Transponować

Transpozycję AT macierzy A można uzyskać ^, odbijając elementy wzdłuż jej głównej przekątnej. Powtórzenie procesu na transponowanej macierzy przywraca elementy do ich pierwotnej pozycji.

W algebrze liniowej transpozycja macierzy jest operatorem, który odwraca macierz na jej przekątnej ; to znaczy przełącza $AT indeksy$ wierszy i kolumn macierzy $A$ , tworząc inną macierz, często oznaczaną przez (między innymi zapisami).

Transpozycja macierzy została wprowadzona w 1858 roku przez brytyjskiego matematyka Arthura Cayleya . W przypadku macierzy logicznej reprezentującej relację binarną R transpozycja odpowiada ^relacji odwrotnej RT .

Transpozycja macierzy

Definicja

Transpozycja macierzy $A$ , oznaczona przez $ZA T$ , $⊤ ZA$ , $ZA ⊤$ , ${\ Displaystyle A ^ {\ intercal}}$ , $A'$ , $ZA tr$ , $t ZA$ lub $ZA t$ , może być skonstruowana przez dowolną z następujące metody:

Odbij $A$ nad jego główną przekątną (która biegnie od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu), aby uzyskać $A T$
Zapisz wiersze $A$ jako kolumny $A T$
Zapisz kolumny $A$ jako wiersze $A T$

Formalnie, $i$ -ty wiersz, $j$ -ty element kolumny $A T$ to $j$ -ty wiersz, $i$ -ty element kolumny $A$ :

{\ Displaystyle \ lewo [\ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} \ prawo] _ {ij} = \ lewo [\ mathbf {A} \ prawo] _ {ji}.}

Jeśli $A$ jest macierzą $m \times n$ , to $AT jest$ macierzą n $\times m .$

W przypadku macierzy kwadratowych $A T$ może również oznaczać $T$ -tą potęgę macierzy $A$ . Aby uniknąć możliwego zamieszania, wielu autorów używa lewego górnego indeksu, to znaczy oznacza transpozycję jako $T A$ . Zaletą tej notacji jest to, że nie $T An są$ potrzebne nawiasy, gdy występują wykładniki: ponieważ $nie (TA) n = T (A n)$ notacja jest niejednoznaczna.

W tym artykule unika się tego zamieszania, nigdy nie używając symbolu $T$ jako nazwy zmiennej .

Definicje macierzowe obejmujące transpozycję

Macierz kwadratowa, której transpozycja jest równa samej sobie, nazywana jest macierzą symetryczną ; to znaczy $A$ jest symetryczne, jeśli

{\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} = \ mathbf {A}.}

Macierz kwadratowa, której transpozycja jest równa jej wartości ujemnej, nazywana jest macierzą skośno-symetryczną ; to znaczy, $A$ jest skośno-symetryczne, jeśli

{\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} = - \ mathbf {A}.}

Kwadratowa macierz zespolona , której transpozycja jest równa macierzy, w której każdy wpis jest zastąpiony przez jej zespolony koniugat (oznaczony tutaj przez nadkreślenie), nazywana jest macierzą hermitowską (odpowiednik macierzy równej jej sprzężonej transpozycji ); to znaczy, $A$ jest hermitowskie, jeśli

{\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} = {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Kwadratowa zespolona macierz, której transpozycja jest równa negacji jej zespolonego sprzężenia, nazywana jest macierzą skośno-hermitowską ; to znaczy, $A$ jest skośno-hermitowskie, jeśli

{\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} = - {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Macierz kwadratowa, której transpozycja jest równa jej odwrotności , nazywana jest macierzą ortogonalną ; to znaczy, $A$ jest ortogonalne, jeśli

{\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} = \ mathbf {A} ^ {-1}.}

Kwadratowa macierz zespolona, której transpozycja jest równa jej sprzężonej odwrotności, nazywana jest macierzą unitarną ; to znaczy $A$ jest jednostkowe, jeśli

{\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} = {\ overline {\ mathbf {A} ^ {-1}}}.}

Przykłady

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 2 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ nazwa operatora {T}} = \, {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \\ 2 \ koniec { bmatrix}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 2 \\ 3 i 4 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ nazwa operatora {T}} = {\ rozpocząć { bmacierz}1&3\\2&4\koniec{bmacierz}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 2 \\ 3 i 4 \\ 5 i 6 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ nazwa operatora {T}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 3 i 5 \\ 2 i 4 i 6 \end{bmacierz}}}$

Nieruchomości

Niech $A$ i $B$ będą macierzami, a $c$ skalarem .

