Mapa harmoniczna

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej gładkie odwzorowanie między rozmaitościami Riemanna nazywamy harmonicznymi , jeśli ich reprezentanci współrzędnych spełniają pewne nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe . To równanie różniczkowe cząstkowe do mapowania powstaje również jako równanie Eulera-Lagrange'a funkcjonału zwanego energią Dirichleta . Jako taka, teoria map harmonicznych zawiera zarówno teorię geodezji jednostkowej prędkości w geometrii Riemanna , jak i teorię funkcje harmoniczne .

Nieformalnie, energię Dirichleta odwzorowania $f$ z rozmaitości riemannowskiej $M$ na rozmaitość riemannowską $N$ można traktować jako całkowitą wielkość, jaką $f$ rozciąga $M$ przy przydzielaniu każdego z jego elementów do punktu $N$ . Na przykład nierozciągniętą gumkę i gładki kamień można naturalnie postrzegać jako rozmaitości riemannowskie. Każdy sposób rozciągnięcia gumki na kamieniu może być postrzegany jako mapowanie między tymi rozmaitościami, a całkowite napięcie jest reprezentowane przez energię Dirichleta. Harmoniczność takiego odwzorowania oznacza, że przy dowolnym hipotetycznym sposobie fizycznego odkształcenia danego odcinka, napięcie (w funkcji czasu) ma pierwszą pochodną równą zeru w momencie rozpoczęcia odkształcania.

Teoria map harmonicznych została zapoczątkowana w 1964 roku przez Jamesa Eellsa i Josepha Sampsona , którzy wykazali, że w pewnych kontekstach geometrycznych dowolne mapy mogą zostać zdeformowane w mapy harmoniczne. Ich praca była inspiracją dla początkowej pracy Richarda Hamiltona nad przepływem Ricciego . Mapy harmoniczne i związana z nimi mapa harmoniczna przepływu ciepła , same w sobie, należą do najczęściej badanych tematów w dziedzinie analizy geometrycznej .

Odkrycie „bulgotania” sekwencji map harmonicznych, dokonane przez Jonathana Sacksa i Karen Uhlenbeck , miało szczególny wpływ, ponieważ ich analiza została dostosowana do wielu innych kontekstów geometrycznych. Warto zauważyć, że równoległe odkrycie przez Uhlenbecka bulgotania pól Yanga-Millsa jest ważne w Simona Donaldsona nad czterowymiarowymi rozmaitościami, a późniejsze odkrycie bulgotania krzywych pseudoholomorficznych przez Mikhaela Gromova jest znaczące w zastosowaniach do geometrii symplektycznej i kohomologii kwantowej . Techniki stosowane przez Richarda Schoena i Uhlenbecka do badania teorii regularności map harmonicznych były również inspiracją dla rozwoju wielu metod analitycznych w analizie geometrycznej.

Geometria odwzorowań między rozmaitościami

Tutaj geometria gładkiego odwzorowania między rozmaitościami riemannowskimi jest rozważana za pomocą współrzędnych lokalnych i równoważnie za pomocą algebry liniowej . Takie odwzorowanie definiuje zarówno pierwszą formę podstawową , jak i drugą formę podstawową. Laplace'a (nazywanego też polem napięciowym ) definiuje druga postać podstawowa, a jego zanik jest warunkiem harmoniczności mapy . Definicje rozciągają się bez modyfikacji na ustawienie rozmaitości pseudo-riemanna .

Współrzędne lokalne

Niech $U$ będzie podzbiorem otwartym $ℝ m$ i niech $V$ będzie podzbiorem otwartym $ℝ n$ . Dla każdego $i$ i $j$ między 1 a $n$ niech $g ij$ będzie gładką funkcją o wartościach rzeczywistych na U $,$ taką że dla każdego $p$ w $U$ , jeden ma macierz $m \times m$ $[g ij (p)]$ symetryczne i dodatnio określone . Dla każdego $α$ i $β$ między 1 a $m$ niech $h αβ$ będzie gładką funkcją o wartościach rzeczywistych na $V$ , taką, że dla każdego $q$ w $V$ , jeden ma macierz $n \times n$ $[h αβ (q)]$ jest symetryczna i dodatnia -określony. Oznacz macierze odwrotne przez $[g ij (str)]$ i $[h αβ (q)]$ .

