Algebra liniowa

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej te trzy płaszczyzny reprezentują rozwiązania równań liniowych, a ich przecięcie reprezentuje zbiór wspólnych rozwiązań: w tym przypadku unikalny punkt. Niebieska linia to wspólne rozwiązanie dwóch z tych równań.

Algebra liniowa jest działem matematyki zajmującym się równaniami liniowymi takimi jak:

$\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = b,}$

mapy liniowe takie jak:

${\ Displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto a_ {1} x_ {1} + \cdots +a_{n}x_{n},}$

oraz ich reprezentacje w przestrzeniach wektorowych i poprzez macierze .

Algebra liniowa ma kluczowe znaczenie dla prawie wszystkich dziedzin matematyki. Na przykład algebra liniowa ma fundamentalne znaczenie we współczesnych prezentacjach geometrii , w tym do definiowania podstawowych obiektów, takich jak linie , płaszczyzny i obroty . Również analiza funkcjonalna , gałąź analizy matematycznej, może być postrzegana jako zastosowanie algebry liniowej do przestrzeni funkcji .

Algebra liniowa jest również wykorzystywana w większości nauk ścisłych i dziedzin inżynierii , ponieważ umożliwia modelowanie wielu zjawisk przyrodniczych i efektywne obliczanie za pomocą takich modeli. W przypadku systemów nieliniowych , których nie można modelować za pomocą algebry liniowej, jest często używany do radzenia sobie z przybliżeniami pierwszego rzędu , wykorzystując fakt, że różniczka funkcji wielowymiarowej w punkcie jest mapą liniową, która najlepiej przybliża funkcję w pobliżu tego punktu.

Historia

Zobacz także: Wyznacznik § Historia i eliminacja Gaussa § Historia

Procedura (przy użyciu prętów liczących) rozwiązywania jednoczesnych równań liniowych, nazywana obecnie eliminacją Gaussa, pojawia się w starożytnym chińskim tekście matematycznym Rozdział ósmy: Prostokątne tablice dziewięciu rozdziałów o sztuce matematycznej . Jego użycie jest zilustrowane w osiemnastu problemach, z dwoma do pięciu równań.

Układy równań liniowych powstały w Europie wraz z wprowadzeniem w 1637 r. przez René Descartesa współrzędnych w geometrii . W rzeczywistości w tej nowej geometrii, zwanej obecnie geometrią kartezjańską , linie i płaszczyzny są reprezentowane przez równania liniowe, a obliczanie ich przecięć jest równoznaczne z rozwiązywaniem układów równań liniowych.

Pierwsze systematyczne metody rozwiązywania układów liniowych wykorzystywały wyznaczniki i zostały po raz pierwszy rozważone przez Leibniza w 1693 r. W 1750 r. Gabriel Cramer użył ich do podania wyraźnych rozwiązań układów liniowych, zwanych obecnie regułą Cramera . Później Gauss dalej opisał metodę eliminacji, którą początkowo wymieniono jako postęp w geodezji .

W 1844 roku Hermann Grassmann opublikował swoją „Teorię rozszerzenia”, która zawierała fundamentalne nowe tematy tego, co dziś nazywa się algebrą liniową. W 1848 roku James Joseph Sylvester wprowadził termin matrix , który po łacinie oznacza macicę .

Algebra liniowa rozrosła się o idee zapisane na płaszczyźnie zespolonej . Na przykład dwie liczby w i z w mają różnicę w - z , a $.$ linii wz i 0 ( - z ) mają w tę samą długość i kierunek Segmenty są równorzędne . Czterowymiarowy system $_$ _ został zapoczątkowany w 1843 r. Termin wektor został wprowadzony jako v = x i + y j + z k reprezentujący punkt w przestrzeni. Różnica kwaternionów p – q daje również segment równy pq . Inne hiperzłożone systemy liczbowe również wykorzystywały ideę przestrzeni liniowej z podstawą .

Arthur Cayley wprowadził mnożenie macierzy i macierz odwrotną w 1856 roku, umożliwiając ogólną grupę liniową . Mechanizm reprezentacji grup stał się dostępny do opisu liczb zespolonych i hiperzłożonych. Co najważniejsze, Cayley użył pojedynczej litery do oznaczenia matrycy, traktując w ten sposób matrycę jako obiekt skupiony. Zdał sobie również sprawę z związku między macierzami a wyznacznikami i napisał: „Byłoby wiele rzeczy do powiedzenia na temat tej teorii macierzy, która, jak mi się wydaje, powinna poprzedzać teorię wyznaczników”.

Benjamin Peirce opublikował swoją algebrę liniową asocjacyjną (1872), a jego syn Charles Sanders Peirce później rozszerzył tę pracę.

Telegraf wymagał systemu wyjaśniającego, a publikacja Traktatu o elektryczności i magnetyzmie z 1873 r . Ustanowiła polową teorię sił i wymagała wyrażenia w geometrii różniczkowej . Algebra liniowa jest płaską geometrią różniczkową i służy w przestrzeniach stycznych do rozmaitości . Symetrie elektromagnetyczne czasoprzestrzeni są wyrażane przez transformacje Lorentza , a znaczna część historii algebry liniowej to historia transformacji Lorentza .

Pierwszą nowoczesną i dokładniejszą definicję przestrzeni wektorowej wprowadził Peano w 1888 roku; do 1900 roku pojawiła się teoria liniowych przekształceń skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych. Algebra liniowa przybrała współczesną formę w pierwszej połowie XX wieku, kiedy wiele idei i metod z poprzednich stuleci zostało uogólnionych jako algebra abstrakcyjna . Rozwój komputerów doprowadził do wzmożonych badań nad wydajnymi algorytmami eliminacji Gaussa i dekompozycji macierzy, a algebra liniowa stała się podstawowym narzędziem do modelowania i symulacji.

Przestrzenie wektorowe

Główny artykuł: Przestrzeń wektorowa

Do XIX wieku algebra liniowa była wprowadzana poprzez układy równań liniowych i macierze . We współczesnej matematyce generalnie preferowana jest prezentacja za pomocą przestrzeni wektorowych , ponieważ jest bardziej syntetyczna , bardziej ogólna (nie ograniczająca się do przypadku skończonych wymiarów) i koncepcyjnie prostsza, chociaż bardziej abstrakcyjna.