${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ operatorname {T}} \ prawej) ^ {\ operatorname {T}} = \ mathbf {A}.} Operacja wykonania transpozycji jest$
inwolucją ( samo- odwrotny ).
${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {A} + \ mathbf {B} \ prawo) ^ {\ nazwa operatora {T}} = \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} + \ mathbf {B} ^ { \operatorname {T} }.}$
Transpozycja respektuje dodawanie .
${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {AB} \ prawej) ^ {\ nazwa operatora {T}} = \ mathbf {B} ^ {\ nazwa operatora {T}} \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}}. }$
Zauważ, że kolejność czynników jest odwrócona. Z tego można wywnioskować, że macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy $A T$ jest odwracalna, iw tym przypadku mamy $(A -1) T = (A T) -1$ . Przez indukcję wynik ten rozciąga się na ogólny przypadek wielokrotnych macierzy, gdzie stwierdzamy, że $(A 1 A 2 ... A k -1 A k) T = A k T A k -1 T \dots A 2 T A 1 T$ .
${\ Displaystyle \ lewo (c \ mathbf {A} \ prawej) ^ {\ nazwa operatora {T}} = c \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}}.} Transpozycja skalara jest tym samym skalarem$
. Wraz z (2) oznacza to, że transpozycja jest mapą liniową z przestrzeni macierzy $m \times n$ do przestrzeni wszystkich macierzy $n \times m$ .
${\ nazwa operatora {T}} \ prawej) = \ det (\ mathbf {A}).} Wyznacznik$
^ macierzy kwadratowej jest taki sam, jak wyznacznik jej transponować.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów kolumnowych $a$ i $b$ można obliczyć jako pojedynczy wpis iloczynu macierzowego:
${\ Displaystyle \ lewo [\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} ,}$
co jest zapisane jako $a i b i$ w konwencji sumowania Einsteina .
Jeśli $A$ ma tylko wpisy rzeczywiste, to $A T A$ jest macierzą dodatnio-półskończoną .
${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} \ prawo) ^ {-1} = \ lewo (\ mathbf {A} ^ {-1} \ prawo) ^ {\ nazwa operatora {T } }.}$
Transpozycja macierzy odwracalnej jest również odwracalna, a jej odwrotność jest transpozycją odwrotności macierzy oryginalnej. Notacja $A -T$ jest czasami używana do reprezentowania jednego z tych równoważnych wyrażeń.
Jeśli $A$ jest macierzą kwadratową, to jej wartości własne są równe wartościom własnym jej transpozycji, ponieważ mają ten sam wielomian charakterystyczny .

Produkty

Jeśli $A$ jest macierzą $m \times n$ , a $AT a$ $jest AT A$ jej transpozycją, to wynik mnożenia macierzy z tymi dwiema macierzami daje dwie macierze kwadratowe: $AA T$ to $m \times m$ , to $n \times n$ . Ponadto produkty te są macierzami symetrycznymi . Rzeczywiście, iloczyn macierzowy $AA T$ ma wpisy, które są iloczynem wewnętrznym wiersza $A$ z kolumną $A T$ . Ale kolumny $A T$ są wierszami $A$ , więc wpis odpowiada iloczynowi wewnętrznemu dwóch wierszy $A$ . Jeżeli $p i j$ jest wpisem produktu, uzyskuje się go z wierszy $i$ oraz $j$ w $A$ . Wpis $p j i$ jest również uzyskiwany z tych wierszy, stąd $p i j = p j i$ , a macierz iloczynu ( $p ij$ ) jest symetryczny. Podobnie iloczyn $A T A$ jest macierzą symetryczną.

Szybki dowód symetrii $AA T$ wynika z faktu, że jest to jego własna transpozycja:

{\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {A} \ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T}} \ prawej) ^ {\ nazwa operatora {T}} = \ lewo (\ mathbf {A} ^ {\ nazwa operatora {T } }\right)^{\nazwa_operatora {T}}\mathbf {A} ^{\nazwa_operatora {T}}=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\nazwa_operatora {T}}.}

Implementacja transpozycji macierzy na komputerach

Ilustracja kolejności głównych wierszy i kolumn

Na komputerze często można uniknąć jawnej transpozycji macierzy w pamięci , po prostu uzyskując dostęp do tych samych danych w innej kolejności. Na przykład biblioteki oprogramowania do algebry liniowej , takie jak BLAS , zwykle zapewniają opcje określające, że niektóre macierze mają być interpretowane w kolejności transpozycji, aby uniknąć konieczności przenoszenia danych.