Dla każdego $i, j, k$ między 1 a $n$ i każdego $α, β, γ$ między 1 a $m$ zdefiniuj symbole Christoffela $Γ (g) k ij : U \to ℝ$ i $Γ (h) γ αβ : V \to ℝ$ przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma (g) _ {ij} ^ {k} & = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {\ ell = 1} ^ {m} g ^ { k\ell }{\Duży (}{\frac {\częściowy g_{j\ell}}{\częściowy x^{i}}}+{\frac {\częściowy g_{i\ell }}{\częściowy x ^{j}}}-{\frac {\częściowe g_{ij}}{\częściowe x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta}^{ \gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Duży (}{\frac {\częściowe h_{\ beta \delta }}{\częściowy y^{\alpha }}}+{\frac {\częściowy h_ {\alpha \delta }}{\częściowy y^{\beta }}}-{\frac {\częściowy h_ {\alpha \beta}}{\częściowe y^{\delta}}}{\Duże)}\end{wyrównane}}}

Biorąc pod uwagę gładką mapę $f$ od $U$ do $V$ , jej druga podstawowa postać definiuje dla każdego $i$ i $j$ między 1 a $m$ i dla każdego $α$ między 1 a $n$ funkcję o wartościach rzeczywistych $\nabla (df) α ij$ na $U$ przez

{\ Displaystyle \ nabla (df) _ {ij} ^ {\ alfa} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f ^ {\ alfa}} {\ częściowe x ^ {i} \ częściowe x ^ {j} }}-\ suma _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\częściowa f^{\alpha}}{\częściowa x^{k}} }+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\częściowe f^{\beta}}{\częściowe x^{i}} }{\frac {\częściowe f^{\gamma}}{\częściowe x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma}^{\alpha}\circ f.}

Jego laplacian definiuje dla każdego $α$ między 1 a $n$ funkcję o wartościach rzeczywistych $(∆ f) α$ na $U$ przez

{\ Displaystyle (\ Delta f) ^ {\ alfa} = \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ suma _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} \ nabla (df) _ { ij}^{\alfa}.}

Formalizm wiązkowy

Niech $(M, g)$ i $(N, h)$ będą rozmaitościami Riemanna . Mając gładkie odwzorowanie $f$ od $M$ do $N , jego$ różniczkę $df$ można uznać za przekrój wiązki wektorów $T * M \otimes f * TN$ nad $M$ ; to znaczy, że dla każdego $p$ w $M$ , mamy liniowe odwzorowanie $df p$ między przestrzeniami stycznymi $T p M \to T f(p) N$ . Wiązka wektorów $T * M \otimes f * TN$ ma połączenie indukowane z połączeń Levi-Civita na $M$ i $N$ . Można więc wziąć pochodną kowariantną $\nabla(df)$ , która jest przekrojem wiązki wektorów $T * M \otimes T * M \otimes f * TN$ nad $M$ ; to znaczy, że dla każdego $p$ w $M$ , mamy dwuliniowe odwzorowanie $(\nabla(df)) p$ przestrzeni stycznych $T p M \times T p M \to T f(p) N$ . Ta sekcja jest znana jako hesja $f$ .

Używając $g$ , można prześledzić hesjan $f$ , aby dojść do laplace'a $f$ , który jest sekcją wiązki $f * TN$ nad $M$ ; to mówi $Tf, (p) N$ że laplacian $f$ przypisuje każdemu $p$ w $M$ element przestrzeni stycznej . Zgodnie z definicją operatora śladu, laplacian można zapisać jako

{\ Displaystyle (\ Delta f) _ {p} = \ suma _ {i = 1} ^ {m }{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})}

gdzie $e 1, ..., em jest$ dowolną $g p$ -ortonormalną bazą $T p M$ .

