System współrzędnych
W geometrii układ współrzędnych to system wykorzystujący jedną lub więcej liczb lub współrzędnych w celu jednoznacznego określenia położenia punktów lub innych elementów geometrycznych na rozmaitości , takiej jak przestrzeń euklidesowa . Kolejność współrzędnych jest znacząca i czasami są one identyfikowane przez ich pozycję w uporządkowanej krotce , a czasami przez literę, jak we „ współrzędnej x ”. Współrzędne są traktowane jako liczby rzeczywiste w elementarnej matematyce , ale mogą to być liczby zespolone lub elementy bardziej abstrakcyjnego systemu, takiego jak pierścień przemienny . Użycie układu współrzędnych umożliwia przełożenie problemów geometrii na problemy dotyczące liczb i odwrotnie ; to jest podstawa geometrii analitycznej .
Wspólne układy współrzędnych
Numer linii
Najprostszym przykładem układu współrzędnych jest identyfikacja punktów na prostej z liczbami rzeczywistymi za pomocą osi liczbowej . W tym systemie na danej linii wybiera się dowolny punkt O ( początek ). Współrzędna punktu P jest zdefiniowana jako odległość ze znakiem od O do P , gdzie odległość ze znakiem jest odległością przyjmowaną jako dodatnia lub ujemna w zależności od tego, po której stronie znajduje się prosta P. Każdy punkt ma przypisaną unikalną współrzędną, a każda liczba rzeczywista jest współrzędną unikalnego punktu.
Kartezjański układ współrzędnych
Prototypowym przykładem układu współrzędnych jest kartezjański układ współrzędnych . W płaszczyźnie wybiera się dwie prostopadłe linie i przyjmuje się, że współrzędne punktu są odległościami ze znakiem do tych linii.
W trzech wymiarach wybiera się trzy wzajemnie ortogonalne płaszczyzny, a trzy współrzędne punktu są znakami odległości do każdej z płaszczyzn. Można to uogólnić, aby utworzyć n współrzędnych dla dowolnego punktu w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
W zależności od kierunku i kolejności osi współrzędnych trójwymiarowy układ może być układem prawoskrętnym lub lewoskrętnym. Jest to jeden z wielu układów współrzędnych.
Układ współrzędnych biegunowych
Innym powszechnym układem współrzędnych płaszczyzny jest biegunowy układ współrzędnych . Wybrano punkt jako biegun , a promień wychodzący z tego punktu jako oś biegunową . Dla danego kąta θ przez biegun przechodzi pojedyncza prosta, której kąt z osią biegunową wynosi θ (mierzony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi do prostej). Następnie na tej prostej znajduje się unikalny punkt, którego znakowana odległość od początku układu współrzędnych wynosi r dla danej liczby r . Dla danej pary współrzędnych ( r , θ ) istnieje jeden punkt, ale każdy punkt jest reprezentowany przez wiele par współrzędnych. Na przykład ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) i (− r , θ + π ) są współrzędnymi biegunowymi tego samego punktu. Biegun jest reprezentowany przez (0, θ ) dla dowolnej wartości θ .
Cylindryczne i sferyczne układy współrzędnych
Istnieją dwie popularne metody rozszerzania biegunowego układu współrzędnych do trzech wymiarów. W cylindrycznym układzie współrzędnych współrzędna z o takim samym znaczeniu jak we współrzędnych kartezjańskich jest dodawana do współrzędnych biegunowych r i θ , co daje potrójną ( r , θ , z ) . Współrzędne sferyczne idą o krok dalej, przekształcając parę współrzędnych cylindrycznych ( r , z ) na współrzędne biegunowe ( ρ , φ ) dając potrójną ( ρ , θ , φ ).
Jednorodny układ współrzędnych
Punkt na płaszczyźnie może być reprezentowany we współrzędnych jednorodnych przez potrójną ( x , y , z ), gdzie x / z i y / z są współrzędnymi kartezjańskimi punktu. Wprowadza to „dodatkową” współrzędną, ponieważ tylko dwie są potrzebne do określenia punktu na płaszczyźnie, ale ten system jest użyteczny, ponieważ reprezentuje dowolny punkt na płaszczyźnie rzutowej bez użycia nieskończoności . Ogólnie rzecz biorąc, jednorodny układ współrzędnych to taki, w którym istotne są tylko stosunki współrzędnych, a nie rzeczywiste wartości.
Inne powszechnie stosowane systemy
Niektóre inne popularne układy współrzędnych są następujące:
-
Współrzędne krzywoliniowe są ogólnie uogólnieniem układów współrzędnych; system opiera się na przecięciu krzywych.
