Minimalna powierzchnia

Helikoidalna minimalna powierzchnia utworzona przez warstwę mydła na spiralnej ramie

W matematyce minimalna powierzchnia to powierzchnia, która lokalnie minimalizuje swoją powierzchnię. Jest to równoważne z zerową średnią krzywizną (patrz definicje poniżej).

Termin „powierzchnia minimalna” jest używany, ponieważ powierzchnie te pierwotnie powstały jako powierzchnie, które minimalizowały całkowitą powierzchnię podlegającą pewnym ograniczeniom. Fizyczne modele minimalnych powierzchni minimalizujących powierzchnię można wykonać, zanurzając drucianą ramę w roztworze mydła, tworząc warstwę mydła , która jest minimalną powierzchnią, której granicą jest druciana rama. Jednak termin ten jest używany w odniesieniu do bardziej ogólnych powierzchni, które mogą się samoprzecinać lub nie mają ograniczeń. Dla danego ograniczenia może również istnieć kilka minimalnych powierzchni o różnych obszarach (na przykład patrz minimalna powierzchnia obrotu ): standardowe definicje odnoszą się tylko do optimum lokalnego , a nie do optimum globalnego .

Definicje

Wieża siodłowa minimalna powierzchnia. Chociaż każda niewielka zmiana powierzchni zwiększa jej powierzchnię, istnieją inne powierzchnie z tą samą granicą o mniejszej powierzchni całkowitej.

Minimalne powierzchnie można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów w R ³ . Fakt, że są one równoważne, pokazuje, jak teoria powierzchni minimalnych leży na skrzyżowaniu kilku dyscyplin matematycznych, zwłaszcza geometrii różniczkowej , rachunku wariacyjnego , teorii potencjału , analizy złożonej i fizyki matematycznej .

Definicja lokalnego najmniejszego obszaru : Powierzchnia M ⊂ R ³ jest minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt p ∈ M ma otoczenie ograniczone prostą zamkniętą krzywą, która ma najmniejszą powierzchnię spośród wszystkich powierzchni mających tę samą granicę.

Ta właściwość jest lokalna: na minimalnej powierzchni mogą istnieć obszary wraz z innymi powierzchniami o mniejszej powierzchni, które mają tę samą granicę. Ta właściwość nawiązuje do filmów mydlanych; film mydlany zdeformowany, aby mieć drucianą ramkę jako granicę, zminimalizuje obszar.

Definicja wariacyjna : Powierzchnia M ⊂ R ³ jest minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem krytycznym obszaru funkcjonału dla wszystkich zwięźle wspieranych wariacji .

Ta definicja sprawia, że powierzchnie minimalne są dwuwymiarowymi odpowiednikami geodezji , które analogicznie definiuje się jako punkty krytyczne długości funkcjonału.

Minimalne płaszczyzny krzywizny powierzchni. Na minimalnej powierzchni krzywizna wzdłuż głównych płaszczyzn krzywizny jest równa i przeciwna w każdym punkcie. To powoduje, że średnia krzywizna wynosi zero.

Definicja średniej krzywizny : Powierzchnia M ⊂ R ³ jest minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej średnia krzywizna jest równa zeru we wszystkich punktach.

Bezpośrednią konsekwencją tej definicji jest to, że każdy punkt na powierzchni jest punktem siodłowym z równymi i przeciwnymi głównymi krzywiznami . Dodatkowo sprawia to, że minimalne powierzchnie stają się statycznymi rozwiązaniami przepływu o średniej krzywiźnie . Zgodnie z równaniem Younga-Laplace'a średnia krzywizna warstewki mydła jest proporcjonalna do różnicy ciśnień między bokami. Jeśli film mydlany nie obejmuje obszaru, spowoduje to, że jego średnia krzywizna będzie zerowa. Natomiast kulista bańka mydlana obejmuje obszar, który ma inne ciśnienie niż obszar zewnętrzny i jako taki nie ma zerowej średniej krzywizny.

Definicja równania różniczkowego : Powierzchnia M ⊂ R ³ jest minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy może być lokalnie wyrażona jako wykres rozwiązania

{\ Displaystyle (1 + u_ {x} ^ {2}) u_ {yy} -2u_ {x} u_ {y} u_ {xy} + (1 + u_ {y} ^ {2}) u_ {xx} = 0}

Równanie różniczkowe cząstkowe w tej definicji zostało pierwotnie znalezione w 1762 roku przez Lagrange'a , a Jean Baptiste Meusnier odkrył w 1776 roku, że implikuje ono zanikającą krzywiznę średnią.

