Współrzędne izotropowe

W teorii rozmaitości lorentzowskich sferycznie symetryczne czasoprzestrzenie dopuszczają rodzinę zagnieżdżonych okrągłych sfer . Istnieje kilka różnych typów wykresów współrzędnych, które są przystosowane do tej rodziny zagnieżdżonych sfer; najbardziej znanym jest wykres Schwarzschilda , ale często przydatny jest również wykres izotropowy . Charakterystyczną cechą wykresu izotropowego jest to, że jego współrzędna promieniowa (która różni się od współrzędnej promieniowej wykresu Schwarzschilda) jest zdefiniowana w taki sposób, że stożki światła wydają się okrągłe . Oznacza to, że (z wyjątkiem trywialnego przypadku lokalnie płaskiej rozmaitości) kątowe współrzędne izotropowe nie odzwierciedlają wiernie odległości w zagnieżdżonych sferach, ani współrzędna promieniowa nie przedstawia wiernie odległości promieniowych. Z drugiej strony kąty w hiperplastrach o stałym czasie są reprezentowane bez zniekształceń, stąd nazwa wykresu.

Wykresy izotropowe są najczęściej stosowane do statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych w metrycznych teoriach grawitacji, takich jak ogólna teoria względności , ale można je również wykorzystać na przykład do modelowania sferycznie pulsującej kuli płynu. W przypadku izolowanych sferycznie symetrycznych rozwiązań równania pola Einsteina , przy dużych odległościach, wykresy izotropowe i wykresy Schwarzschilda stają się coraz bardziej podobne do zwykłego biegunowego wykresu sferycznego w czasoprzestrzeni Minkowskiego .

Definicja

Na wykresie izotropowym (na statycznej, sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni) metryka (inaczej element liniowy ) przyjmuje postać

${\ Displaystyle g = -a (r )^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,\lewo(dr^{2}+r^{2}\,\lewo(d\theta ^{2}+ \sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right)\right),}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0}<r <r_ {1}, \,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\varphi <\pi }$

W zależności od kontekstu, może być właściwe traktowanie $współrzędnej$ promieniowej (na przykład przy wyprowadzaniu dokładnego statycznego, sferycznie symetrycznego rozwiązania Einsteina ). Alternatywnie możemy podłączyć określone funkcje (prawdopodobnie w zależności od niektórych parametrów), aby uzyskać wykres współrzędnych izotropowych w określonej czasoprzestrzeni Lorentza.

Zabijanie pól wektorowych

Algebra Liego zabijania pól wektorowych sferycznie symetrycznej statycznej czasoprzestrzeni przyjmuje taką samą postać na wykresie izotropowym, jak na wykresie Schwarzschilda. Mianowicie, ta algebra jest generowana przez czasopodobne, nierotacyjne pole wektorowe Killing

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t}}$

i trzy kosmiczne pola wektorowe Killing

${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ varphi}}$

${\ Displaystyle \ sin (\ varphi) \ \ częściowy _ {\ theta }+\cot(\theta )\,\cos(\varphi )\częściowe _{\varphi }}$

${\ Displaystyle \ cos (\ varphi) \ \ częściowe _ {\ teta} - \ łóżeczko (\ teta) \, \ sin (\ varphi) \ częściowe _ {\ varphi}}$

Tutaj powiedzenie, że $oznacza,$ że ​​tensor wirowości odpowiedniej kongruencji znika zatem to pole wektora Killing jest hiperpowierzchniowo ortogonalne . Fakt, że czasoprzestrzeń dopuszcza istnienie nierotacyjnego czasopodobnego pola wektorowego Killinga, jest w rzeczywistości cechą definiującą czasoprzestrzeń statyczną . Bezpośrednią konsekwencją jest to, że stała powierzchnia współrzędnych czasowych ${\ displaystyle t = t_ {0}}$ tworzą rodzinę (izometrycznych) przestrzennych hiperplastrów (przestrzennych hiperpowierzchni).