- Współrzędne ortogonalne : powierzchnie współrzędnych spotykają się pod kątem prostym
- Współrzędne skośne : powierzchnie współrzędnych nie są ortogonalne
- Układ współrzędnych logarytmiczno-biegunowych przedstawia punkt na płaszczyźnie za pomocą logarytmu odległości od początku układu współrzędnych i kąta mierzonego od linii odniesienia przecinającej początek układu współrzędnych.
- Współrzędne Plückera to sposób przedstawiania linii w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej przy użyciu sześciu krotek liczb jako współrzędnych jednorodnych .
- Uogólnione współrzędne są używane w Lagranżowskim traktowaniu mechaniki.
- Współrzędne kanoniczne są używane w hamiltonowskim traktowaniu mechaniki.
- Barycentryczny układ współrzędnych stosowany w wykresach trójskładnikowych i bardziej ogólnie w analizie trójkątów .
- Współrzędne trójliniowe są używane w kontekście trójkątów.
Istnieją sposoby opisywania krzywych bez współrzędnych za pomocą wewnętrznych równań , które wykorzystują niezmienne wielkości, takie jak krzywizna i długość łuku . Obejmują one:
- Równanie Whewella dotyczy długości łuku i kąta stycznego .
- Równanie Cesàro dotyczy długości i krzywizny łuku.
Współrzędne obiektów geometrycznych
Układy współrzędnych są często używane do określania położenia punktu, ale mogą być również używane do określania położenia bardziej złożonych figur, takich jak linie, płaszczyzny, okręgi lub sfery . Na przykład współrzędne Plückera służą do określania położenia linii w przestrzeni. W razie potrzeby typ opisywanej figury jest używany do rozróżnienia typu układu współrzędnych, na przykład termin współrzędne linii jest używany dla dowolnego układu współrzędnych, który określa położenie linii.
Może się zdarzyć, że układy współrzędnych dla dwóch różnych zestawów figur geometrycznych są równoważne pod względem ich analizy. Przykładem tego są układy jednorodnych współrzędnych punktów i linii na płaszczyźnie rzutowej. O tych dwóch systemach w takim przypadku mówi się, że są dualistyczne . Systemy dualistyczne mają tę właściwość, że wyniki jednego systemu można przenosić na inny, ponieważ wyniki te są tylko różnymi interpretacjami tego samego wyniku analitycznego; jest to znane jako zasada dwoistości .
Transformacje
Często istnieje wiele różnych możliwych układów współrzędnych do opisu figur geometrycznych. Relacje między różnymi układami opisują przekształcenia współrzędnych , które dają wzory na współrzędne w jednym układzie w odniesieniu do współrzędnych w innym układzie. Na przykład w płaszczyźnie, jeśli współrzędne kartezjańskie ( x , y ) i współrzędne biegunowe ( r , θ ) mają ten sam początek, a oś biegunowa jest dodatnią osią x , to transformacja współrzędnych ze współrzędnych biegunowych na kartezjańskie jest dana przez x = r sałata θ i y = r grzech θ .
Z każdą bijekcją z przestrzeni do siebie można powiązać dwie transformacje współrzędnych:
- Takie, że nowe współrzędne obrazu każdego punktu są takie same jak stare współrzędne pierwotnego punktu (wzory odwzorowania są odwrotnością tych dla transformacji współrzędnych)
- Takie, aby stare współrzędne obrazu każdego punktu były takie same, jak nowe współrzędne punktu pierwotnego (wzory odwzorowania są takie same jak dla transformacji współrzędnych)
Na przykład w 1D , jeśli odwzorowanie jest translacją 3 w prawo, pierwsze przesuwa początek z 0 do 3, tak że współrzędna każdego punktu staje się o 3 mniejsza, podczas gdy drugie przesuwa początek z 0 do -3 , tak że współrzędna każdego punktu staje się o 3 więcej.
Linie/krzywe współrzędnych i płaszczyzny/powierzchnie
W dwóch wymiarach, jeśli jedna ze współrzędnych w punktowym układzie współrzędnych jest stała, a druga współrzędna może się zmieniać, wówczas wynikowa krzywa nazywana jest krzywą współrzędnych . Jeśli krzywe współrzędnych są w rzeczywistości liniami prostymi , można je nazwać liniami współrzędnych . W kartezjańskich układach współrzędnych linie współrzędnych są wzajemnie ortogonalne i są znane jako osie współrzędnych . W przypadku innych układów współrzędnych krzywe współrzędnych mogą być krzywymi ogólnymi. Na przykład krzywe współrzędnych we współrzędnych biegunowych otrzymane przez utrzymywanie r to okręgi, których środek znajduje się w początku układu współrzędnych. Układ współrzędnych, dla którego niektóre krzywe współrzędnych nie są liniami, nazywany jest krzywoliniowym układem współrzędnych . Ta procedura nie zawsze ma sens, na przykład w jednorodnym układzie współrzędnych nie ma krzywych współrzędnych .