Istnieje jednak szereg okoliczności, w których konieczna lub pożądana jest fizyczna zmiana kolejności macierzy w pamięci do jej uporządkowania transponowanego. Na przykład, gdy macierz jest przechowywana w kolejności wierszy głównych , wiersze macierzy są ciągłe w pamięci, a kolumny są nieciągłe. Jeśli na kolumnach trzeba wykonać powtarzające się operacje, na przykład w szybkiej transformaty Fouriera , transpozycja macierzy w pamięci (aby kolumny były ciągłe) może poprawić wydajność poprzez zwiększenie lokalizacji pamięci .

Idealnie byłoby mieć nadzieję na transpozycję macierzy z minimalną dodatkową pamięcią. Prowadzi to do problemu transpozycji macierzy n × m w miejscu z dodatkową pamięcią O(1) lub co najwyżej pamięcią znacznie mniejszą niż mn . Dla n ≠ m wiąże się to ze skomplikowaną permutacją elementów danych, której implementacja w miejscu jest nietrywialna. Dlatego wydajna transpozycja macierzy w miejscu była przedmiotem wielu publikacji naukowych z dziedziny informatyki , począwszy od późnych lat pięćdziesiątych XX wieku, opracowano kilka algorytmów.

Transpozycje map liniowych i form dwuliniowych

Ponieważ głównym zastosowaniem macierzy jest reprezentowanie map liniowych między skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi , transpozycja jest operacją na macierzach, którą można postrzegać jako reprezentację niektórych operacji na mapach liniowych.

Prowadzi to do znacznie bardziej ogólnej definicji transpozycji, która działa na każdej mapie liniowej, nawet jeśli mapy liniowe nie mogą być reprezentowane przez macierze (tak jak w przypadku nieskończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych). W przypadku skończonych wymiarów macierz reprezentująca transpozycję mapy liniowej jest transpozycją macierzy reprezentującej mapę liniową, niezależnie od wyboru podstawy .

Transpozycja mapy liniowej

Niech $X #$ oznacza algebraiczną przestrzeń $dualną$ R - $modułu$ X. Niech $X$ i $Y$ będą $R$ -modułami. Jeśli $u : X \to Y$ jest odwzorowaniem liniowym , to jego algebraiczne sprzężenie lub podwójna jest odwzorowaniem $u # : Y # \to X #$ określonym przez $f \mapsto f \circ ty$ . Wynikowy funkcjonał $u # (f)$ $jest$ nazywany wycofaniem f przez $u$ . Następująca relacja charakteryzuje sprzężenie algebraiczne $u$

⟨ u # ​​(fa), x ⟩ = ⟨ fa, u (x)⟩

dla wszystkich

f \in ​​Y #

i

x \in X

gdzie $⟨•, •⟩$ jest parą naturalną (tj. zdefiniowaną przez $. ⟨h , z ⟩ := h (z)$ ) Ta definicja odnosi się również bez zmian do lewych modułów i przestrzeni wektorowych.

Definicja transpozycji może być postrzegana jako niezależna od jakiejkolwiek formy dwuliniowej w modułach, w przeciwieństwie do sprzężenia ( poniżej ).

Ciągła przestrzeń dualna topologicznej przestrzeni wektorowej (TVS) $X$ jest oznaczona przez $X'$ . Jeśli $X$ i $Y$ są TVS, to odwzorowanie liniowe $u : X \to Y$ jest słabo ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy $u # (Y') \subseteq X'$ , w takim przypadku niech $t u : Y' \to X'$ oznaczają ograniczenie $u #$ do $Y'$ . Odwzorowanie $t u$ nazywane jest transpozycją u $.$

Jeśli macierz $A$ opisuje odwzorowanie liniowe względem podstaw V i $W$ , to macierz $AT tego$ $opisuje transpozycję$ odwzorowania liniowego względem baz podwójnych .