Definicja energii : Zanurzenie konforemne X : M → R ³ jest minimalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem krytycznym energii Dirichleta dla wszystkich zwartych wariantów, lub równoważnie, jeśli dowolny punkt p ∈ M ma otoczenie o najmniejszej energii względem swojego granica.

Ta definicja wiąże minimalne powierzchnie z funkcjami harmonicznymi i teorią potencjału .

Definicja harmonicznej : Jeśli X = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ): M → R ³ jest izometrycznym zanurzeniem powierzchni Riemanna w przestrzeni 3, to X jest minimalne, gdy x _i jest funkcją harmoniczną na M dla każdego I.

Bezpośrednią implikacją tej definicji i zasady maksimum dla funkcji harmonicznych jest to, że w R ³ nie ma zwartych , kompletnych powierzchni minimalnych .

Definicja mapy Gaussa : Powierzchnia M ⊂ R ³ jest minimalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej stereograficznie rzutowana mapa Gaussa g : M → C ∪ {∞} jest meromorficzna w odniesieniu do podstawowej struktury powierzchni Riemanna , a M nie jest fragmentem kuli .

Ta definicja wykorzystuje, że średnia krzywizna jest połową śladu operatora kształtu , który jest powiązany z pochodnymi mapy Gaussa. Jeśli rzutowana mapa Gaussa jest zgodna z równaniami Cauchy'ego-Riemanna, to albo ślad znika, albo każdy punkt M jest pępowiną , w którym to przypadku jest to fragment kuli.

Definicje lokalnego najmniejszego obszaru i wariacyjne pozwalają rozszerzyć minimalne powierzchnie na inne rozmaitości riemannowskie niż R ³ .

Historia

Teoria minimalnej powierzchni wywodzi się od Lagrange'a , który w 1762 roku rozważał wariacyjny problem znalezienia powierzchni z = z ( x , y ) najmniejszego obszaru rozciągniętego w poprzek danego zamkniętego konturu. Wyprowadził równanie Eulera-Lagrange'a dla rozwiązania

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ lewo ( {\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\ left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}

Nie udało mu się znaleźć żadnego rozwiązania poza płaszczyzną. W 1776 roku Jean Baptiste Marie Meusnier odkrył, że helikoida i katenoid spełniają równanie i że wyrażenie różniczkowe odpowiada dwukrotności średniej krzywizny powierzchni, dochodząc do wniosku, że powierzchnie o zerowej średniej krzywiźnie minimalizują powierzchnię.

Rozszerzając równanie Lagrange'a do

{\ Displaystyle \ lewo (1 + z_ {x} ^ {2} \ prawej) z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}

Gaspard Monge i Legendre w 1795 r. wyprowadzili wzory reprezentacji powierzchni rozwiązań. Chociaż zostały one z powodzeniem wykorzystane przez Heinricha Scherka w 1830 r. do wyprowadzenia jego powierzchni , ogólnie uznano je za praktycznie bezużyteczne. Catalan udowodnił w latach 1842/43, że helikoida jest jedyną minimalną powierzchnią rządzoną .

Postęp był dość powolny aż do połowy stulecia, kiedy problem Björlinga został rozwiązany przy użyciu złożonych metod. Rozpoczął się „pierwszy złoty wiek” minimalnych powierzchni. Schwarz znalazł rozwiązanie problemu Plateau dla regularnego czworoboku w 1865 r. I ogólnego czworoboku w 1867 r. (Pozwalając na konstrukcję jego okresowych rodzin powierzchni ) przy użyciu złożonych metod. Weierstrass i Enneper opracowali bardziej użyteczne formuły reprezentacji , mocno łącząc minimalne powierzchnie analiza złożona i funkcje harmoniczne . Inny ważny wkład pochodzi od Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret i Weingarten.

W latach 1925-1950 odrodziła się teoria powierzchni minimalnych, obecnie ukierunkowana głównie na nieparametryczne powierzchnie minimalne. Całkowite rozwiązanie problemu Plateau przez Jessego Douglasa i Tibora Radó było kamieniem milowym. Ważny był również problem Bernsteina i praca Roberta Ossermana nad całkowitymi minimalnymi powierzchniami o skończonej krzywiźnie całkowitej.