Energia Dirichleta i jej wzory wariacyjne

Z punktu widzenia współrzędnych lokalnych, jak podano powyżej, gęstość energii odwzorowania $f$ jest funkcją o wartościach rzeczywistych na $U$ określoną przez

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ suma _ {j = 1} ^ {m} \ suma _ {\ alfa = 1} ^ {n} \sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\częściowe f^{\alpha}}{\częściowe x^{i}}}{\frac {\częściowe f^{ \beta }}{\częściowe x^{j}}}(h_{\alpha \beta}\circ f).}

Alternatywnie, w formalizmie wiązek, metryki Riemanna na $M$ i $N$ indukują metrykę wiązki na $T * M \otimes f * TN$ , a więc gęstość energii można zdefiniować jako funkcję gładką $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1 / 2 | df | 2$ na $M.$ _ Można również uznać, że gęstość energii jest określona przez (połowę) $g$ pierwszej postaci podstawowej. Niezależnie od przyjętej perspektywy, gęstość energii $e (f)$ jest funkcją na $M$ , która jest gładka i nieujemna. Jeśli $M$ $jest$ zorientowane, a $M$ jest zwarte, energia Dirichleta f jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle E (f) = \ int _ {M} e (f) \ d \ mu _ {g}}

gdzie $dμ g$ jest formą objętości na $M$ indukowaną przez $g$ . Ponieważ każda nieujemna mierzalna funkcja ma dobrze zdefiniowaną całkę Lebesgue'a , nie jest konieczne wprowadzanie ograniczenia, że $M$ jest zwarty; jednak wtedy energia Dirichleta mogłaby być nieskończona.

Wzory wariacyjne na energię Dirichleta obliczają pochodne energii Dirichleta $E (f)$ , gdy odwzorowanie $f$ jest zdeformowane. W tym celu rozważmy jednoparametrową rodzinę odwzorowań $f s : M \to N$ z $0 f = f$ dla której istnieje prezwarty zbiór otwarty $K$ od $M$ taki, że $f s | M - K. = fa | M - K$ dla wszystkich $s$ ; zakłada się, że sparametryzowana rodzina jest gładka w tym sensie, że powiązane odwzorowanie $(-ε, ε) \times M \to N$ dane przez $(s, p) \mapsto f s (p)$ jest gładkie.

Pierwszy wzór wariacyjny mówi, że

{\ Displaystyle \ int _ {M} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy s}} {\ Duży |} _ {s = 0} e (f_ {s}) \, d \ mu _ {g} = -\int _{M}h\left({\frac {\częściowy}}{\częściowy s}}{\Duży |}_{s=0}f_{s},\Delta f\prawy)\,d\ mu _{g}}

Istnieje również wersja dla rozmaitości z granicą.

Istnieje również druga formuła wariacyjna.

Ze względu na pierwszy wzór na wariację, Laplace'a $f$ można traktować jako gradient energii Dirichleta; odpowiednio mapa harmoniczna jest punktem krytycznym energii Dirichleta. Można to zrobić formalnie w języku analizy globalnej i rozmaitościach Banacha .

Przykłady map harmonicznych

Niech $(M, g)$ i $(N, h)$ będą gładkimi rozmaitościami Riemanna. Notacja $g stan$ jest używana w odniesieniu do standardowej metryki Riemanna w przestrzeni euklidesowej.

Każda całkowicie geodezyjna mapa ( M , g ) → ( N , h ) jest harmoniczna; wynika to bezpośrednio z powyższych definicji. Jako przypadki szczególne:
- Dla dowolnego $q$ w $N$ mapa stałej $(M, g) \to (N, h)$ o wartości $q$ jest harmoniczna.
- Mapa tożsamości $(M, g) \to (M, g)$ jest harmoniczna.
Jeśli f : M → N jest zanurzeniem , to f : ( M , f ^* h ) → ( N , h ) jest harmoniczną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest minimalne względem h . W szczególnym przypadku:
- jeśli $f : ℝ \to (N, h)$ jest zanurzeniem ze stałą prędkością, to $f : ( ℝ, g stan) \to (N, h)$ jest harmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ rozwiązuje geodezyjne równanie różniczkowe.

Przypomnijmy, że jeśli

M

jest jednowymiarowe, to minimalność

f

jest równoważna temu , że

f

jest geodezyjne, chociaż nie oznacza to, że jest to parametryzacja ze stałą prędkością, a zatem nie oznacza, że

​​f

rozwiązuje geodezyjne równanie różniczkowe.

Gładkie odwzorowanie $f : (M, g) \to (ℝ n, g stan)$ jest harmoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy każda z jego $n$ funkcji składowych jest harmoniczna jako odwzorowania $(M, g) \to (ℝ, g stan)$ . Zbiega się to z pojęciem harmoniczności podanym przez operatora Laplace'a-Beltramiego .
Każda mapa holomorficzna między rozmaitościami Kählera jest harmoniczna.
Każdy morfizm harmoniczny między rozmaitościami riemannowskimi jest harmoniczny.

Harmoniczna mapa przepływu ciepła

Dobra postawa

Niech $(M, g)$ i $(N, h)$ będą gładkimi rozmaitościami Riemanna. Harmoniczna mapa przepływu ciepła w przedziale $(a, b)$ przypisuje każdemu $t$ w $(a, b)$ podwójnie różniczkowalną mapę $f t : M \to N$ w taki sposób, że dla każdego $p$ w $M$ mapa $(a, b) \to N$ dane przez $t \mapsto f t (p)$ jest różniczkowalne, a jego pochodna przy danej wartości $t$ jest, jako wektor w $T f t (p) N$ , równa $(∆ f t) p$ . Zwykle jest to skracane jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} = \ Delta f.}

Eells i Sampson wprowadzili harmoniczną mapę przepływu ciepła i udowodnili następujące podstawowe właściwości:

Prawidłowość. Każda mapa harmoniczna przepływu ciepła jest gładka jako mapa $(a, b) \times M \to N$ dana przez $(t, p) \mapsto f t (p)$ .

Załóżmy teraz, że $M$ jest rozmaitością zamkniętą i $(N, h)$ jest geodezyjnie zupełna.

Istnienie. Mając ciągle różniczkowalną mapę $f$ od $M$ do $N$ , istnieje liczba dodatnia $T$ i harmoniczna mapa przepływu ciepła $f t$ w przedziale $(0, T)$ taka, że $f t$ zbiega się do $f$ w topologii $C 1 , gdy$ $t$ maleje do 0 .
Wyjątkowość. Jeśli ${f t : 0 < t < T}$ i ${f t : 0 < t < T}$ są dwiema harmonicznymi mapami przepływów ciepła, jak w twierdzeniu o istnieniu, to $f t = f t$ zawsze, gdy $0 < t < min(T, T)$ .

W konsekwencji twierdzenia o jednoznaczności istnieje maksymalna mapa harmoniczna przepływu ciepła z danymi początkowymi $f$ , co oznacza, że mamy harmoniczną mapę przepływu ciepła ${f t : 0 < t < T}$ jak w stwierdzeniu twierdzenia o istnieniu, oraz jest jednoznacznie zdefiniowany na podstawie dodatkowego kryterium, że $T$ przyjmuje maksymalną możliwą wartość, która może być nieskończona.

Twierdzenie Eellsa i Sampsona

Podstawowy wynik artykułu Eellsa i Sampsona z 1964 r. Jest następujący:

Niech $(M, g)$ i $(N, h)$ będą gładkimi i zamkniętymi rozmaitościami Riemanna i załóżmy, że krzywizna przekroju $(N, h)$ nie jest dodatnia. Następnie dla dowolnej ciągłej różniczkowalnej mapy $f$ od $M$ do $N$ maksymalna mapa harmoniczna przepływu ciepła ${f t : 0 < t < T}$ z danymi początkowymi $f$ ma $T = \infty$ , a gdy $t$ wzrasta do $\infty$ , mapy $f t$ kolejno zbiegają się w topologii $C \infty$ do mapy harmonicznej.

W szczególności pokazuje to, że przy założeniach dotyczących $(M, g)$ i $(N, h)$ każda mapa ciągła jest homotopijna względem mapy harmonicznej. Samo istnienie mapy harmonicznej w każdej klasie homotopii, co jest implicite potwierdzone, jest częścią wyniku. Wkrótce po pracy Eellsa i Sampsona Philip Hartman rozszerzyli swoje metody o badanie jednoznaczności map harmonicznych w ramach klas homotopii, dodatkowo wykazując, że zbieżność w twierdzeniu Eellsa-Sampsona jest silna, bez konieczności wybierania podciągu. Wynik Eellsa i Sampsona został zaadaptowany przez Richarda Hamiltona do ustawienia problemu wartości brzegowych Dirichleta , kiedy $M$ jest zamiast tego zwarty z niepustą granicą.