Transpozycja postaci dwuliniowej

Każde odwzorowanie liniowe do przestrzeni dualnej $u : X \to X #$ definiuje postać dwuliniową $B : X \times X \to F$ , z relacją $B (x, y) = u (x) (y)$ . Definiując transpozycję tej postaci dwuliniowej jako postać dwuliniową $t B$ zdefiniowaną przez transpozycję $t u : X ## \to X #$ tj. $t b (y, x) = t u (Ψ (y))(x)$ , stwierdzamy, że $B (x, y) = t b (y, x)$ . Tutaj $Ψ$ jest naturalnym homomorfizmem $X \to X ##$ do podwójnej liczby podwójnej .

przylegający

Jeśli przestrzenie wektorowe $X$ i $Y$ mają odpowiednio niezdegenerowane formy dwuliniowe $B X$ i $BY jest$ , można zdefiniować pojęcie znane jako sprzężenie , które ściśle związane z transpozycją:

Jeśli $u : X \to Y$ jest odwzorowaniem liniowym między przestrzeniami wektorowymi $g : Y X X$ $i$ Y $,$ definiujemy $g$ jako sprzężenie u jeśli $\to$ spełnia

{\ Displaystyle B_ {X} {\ duży (} x, g (y) {\ duży)} = B_ {Y} \big (}u(x),y{\big )}}

dla wszystkich

x \in X

i

y \in Y

.

Te formy dwuliniowe definiują izomorfizm między $X$ i $X #$ oraz między $Y$ i $Y #$ , co skutkuje izomorfizmem między transpozycją a sprzężeniem $u$ . Macierz przylegania mapy jest macierzą transponowaną tylko wtedy, gdy podstawy są ortonormalne względem ich form dwuliniowych. Jednak w tym kontekście wielu autorów używa terminu transpozycja w odniesieniu do sprzężenia zdefiniowanego tutaj.

Sprzężenie pozwala nam rozważyć, czy $g : Y \to X$ jest równe $u -1 : Y \to X$ . W szczególności pozwala to na grupy ortogonalnej w przestrzeni wektorowej $X$ o postaci kwadratowej bez odniesienia do macierzy (ani ich składowych) jako zbioru wszystkich map liniowych $X \to X$ , dla których sprzężenie jest równe odwrotności.

W złożonej przestrzeni wektorowej często pracuje się z formami półliniowymi (sprzężony-liniowy w jednym argumencie) zamiast form dwuliniowych. Sprzężenie hermitowskie mapy między takimi przestrzeniami jest definiowane podobnie, a macierz sprzężenia hermitowskiego jest dana przez sprzężoną macierz transpozycji, jeśli podstawy są ortonormalne.

Zobacz też

Macierz adjugatowa , transpozycja macierzy kofaktora
Transpozycja sprzężona
Pseudoodwrotność Moore'a-Penrose'a
Projekcja (algebra liniowa)

Dalsza lektura

Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I Rozdziały 1-3 [ Algèbre: Chapitres 1 à 3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5 . OCLC 18588156 .

Halmos, Paul (1974), skończone wymiarowe przestrzenie wektorowe , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3 .
Maruskin, Jared M. (2012). Podstawowa algebra liniowa . San José: Solar Crest. s. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Schwartz, Jacob T. (2001). Wprowadzenie do macierzy i wektorów . Mineola: Dover. s. 126–132. ISBN 0-486-42000-0 .

Linki zewnętrzne

Gilbert Strang (wiosna 2010) Algebra liniowa z MIT Open Courseware

Algebra liniowa
Podstawowe koncepcje	Skalarny Wektor Przestrzeń wektorowa Mnożenie przez skalar Projekcja wektorowa Rozpiętość liniowa Mapa liniowa Projekcja liniowa Niezależność liniowa Kombinacja liniowa Podstawa Zmiana podstawy Wektory wierszowe i kolumnowe Odstępy między wierszami i kolumnami Jądro Wartości własne i wektory własne Transponować Równania liniowe
macierze	Blok Rozkład Odwracalny Drobny Mnożenie Ranga Transformacja Reguła Cramera Eliminacja Gaussa
Dwuliniowy	Ortogonalność Produkt w kropki Wewnętrzna przestrzeń produktu Produkt zewnętrzny Produkt firmy Kronecker Proces Grama-Schmidta
Algebra wieloliniowa	Wyznacznik Produkt krzyżowy Produkt potrójny Siedmiowymiarowy produkt krzyżowy algebra geometryczna Algebra zewnętrzna Dwuwektor Multiwektor Napinacz Zewnętrzny morfizm
Konstrukcje przestrzeni wektorowej	Podwójny Suma bezpośrednia Przestrzeń funkcji Iloraz Podprzestrzeń Produkt tensorowy
Liczbowy	Zmiennoprzecinkowy Stabilność numeryczna Podstawowe podprogramy algebry liniowej Rzadka macierz Porównanie bibliotek algebry liniowej
Kategoria Zarys Portal matematyczny