Topologia niskowymiarowa

Trójwymiarowe przedstawienie pogrubionego węzła koniczyny , najprostszego nietrywialnego węzła . Teoria węzłów jest ważną częścią topologii niskowymiarowej.

W matematyce topologia niskowymiarowa jest gałęzią topologii , która bada rozmaitości lub bardziej ogólnie przestrzenie topologiczne o czterech lub mniej wymiarach . Reprezentatywne tematy to teoria struktury 3- i 4-rozmaitości , teoria węzłów i grup warkoczy . Można to uznać za część topologii geometrycznej . Może być również używany w odniesieniu do badania przestrzeni topologicznych o wymiarze 1, chociaż jest to częściej uważane za część teorii continuum .

Historia

Szereg postępów, począwszy od lat sześćdziesiątych XX wieku, skutkowało podkreśleniem niskich wymiarów w topologii. Rozwiązanie przez Stephena Smale'a w 1961 roku hipotezy Poincarégo w pięciu lub więcej wymiarach sprawiło, że wymiary trzeci i czwarty wydawały się najtrudniejsze; i rzeczywiście wymagały nowych metod, podczas gdy swoboda wyższych wymiarów oznaczała, że ​​pytania można było sprowadzić do metod obliczeniowych dostępnych w teorii chirurgii . Hipoteza geometryzacyjna Thurstona , sformułowane pod koniec lat siedemdziesiątych XX wieku, oferowało ramy, które sugerowały, że geometria i topologia były ściśle ze sobą powiązane w małych wymiarach, a dowód geometrii Thurstona dla rozmaitości Hakena wykorzystywał różnorodne narzędzia z wcześniej słabo powiązanych obszarów matematyki. Odkrycie przez Vaughana Jonesa wielomianu Jonesa na początku lat 80-tych nie tylko poprowadziło teorię węzłów w nowych kierunkach, ale dało początek wciąż tajemniczym powiązaniom między niskowymiarową topologią a fizyką matematyczną . W 2002 roku Grigorij Perelman ogłosił dowód trójwymiarowej hipotezy Poincarégo, wykorzystując przepływ Ricciego Richarda S. Hamiltona , pomysł należący do dziedziny analizy geometrycznej .

Ogólnie rzecz biorąc, postęp ten doprowadził do lepszej integracji tej dziedziny z pozostałą częścią matematyki.

Dwa wymiary

Główny artykuł: powierzchnia (topologia)

Powierzchnia jest dwuwymiarową rozmaitością topologiczną . _ Najbardziej znanymi przykładami są te, które powstają jako granice ciał stałych w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ³ — na przykład powierzchnia kuli . Z drugiej strony istnieją powierzchnie, takie jak butelka Kleina , których nie można osadzić w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej bez wprowadzenia osobliwości lub samoprzecięć.

Klasyfikacja powierzchni

Twierdzenie klasyfikacyjne o powierzchniach zamkniętych stwierdza, że ​​​​każda połączona powierzchnia zamknięta jest homeomorficzna dla jakiegoś członka jednej z tych trzech rodzin:

1. kula;
2. połączona suma sol tori , dla ${\ Displaystyle g \ geq 1$ } ;
3. połączona suma k rzeczywistych płaszczyzn rzutowych , dla ${\ Displaystyle k \ geq 1}$ .

Powierzchnie w pierwszych dwóch rodzinach są orientowalne . Wygodnie jest połączyć te dwie rodziny, traktując kulę jako spójną sumę 0 tori. Liczba g zaangażowanych torusów nazywana jest rodzajem powierzchni. Kula i torus mają charakterystyki Eulera 2 i 0, a ogólnie charakterystyka Eulera połączonej sumy g torus wynosi 2 − 2 g .

Powierzchnie w trzeciej rodzinie są nieorientowalne. Charakterystyka Eulera rzeczywistej płaszczyzny rzutowej wynosi 1, a ogólnie charakterystyka Eulera połączonej sumy k z nich wynosi 2 − k .

Przestrzeń Teichmüllera

Główny artykuł: przestrzeń Teichmüllera

W matematyce przestrzeń Teichmüllera T X ₍ rzeczywistej) powierzchni topologicznej X jest przestrzenią parametryzującą złożone struktury na X aż do działania homeomorfizmów , które są izotopowe z homeomorfizmem tożsamości . Każdy punkt w T _X może być traktowany jako klasa izomorfizmu „zaznaczonych” powierzchni Riemanna , gdzie „zaznaczenie” jest klasą izotopów homeomorfizmów od X do X. _ Przestrzeń Teichmüllera jest uniwersalną pokrywającą orbitą przestrzeni modułów (Riemanna).