Przestrzeń wektorowa nad ciałem F (często ciałem liczb rzeczywistych ) to zbiór V wyposażony w dwie operacje binarne spełniające następujące aksjomaty . Elementy V nazywane są wektorami , a elementy F skalarami . Pierwsza operacja, dodawanie wektorów , bierze dowolne dwa wektory v i w i wyprowadza trzeci wektor v + w . Druga operacja, wektor av mnożenie przez skalar , bierze dowolny skalar a i dowolny wektor v i daje w wyniku nowy . Aksjomaty, które muszą spełniać dodawanie i mnożenie przez skalar, są następujące. Na poniższej liście u , v i w są dowolnymi elementami V , a aib są dowolnymi skalarami w polu F .)

Aksjomat	Znaczenie
Asocjatywność dodawania	u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Przemienność dodawania	u + v = v + u
Element tożsamości dodawania	0 Istnieje element w V , zwany wektorem zerowym (lub po prostu zero ), taki, że 0 v + = v dla wszystkich v w V .
Elementy odwrotne dodawania	Dla każdego v w V istnieje element − v w V , zwany addytywną odwrotnością v , taki że v + (− v ) = 0
Dystrybucja mnożenia przez skalar ze względu na dodawanie wektorów	za ( u + v ) = za u + za v
Dystrybucja mnożenia przez skalar ze względu na dodawanie pól	( za + b ) v = za v + b v
Zgodność mnożenia przez skalar z mnożeniem przez ciała	za ( b v ) = ( ab ) v
Element tożsamościowy mnożenia przez skalar	1 v = v , gdzie 1 oznacza multiplikatywną tożsamość F .

Pierwsze cztery aksjomaty oznaczają, że V jest dodawaną grupą abelową .

Element określonej przestrzeni wektorowej może mieć różny charakter; na przykład może to być sekwencja , funkcja , wielomian lub macierz . Algebra liniowa dotyczy tych właściwości takich obiektów, które są wspólne dla wszystkich przestrzeni wektorowych.

Mapy liniowe

Główny artykuł: Mapa liniowa

Mapy liniowe to odwzorowania między przestrzeniami wektorowymi, które zachowują strukturę przestrzeni wektorowej. Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie wektorowe V i W nad polem F , mapa liniowa (zwana także w niektórych kontekstach transformacją liniową lub mapowaniem liniowym) jest mapą

${\ Displaystyle T: V \ do W}$

to znaczy zgodne z dodawaniem i mnożeniem przez skalar

${\ Displaystyle T (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) = T (\ mathbf {u} )+T(\mathbf {v} ),\quad T(a\mathbf {v} )=aT(\mathbf {v} )}$

dla dowolnych wektorów u , v w V i skalarnego a w F .

Oznacza to, że dla dowolnych wektorów u , v w V i skalarów a , b w F , mamy

${\ Displaystyle T (a \ mathbf {u} + b \ mathbf {v} )=T(a\mathbf {u} )+T(b\mathbf {v} )=aT(\mathbf {u} )+bT(\mathbf {v} )}$

Gdy V = W są tą samą przestrzenią wektorową, mapa liniowa T : V → V jest również znana jako operator liniowy na V .

Bijektywna mapa liniowa między dwiema przestrzeniami wektorowymi (to znaczy, że każdy wektor z drugiej przestrzeni jest powiązany z dokładnie jednym wektorem z pierwszej) jest izomorfizmem . Ponieważ izomorfizm zachowuje strukturę liniową, dwie izomorficzne przestrzenie wektorowe są „zasadniczo takie same” z punktu widzenia algebry liniowej w tym sensie, że nie można ich rozróżnić za pomocą właściwości przestrzeni wektorowej. Podstawową kwestią w algebrze liniowej jest sprawdzenie, czy mapa liniowa jest izomorfizmem, czy nie, a jeśli nie jest izomorfizmem, znalezienie jej zakresu (lub obraz) oraz zbiór elementów, które są odwzorowane na wektor zerowy, zwany jądrem mapy . Wszystkie te pytania można rozwiązać za pomocą eliminacji Gaussa lub innego wariantu tego algorytmu .

Podprzestrzenie, rozpiętość i podstawa

Główne artykuły: Podprzestrzeń liniowa , Rozpiętość liniowa i Podstawa (algebra liniowa)

Badanie tych podzbiorów przestrzeni wektorowych, które same w sobie są przestrzeniami wektorowymi pod wpływem operacji indukowanych, jest fundamentalne, podobnie jak w przypadku wielu struktur matematycznych. Te podzbiory nazywane są podprzestrzeniami liniowymi . Dokładniej, liniowa podprzestrzeń przestrzeni wektorowej V nad ciałem F jest podzbiorem W z V takim, że u + v i a u są w W , dla każdego u , v w W i każdego w F. _ _ (Warunki te wystarczą, aby zasugerować, że W jest przestrzenią wektorową).

0 Na przykład, biorąc pod uwagę liniową mapę T : V → W , obraz T ( V ) V i odwrotny obraz 0 T ^-1 ( ) (nazywany jądrem lub przestrzenią zerową ) są liniowymi podprzestrzeniami W i V , odpowiednio.

Innym ważnym sposobem tworzenia podprzestrzeni jest rozważenie liniowych kombinacji zbioru S wektorów: zbioru wszystkich sum

${\ Displaystyle a_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + a_ {2} \ mathbf {v} _ {2} + \ cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k},}$

gdzie v ₁ , v ₂ , ..., v _k są w S , a a 1 _, a 2 _, ..., a _k są w F tworzą podprzestrzeń liniową zwaną rozpiętością S . Rozpiętość S jest również przecięciem wszystkich liniowych podprzestrzeni zawierających S . Innymi słowy, jest to najmniejsza (dla relacji inkluzji) liniowa podprzestrzeń zawierająca S .

Zbiór wektorów jest liniowo niezależny , jeśli żaden nie znajduje się w rozpiętości pozostałych. Równoważnie, zbiór S wektorów jest liniowo niezależny, jeśli jedynym sposobem wyrażenia wektora zerowego jako liniowej kombinacji elementów S jest przyjęcie zera dla każdego współczynnika a _i .