Osobliwości i słabe rozwiązania

Przez wiele lat po pracy Eellsa i Sampsona nie było jasne, do jakiego stopnia założenie krzywizny przekroju dla $(N, h)$ było konieczne. Po pracach Kung-Ching Chang, Wei-Yue Ding i Rugang Ye w 1992 roku powszechnie przyjmuje się, że maksymalny czas istnienia harmonicznej mapy przepływu ciepła nie może „zwykle” być nieskończony. Ich wyniki zdecydowanie sugerują, że istnieją harmoniczne mapy przepływów ciepła z „wybuchem w skończonym czasie”, nawet gdy zarówno $(M, g),$ jak i $(N, h)$ są uważane za dwuwymiarową kulę z jej standardową metryką. Ponieważ eliptyczne i paraboliczne równania różniczkowe cząstkowe są szczególnie gładkie, gdy dziedzina jest dwuwymiarowa, wynik Chang-Ding-Ye jest uważany za wskazujący na ogólny charakter przepływu.

Wzorując się na fundamentalnych pracach Sacksa i Uhlenbecka, Michael Struwe rozważał przypadek, w którym nie przyjmuje się geometrycznego założenia dotyczącego $(N, h) .$ W przypadku, gdy $M$ jest dwuwymiarowe, ustalił bezwarunkowe istnienie i niepowtarzalność słabych rozwiązań harmonicznej mapy przepływu ciepła. Co więcej, odkrył, że jego słabe rozwiązania są gładkie od skończonej liczby punktów czasoprzestrzeni, w których koncentruje się gęstość energii. Na poziomach mikroskopowych przepływ w pobliżu tych punktów jest modelowany przez bańkę , tj. gładka mapa harmoniczna od okrągłej 2-sfery do celu. Weiyue Ding i Gang Tian byli w stanie udowodnić kwantyzację energii w pojedynczych momentach, co oznacza, że energia Dirichleta słabego rozwiązania Struwego w pojedynczym czasie spada dokładnie o sumę całkowitych energii Dirichleta bąbelków odpowiadających osobliwościom w tym czasie .

Struwe był później w stanie dostosować swoje metody do wyższych wymiarów, w przypadku gdy rozmaitość domeny jest przestrzenią euklidesową ; on i Yun Mei Chen rozważali również wielowymiarowe zamknięte rozmaitości . Ich wyniki osiągnęły mniej niż w małych wymiarach, będąc w stanie udowodnić istnienie słabych rozwiązań, które są gładkie na otwartych gęstych podzbiorach.

Wzór Bochnera i sztywność

Głównym punktem obliczeniowym w dowodzie twierdzenia Eellsa i Sampsona jest adaptacja wzoru Bochnera do wyznaczenia mapy harmonicznej przepływu ciepła ${f t : 0 < t < T}$ . Ta formuła mówi

{\ Displaystyle {\ Duży (} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} - \ Delta ^ {g} {\ Duży}} e (f) = - {\ duży |} \ nabla (df) { \big |}^{2}-{\big \langle }\nazwa_operatora {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\nazwa_operatora {scal} ^{ g}{\big (}f^{\ast}\operatorname {Rm} ^{h}{\big)}.}

Jest to również interesujące w analizie map harmonicznych. Załóżmy, że $f : M \to N$ jest harmoniczne; dowolna mapa harmoniczna może być postrzegana jako stałe w- $t$ rozwiązanie przepływu ciepła mapy harmonicznej, a więc z powyższego wzoru wynika, że

{\ Displaystyle \ Delta ^ {g} e (f) = {\ duży |} \ nabla (df) {\ duży |} ^ {2} + {\ duży \ langle} \ operatorname {Ric} ^ {g}, f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}

Jeśli krzywizna Ricciego g jest dodatnia, a krzywizna przekroju h jest niedodatnia $,$ to implikuje to, że $∆$ $e (f) jest$ nieujemne. Jeśli $M$ jest domknięte, to pomnożenie przez $e (f)$ i pojedyncze całkowanie przez części pokazuje, że $e (f)$ musi być stałe, a więc zerowe; stąd $f$ sama musi być stała. Richarda Schoena i Shing-Tung Yau zauważył, że to rozumowanie można rozszerzyć na niezwarte $M$ ograniczone przez $L2,$ wykorzystując twierdzenie Yau stwierdzające, że nieujemne funkcje podharmoniczne , które są , muszą być stałe. Podsumowując, zgodnie z tymi wynikami, mamy:

Niech $(M, g)$ i $(N, h)$ będą gładkimi i kompletnymi rozmaitościami riemannowskimi, a $f$ będzie odwzorowaniem harmonicznym od $M$ do $N$ . Załóżmy, że krzywizna Ricciego $g$ jest dodatnia, a krzywizna przekroju $h$ jest niedodatnia.

Jeśli zarówno $M ,$ jak i $N$ są domknięte, to $f$ musi być stałe.

Jeśli $N$ jest domknięte, a $f$ ma skończoną energię Dirichleta, to musi być stała.

W połączeniu z twierdzeniem Eellsa-Sampsona pokazuje to (na przykład), że jeśli $(M, g)$ jest zamkniętą rozmaitością Riemanna z dodatnią krzywizną Ricciego i $(N, h)$ jest zamkniętą rozmaitością Riemanna z niedodatnią krzywizną przekroju, to każda ciągła mapa od $M$ do $N$ jest homotopijna ze stałą.

Ogólny pomysł przekształcenia ogólnej mapy w mapę harmoniczną, a następnie pokazania, że każda taka mapa harmoniczna musi automatycznie należeć do wysoce ograniczonej klasy, znalazł wiele zastosowań. Na przykład Yum-Tong Siu znalazł ważną zespoloną analityczną wersję wzoru Bochnera, twierdząc, że mapa harmoniczna między rozmaitościami Kählera musi być holomorficzna, pod warunkiem, że rozmaitość docelowa ma odpowiednio ujemną krzywiznę. Jako zastosowanie, wykorzystując twierdzenie o istnieniu Eellsa-Sampsona dla map harmonicznych, był w stanie pokazać, że jeśli $(M, g)$ i $(N, h)$ są gładkimi i zamkniętymi rozmaitościami Kählera i jeśli krzywizna $(N, h)$ jest odpowiednio ujemna, to $M$ i $N$ muszą być biholomorficzne lub antybiholomorficzne, jeśli są względem siebie homotopiczne; biholomorfizm (lub anty-biholomorfizm) jest właśnie mapą harmoniczną utworzoną jako granica przepływu ciepła mapy harmonicznej z początkowymi danymi podanymi przez homotopię. Poprzez alternatywne sformułowanie tego samego podejścia Siu był w stanie udowodnić wariant wciąż nierozwiązanej hipotezy Hodge'a , aczkolwiek w ograniczonym kontekście ujemnej krzywizny.

Kevin Corlette znalazł znaczące rozszerzenie wzoru Bochnera Siu i użył go do udowodnienia nowych twierdzeń o sztywności dla sieci w pewnych grupach Liego . Następnie Michael Gromow i Richard Schoen rozszerzyli znaczną część teorii map harmonicznych, aby umożliwić zastąpienie $(N, h)$ przestrzenią metryczną . Rozszerzając twierdzenie Eellsa-Sampsona wraz z rozszerzeniem wzoru Siu – Corlette'a Bochnera, byli w stanie udowodnić nowe twierdzenia o sztywności dla krat.

Problemy i zastosowania

Wyniki istnienia na mapach harmonicznych między rozmaitościami mają konsekwencje dla ich krzywizny .
Kiedy istnienie jest znane, w jaki sposób można wyraźnie skonstruować mapę harmoniczną? (Jedna z owocnych metod wykorzystuje teorię twistora ).
W fizyce teoretycznej kwantowa teoria pola , której działanie określa energia Dirichleta , jest znana jako model sigma . W takiej teorii mapom harmonicznym odpowiadają momenty .
Jednym z oryginalnych pomysłów w metodach generowania siatek w obliczeniowej dynamice płynów i fizyce obliczeniowej było użycie mapowania konforemnego lub harmonicznego do generowania regularnych siatek.

Odwzorowania harmoniczne między przestrzeniami metrycznymi

Całkę energii można sformułować w słabszym ustawieniu dla funkcji u : M → N między dwiema przestrzeniami metrycznymi . Całka energii jest zamiast tego funkcją formy

{\ Displaystyle e _ {\ epsilon} (u) (x) = {\ Frac {\ int _ {M} d ^ {2} (u (x), u (y)} \ d \ mu _ {x} ^{\epsilon}(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon}(y)}}}

w którym μ
^ε_x jest rodziną miar dołączonych do każdego punktu M .

