Czasoprzestrzeń sferycznie symetryczna

W fizyce czasoprzestrzenie sferycznie symetryczne są powszechnie stosowane w celu uzyskania analitycznych i numerycznych rozwiązań równań pola Einsteina w obecności promieniowo poruszającej się materii lub energii. Ponieważ sferycznie symetryczne czasoprzestrzenie są z definicji nierotacyjne, nie są realistycznymi modelami czarnych dziur w przyrodzie. Jednak ich metryki są znacznie prostsze niż w przypadku rotujących czasoprzestrzeni, co znacznie ułatwia ich analizę.

Modele sferycznie symetryczne nie są całkowicie nieodpowiednie: wiele z nich ma diagramy Penrose'a podobne do tych wirujących czasoprzestrzeni, a te zazwyczaj mają cechy jakościowe (takie jak horyzonty Cauchy'ego ), na które rotacja nie ma wpływu. Jednym z takich zastosowań jest badanie inflacji masy spowodowanej przeciwstawnymi strumieniami opadającej materii we wnętrzu czarnej dziury.

Definicja formalna

Sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń to czasoprzestrzeń , której grupa izometryczna zawiera podgrupę, która jest izomorficzna z grupą rotacyjną SO(3), a orbity tej grupy są 2-sferami (zwykłe 2-wymiarowe sfery w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej ). Izometrie są następnie interpretowane jako rotacje, a sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń jest często opisywana jako ta, której metryka jest „niezmiennicza przy obrotach”. Metryka czasoprzestrzeni indukuje metrykę na każdej orbicie 2-sfery (a ta indukowana metryka musi być wielokrotnością metryki 2-sfery). Konwencjonalnie zapisuje się metrykę na 2-sferze współrzędne biegunowe jako

${\ Displaystyle g _ {\ Omega} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2}$ }

zatem pełna metryka zawiera człon proporcjonalny do tego.

Symetria sferyczna jest charakterystyczną cechą wielu rozwiązań równań pola Einsteina ogólnej teorii względności , zwłaszcza rozwiązania Schwarzschilda i rozwiązania Reissnera-Nordströma . Sferycznie symetryczną czasoprzestrzeń można scharakteryzować w inny sposób, a mianowicie za pomocą pojęcia Killing pól wektorowych , które w bardzo precyzyjnym sensie zachowują metrykę . Izometrie, o których mowa powyżej, są w rzeczywistości lokalnymi dyfeomorfizmami przepływu Zabijania pól wektorowych i w ten sposób generowanie tych pól wektorowych. Dla sferycznie symetrycznej czasoprzestrzeni $istnieją$ 3 obrotowe pola wektorowe zabijania. Inaczej mówiąc, wymiar algebry zabijania wynosi 3; ${\ displaystyle K (M)}$ to znaczy ${\ displaystyle \ dim K (M) = 3}$ . Ogólnie rzecz biorąc, żaden z nich nie jest czasopodobny, ponieważ oznaczałoby to statyczną czasoprzestrzeń .

Wiadomo (patrz twierdzenie Birkhoffa ), że każde sferycznie symetryczne rozwiązanie równań pola próżniowego jest koniecznie izometryczne z podzbiorem maksymalnie rozszerzonego rozwiązania Schwarzschilda . Oznacza to, że obszar zewnętrzny wokół sferycznie symetrycznego obiektu grawitacyjnego musi być statyczny i asymptotycznie płaski .

Metryki sferycznie symetryczne

do zapisania metryki ( elementu linii) używa się współrzędnych sferycznych ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (t, r, \ theta, \ phi)}$ . Możliwych jest kilka wykresów współrzędnych ; obejmują one:

• Współrzędne Schwarzschilda
• Współrzędne izotropowe , w których stożki świetlne są okrągłe, przydatne do badania pyłów zerowych .
• Współrzędne biegunowe Gaussa , czasami używane do badania statycznych, sferycznie symetrycznych doskonałych płynów.
• Promień obwodowy podany poniżej, wygodny do badania inflacji masy.

Metryka promienia obwodowego

Jedną z popularnych miar stosowanych w badaniu masowej inflacji jest

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = - {\ Frac {dt ^ {2}} {\ alfa ^ {2}}} + {\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alfa }}\right)^{2}+r ^{2}\,g(\Omega).}$

Tutaj $promienia$ jednostkowego 2-sfery $Omega = (\ teta, \ phi)$ . Współrzędna promieniowa $obwód$$, że$$promieniu$ promieniem obwodowym, to znaczy tak, że właściwy wynosi Przy tym wyborze współrzędnych parametr $t}}$ że zmiany promienia obwodowego $beta$ (to znaczy, gdzie $)$ właściwy czas . Parametr $interpretować jako$ pochodną promienia obwodowego w swobodnie opadającej ramie staje się to wyraźne w formalizmie tetradowym .