Kolejne odrodzenie rozpoczęło się w latach 80. Jedną z przyczyn było odkrycie w 1982 roku przez Celso Costę powierzchni , która obaliła przypuszczenie, że płaszczyzna, katenoid i helikoida są jedynymi całkowicie osadzonymi minimalnymi powierzchniami w R ³ skończonego typu topologicznego. To nie tylko pobudziło nowe prace nad wykorzystaniem starych metod parametrycznych, ale także pokazało znaczenie grafiki komputerowej dla wizualizacji badanych powierzchni oraz metod numerycznych dla rozwiązania „problemu okresu” (przy zastosowaniu metody powierzchni sprzężonych aby określić płaty powierzchni, które można złożyć w większą symetryczną powierzchnię, niektóre parametry muszą być dopasowane numerycznie w celu uzyskania osadzonej powierzchni). Inną przyczyną była weryfikacja przez H. Karchera, że potrójnie okresowe powierzchnie minimalne, pierwotnie opisane empirycznie przez Alana Schoena w 1970 r., faktycznie istnieją. Doprowadziło to do powstania bogatej menażerii rodzin powierzchni i metod uzyskiwania nowych powierzchni ze starych, na przykład poprzez dodawanie uchwytów lub ich zniekształcanie.

Obecnie teoria powierzchni minimalnych zróżnicowała się do minimalnych podrozmaitości w innych geometriach otoczenia, stając się istotna dla fizyki matematycznej (np. hipoteza masy dodatniej , hipoteza Penrose'a ) i geometrii trójrozmaitości (np. hipoteza Smitha , hipoteza Poincarégo , geometria Thurstona ) przypuszczenie ).

Przykłady

Minimalna powierzchnia Costy

Klasyczne przykłady minimalnych powierzchni obejmują:

samolot , co jest przypadkiem trywialnym
katenoidy : minimalne powierzchnie utworzone przez obrót sieci trakcyjnej jeden raz wokół jej kierownicy
helikoidy : powierzchnia wymieciona przez linię obracającą się ze stałą prędkością wokół osi prostopadłej do linii i jednocześnie poruszającą się wzdłuż osi z jednostajną prędkością

Powierzchnie ze złotego wieku XIX wieku obejmują:

Powierzchnie minimalne Schwarza : powierzchnie potrójnie okresowe , które wypełniają R ³
Minimalna powierzchnia Riemanna : pośmiertnie opisana powierzchnia okresowa
powierzchnię Ennepera
powierzchnia Henneberga : pierwsza nieorientowana powierzchnia minimalna
Minimalna powierzchnia Boura
powierzchnia Neoviusa : powierzchnia potrójnie okresowa

Nowoczesne powierzchnie to m.in.

Gyroid : Jedna z powierzchni Schoena z 1970 r., potrójnie okresowa powierzchnia o szczególnym znaczeniu dla struktury ciekłokrystalicznej
wież siodłowych : uogólnienia drugiej powierzchni Scherka
Minimalna powierzchnia Costy : obalenie słynnego przypuszczenia. Opisany w 1982 roku przez Celso Costę , a później zwizualizowany przez Jima Hoffmana . Jim Hoffman, David Hoffman i William Meeks III rozszerzyli następnie definicję, aby utworzyć rodzinę powierzchni o różnych symetriach obrotowych.
rodzinę powierzchni Chen-Gackstatter , dodając uchwyty do powierzchni Enneper.

Uogólnienia i linki do innych dziedzin

Powierzchnie minimalne można zdefiniować w rozmaitościach innych niż R ³ , takich jak przestrzeń hiperboliczna , przestrzenie wielowymiarowe lub rozmaitości riemannowskie .

Definicję minimalnych powierzchni można uogólnić/rozszerzyć, aby obejmowała powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie : powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie, która nie musi być równa zeru.

Linie krzywizny powierzchni izotermicznej tworzą siatkę izotermiczną.

W dyskretnej geometrii różniczkowej badane są dyskretne powierzchnie minimalne: uproszczone kompleksy trójkątów, które minimalizują swoją powierzchnię przy niewielkich zaburzeniach położenia ich wierzchołków. Takie dyskretyzacje są często używane do numerycznego przybliżania minimalnych powierzchni, nawet jeśli nie są znane żadne wyrażenia w postaci zamkniętej.