Zbiór wektorów obejmujący przestrzeń wektorową nazywany jest zbiorem rozpinającym lub zbiorem generującym . Jeśli zbiór obejmujący S jest liniowo zależny (czyli nie jest liniowo niezależny), to jakiś element w z S jest w rozpiętości innych elementów S , a rozpiętość pozostałaby taka sama, gdyby usunąć w z S . Można kontynuować usuwanie elementów S , aż do uzyskania liniowo niezależnego zbioru rozpinającego . Taki liniowo niezależny zbiór, który obejmuje przestrzeń wektorową V , nazywamy bazą V . Znaczenie baz polega na tym, że są one jednocześnie minimalnymi zespołami prądotwórczymi i maksymalnymi niezależnymi zespołami. Dokładniej, jeśli S jest zbiorem liniowo niezależnym, a T jest zbiorem rozpinającym takim, że S ⊆ T , to istnieje baza B taka, że ​​S ⊆ B ⊆ T .

Dowolne dwie podstawy przestrzeni wektorowej V mają tę samą liczność , którą nazywamy wymiarem V ; to jest twierdzenie o wymiarach dla przestrzeni wektorowych . Ponadto dwie przestrzenie wektorowe nad tym samym ciałem F są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.

Jeśli jakakolwiek baza V (a zatem każda baza) ma skończoną liczbę elementów, V jest skończoną przestrzenią wektorową . Jeśli U jest podprzestrzenią V , to dim U ≤ dim V . W przypadku, gdy V jest skończonym wymiarem, równość wymiarów implikuje U = V .

Jeśli U ₁ i U ₂ są podprzestrzeniami V , to

${\ Displaystyle \ ciemny (U_ {1} + U_ {2}) = \ ciemny U_ {1}+\dim U_{2}-\dim(U_{1}\cap U_{2}),}$

gdzie U ₁ + U ₂ oznacza rozpiętość U ₁ ∪ U ₂ .

macierze

Główny artykuł: Matrix (matematyka)

Macierze umożliwiają jawną manipulację skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi i mapami liniowymi . Ich teoria jest zatem zasadniczą częścią algebry liniowej.

Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem F , a ( v ₁ , v ₂ , ..., v _m ) będzie bazą V (więc m jest wymiarem V ). Z definicji baza, mapa

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (a_ {1}, \ ldots, a_ {m}) i \ mapsto a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots a_{m}\mathbf {v} _{m}\\F^{m}&\do V\end{wyrównane}}}$

jest bijekcją z F ^m , zbioru sekwencji m elementów F , na V . Jest to izomorfizm przestrzeni wektorowych, jeśli F ^m jest wyposażona w swoją standardową strukturę przestrzeni wektorowej, gdzie dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są wykonywane składnik po składniku.

Izomorfizm ten umożliwia reprezentację wektora przez jego odwrotny obraz pod tym izomorfizmem, czyli przez wektor współrzędnych ( a ₁ , ..., a _m ) lub macierz kolumnową

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {m} \ koniec {bmatrix}}.}$

Jeśli W jest inną skończenie wymiarową przestrzenią wektorową (prawdopodobnie taką samą), z bazą ( w ₁ , ..., w _n ) , liniowa mapa f od W do V jest dobrze zdefiniowana przez jej wartości na elementach bazowych, to znaczy ( fa ( w ₁ ), ..., fa ( w _n )) . Zatem f jest dobrze reprezentowana przez listę odpowiednich macierzy kolumn. To znaczy, jeśli

${\ Displaystyle f (w_ {j}) = a_ {1, j} v_ {1} + \ cdots + a_ {m ,j}v_{m},}$

dla j = 1, ..., n , wtedy f jest reprezentowane przez macierz

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a_ {1,1} & \ cdots & a_ {1, n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}},}$

z m wierszy i n kolumn.

Mnożenie macierzy definiuje się w ten sposób, że iloczyn dwóch macierzy jest macierzą złożenia odpowiednich odwzorowań liniowych, a iloczyn macierzy i macierzy kolumnowej jest macierzą kolumnową reprezentującą wynik zastosowania reprezentowanej mapy liniowej do reprezentowany wektor. Wynika z tego, że teoria skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych i teoria macierzy to dwa różne języki do wyrażania dokładnie tych samych pojęć.

Dwie macierze, które kodują tę samą transformację liniową w różnych bazach, nazywamy podobnymi . Można udowodnić, że dwie macierze są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy jedną można przekształcić w drugą za pomocą elementarnych operacji na wierszach i kolumnach . W przypadku macierzy reprezentującej mapę liniową od W do V operacje na wierszach odpowiadają zmianie podstaw w V , a operacje na kolumnach odpowiadają zmianie podstaw w W. Każda macierz jest podobna do macierzy tożsamości ewentualnie ograniczone przez zero wierszy i zero kolumn. Jeśli chodzi o przestrzenie wektorowe, oznacza to, że dla dowolnego odwzorowania liniowego od W do V istnieją takie bazy, że część podstawy W jest odwzorowywana bijektywnie na część bazy V i że pozostałe elementy bazowe W , jeśli istnieją, są odwzorowywane na zero. Eliminacja Gaussa jest podstawowym algorytmem znajdowania tych elementarnych operacji i udowadniania tych wyników.

Systemy liniowe

Główny artykuł: Układ równań liniowych

Skończony zestaw równań liniowych w skończonym zbiorze zmiennych, na przykład x ₁ , x ₂ , ..., x _n , lub x , y , ..., z nazywany jest układem równań liniowych lub układem liniowym .

Układy równań liniowych stanowią podstawową część algebry liniowej. Historycznie rzecz biorąc, do rozwiązywania takich systemów opracowano algebrę liniową i teorię macierzy. We współczesnej prezentacji algebry liniowej poprzez przestrzenie wektorowe i macierze wiele problemów można interpretować w kategoriach systemów liniowych.

Na przykład niech

$= \;&&-11\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3\end{wyrównanydat}}}$

 

 

 

 

()

być układem liniowym.

Do takiego systemu można przypisać jego macierz

${\ Displaystyle M = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {rr} 2 i 1 i -1 \\ -3 i -1 i 2 \\ -2 i 1 i 2 \ koniec {tablica}} \ w prawo].}$

i jego prawego wektora członkowskiego

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ rozpocząć {bmatrix} 8 \\ -11 \\ -3 \ koniec {bmatrix}}.}$

Niech T będzie transformacją liniową powiązaną z macierzą M . Rozwiązaniem układu ( S ) jest wektor

${\ Displaystyle \ mathbf {X} = {\ rozpocząć {bmatrix} x \\ y \\ z \ koniec {bmatrix}}}$

takie że

${\ Displaystyle T (\ mathbf {X}) = \ mathbf {v},}$

jest element preobrazu v przez T .