Przestrzeń Teichmüllera ma kanoniczną złożoną strukturę rozmaitości i bogactwo naturalnych metryk. Podstawowa przestrzeń topologiczna przestrzeni Teichmüllera była badana przez Fricke, a metryka Teichmüllera została wprowadzona przez Oswalda Teichmüllera ( 1940 ).

Twierdzenie o uniformizacji

Główny artykuł: Twierdzenie o uniformizacji

W matematyce twierdzenie o uniformizacji mówi, że każda prosto połączona powierzchnia Riemanna jest konforemnie równoważna jednej z trzech dziedzin: otwartemu dyskowi jednostkowemu , płaszczyźnie zespolonej lub kuli Riemanna . W szczególności dopuszcza riemannowską metrykę stałej krzywizny . To klasyfikuje powierzchnie Riemanna jako eliptyczne (zakrzywione dodatnio - raczej przyjmujące stałą metrykę zakrzywioną dodatnio), paraboliczne (płaskie) i hiperboliczne (zakrzywione ujemnie) zgodnie z ich uniwersalnym pokryciem .

Twierdzenie o uniformizacji jest uogólnieniem twierdzenia o odwzorowaniu Riemanna z właściwych, prosto połączonych, otwartych podzbiorów płaszczyzny na dowolne, prosto połączone powierzchnie Riemanna.

Trzy wymiary

Główny artykuł: 3-kolektor

Przestrzeń topologiczna X jest 3-rozmaitością, jeśli każdy punkt w X ma otoczenie , które jest homeomorficzne z euklidesową 3-przestrzenią .

topologiczne, odcinkowo-liniowe i gładkie są wszystkie równoważne w trzech wymiarach, więc nie ma rozróżnienia, czy mamy do czynienia, powiedzmy, topologicznymi 3-rozmaitościami, czy gładkimi 3-rozmaitościami.

Zjawiska w trzech wymiarach mogą uderzająco różnić się od zjawisk w innych wymiarach, dlatego istnieje przewaga bardzo wyspecjalizowanych technik, które nie uogólniają do wymiarów większych niż trzy. Ta szczególna rola doprowadziła do odkrycia ścisłych powiązań z różnymi innymi dziedzinami, takimi jak teoria węzłów , geometryczna teoria grup , geometria hiperboliczna , teoria liczb , teoria Teichmüllera , topologiczna kwantowa teoria pola , teoria cechowania , homologia Floera i równania różniczkowe cząstkowe . Teoria 3-rozmaitości jest uważana za część topologii niskowymiarowej lub topologii geometrycznej .

Teoria węzłów i warkoczy

Główne artykuły: teoria węzłów i teoria plecionki

Teoria węzłów to nauka o węzłach matematycznych . Choć inspirowany węzłami, które pojawiają się w życiu codziennym w sznurowadłach i linach, węzeł matematyka różni się tym, że końce są połączone razem, tak że nie można go rozwiązać. W języku matematycznym węzeł jest osadzeniem koła w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R ³ (ponieważ używamy topologii, okrąg nie jest związany z klasyczną koncepcją geometryczną, ale ze wszystkimi jego homeomorfizmami ). Dwa węzły matematyczne są równoważne, jeśli jeden z nich może ^zostać przekształcony w drugi poprzez odkształcenie R3 względem siebie (znane jako izotop otoczenia ); te przekształcenia odpowiadają manipulacjom zawiązanym sznurkiem, które nie obejmują przecinania sznurka ani przepuszczania sznurka przez siebie.

Uzupełnienia węzłów są często badanymi 3-rozmaitościami. Dopełnieniem węzła oswojonego węzła K jest trójwymiarowa przestrzeń otaczająca węzeł. Aby to uściślić, załóżmy, że K jest węzłem w trójrozmaitościowym M (najczęściej M jest 3-sferą ). Niech N będzie cylindrycznym sąsiedztwem K ; więc N jest torusem bryłowym . Dopełnienie węzła jest wtedy dopełnieniem N ,

${\ Displaystyle X_ {K} = M- {\ mbox {wnętrze}} (N).}$

Powiązanym tematem jest teoria warkocza . Teoria warkoczy to abstrakcyjna teoria geometryczna badająca koncepcję codziennego warkocza i pewne uogólnienia. Pomysł polega na tym, że warkocze można organizować w grupy , w których operacja grupowa polega na „zrobieniu pierwszego warkocza na zestawie sznurków, a następnie drugiego na skręconych sznurkach”. Takie grupy można opisać za pomocą jednoznacznych prezentacji , jak wykazał Emil Artin ( 1947 ). Aby zapoznać się z podstawowym leczeniem w tym kierunku, zobacz artykuł pt grupy warkoczy . Grupom plecionek można również nadać głębszą interpretację matematyczną: jako podstawową grupę pewnych przestrzeni konfiguracyjnych .