Ruch Browna na minimalnej powierzchni prowadzi do probabilistycznych dowodów kilku twierdzeń na minimalnych powierzchniach.

Minimalne powierzchnie stały się obszarem intensywnych badań naukowych, zwłaszcza w dziedzinie inżynierii molekularnej i materiałoznawstwa , ze względu na ich przewidywane zastosowania w samoorganizacji złożonych materiałów. Sugeruje się, że retikulum endoplazmatyczne , ważna struktura w biologii komórki, znajduje się pod ewolucyjną presją, aby dostosować się do nietrywialnej minimalnej powierzchni.

W dziedzinie ogólnej teorii względności i geometrii Lorentza znaczące są pewne rozszerzenia i modyfikacje pojęcia minimalnej powierzchni, znanej jako horyzonty pozorne . W przeciwieństwie do horyzontu zdarzeń reprezentują podejście oparte na krzywiźnie do zrozumienia granic czarnej dziury .

Namiot cyrkowy zbliża się do minimalnej powierzchni.

Konstrukcje o minimalnej powierzchni mogą służyć jako namioty.

Minimalistyczne powierzchnie są częścią zestawu narzędzi do projektowania generatywnego , z którego korzystają współcześni projektanci. W architekturze duże zainteresowanie wzbudziły struktury rozciągliwe , które są ściśle związane z minimalnymi powierzchniami. Godne uwagi przykłady można zobaczyć w pracach Frei Otto , Shigeru Ban i Zaha Hadid . Projekt Stadionu Olimpijskiego w Monachium autorstwa Frei Otto został zainspirowany powierzchniami mydlanymi. Innym godnym uwagi przykładem, również autorstwa Frei Otto, jest pawilon niemiecki na Expo 67 w Montrealu w Kanadzie.

między innymi w rzeźbie Roberta Engmana (1927–2018), Roberta Longhursta (1949–) i Charlesa O. Perry'ego (1929–2011).

Zobacz też

Dalsza lektura

Podręczniki

Tobias Holck Colding i William P. Minicozzi, II. Kurs na minimalnych powierzchniach. Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii + 313 s. ISBN 978-0-8218-5323-8
R. Courant. Zasada Dirichleta, odwzorowanie konforemne i minimalne powierzchnie. Dodatek autorstwa M. Schiffera. Interscience Publishers, Inc., Nowy Jork, NY, 1950. XIII+330 s.
Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt i Friedrich Sauvigny. Minimalne powierzchnie. Poprawione i rozszerzone wydanie drugie. Z pomocą i wkładem A. Küstera i R. Jakoba. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 str. ISBN 978-3-642-11697-1 , doi : 10.1007/978-3-642-11698-8 , MR 2566897
H. Blaine Lawson, Jr. Wykłady na temat minimalnych podrozmaitości. Tom. I. Wydanie drugie. Seria wykładów z matematyki, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. IV + 178 s. ISBN 0-914098-18-7
Johannes CC Nitsche. Wykłady na minimalnych powierzchniach. Tom. 1. Wprowadzenie, podstawy, geometria i podstawowe zagadnienia brzegowe. Z niemieckiego przełożył Jerry M. Feinberg. Z niemiecką przedmową. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi + 563 s. ISBN 0-521-24427-7
Roberta Ossermana. Przegląd minimalnych powierzchni. Druga edycja. Dover Publications, Inc., Nowy Jork, 1986. vi+207 s. ISBN 0-486-64998-9 , MR 0852409

Zasoby online

Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). „Dotykanie folii mydlanych - wprowadzenie do minimalnych powierzchni” . Źródło 27 grudnia 2006 . (graficzne wprowadzenie do minimalnych powierzchni i filmów mydlanych).
Jacka Klinowskiego. „Okresowa galeria minimalnych powierzchni” . Źródło 2 lutego 2009 . (Zbiór minimalnych powierzchni z klasycznymi i nowoczesnymi przykładami)
Martina Steffensa i Christiana Teitzela. „Biblioteka minimalnej powierzchni winogron” . Źródło 27 października 2008 . (Zbiór minimalnych powierzchni)
Różne (2000). „Modele EG” . Źródło 28 września 2004 . (Dziennik internetowy z kilkoma opublikowanymi modelami minimalnych powierzchni)

Linki zewnętrzne