Niech ( S′ ) będzie skojarzonym układem jednorodnym , w którym prawe strony równań są zerowane:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane dat} {7} 2x &&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&& \;=\;&&0\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&0 \end{wyrównanydat}}}$

 

 

 

 

()

Rozwiązania ( S ′ ) są dokładnie elementami jądra T lub równoważnie M .

Eliminacja Gaussa polega na wykonywaniu elementarnych operacji na wierszach na rozszerzonej macierzy

${\ Displaystyle \ lewo [\! {\ rozpocząć {tablica} {c | c} M & \ mathbf {v} \end{tablica}}\!\right]=\left[{\begin{tablica}{rrrr|r}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{tablica}}\ Prawidłowy]}$

za umieszczenie go w formie schodkowej o zredukowanym rzędzie . Te operacje na wierszach nie zmieniają zbioru rozwiązań układu równań. W przykładzie zredukowana forma schodkowa to

${\ Displaystyle \ lewo [\! {\ rozpocząć {tablica} {c | c} M & \ mathbf {v} \ koniec {tablica}} \! \ prawo ]=\left[{\begin{tablica}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{tablica}}\right],}$

pokazując, że system ( S ) ma unikalne rozwiązanie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = 2 \\ y & = 3 \\ z & = - 1. \ koniec {wyrównane}}}$

Z tej macierzowej interpretacji układów liniowych wynika, że ​​te same metody można zastosować do rozwiązywania układów liniowych oraz do wielu operacji na macierzach i przekształceń liniowych, które obejmują obliczanie rang , jąder , odwrotności macierzy .

Endomorfizmy i macierze kwadratowe

Główny artykuł: macierz kwadratowa

Endomorfizm liniowy to mapa liniowa, która odwzorowuje na siebie przestrzeń wektorową V. Jeśli V ma podstawę n elementów, taki endomorfizm jest reprezentowany przez macierz kwadratową o rozmiarze n .

W odniesieniu do ogólnych map liniowych, endomorfizmy liniowe i macierze kwadratowe mają pewne specyficzne właściwości, które sprawiają, że ich badanie jest ważną częścią algebry liniowej, która jest używana w wielu częściach matematyki, w tym w transformacjach geometrycznych, zmianach współrzędnych, formach kwadratowych i wielu innych częściach matematyki.

Wyznacznik

Główny artykuł: wyznacznik

Wyznacznikiem kwadratowej macierzy A jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} (-1) ^ {\ sigma} a_ {1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},}$

gdzie S _n jest grupą wszystkich permutacji n elementów , σ jest permutacją, a (−1) ^σ parzystością permutacji . Macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jest odwracalny (tj. niezerowy, jeśli skalary należą do ciała).

Reguła Cramera jest wyrażeniem w postaci zamkniętej , pod względem wyznaczników, rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi . Reguła Cramera jest przydatna do wnioskowania o rozwiązaniu, ale z wyjątkiem n = 2 lub 3 jest rzadko używana do obliczania rozwiązania, ponieważ eliminacja Gaussa jest szybszym algorytmem.

Wyznacznik endomorfizmu jest wyznacznikiem macierzy reprezentującej endomorfizm w kategoriach jakiejś uporządkowanej podstawy. Ta definicja ma sens, ponieważ wyznacznik ten jest niezależny od wyboru podstawy.

Wartości własne i wektory własne

Główny artykuł: Wartości własne i wektory własne

Jeśli f jest liniowym endomorfizmem przestrzeni wektorowej V nad ciałem F , wektor własny f jest niezerowym wektorem v od V takim, że f ( v ) = av dla pewnego skalara a w F . Ten skalar a jest wartością własną f .

Jeśli wymiar V jest skończony i wybrano podstawę, f i v mogą być reprezentowane odpowiednio przez macierz kwadratową M i macierz kolumnową z ; staje się równanie definiujące wektory własne i wartości własne

${\ displaystyle Mz = az.}$

Używając macierzy tożsamości I , której wszystkie wpisy są zerowe, z wyjątkiem tych na głównej przekątnej, które są równe jeden, można to przepisać

${\ Displaystyle (MaI) z = 0.}$

Ponieważ z ma być niezerowe, oznacza to, że M – aI jest macierzą osobliwą , a zatem jej wyznacznik det ( M − aI ) jest równy zeru. Wartości własne są zatem pierwiastkami wielomianu

${\ Displaystyle \ det (xI-M).}$

Jeśli V ma wymiar n , jest to wielomian moniczny stopnia n , zwany wielomianem charakterystycznym macierzy (lub endomorfizmu) i istnieje co najwyżej n wartości własnych.

Jeśli istnieje baza, która składa się tylko z wektorów własnych, macierz f na tej podstawie ma bardzo prostą strukturę: jest to macierz diagonalna , w której wpisy na głównej przekątnej są wartościami własnymi, a pozostałe wpisy są zerami. W tym przypadku mówi się, że endomorfizm i macierz są diagonalizowalne . Mówiąc bardziej ogólnie, mówi się, że endomorfizm i macierz są również diagonalizowalne, jeśli stają się diagonalizowalne po rozszerzeniu pola skalarów. W tym rozszerzonym sensie, jeśli charakterystyczny wielomian jest wolny od kwadratów , to macierz jest diagonalizowalna.

Macierz symetryczna jest zawsze diagonalizowalna. Istnieją macierze niediagonalizowalne, z których najprostsza jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

(nie może być diagonalizowalna, ponieważ jej kwadrat jest macierzą zerową , a kwadrat niezerowej macierzy diagonalnej nigdy nie jest zerem).

Kiedy endomorfizm nie jest diagonalizowalny, istnieją podstawy, na których ma on prostą formę, chociaż nie tak prostą jak forma diagonalna. Postać normalna Frobeniusa nie wymaga rozszerzania pola skalarów i umożliwia natychmiastowy odczyt wielomianu charakterystycznego na macierzy. Postać normalna Jordana wymaga rozszerzenia pola skalara, aby zawierało wszystkie wartości własne, i różni się od postaci diagonalnej tylko niektórymi wpisami, które znajdują się tuż nad główną przekątną i są równe 1.