Zobacz też

Przepływ geometryczny

przypisy

Artykuły

Chang, Kung-Ching; Ding, Wei Yue; Tak, Rugang (1992). „Powiększenie w skończonym czasie przepływu ciepła map harmonicznych z powierzchni” . Dziennik geometrii różniczkowej . 36 (2): 507–515. doi : 10.4310/jdg/1214448751 . MR 1180392 . Zbl 0765.53026 .
Chen, Yun Mei; Struwe, Michael (1989). „Wyniki istnienia i częściowej prawidłowości przepływu ciepła dla map harmonicznych”. Mathematische Zeitschrift . 201 (1): 83–103. doi : 10.1007/BF01161997 . MR 0990191 . S2CID 11210055 . Zbl 0652.58024 .
Corlette, Kevin (1992). „Nadsztywność Archimedesa i geometria hiperboliczna”. Roczniki matematyki . Druga seria. 135 (1): 165–182. doi : 10.2307/2946567 . JSTOR 2946567 . MR 1147961 . Zbl 0768.53025 .
Ding, Weiyue; Tian, gang (1995). „Tożsamość energetyczna dla klasy przybliżonych map harmonicznych z powierzchni” . Komunikacja w analizie i geometrii . 3 (3–4): 543–554. doi : 10.4310/CAG.1995.v3.n4.a1 . MR 1371209 . Zbl 0855.58016 .
Eells, James Jr .; Sampson, JH (1964). „Odwzorowania harmoniczne rozmaitości riemannowskich”. American Journal of Mathematics . 86 (1): 109–160. doi : 10.2307/2373037 . JSTOR 2373037 . MR 0164306 . Zbl 0122.40102 .
Gromow, Michaił ; Schoen, Richard (1992). „Odwzorowania harmoniczne na przestrzenie osobliwe i supersztywność p-adyczna dla sieci w grupach rangi pierwszej” . Publikacje Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 76 : 165–246. doi : 10.1007/bf02699433 . MR 1215595 . S2CID 118023776 . Zbl 0896.58024 .
Hartman, Filip (1967). „Na homotopowych mapach harmonicznych”. Kanadyjski Dziennik Matematyki . 19 : 673–687. doi : 10.4153/cjm-1967-062-6 . MR 0214004 . S2CID 13381249 . Zbl 0148.42404 .
Jost, Jurgen (1994). „Mapy równowagi między przestrzeniami metrycznymi”. Rachunek wariacyjny i równania różniczkowe cząstkowe . 2 (2): 173–204. doi : 10.1007/BF01191341 . MR 1385525 . S2CID 122184265 . Zbl 0798.58021 .
Worki, J.; Uhlenbeck, K. (1981). „Istnienie minimalnych zanurzeń 2-sfer”. Roczniki matematyki . Druga seria. 113 (1): 1–24. doi : 10.2307/1971131 . JSTOR 1971131 . MR 0604040 . Zbl 0462.58014 .
Schoen, Ryszard ; Uhlenbeck, Karen (1982). „Teoria regularności dla map harmonicznych” . Dziennik geometrii różniczkowej . 17 (2): 307–335. doi : 10.4310/jdg/1214436923 . MR 0664498 . Zbl 0521.58021 . (Erratum: doi : 10.4310/jdg/1214437667 )
Schoen, Ryszard ; Uhlenbeck, Karen (1983). „Regularność granic i problem Dirichleta dla map harmonicznych” . Dziennik geometrii różniczkowej . 18 (2): 253–268. doi : 10.4310/jdg/1214437663 . MR 0710054 . Zbl 0547.58020 .
Schoen, Ryszard ; Yau, Shing Tung (1976). „Mapy harmoniczne i topologia stabilnych hiperpowierzchni i rozmaitości z nieujemną krzywizną Ricciego”. Commentarii Mathematici Helvetici . 51 (3): 333–341. doi : 10.1007/BF02568161 . MR 0438388 . S2CID 120845708 . Zbl 0361.53040 .
Siu, Yum Tong (1980). „Złożona analityczność map harmonicznych i duża sztywność zwartych rozmaitości Kählera”. Roczniki matematyki . Druga seria. 112 (1): 73–111. doi : 10.2307/1971321 . JSTOR 1971321 . MR 0584075 . Zbl 0517.53058 .
Struwe, Michael (1985). „O ewolucji odwzorowań harmonicznych powierzchni riemannowskich”. Commentarii Mathematici Helvetici . 60 (4): 558–581. doi : 10.1007/BF02567432 . MR 0826871 . S2CID 122295509 . Zbl 0595.58013 .
Struwe, Michael (1988). „O ewolucji map harmonicznych w wyższych wymiarach” . Dziennik geometrii różniczkowej . 28 (3): 485–502. doi : 10.4310/jdg/1214442475 . MR 0965226 . Zbl 0631.58004 .