Ortonormalny formalizm tetradowy

Należy zauważyć, że powyższa metryka jest zapisana jako suma kwadratów i dlatego można ją rozumieć jako jawne kodowanie vierbeina , a w szczególności ortonormalnej tetrady . Oznacza to, że tensor metryki można zapisać jako wycofanie metryki Minkowskiego : $\ displaystyle \ eta _ {ij}}$ :

$g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {ij} \, e_ {\; \ mu } ^ {i} \, e_ {\; \ nu }^{j}}$

gdzie $_$ . Konwencja tutaj i poniżej jest taka, że ​​indeksy rzymskie odnoszą się do płaskiego ortonormalnego układu tetradowego, podczas gdy indeksy greckie odnoszą się do układu współrzędnych. Odwrotność vierbeina można bezpośrednio odczytać z powyższej metryki jako

${\ Displaystyle e _ {\; \ mu} ^ {t} dx ^ {\ mu} = {\ Frac {dt} {\ alfa}}}$

${\ Displaystyle e _ {\; \ mu} ^ {r} dx ^ {\ mu } = {\ Frac {1} {\ beta _ {r}}} \ lewy(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\ Displaystyle e _ {\; \ mu } ^ {\ theta} dx ^ {\ mu} = rd \ theta}$

${\ Displaystyle e_ {\; \ mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

gdzie przyjęto podpis. ${\ displaystyle (- +++)}$ . Zapisana jako macierz, odwrotność vierbein jest

${\ Displaystyle e _ {\; \ mu} ^ {i} = {\ początek {bmatrix} {\ Frac {1} \alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0 \\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

Samo vierbein jest odwrotnością (-transpozycją) odwrotności vierbein

${\ Displaystyle e_ {i} ^ {\; \ mu} = {\ początek {bmatrix} \ alfa i \ beta _ {t} i 0 i 0 \ \0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

To znaczy ${\ Displaystyle (e _ {\; \ mu } ^ {i}) ^ {T} e_ {i} ^ {\ ;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }} jest macierzą tożsamości$ .

Szczególnie prosta forma powyższego jest głównym czynnikiem motywującym do pracy z daną metryką.

Verbein wiąże pola wektorowe w układzie współrzędnych z polami wektorowymi w układzie tetradowym, as

${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} = e_ {i} ^ {\; \ mu} {\ Frac {\ częściowe \; \;} {\ częściowe x ^ {\ mu }}}}$

Najciekawsze z nich to właściwy czas w pozostałej klatce i ${t}},$$\ displaystyle \ częściowy _$ który jest pochodną promieniową w pozostałej części rama. Z konstrukcji, jak zauważono wcześniej, $to$ szybkość zmiany promienia obwodowego; można to teraz wyraźnie zapisać jako

${\ Displaystyle \ beta _ {t} = \ częściowe _ {t} r}$

Podobnie, ktoś ma

${\ displaystyle \ beta _ {r} = \ częściowe _ {r} r}$

który opisuje gradient (w swobodnie opadającej ramie tetradowej) promienia obwodowego w kierunku promieniowym. To nie jest ogólna jedność; porównać na przykład ze standardowym rozwiązaniem Swarschild lub rozwiązaniem Reissnera-Nordströma. Znak $;$ „która droga jest w dół” znak ${\ displaystyle \ beta _ {r}} rozróżnia ramki przychodzące$ , tak że jest ramką przychodzącą i ${\ displaystyle \ beta _ {r}> 0}$${\ displaystyle \ beta _ {r}}$ jest ramką wychodzącą.

Te dwie relacje na promieniu obwodowym stanowią kolejny powód, dla którego ta konkretna parametryzacja metryki jest wygodna: ma prostą, intuicyjną charakterystykę.

Formularz połączenia

Formę połączenia w ramce tetradowej można zapisać za pomocą symboli Christoffela w ramce tetradowej, które są dane przez ${\ displaystyle \ Gamma _ {ijk}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {rtt} = - \ częściowe _ {r} \ ln \ alfa}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {rtr} = - \ beta _ {t} {\ Frac {\ częściowe \ ln \ alfa} {\ częściowe r}} + {\ Frac {\ częściowe \ beta _ {t}} częściowe r}} - \ częściowe _ {t} \ ln \ beta _ {r}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ theta t \ teta} = \ Gamma _ {\ phi t \ phi } = {\ Frac {\ beta _ {t}} {r}}}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ theta r \ teta} = \ Gamma _ {\ phi r \ phi} = {\ Frac {\ beta _ {r}} {r}}} Γ$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ phi \ theta \ phi} = {\ Frac {\ łóżeczko \ theta} {r}}}$

a wszystkie inne zero.

Równania Einsteina

Kompletny zestaw wyrażeń dla tensora Riemanna , tensora Einsteina i skalara krzywizny Weyla można znaleźć w Hamilton & Avelino. Równania Einsteina stają się

${\ Displaystyle \ nabla _ {t} \ beta _ {t} = - {\ Frac {M} {r ^ {2}}} -4 \ pi rp }$

${\ Displaystyle \ nabla _ {t} \ beta _ {r} = 4 \ pi rf}$

gdzie $jest$ kowariantną pochodną czasu (i $połączeniem$ Levi -Civita ), $promieniowym$ ( a nie ) i $strumień$ energii. Masa jest masą Misnera-Thorne’a lub masą wewnętrzną, wyrażoną wzorem ${\ displaystyle M (r)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {2M} {r}} -1 = \ beta _ {t} ^ {2} - \ beta _ {r} ^ {2} }$

Ponieważ równania te są w rzeczywistości dwuwymiarowe, można je rozwiązać bez przytłaczających trudności, przyjmując różne założenia dotyczące natury opadającej materii (tj. przy założeniu, że sferycznie symetryczna czarna dziura akreuje naładowany lub obojętny pył, gaz , plazma lub ciemna materia, o wysokiej lub niskiej temperaturze, czyli materiał o różnych równaniach stanu .)

Zobacz też

• Statyczna czasoprzestrzeń
• Stacjonarna czasoprzestrzeń
• Symetrie czasoprzestrzenne
• Przestrzeń De Sittera

•   Wald, Robert M. (1984). Ogólna teoria względności . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2 . Zobacz Sekcję 6.1, aby zapoznać się z omówieniem symetrii sferycznej .