W przeciwieństwie do wykresu Schwarzschilda, wykres izotropowy nie nadaje się dobrze do konstruowania diagramów osadzania tych hiperplastrów.

Rodzina statycznych sfer zagnieżdżonych

Powierzchnie pojawiają $- sferyczny)$ a od postaci linii element, widzimy, że metryka jest ograniczona do którejkolwiek z tych powierzchni

${\ Displaystyle g | _ {t = t_ {0}, r = r_ {0}} = b (r_ {0}) ^ {2} \, r_ {0} ^ {2} g_ {\ omega} =b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\varphi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\varphi <\pi}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Omega = (\ theta, \ varphi)}$$to$ i jest metryką Riemanna na 2 kuli o promieniu jednostkowym Oznacza to, że te $}$ współrzędnych reprezentują sfery geometryczne, ale wygląd niż $displaystyle r$ pokazuje, że współrzędne radialne nie odpowiadają obszarowi w taki sam sposób, jak kulom w zwykłej przestrzeni euklidesowej . Porównaj współrzędne Schwarzschilda, gdzie współrzędna radialna ma swoją naturalną interpretację w kategoriach zagnieżdżonych sfer.

Osobliwości współrzędnych

Loci wyznaczają granice wykresu izotropowego i podobnie jak na wykresie Schwarzschilda milcząco zakładamy, że $te$ że nasze domniemane okrągłe kule są rzeczywiście sferami topologicznymi.

Podobnie jak w przypadku wykresu Schwarzschilda, zakres współrzędnej radialnej może być ograniczony, jeśli metryka lub jej odwrotność eksploduje dla niektórych wartości tej współrzędnej.

Metryczny Ansatz

Podany powyżej element liniowy, z f, g, uważany za nieokreśloną funkcję współrzędnej izotropowej r, jest często używany jako metryczny Ansatz w wyprowadzaniu statycznych, sferycznie symetrycznych rozwiązań w ogólnej teorii względności (lub innych metrycznych teoriach grawitacji ).

Jako ilustrację naszkicujemy, jak obliczyć połączenie i krzywiznę za pomocą metody rachunku różniczkowego Cartana. Najpierw odczytujemy z elementu liniowego pole współramki ,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = - a (r) \ dt}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} = b (r ) \, dr}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = b (r) \, r \, d \ theta}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {3} = b (r) \, r \ \ sin (\ teta) \, d \ varphi}$

$nieokreślone$ uważamy za $_$ _ (Fakt, że nasza czasoprzestrzeń dopuszcza ramę mającą tę szczególną postać trygonometryczną, jest kolejnym równoważnym wyrażeniem pojęcia wykresu izotropowego w statycznej, sferycznie symetrycznej rozmaitości Lorentza). Biorąc zewnętrzne pochodne i używając pierwszego równania strukturalnego Cartana, znajdujemy, że połączenie niezerowe jest jedynkowe

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ Frac {f '\, dt} {g}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - \ lewo (1 + {\ Frac {r \, b'} {b}} \ prawo) \, d \ teta}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - \ lewo (1 + {\ Frac {r \, b'} {b}} \ prawo) \ \ sin (\ teta) \ d \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ cos (\ teta) \, d \ varphi}$

Biorąc ponownie pochodne zewnętrzne i podłączając do drugiego równania strukturalnego Cartana, stwierdzamy, że krzywizna ma postać dwupostaciową .

Zobacz też

• statyczna czasoprzestrzeń ,
• sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń ,
• płyny doskonałe statyczne sferycznie symetryczne ,
• Współrzędne Schwarzschilda , kolejny popularny wykres statycznych czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych,
• pola ramek w ogólnej teorii względności , aby uzyskać więcej informacji o polach ramek i polach współramek.

•   Misner, Thorne, Wheeler (1973). Grawitacja . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )