej topologii automatycznie staje się przestrzenią zwartą. Gdy już mamy ten fakt, można zastosować twierdzenie Tychonowa; następnie używamy definicji zwartości skończonej właściwości przecięcia (FIP). Sam dowód (dzięki JL Kelley ) następuje:

Niech { A _i } będzie indeksowaną rodziną niepustych zbiorów, dla i mieszczących się w I (gdzie I jest dowolnym zbiorem indeksującym). Chcemy pokazać, że iloczyn kartezjański tych zbiorów jest niepusty. Teraz dla każdego i przyjmijmy, że X _i jest A _{i z} dołączonym indeksem i (jeśli to konieczne, zmieniając nazwy indeksów za pomocą sumy rozłącznej , możemy założyć, że i nie jest członkiem A _i , więc po prostu weź X _ja = ZA _ja ∪ { ja }).

Zdefiniuj teraz iloczyn kartezjański

$${\ Displaystyle X = \ prod _ {i \ w I} X_ {i}}$$

wraz z naturalnymi odwzorowaniami π _i , które przenoszą członka X na jego i- ty wyraz.

X _j dajemy topologię, której zbiorami otwartymi są: zbiór pusty, singleton { i }, zbiór X _i . To sprawia, że ​​X _i jest zwarty, a zgodnie z twierdzeniem Tychonowa X jest również zwarty (w topologii iloczynu). Mapy projekcji są ciągłe; wszystkie Ai pojedynczego _zbioru są domknięte, będąc dopełnieniami otwartego { i } w Xi _. Zatem odwrotne obrazy π _i ⁻¹ ( A _i ) są domkniętymi podzbiorami X . Zauważamy to

$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} A_ {i} = \ bigcap _ {i \ w I} \ pi _ {i }^{-1}(A_{i})}$$

i udowodnij, że te odwrócone obrazy mają FIP. Niech i ₁ , ..., i _N będzie skończonym zbiorem indeksów w I . Wtedy iloczyn skończony A _{i 1} × ... × A _{i N} nie jest pusty (tutaj tylko skończenie wiele wyborów, więc AC nie jest potrzebne); składa się jedynie z N -krotek. Niech a = ( a ₁ , ..., a _N ) będzie taką N -krotką. Przedłużamy A do całego zestawu indeksów: weź a do funkcji f zdefiniowanej przez f ( j ) = a _k , jeśli j = i _k , i f ( j ) = j w przeciwnym razie. Na tym etapie dodanie dodatkowego punktu do każdej przestrzeni ma kluczowe znaczenie , ponieważ pozwala nam precyzyjnie zdefiniować f dla wszystkiego poza N -krotką w precyzyjny sposób bez wyborów (możemy już wybrać, przez konstrukcję, j z Xj ₎ . π _{i k} ( f ) = a _k jest oczywiście elementem każdego A _{i k} , tak że f jest w każdym obrazie odwrotnym; tak mamy

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {k = 1} ^ {N} \ pi _ {i_ {k}} ^ {-1} (A_ {i_ {k}}) \ neq \ varnothing.}$$

Zgodnie z definicją zwartości FIP całe przecięcie nad I musi być niepuste, a dowód jest zakończony.

Zobacz też

• Twierdzenie Aleksandra o subbazie - Zbiór podzbiorów generujących topologię Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Twierdzenie o zwartości
• Lemat tuby – dowód w topologii Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne

Notatki

•   Chernoff, Paul R. (1992), „Prosty dowód twierdzenia Tychonowa za pomocą sieci”, American Mathematical Monthly , 99 (10): 932–934, doi : 10.2307/2324485 , JSTOR 2324485 .
•   Johnstone, Peter T. (1982), Przestrzenie kamienne , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 3, Nowy Jork: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5 .
• Johnstone, Peter T. (1981), „Twierdzenie Tychonowa bez aksjomatu wyboru”, Fundamenta Mathematicae , 113 : 21–35, doi : 10,4064 / fm-113-1-21-35 .
• Kelley, John L. (1950), „Zbieżność w topologii”, Duke Mathematical Journal , 17 (3): 277–283, doi : 10.1215 / S0012-7094-50-01726-1 .
• Kelley, John L. (1950), „Twierdzenie iloczynu Tychonowa implikuje aksjomat wyboru”, Fundamenta Mathematicae , 37 : 75–76, doi : 10,4064/fm-37-1-75-76 .
•    Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. Drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
• Tychonoff, Andrey N. (1930), „Über die topologische Erweiterung von Räumen”, Mathematische Annalen (w języku niemieckim), 102 (1): 544–561, doi : 10.1007 / BF01782364 .
• Wilansky, A. (1970), Topologia do analizy , Ginn and Company
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia ogólna . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
• Wright, David G. (1994), "Twierdzenie Tychonowa.", Proc. Amer. Matematyka soc. , 120 (3): 985–987, doi : 10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2 .

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie Tychonowa w ProofWiki
• Dowód systemu Mizar : http://mizar.org/version/current/html/yellow17.html#T23