Hiperboliczne 3-rozmaitości

Główny artykuł: hiperboliczny 3-rozmaitość

Hiperboliczna 3-rozmaitość to 3-rozmaitość wyposażona w pełną metrykę riemannowską stałej krzywizny przekroju -1. Innymi słowy, jest to iloraz trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej przez podgrupę izometrii hiperbolicznych działających swobodnie i właściwie nieciągle . Zobacz także model Kleinowski .

Jego gruby-cienki rozkład ma cienką część składającą się z rurowych sąsiedztw zamkniętych geodezyjnych i / lub końców, które są iloczynem powierzchni euklidesowej i zamkniętego półpromienia. Rozmaitość ma skończoną objętość wtedy i tylko wtedy, gdy jej gruba część jest zwarta. W tym przypadku końce mają kształt torusa przecinającego zamkniętą półpromień i nazywane są wierzchołkami . Dopełnienia węzłów są najczęściej badanymi rozmaitościami wierzchołkowymi.

Hipoteza Poincarégo i geometryzacja

Główny artykuł: hipoteza geometryzacji

Hipoteza geometryzacyjna Thurstona stwierdza, że ​​​​każda z pewnych trójwymiarowych przestrzeni topologicznych ma unikalną strukturę geometryczną, którą można z nimi powiązać. Jest to odpowiednik twierdzenia o uniformizacji dla powierzchni dwuwymiarowych , które stwierdza, że ​​każdej prosto połączonej powierzchni Riemanna można nadać jedną z trzech geometrii ( euklidesową , sferyczną lub hiperboliczną ). W trzech wymiarach nie zawsze jest możliwe przypisanie jednej geometrii do całej przestrzeni topologicznej. Zamiast tego hipoteza geometryzacji stwierdza, że ​​​​każdy zamknięty 3-rozmaitość można rozłożyć w sposób kanoniczny na części, z których każdy ma jeden z ośmiu typów struktury geometrycznej. Hipoteza została zaproponowana przez Williama Thurstona ( 1982 ) i implikuje kilka innych hipotez, takich jak hipoteza Poincarégo i hipoteza eliptyzacyjna Thurstona .

Cztery wymiary

Główny artykuł: 4-kolektor

Czterowymiarowa rozmaitość to czterowymiarowa rozmaitość topologiczna . Gładki 4-rozmaitości to 4-rozmaitości o gładkiej strukturze . W wymiarze czwartym, w wyraźnym kontraście z niższymi wymiarami, rozmaitości topologiczne i gładkie są zupełnie inne. Istnieją pewne topologiczne 4-rozmaitości, które nie dopuszczają gładkiej struktury, a nawet jeśli istnieje gładka struktura, to nie musi ona być unikalna (tj. istnieją gładkie 4-rozmaitości, które są homeomorficzne , ale nie dyfeomorficzne ).

rozmaitości mają znaczenie w fizyce, ponieważ w ogólnej teorii względności czasoprzestrzeń jest modelowana jako pseudo-riemannowska 4-rozmaitość.

Egzotyczny R ⁴

Główny artykuł: Egzotyczny R ⁴

Egzotyczna R ⁴ jest różniczkowalną rozmaitością , która jest homeomorficzna , ale nie dyfeomorficzna względem przestrzeni euklidesowej R ⁴ . Pierwsze przykłady zostały znalezione na początku lat 80. przez Michaela Freedmana , wykorzystując kontrast między twierdzeniami Freedmana o topologicznych 4-rozmaitościach a twierdzeniami Simona Donaldsona o gładkich 4-rozmaitościach. Istnieje kontinuum niediffeomorficznych różniczkowalnych struktur R ⁴ , jak to po raz pierwszy wykazał Clifford Taubes .

Przed tą konstrukcją wiadomo było już, że niedyfeomorficzne gładkie struktury na sferach - sferach egzotycznych - istnieją, chociaż kwestia istnienia takich struktur dla konkretnego przypadku 4-sfery pozostawała otwarta (i nadal pozostaje otwarta od 2018 r. ). Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n innej niż 4 nie ma egzotycznych gładkich struktur ^na Rn ; innymi słowy, jeśli n ≠ 4, to każda gładka rozmaitość homeomorficzna do R ⁿ jest dyfeomorficzna do R ⁿ .

Inne zjawiska specjalne w czterech wymiarach

Istnieje kilka fundamentalnych twierdzeń dotyczących rozmaitości, które można udowodnić metodami niskowymiarowymi w wymiarze co najwyżej 3 i zupełnie innymi metodami wielowymiarowymi w wymiarze co najmniej 5, ale które są fałszywe w czterech wymiarach. Oto kilka przykładów:

• W wymiarach innych niż 4 niezmiennik Kirby'ego-Siebenmanna stanowi przeszkodę w istnieniu struktury PL; innymi słowy zwarta rozmaitość topologiczna ma strukturę PL wtedy i tylko wtedy, gdy jej niezmiennik Kirby'ego-Siebenmanna w H ⁴ ( M , Z / 2 Z ) znika. W wymiarze 3 i niższym każda rozmaitość topologiczna dopuszcza zasadniczo unikalną strukturę PL. W wymiarze 4 istnieje wiele przykładów ze znikającym niezmiennikiem Kirby'ego-Siebenmanna, ale bez struktury PL.
• W dowolnym wymiarze innym niż 4 zwarta rozmaitość topologiczna ma tylko skończoną liczbę zasadniczo odrębnych struktur PL lub gładkich. W wymiarze 4 zwarte rozmaitości mogą mieć policzalną nieskończoną liczbę niedyfeomorficznych gładkich struktur.
• Cztery to jedyny wymiar n , dla którego R ⁿ może mieć egzotyczną gładką strukturę. R4 ma niezliczoną liczbę egzotycznych gładkich struktur ^; patrz egzotyczne R ⁴ .
• Rozwiązanie gładkiej hipotezy Poincarégo jest znane we wszystkich wymiarach innych niż 4 (zwykle jest fałszywe w wymiarach co najmniej 7; patrz sfera egzotyczna ). Hipoteza Poincarégo dla rozmaitości PL została udowodniona dla wszystkich wymiarów innych niż 4, ale nie wiadomo, czy jest prawdziwa w 4 wymiarach (jest równoważna gładkiej hipotezie Poincarégo w 4 wymiarach).
• o gładkim h-kobordyzmie obowiązuje dla kobordyzmów pod warunkiem, że ani kobordyzm, ani jego granica nie mają wymiaru 4. Może się nie powieść, jeśli granica kobordyzmu ma wymiar 4 (jak pokazał Donaldson). Jeśli kobordyzm ma wymiar 4, to nie wiadomo, czy zachodzi twierdzenie o kobordyzmie h.
• Rozmaitość topologiczna o wymiarze nierównym 4 ma dekompozycję ciała uchwytu. Rozmaitości o wymiarze 4 mają rozkład handlebody wtedy i tylko wtedy, gdy można je wygładzić.
• Istnieją zwarte 4-wymiarowe rozmaitości topologiczne, które nie są homeomorficzne z żadnym uproszczonym kompleksem. W wymiarze co najmniej 5 istnienie rozmaitości topologicznych, które nie są homeomorficzne dla uproszczonego kompleksu, było problemem otwartym. W 2013 roku Ciprian Manolescu opublikował przedruk na ArXiv pokazujący, że w każdym wymiarze istnieją rozmaitości większe lub równe 5, które nie są homeomorficzne z uproszczonym kompleksem.

Kilka typowych twierdzeń wyróżniających topologię niskowymiarową

Istnieje kilka twierdzeń, które w efekcie stwierdzają, że wiele najbardziej podstawowych narzędzi używanych do badania rozmaitości wielowymiarowych nie ma zastosowania do rozmaitości niskowymiarowych, takich jak:

Twierdzenie Steenroda stwierdza, że ​​orientowalna 3-rozmaitość ma trywialną wiązkę styczną . Innymi słowy, jedyną charakterystyczną klasą 3-rozmaitości jest przeszkoda w orientacji.

Każda zamknięta 3-rozmaitość jest granicą 4-rozmaitości. Twierdzenie to wynika niezależnie od kilku osób: wynika z Dehna – Lickorisha poprzez rozszczepienie 3-rozmaitości przez Heegaarda. Wynika to również z obliczeń René Thoma dotyczących pierścienia kobordyzmu zamkniętych rozmaitości.

Istnienie egzotycznych gładkich struktur na R ⁴ . Zostało to pierwotnie zaobserwowane przez Michaela Freedmana w oparciu o prace Simona Donaldsona i Andrew Cassona . Od tego czasu został opracowany przez Freedmana, Roberta Gompfa , Clifforda Taubesa i Laurence'a Taylora, aby pokazać, że istnieje kontinuum niedyfeomorficznych gładkich struktur na R ⁴ . Tymczasem wiadomo , że R ^{n ma dokładnie jedną gładką strukturę aż do dyfeomorfizmu, pod warunkiem} n ≠ 4.

Zobacz też

• Lista tematów topologii geometrycznej

Linki zewnętrzne

• Roba Kirby'ego w topologii niskowymiarowej - plik postscriptowy spakowany gzipem (1,4 MB)
• Marka Brittenhama do topologii niskowymiarowej - listy stron domowych, konferencji itp.