Podział Heegaarda

W matematycznej dziedzinie topologii geometrycznej podział Heegaarda ( duński: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ( słuchaj ) ) jest rozkładem zwartej zorientowanej 3-rozmaitości , która wynika z podzielenia go na dwa korpusy .

Definicje

Niech V i W będą ciałami rękojeści rodzaju g , a ƒ niech będą orientacją odwracającą homeomorfizm od granicy V do granicy W . Sklejając V z W wzdłuż ƒ otrzymujemy zwartą trójwymiarową rozmaitość

{\ Displaystyle M = V \ kubek _ {f} W.}

każdą zamkniętą, orientowalną trójrozmaitość; wynika to z głębokich wyników dotyczących triangulowalności trzech rozmaitości dzięki Moise'owi . Kontrastuje to silnie z wielowymiarowymi rozmaitościami, które nie muszą dopuszczać gładkich lub fragmentarycznie liniowych struktur. Zakładając gładkość, istnienie podziału Heegaarda wynika również z pracy Smale'a o dekompozycjach uchwytów z teorii Morse'a.

Rozkład M na dwa korpusy uchwytu nazywa się rozszczepieniem Heegaarda , a ich wspólna granica H nazywana jest powierzchnią rozszczepienia Heegaarda . Rozszczepienia są uważane za izotopowe .

Mapę klejenia ƒ należy określić tylko do przyjęcia podwójnego cosetu w grupie klas mapowania H . To połączenie z grupą klas mapowania zostało po raz pierwszy wykonane przez WBR Lickorish .

Podziały Heegaarda można również zdefiniować dla kompaktowych 3-rozgałęźników z granicą, zastępując uchwyty korpusami ściskanymi . Mapa klejenia znajduje się pomiędzy dodatnimi granicami brył ściskanych.

Krzywa zamknięta nazywana jest zasadniczą , jeśli nie jest homotopijna względem punktu, przebicia lub składowej granicznej.

Podział Heegaarda jest $jeśli$ , istnieje zasadnicza prosta zamknięta krzywa na H , która ogranicza dysk zarówno w V , jak iw W. Rozszczepienie jest nieredukowalne, jeśli nie jest redukowalne. Z lematu Hakena wynika , że w rozmaitości redukowalnej każde rozszczepienie jest redukowalne.

Podział Heegaarda jest ustabilizowany , jeśli istnieją podstawowe proste krzywe zamknięte i ${\ displaystyle$ $\ beta}$ na H , gdzie ${\ displaystyle \ alpha}$ ogranicza dysk w , β $\ displaystyle \ beta}$ $się$ dysk w W , a $.$ przecinają dokładnie raz Wynika to z twierdzenia Waldhausena że każde redukowalne rozszczepienie nieredukowalnej rozmaitości jest stabilizowane.

Podział Heegaarda jest słabo redukowalny , jeśli istnieją rozłączne, podstawowe proste krzywe zamknięte i $\$ $beta }$ $\ beta}$ na H gdzie ogranicza dysk w V i $\ beta}$ ${\ displaystyle$ ogranicza dysk w W . Rozszczepienie jest silnie nieredukowalne, jeśli nie jest słabo redukowalne.

Rozszczepienie Heegaarda jest rodzajem minimalnym lub minimalnym, jeśli nie ma innego rozszczepienia otaczającej trójrozmaitości niższego rodzaju . Minimalna wartość g powierzchni podziału jest rodzajem Heegaarda M .

Uogólnione podziały Heegaarda

Uogólniony podział Heegaarda M jest rozkładem na ciała ściskane ${\ Displaystyle V_ {i}, W_ {i}, i = 1, \ kropka, n}$ i powierzchnie ${\ Displaystyle H_ {i}, i = 1, \ kropka, n}$ takie, że ${\ Displaystyle \ częściowy _ {+} V_ {i} = \ częściowy _ {+} W_ {i} = H_ {i}} i ∂$ - $Displaystyle \częściowy _{-}W_{i}=\częściowy _{-}V_{i+1}}$ . Wnętrza ciał ściskanych muszą być parami rozłączne, a ich połączenie musi być wszystkie ${\ displaystyle M}$ . Powierzchnia powierzchnię Heegaarda $dla$ ${\ Displaystyle V_ {i} \ kubek W_ {i}}$ z ${\ Displaystyle M}$ . (Zauważ, że tutaj każdy V _i oraz W _i może mieć więcej niż jeden składnik.)

Uogólniony podział Heegaarda nazywany jest $nieredukowalnym$ jeśli jest silnie

Istnieje analogiczne pojęcie cienkiej pozycji, zdefiniowane dla węzłów, dla rozszczepień Heegaarda. Złożoność połączonej powierzchni S , c ( S ) , jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {max} \ lewo \ {0,1- \ chi (S) \ prawo\}}$ ; złożoność odłączonej powierzchni jest sumą złożoności jej składników. Złożoność uogólnionego podziału Heegaarda to wielozbiór {c (S_i)} , gdzie indeks biegnie po powierzchniach Heegaarda w uogólnionym podziale. Te wielozbiory można dobrze uporządkować za pomocą uporządkowania leksykograficznego (monotonicznie malejącego). Uogólniony podział Heegaarda jest cienki , jeśli jego złożoność jest minimalna.

Przykłady

Trójkula Trójkula: to zbiór wektorów o długości jeden. $displaystyle S ^ {3}$ $}$ Przecięcie tego $_$ daje . Jest to standardowy podział rodzaju na zero ${\ displaystyle S ^ {3}}$ . Odwrotnie, dzięki sztuczce Aleksandra , wszystkie rozmaitości dopuszczające rozszczepienie rodzaju zerowego są homeomorficzne
do ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ . Pod zwykłą identyfikacją z ${2}}$ ${R} ^ {4}}$ możemy zobaczyć do ${\ displaystyle \ mathbb {C}$ jak mieszka w ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ . Następnie zbiór punktów, w których każda współrzędna $,$ torus Clifforda , ${\ Displaystyle T ^ {2}}$ . Jest to standardowy podział jednego rodzaju ${\ displaystyle S ^ {3}}$ dyskusję w pakiecie Hopfa .); .
Stabilizacja Biorąc pod: ( Zobacz także podział Heegaarda H na M , stabilizację H tworzy się, biorąc połączoną sumę pary $(M, H)}$ Displaystyle ${\ Displaystyle \ lewo (S ^ {3}, T ^ {2} \ prawo)}$ . Łatwo pokazać, że procedura stabilizacji daje ustabilizowane rozszczepienia. Indukcyjnie, podział jest standardem , jeśli jest to stabilizacja standardowego podziału.
Przestrzenie soczewek: Wszystkie mają standardowy podział rodzaju jeden. To jest obraz torusa Clifforda w $ilorazowej użytej do$ danej przestrzeni soczewki. Wynika to ze struktury grupy klas odwzorowania dwutorusa że tylko przestrzenie soczewek mają podziały rodzaju pierwszego.
Trzy torusy: Przypomnijmy $są$ że trzy torusy iloczynem kartezjańskim trzech kopii $.$ Niech ${\ displaystyle x_ {0}}$ będzie punktem ${\ displaystyle S ^ {1}}$ i rozważmy wykres ${\ Displaystyle \ Gamma = S ^ {1} \ razy \ {x_ {0} \} \ razy \ {x_ { 0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\ }\razy S^{1}}$ . Jest to łatwe ćwiczenie, aby pokazać, że $jak$ , regularne sąsiedztwo , jest uchwytem, podobnie ${\ Displaystyle T ^ {3} -V}$ . Zatem granica V w jest podziałem Heegaarda i jest to standardowy podział $^ {3}}$ $T$ . Charles Frohman i Joel Hass udowodnili , że każdy inny rodzaj podziału Heegaarda trzech torusów jest topologicznie równoważny z tym. Michel Boileau i Jean-Pierre Otal udowodnili, że generalnie każde rozszczepienie przez Heegaarda trzech torusów jest równoważne wynikowi ustabilizowania tego przykładu.

Twierdzenia

Lemat Aleksandra: Aż do izotopii istnieje unikalne ( odcinkowo liniowe ) osadzenie dwusfery w trójsferze. (W wyższych wymiarach jest to znane jako twierdzenie Schoenfliesa . $W$ drugim wymiarze jest to twierdzenie o krzywej Jordana ). Można : podział rodzaju na zero jest wyjątkowy.
Twierdzenie Waldhausena: Każdy podział $.$ uzyskuje się przez ustabilizowanie unikalnego podziału rodzaju

Załóżmy teraz, że M jest zamkniętą orientowalną trójrozmaitością.

Twierdzenie Reidemeistera-Singera: Dla każdej pary podziałów i ${\ Displaystyle$ $H_ {2}}$ w M istnieje trzeci podział w M który jest stabilizacją $\ displaystyle H_ {1}}$ Zarówno.; Lemat Załóżmy, że $jest$ podstawową dwusferą w M H jest rozszczepieniem Heegaarda Następnie istnieje podstawowe dwusferowe ${\ displaystyle S_ {2}}$ w M spotyka H na jednej krzywej.
Hakena

Klasyfikacje

Istnieje kilka klas trójrozmaitości, w których zbiór podziałów Heegaarda jest całkowicie znany. Na przykład twierdzenie Waldhausena pokazuje, że wszystkie $są$ . To samo dotyczy przestrzeni soczewkowych (jak udowodnili Francis Bonahon i Otal).

Podziały przestrzeni włókien Seiferta są bardziej subtelne. Tutaj wszystkie rozszczepienia mogą być izotopowane jako pionowe lub poziome (jak udowodnili Yoav Moriah i Jennifer Schultens ).

Cooper i Scharlemann (1999) sklasyfikowali podziały wiązek torusów (które obejmują wszystkie trzy rozmaitości z geometrią Sol ). Z ich pracy wynika, że wszystkie wiązki torusów mają unikalny podział minimalnego rodzaju. Wszystkie inne podziały wiązki torusa są stabilizacjami minimalnego rodzaju.

Od 2008 r. Jedynymi hiperbolicznymi trzema rozmaitościami, których podziały Heegaarda są klasyfikowane, to uzupełnienia węzłów dwóch mostów, w artykule Tsuyoshi Kobayashi.

Aplikacje i połączenia

Minimalne powierzchnie

Rozszczepienia Heegaarda pojawiły się w teorii powierzchni minimalnych po raz pierwszy w pracy Blaine'a Lawsona , który udowodnił, że osadzone minimalne powierzchnie w zwartych rozmaitościach o dodatniej krzywiźnie przekroju są rozszczepieniami Heegaarda. Wynik ten został rozszerzony przez Williama Meeksa na płaskie rozmaitości, z wyjątkiem tego, że udowodnił, że osadzona minimalna powierzchnia w płaskiej trójrozmaitości jest albo powierzchnią Heegaarda, albo całkowicie geodezyjną .

Meeks i Shing-Tung Yau wykorzystali następnie wyniki Waldhausena, aby udowodnić wyniki dotyczące topologicznej wyjątkowości minimalnych powierzchni skończonego $.$ Ostateczna klasyfikacja topologiczna osadzonych minimalnych powierzchni w $została$ Meeksa i Frohmana. Wynik w dużej mierze opierał się na technikach opracowanych do badania topologii rozszczepień Heegaarda.

Homologia Heegaarda Floera

Diagramy Heegaarda, które są prostymi kombinatorycznymi opisami rozszczepienia Heegaarda, były szeroko stosowane do konstruowania niezmienników trzech rozmaitości. Najnowszym tego przykładem jest homologia Heegaarda Floera autorstwa Petera Ozsvatha i Zoltána Szabó . Teoria wykorzystuje $symetryczny$ powierzchni Heegaarda jako przestrzeń otoczenia, a tori zbudowany z granic dysków południków dla dwóch korpusów uchwytów Lagrange'a .

Historia

Pomysł podziału Heegaarda został wprowadzony przez Poula Heegaarda ( 1898 ). Podczas gdy podziały Heegaarda były szeroko badane przez matematyków, takich jak Wolfgang Haken i Friedhelm Waldhausen w latach 60. XX wieku, dopiero kilka dekad później dziedzina ta została odmłodzona przez Andrew Cassona i Camerona Gordona ( 1987 ), głównie dzięki ich koncepcji silnej nieredukowalności .

Zobacz też

Farb Benson ; Margalit, Dan, Primer on Mapping Class Groups , Princeton University Press
Casson, Andrew J .; Gordona, Camerona McA. (1987), „Reduction Heegaard splittings”, Topology and Its Applications , 27 (3): 275–283, doi : 10.1016 / 0166-8641 (87) 90092-7 , ISSN 0166-8641 , MR 0918537
Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), „Struktura podziału rozmaitości rozmaitości Heegaarda” , Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1–18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 22.08.2011 , pobrano 2020-01-11
Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Thesis (w języku duńskim), JFM 29.0417.02
Hempel, John (1976), 3-rozmaitości , Annals of Mathematics Studies, tom. 86, Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8 , MR 0415619
Kobayashi, Tsuyoshi (2001), „Podziały Heegaarda na zewnątrz dwóch węzłów mostowych” , Geometria i topologia , 5 (2): 609–650, doi : 10.2140 / gt.2001.5.609 , S2CID 13991798