W przestrzeni trójwymiarowej, jeśli jedna współrzędna jest stała, a pozostałe dwie mogą się zmieniać, wówczas wynikowa powierzchnia nazywana jest powierzchnią współrzędnych . Na przykład powierzchnie współrzędnych uzyskane przez utrzymywanie ρ w sferycznym układzie współrzędnych to sfery, których środek znajduje się w początku układu współrzędnych. W przestrzeni trójwymiarowej przecięcie dwóch powierzchni współrzędnych jest krzywą współrzędnych. W kartezjańskim układzie współrzędnych możemy mówić o płaszczyznach współrzędnych .
Podobnie hiperpowierzchnie współrzędnych to ( n - 1) -wymiarowe przestrzenie wynikające z ustalenia pojedynczej współrzędnej n - wymiarowego układu współrzędnych.
Mapy współrzędnych
Koncepcja mapy współrzędnych lub wykresu współrzędnych ma kluczowe znaczenie dla teorii rozmaitości. Mapa współrzędnych jest zasadniczo układem współrzędnych dla podzbioru danej przestrzeni z właściwością, że każdy punkt ma dokładnie jeden zestaw współrzędnych. Mówiąc dokładniej, mapa współrzędnych jest homeomorfizmem od otwartego podzbioru przestrzeni X do otwartego podzbioru Rn . Często nie jest możliwe zapewnienie jednego spójnego układu współrzędnych dla całej przestrzeni. W tym przypadku zestaw map współrzędnych tworzy atlas obejmujący przestrzeń. Przestrzeń wyposażona w taki atlas nazywana jest rozmaitością , a na rozmaitości można zdefiniować dodatkową strukturę, jeśli struktura jest spójna w miejscu nakładania się map współrzędnych. Na przykład rozmaitość różniczkowalna to rozmaitość, w której zmiana współrzędnych z jednej mapy współrzędnych na inną jest zawsze funkcją różniczkowalną.
Współrzędne oparte na orientacji
W geometrii i kinematyce układy współrzędnych są używane do opisywania (liniowego) położenia punktów oraz położenia kątowego osi, płaszczyzn i brył sztywnych . W tym drugim przypadku orientacja drugiego (zwykle określanego jako „lokalny”) układu współrzędnych, przymocowanego do węzła, jest definiowana na podstawie pierwszego (zwykle określanego jako „globalny” lub „światowy” układ współrzędnych). Na przykład orientację bryły sztywnej można przedstawić za pomocą macierzy orientacji , która zawiera w trzech kolumnach współrzędne kartezjańskie trzech punktów. Punkty te służą do określenia orientacji osi układu lokalnego; są to wierzchołki trzech wektorów jednostkowych wyrównanych z tymi osiami.
Systemy geograficzne
Ziemia jako całość jest jedną z najczęściej spotykanych przestrzeni geometrycznych wymagających precyzyjnego pomiaru położenia, a co za tym idzie układów współrzędnych. Począwszy od Greków okresu hellenistycznego , opracowano różne układy współrzędnych w oparciu o powyższe typy, w tym:
- Układ współrzędnych geograficznych , współrzędne sferyczne szerokości i długości geograficznej
- Rzutowane układy współrzędnych , w tym tysiące kartezjańskich układów współrzędnych , każdy oparty na odwzorowaniu mapy w celu utworzenia płaskiej powierzchni świata lub regionu.
- Geocentryczny układ współrzędnych , trójwymiarowy kartezjański układ współrzędnych , który modeluje Ziemię jako obiekt i jest najczęściej używany do modelowania orbit satelitów , w tym globalnego systemu pozycjonowania i innych systemów nawigacji satelitarnej .
Zobacz też
- Absolutny moment pędu
- Siatka alfanumeryczna
- Konwencje osi w inżynierii
- Niebiański układ współrzędnych
- Bez współrzędnych
- Współrzędne ułamkowe
- Ramy Odniesienia
- transformacja Galileusza
- Odniesienie do siatki
- Nomogram , graficzne reprezentacje różnych układów współrzędnych
- Układ odniesienia
- Obrót osi
- Przesunięcie osi
Relatywistyczne układy współrzędnych
Cytaty
Źródła
- Voitsekhovskii, MI; Iwanow, AB (2001) [1994], „Współrzędne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
- Woods, Frederick S. (1922). Wyższa geometria . Ginn and Co. s. 1ff.
- Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Geometria form różniczkowych . Księgarnia AMS. P. 12. ISBN 0-8218-1045-6 .
Linki zewnętrzne
| Kontrola władz : Biblioteki narodowe |
|---|