Książki i ankiety

Aubin, Thierry (1998). Niektóre problemy nieliniowe w geometrii riemannowskiej . Monografie Springera z matematyki. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-13006-3 . ISBN 3-540-60752-8 . MR 1636569 . Zbl 0896.53003 .
Eells, James ; Lemaire, Luc (1983). Wybrane zagadnienia w mapach harmonicznych . Regionalna seria konferencji CBMS z matematyki. Tom. 50. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . doi : 10.1090/cbms/050 . ISBN 0-8218-0700-5 . MR 0703510 . Zbl 0515.58011 .
Eells, James ; Lemaire, Luc (1995). Dwa raporty o mapach harmonicznych . River Edge, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9789812832030 . ISBN 981-02-1466-9 . MR 1363513 . Zbl 0836.58012 . Składa się z przedruków:
- Eells, J .; Lemaire, L. (1978). „Raport o mapach harmonicznych”. Biuletyn Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 10 (1): 1–68. doi : 10.1112/blms/10.1.1 . MR 0495450 . Zbl 0401.58003 .
- Eells, J .; Lemaire, L. (1988). „Kolejny raport na temat map harmonicznych”. Biuletyn Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 20 (5): 385–524. doi : 10.1112/blms/20.5.385 . MR 0956352 . Zbl 0669.58009 .
Giaquinta Mariano ; Martinazzi, Luca (2012). Wprowadzenie do teorii regularności układów eliptycznych, map harmonicznych i grafów minimalnych . Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nowa seria). Tom. 11 (drugie wydanie oryginalnego wydania z 2005 r.). Pisa: Edizioni della Normale. doi : 10.1007/978-88-7642-443-4 . ISBN 978-88-7642-442-7 . MR 3099262 . Zbl 1262.35001 .
Hamilton, Richard S. (1975). Mapy harmoniczne rozmaitości z granicą . Notatki z wykładów z matematyki . Tom. 471. Berlin – Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0087227 . ISBN 978-3-540-07185-3 . MR 0482822 . Zbl 0308.35003 .
Hélein, Frédéric (2002). Mapy harmoniczne, prawa zachowania i ruchome klatki . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 150. Z przedmową Jamesa Eellsa (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1997 r.). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511543036 . ISBN 0-521-81160-0 . Zbl 1010.58010 .
Jost, Jurgen (1997). Krzywizna niedodatnia: aspekty geometryczne i analityczne . Wykłady z matematyki ETH Zürich. Bazylea: Birkhäuser Verlag . doi : 10.1007/978-3-0348-8918-6 . ISBN 3-7643-5736-3 . MR 1451625 . Zbl 0896.53002 .
Jost, Jurgen (2017). Geometria riemannowska i analiza geometryczna . Universitext (siódme wydanie oryginalnego wydania z 1995 r.). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3 . MR 3726907 . Zbl 1380.53001 .
Lin, Fanghua ; Wang, Changyou (2008). Analiza map harmonicznych i ich przepływów ciepła . Hackensack, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9789812779533 . ISBN 978-981-277-952-6 . MR 2431658 . Zbl 1203.58004 .
Schoen, R .; Yau, ST (1997). Wykłady z map harmonicznych . Materiały konferencyjne i notatki z wykładów z geometrii i topologii . Tom. 2. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-002-0 . MR 1474501 . Zbl 0886.53004 .
Szymon, Leon (1996). Twierdzenia o regularności i osobliwości przekształceń minimalizujących energię . Wykłady z matematyki ETH Zürich. Na podstawie notatek z wykładów Norberta Hungerbühlera. Bazylea: Birkhäuser Verlag . doi : 10.1007/978-3-0348-9193-6 . ISBN 3-7643-5397-X . MR 1399562 . Zbl 0864.58015 .
Yau, Shing Tung (1982). „Ankieta dotycząca równań różniczkowych cząstkowych w geometrii różniczkowej”. W Yau, Shing-Tung (red.). Seminarium na temat geometrii różniczkowej . Roczniki Studiów Matematycznych . Tom. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press . s. 3–71. doi : 10.1515/9781400881918-002 . ISBN 9781400881918 . MR 0645729 . Zbl 0478.53001 .

Linki zewnętrzne