Dwoistość

Główny artykuł: Podwójna przestrzeń

Postać liniowa to mapa liniowa z przestrzeni wektorowej V nad polem F do pola skalarów F , widziana jako przestrzeń wektorowa nad sobą. Wyposażone w punktowe dodawanie i mnożenie przez skalar, formy liniowe tworzą przestrzeń wektorową, zwaną przestrzenią dualną V i zwykle oznaczaną jako V* lub V ′ .

Jeśli v ₁ , ..., v _n jest bazą V (implikuje to, że V jest skończonym wymiarem), to można zdefiniować, dla i = 1, ..., n , liniowe odwzorowanie v _i * takie, że v _ja *( v _ja ) = 1 i v _ja *( v _jot ) = 0 jeśli jot ≠ ja . Te mapy liniowe tworzą podstawę V * , zwaną podwójną bazą v ₁ , ..., v _n . (Jeśli V nie jest skończonym wymiarem, v _i * można zdefiniować podobnie; są one liniowo niezależne, ale nie tworzą bazy).

Dla v w V mapa

${\ Displaystyle f \ do f (\ mathbf {v})}$

jest postacią liniową na V* . To definiuje kanoniczną mapę liniową od V do ( V * * ) , dualną V* , zwaną bidualną V . Ta mapa kanoniczna jest izomorfizmem , jeśli V jest skończonym wymiarem, co pozwala na identyfikację V z jego bidualem. (W przypadku nieskończoności wymiarowej mapa kanoniczna jest iniekcyjna, ale nie surjektywna).

Istnieje zatem pełna symetria między skończenie wymiarową przestrzenią wektorową a jej dualnością. Motywuje to do częstego używania w tym kontekście notacji bra-ket

${\ Displaystyle \ langle f, \ mathbf {x} \ rangle}$

dla oznaczenia f ( x ) .

Podwójna mapa

Główny artykuł: Transpozycja mapy liniowej

Pozwalać

${\ Displaystyle f: V \ do W}$

być mapą liniową. Dla każdej postaci liniowej h na W funkcja złożona h ∘ f jest postacią liniową na V . To definiuje mapę liniową

${\ Displaystyle f ^ {*}: W ^ {*} \ do V ^ {*}}$

między przestrzeniami dualnymi, co nazywa się dualnością lub transpozycją f .

Jeśli V i W są skończonymi wymiarami, a M jest macierzą f pod względem pewnych uporządkowanych podstaw, to macierz f* na podwójnych podstawach jest transpozycją M T ^M , otrzymaną przez zamianę wierszy i kolumn.

Jeśli elementy przestrzeni wektorowych i ich liczby podwójne są reprezentowane przez wektory kolumnowe, dualność tę można wyrazić w notacji nawiasowej przez

${\ Displaystyle \ langle h ^ {\ mathsf {T}}, M \ mathbf {v} \ rangle = \ langle h ^ {\ mathsf {T}} M, \ mathbf {v} \ rangle.}$

Aby podkreślić tę symetrię, czasami zapisuje się dwóch członków tej równości

${\ Displaystyle \ langle h ^ {\ mathsf {T}} \ mid M \ mid \ mathbf {v} \ rangle.}$

Przestrzenie produktu wewnętrznego

Główny artykuł: Wewnętrzna przestrzeń produktu

Oprócz tych podstawowych pojęć, algebra liniowa bada również przestrzenie wektorowe z dodatkową strukturą, taką jak iloczyn wewnętrzny . Iloczyn wewnętrzny jest przykładem formy dwuliniowej i nadaje przestrzeni wektorowej strukturę geometryczną, umożliwiając zdefiniowanie długości i kątów. Formalnie produktem wewnętrznym jest mapa

${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle: V \ razy V \ do F}$

który spełnia następujące trzy aksjomaty dla wszystkich wektorów u , v , w w V i wszystkich skalarów a w F :

• sprzężona :

  ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {u} \ mathbf {v} \ rangle = {\ overline {\ langle \ mathbf {v} \ mathbf {u} \ rangle}}.} W R {\ Displaystyle$

\ ${ R} }$ , jest symetryczny.

• Liniowość w pierwszym argumencie:

  ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ langle a \ mathbf {u} \ mathbf {v} \ rangle & = a \ langle \ mathbf {u} \ mathbf {v} \ rangle . \\\ langle \ mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle &=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle .\end{wyrównane}}}$

• Pozytywna określoność :

  ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {v} \ rangle \ geq 0}$

z równością tylko dla v = 0 .

Możemy zdefiniować długość wektora v w V przez

${\ Displaystyle \|\ mathbf {v} \|^ {2} = \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle,}$

i możemy udowodnić nierówność Cauchy'ego-Schwarza :

${\ Displaystyle |\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle |\ równoważnik \|\ mathbf {u} \|\ cdot \|\ mathbf {v} \|.}$

W szczególności ilość

${\ Displaystyle {\ Frac {|\ langle \ mathbf {u} \ mathbf {v} \ rangle |} {\|\ mathbf {u} \|\ cdot \|\ mathbf {v} \|}}\równik 1,}$

więc możemy nazwać tę wielkość cosinusem kąta między dwoma wektorami.

Dwa wektory są ortogonalne, jeśli ⟨ u , v ⟩ = 0 . Baza ortonormalna to baza, w której wszystkie wektory bazowe mają długość 1 i są do siebie ortogonalne. Biorąc pod uwagę dowolną skończenie wymiarową przestrzeń wektorową, podstawę ortonormalną można znaleźć za pomocą Grama – Schmidta . Bazy ortonormalne są szczególnie łatwe w obsłudze, ponieważ jeśli v = a ₁ v ₁ + ⋯ + a _n v _n , to

${\ Displaystyle a_ {i} = \ langle \ mathbf {v} \ mathbf {v} _ {i} \ rangle.}$

Produkt wewnętrzny ułatwia konstruowanie wielu przydatnych koncepcji. Na przykład, mając transformatę T , możemy zdefiniować jej hermitowski koniugat T* jako satysfakcjonującą transformację liniową

${\ Displaystyle \ langle T \ mathbf {u} \ mathbf {v} \ rangle = \ langle \ mathbf {u}, T ^ {*} \ mathbf {v} \ rangle.}$

Jeśli T spełnia TT* = T*T , nazywamy T normalnym . Okazuje się, że macierze normalne to dokładnie te macierze, które mają ortonormalny układ wektorów własnych obejmujących V .

Związek z geometrią

Istnieje silny związek między algebrą liniową a geometrią , który rozpoczął się wraz z wprowadzeniem przez René Descartesa w 1637 r. współrzędnych kartezjańskich . W tej nowej (wówczas) geometrii, zwanej teraz geometrią kartezjańską , punkty są reprezentowane przez współrzędne kartezjańskie , które są sekwencjami trzech liczb rzeczywistych (w przypadku zwykłej przestrzeni trójwymiarowej ). Podstawowe obiekty geometrii, którymi są linie i płaszczyzny są reprezentowane przez równania liniowe. Zatem obliczanie przecięć prostych i płaszczyzn sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. To była jedna z głównych motywacji do opracowania algebry liniowej.

Większość transformacji geometrycznych , takich jak translacje , obroty , odbicia , ruchy sztywne , izometrie i projekcje , przekształca linie w linie. Wynika z tego, że można je definiować, wyszczególniać i badać w kategoriach map liniowych. Tak jest również w przypadku homografii i transformacji Möbiusa , gdy są traktowane jako transformacje przestrzeni rzutowej .

Do końca XIX wieku przestrzenie geometryczne definiowano za pomocą aksjomatów odnoszących się do punktów, linii i płaszczyzn ( geometria syntetyczna ). Mniej więcej w tym czasie okazało się, że można również definiować przestrzenie geometryczne za pomocą konstrukcji obejmujących przestrzenie wektorowe (patrz na przykład Przestrzeń rzutowa i Przestrzeń afiniczna ). Wykazano, że oba podejścia są zasadniczo równoważne. W geometrii klasycznej zaangażowane przestrzenie wektorowe są przestrzeniami wektorowymi nad liczbami rzeczywistymi, ale konstrukcje można rozszerzyć na przestrzenie wektorowe nad dowolnym polem, co pozwala na rozważenie geometrii na dowolnych polach, w tym pola skończone .

Obecnie większość podręczników wprowadza przestrzenie geometryczne z algebry liniowej, a geometria jest często przedstawiana na poziomie elementarnym jako poddziedzina algebry liniowej.

Użycie i aplikacje

Algebra liniowa jest używana w prawie wszystkich dziedzinach matematyki, dzięki czemu jest odpowiednia w prawie wszystkich dziedzinach nauki wykorzystujących matematykę. Aplikacje te można podzielić na kilka szerokich kategorii.

Geometria przestrzeni otaczającej

Modelowanie przestrzeni otaczającej opiera się na geometrii . Nauki zajmujące się tą przestrzenią szeroko wykorzystują geometrię. Tak jest w przypadku mechaniki i robotyki do opisu dynamiki brył sztywnych ; geodezja do opisu kształtu Ziemi ; perspektywa , widzenie komputerowe i grafika komputerowa do opisu relacji między sceną a jej reprezentacją na płaszczyźnie; i wielu innych dziedzin nauki.

We wszystkich tych zastosowaniach geometria syntetyczna jest często używana do ogólnych opisów i podejścia jakościowego, ale do badania wyraźnych sytuacji należy wykonywać obliczenia ze współrzędnymi . Wymaga to intensywnego użycia algebry liniowej.

Analiza funkcjonalna

Analiza funkcjonalna bada przestrzenie funkcyjne . Są to przestrzenie wektorowe z dodatkową strukturą, jak np. przestrzenie Hilberta . Algebra liniowa jest zatem podstawową częścią analizy funkcjonalnej i jej zastosowań, do których należy w szczególności mechanika kwantowa ( funkcje falowe ).

Badanie systemów złożonych

Zobacz też: Złożony system

Większość zjawisk fizycznych modeluje się za pomocą równań różniczkowych cząstkowych . Aby je rozwiązać, zwykle rozkłada się przestrzeń, w której szuka się rozwiązań, na małe, wzajemnie oddziałujące komórki . W przypadku układów liniowych ta interakcja obejmuje funkcje liniowe . W przypadku systemów nieliniowych interakcja ta jest często aproksymowana za pomocą funkcji liniowych. Nazywa się to modelem liniowym lub przybliżeniem pierwszego rzędu. Modele liniowe są często używane w złożonych nieliniowych systemach świata rzeczywistego, ponieważ ułatwiają parametryzacją . W obu przypadkach na ogół zaangażowane są bardzo duże macierze. Prognozowanie pogody (a dokładniej parametryzacja do modelowania atmosfery ) jest typowym przykładem zastosowania w świecie rzeczywistym, gdzie cała atmosfera ziemska jest podzielona na komórki o szerokości, powiedzmy, 100 km i wysokości.

Obliczenia naukowe

Prawie wszystkie obliczenia naukowe obejmują algebrę liniową. W rezultacie algorytmy algebry liniowej zostały wysoce zoptymalizowane. Najbardziej znanymi implementacjami są BLAS i LAPACK . W celu poprawy wydajności niektóre z nich automatycznie konfigurują algorytmy w czasie wykonywania, aby dostosować je do specyfiki komputera ( rozmiar pamięci podręcznej , liczba dostępnych rdzeni , ...).

Niektóre procesory , zwykle jednostki przetwarzania grafiki (GPU), są zaprojektowane ze strukturą macierzową w celu optymalizacji operacji algebry liniowej.

Rozszerzenia i uogólnienia

Ta sekcja przedstawia kilka powiązanych tematów, które nie pojawiają się na ogół w podstawowych podręcznikach algebry liniowej, ale są powszechnie uważane w zaawansowanej matematyce za części algebry liniowej.

Teoria modułów

Główny artykuł: Moduł (matematyka)

Istnienie odwrotności multiplikatywnych w ciałach nie jest związane z aksjomatami definiującymi przestrzeń wektorową. Można zatem zastąpić pole skalarów pierścieniem R , co daje strukturę zwaną modułem nad R lub R -moduł.

Pojęcia niezależności liniowej, rozpiętości, bazy i map liniowych (zwane także homomorfizmami modułów ) są zdefiniowane dla modułów dokładnie tak, jak dla przestrzeni wektorowych, z tą zasadniczą różnicą, że jeśli R nie jest ciałem, istnieją moduły, które nie mają żadnych podstawa. Moduły, które mają bazę, to moduły wolne , a te, które obejmują zbiór skończony, to moduły skończenie generowane . Homomorfizmy modułów między skończenie generowanymi wolnymi modułami mogą być reprezentowane przez macierze. Teoria macierzy na pierścieniu jest podobna do teorii macierzy na polu, z tym wyjątkiem wyznaczniki istnieją tylko wtedy, gdy pierścień jest przemienny , a macierz kwadratowa na pierścieniu przemiennym jest odwracalna tylko wtedy, gdy jej wyznacznik ma multiplikatywną odwrotność w pierścieniu.

Przestrzenie wektorowe są całkowicie charakteryzowane przez ich wymiar (aż do izomorfizmu). Ogólnie rzecz biorąc, nie ma takiej kompletnej klasyfikacji modułów, nawet jeśli ograniczymy się do skończenie generowanych modułów. Jednak każdy moduł jest kojądrem homomorfizmu wolnych modułów.

Moduły nad liczbami całkowitymi można utożsamiać z grupami abelowymi , ponieważ mnożenie przez liczbę całkowitą można utożsamiać z wielokrotnym dodawaniem. Większość teorii grup abelowych można rozszerzyć na moduły w głównej dziedzinie idealnej . W szczególności w domenie głównego ideału każdy podmoduł swobodnego modułu jest wolny, a podstawowe twierdzenie o skończenie generowanych grupach abelowych można bezpośrednio rozszerzyć na skończenie generowanych modułów na głównym pierścieniu.

Istnieje wiele pierścieni, dla których istnieją algorytmy rozwiązywania równań liniowych i układów równań liniowych. Jednak te algorytmy mają na ogół złożoność obliczeniową , która jest znacznie wyższa niż podobne algorytmy w polu. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Równanie liniowe na pierścieniu .

Algebra wieloliniowa i tensory

W algebrze wieloliniowej rozważa się transformacje liniowe wielu zmiennych, to znaczy odwzorowania, które są liniowe w każdej z wielu różnych zmiennych. Ten kierunek poszukiwań w naturalny sposób prowadzi do idei przestrzeni dualnej , przestrzeni wektorowej V* składającej się z liniowych odwzorowań f : V → F , gdzie F jest polem skalarów. Przekształcenia wieloliniowe T : V ⁿ → F można opisać za pomocą iloczynów tensorowych elementów V* .

Jeśli oprócz dodawania wektorów i mnożenia przez skalar istnieje dwuliniowy iloczyn wektorowy V × V → V , przestrzeń wektorową nazywamy algebrą ; na przykład algebry asocjacyjne to algebry ze stowarzyszonym iloczynem wektorowym (jak algebra macierzy kwadratowych lub algebra wielomianów).

Topologiczne przestrzenie wektorowe

Główne artykuły: topologiczna przestrzeń wektorowa , znormalizowana przestrzeń wektorowa i przestrzeń Hilberta

Przestrzenie wektorowe, które nie są skończonymi wymiarami, często wymagają dodatkowej struktury, aby można je było zastosować. Znormalizowana przestrzeń wektorowa to przestrzeń wektorowa wraz z funkcją zwaną normą , która mierzy „rozmiar” elementów. Norma indukuje metrykę , która mierzy odległość między elementami, oraz indukuje topologię , która pozwala na zdefiniowanie ciągłych map. Metryka pozwala również na określenie granic i zupełności - przestrzeń metryczna, która jest zupełna, nazywana jest przestrzenią Banacha . Kompletna przestrzeń metryczna wraz z dodatkową strukturą iloczynu wewnętrznego (sprzężona symetryczna forma seskwiliniowa ) jest znana jako przestrzeń Hilberta , która jest w pewnym sensie szczególnie dobrze zachowaną przestrzenią Banacha. Analiza funkcjonalna stosuje metody algebry liniowej wraz z metodami analizy matematycznej do badania różnych przestrzeni funkcyjnych; centralnymi obiektami badań w analizie funkcjonalnej są przestrzenie L ^p , które są przestrzeniami Banacha, a zwłaszcza L ² przestrzeń kwadratowych funkcji całkowalnych, która jest jedyną wśród nich przestrzenią Hilberta. Analiza funkcjonalna ma szczególne znaczenie w mechanice kwantowej, teorii równań różniczkowych cząstkowych, cyfrowym przetwarzaniu sygnałów i elektrotechnice. Zapewnia również podstawy i ramy teoretyczne leżące u podstaw transformaty Fouriera i powiązanych metod.

Algebra homologiczna

Główny artykuł: algebra homologiczna

Zobacz też

• Matryca podstawowa (wizja komputerowa)
• algebra geometryczna
• Programowanie liniowe
• Regresja liniowa , statystyczna metoda estymacji
• Lista tematów algebry liniowej
• Algebra wieloliniowa
• Numeryczna algebra liniowa
• Macierz transformacji

Źródła ogólne i cytowane

•   Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (wyd. 5), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
•   Axler, Sheldon (18 grudnia 2014), Linear Algebra Done Right , Undergraduate Texts in Mathematics (wyd. 3), Springer Publishing (opublikowane 2015), ISBN 978-3-319-11079-0
•   Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), pierwszy kurs algebry liniowej: z opcjonalnym wprowadzeniem do grup, pierścieni i pól , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
•   Ciężar, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Analiza numeryczna (wyd. 5), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
•   Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations , Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
•    Halmos, Paul Richard (1974), Finite-Dimensional Vector Spaces , licencjackie teksty z matematyki (1958, wyd. 2), Springer Publishing , ISBN 0-387-90093-4 , OCLC 1251216
•   Harper, Charlie (1976), Wprowadzenie do fizyki matematycznej , New Jersey: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
•   Katznelson, Icchak ; Katznelson, Yonatan R. (2008), A (zwięzłe) Wprowadzenie do algebry liniowej , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4419-9
•   Roman, Steven (22 marca 2005), Advanced Linear Algebra , Graduate Texts in Mathematics (wyd. 2), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3

Dalsza lektura

Historia

• Fearnley-Sander, Desmond, „ Hermann Grassmann i tworzenie algebry liniowej ”, American Mathematical Monthly 86 (1979), s. 809–817.
• Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert , Leipzig: O. Wigan re

Podręczniki wprowadzające

• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (wersja aplikacji) (wyd. 9), Wiley International
•   Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics , Texts in Statistical Science (wyd. 1), Chapman and Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
•   Bretscher, Otto (2004), Algebra liniowa z aplikacjami (wyd. 3), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0
•   Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Praktyczna algebra liniowa: zestaw narzędzi geometrii , AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2
•     Hefferon, Jim (2020). Algebra liniowa (wyd. 4). Ann Arbor, Michigan : wydawnictwa ortogonalne. ISBN 978-1-944325-11-4 . OCLC 1178900366 . OL 30872051M .
•   Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementarna algebra liniowa z aplikacjami (wyd. 9), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0
•   Lay, David C. (2005), algebra liniowa i jej zastosowania (wyd. 3), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
•   Leon, Steven J. (2006), Algebra liniowa z aplikacjami (wyd. 7), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8
•   Murty, Katta G. (2014) Obliczeniowa i algorytmiczna algebra liniowa i n-wymiarowa geometria , World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5 . Rozdział 1: Układy równoczesnych równań liniowych
•   Noble, B. & Daniel, JW (wydanie drugie 1977) [1] , Pearson Higher Education, ISBN 978-0130413437 .
•   Poole, David (2010), algebra liniowa: nowoczesne wprowadzenie (wyd. 3), Cengage - Brooks / Cole, ISBN 978-0-538-73545-2
•   Ricardo, Henry (2010), Nowoczesne wprowadzenie do algebry liniowej (wyd. 1), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9
•   Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: zasada rozdzielania (wyd. 2), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0
•   Strang, Gilbert (2016), Wprowadzenie do algebry liniowej (wyd. 5), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
•   The Manga Guide to Linear Algebra (2012), Shin Takahashi , Iroha Inoue i Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9

Zaawansowane podręczniki

•   Bhatia, Rajendra (15 listopada 1996), Matrix Analysis , Graduate Texts in Mathematics , Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
•   Demmel, James W. (1 sierpnia 1997), Applied Numerical Linear Algebra , SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3
•   Dym, Harry (2007), Algebra liniowa w działaniu , AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6
•   Gantmacher, Felix R. (2005), Zastosowania teorii macierzy , Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0
•   Gantmacher, Felix R. (1990), Teoria macierzy, tom. 1 (wyd. 2), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-1376-8
•   Gantmacher, Felix R. (2000), Teoria macierzy, tom. 2 (wyd. 2), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-2664-5
•   Gelfand, Israel M. (1989), Wykłady z algebry liniowej , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0
•   Glazman, IM; Lubić, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3
•   Golan, Johnathan S. (styczeń 2007), Algebra liniowa, którą powinien znać początkujący absolwent (wyd. 2), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
•   Golan, Johnathan S. (sierpień 1995), Podstawy algebry liniowej , Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3
•   Greub, Werner H. (16 października 1981), Linear Algebra , Graduate Texts in Mathematics (wyd. 4), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9
•   Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), algebra liniowa (wyd. 2), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251
•   Halmos, Paul R. (20 sierpnia 1993), skończone wymiarowe przestrzenie wektorowe , teksty licencjackie z matematyki , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3
•   Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (7 września 2018), Algebra liniowa (wyd. 5), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4
•   Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (23 lutego 1990), Matrix Analysis , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
•   Róg, Roger A.; Johnson, Charles R. (24 czerwca 1994), Topics in Matrix Analysis , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
•   Lang, Serge (9 marca 2004), algebra liniowa , teksty licencjackie z matematyki (wyd. 3), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6
•   Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities , Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4
•   Meyer, Carl D. (15 lutego 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 31 października 2009 r.
•   Mirsky, L. (1990), Wprowadzenie do algebry liniowej , Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
•   Szafarewicz, IR ; Remizov, AO (2012), Algebra liniowa i geometria , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
•   Shilov, Georgi E. (1 czerwca 1977), algebra liniowa , Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7
•   Shores, Thomas S. (6 grudnia 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis , Undergraduate Texts in Mathematics , Springer, ISBN 978-0-387-33194-2
•   Smith, Larry (28 maja 1998), algebra liniowa , teksty licencjackie z matematyki , Springer, ISBN 978-0-387-98455-1
•   Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numeryczna algebra liniowa , SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9

Przewodniki i konspekty do nauki

•   Leduc, Steven A. (1 maja 1996), Algebra liniowa (Cliffs Quick Review) , Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
•   Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (6 grudnia 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (wyd. 3), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
•   Lipschutz, Seymour (1 stycznia 1989), 3000 rozwiązanych problemów z algebry liniowej , McGraw – Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
•   McMahon, David (28 października 2005), Linear Algebra Demystified , McGraw – Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
•   Zhang, Fuzhen (7 kwietnia 2009), Algebra liniowa: trudne problemy dla studentów , The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0

Linki zewnętrzne

Zasoby online

• MIT Linear Algebra Video Lectures , seria 34 nagranych wykładów profesora Gilberta Stranga (wiosna 2010)
• Międzynarodowe Towarzystwo Algebry Liniowej
• „Algebra liniowa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Algebra liniowa na MathWorld
• Terminy z macierzy i algebry liniowej dotyczące najwcześniejszych znanych zastosowań niektórych słów matematyki
• Najwcześniejsze zastosowania symboli dla macierzy i wektorów dotyczące najwcześniejszych zastosowań różnych symboli matematycznych
• Esencja algebry liniowej , prezentacja wideo z 3Blue1Brown przedstawiająca podstawy algebry liniowej, z naciskiem na związek między geometrycznymi, macierzowymi i abstrakcyjnymi punktami widzenia

Książki online

•   Beezer, Robert A. (2009) [2004]. Pierwszy kurs algebry liniowej . Gainesville, Floryda : University Press of Florida . ISBN 9781616100049 .
• Connell, Edwin H. (2004) [1999]. Elementy algebry abstrakcyjnej i liniowej . University of Miami , Coral Gables, Floryda : publikacja własna.
•     Hefferon, Jim (2020). Algebra liniowa (wyd. 4). Ann Arbor, Michigan : wydawnictwa ortogonalne. ISBN 978-1-944325-11-4 . OCLC 1178900366 . OL 30872051M .
• Margalit, Dan; Rabinow, Józef (2019). Interaktywna algebra liniowa . Georgia Institute of Technology , Atlanta, Georgia : publikacja własna.
• Matthews, Keith R. (2013) [1991]. Elementarna algebra liniowa . University of Queensland , Brisbane, Australia : publikacja własna.
• Mikaelian, Vahagn H. (2020) [2017]. Algebra liniowa: teoria i algorytmy . Erewań, Armenia : publikacja własna – za pośrednictwem ResearchGate .
• Szaripow, Rusłan, Kurs algebry liniowej i geometrii wielowymiarowej
• Treil, Siergiej, Algebra liniowa zrobiona źle