Rzutowe pole wektorowe

Rzutowe pole wektorowe ( rzutowe $M}$ jest gładkim polem wektorowym na rozmaitości semiriemannowskiej (pex czasoprzestrzeń ) , którego przepływ zachowuje strukturę geodezyjną bez konieczności zachowania parametru afinicznego $displaystyle$ dowolny geodezyjny. Bardziej intuicyjnie, przepływ projekcji płynnie odwzorowuje geodezję na geodezję bez zachowania parametru afinicznego.

Rozkład

Mając do czynienia z polem wektorowym na rozmaitości półriemannowskiej (np. w ogólnej $teorii względności$ ), często przydatne jest rozłożenie pochodnej kowariantnej na jej części symetryczne i skośno-symetryczne: X {\ displaystyle X

${\ Displaystyle X_ {a; b} = {\ Frac {1} {2}} h_ {ab} + F_ {ab}}$

Gdzie

${\ Displaystyle h_ {ab} = ({\ mathcal {L}} _ {X} g) _ {ab} = X_ {a; b} + X_ {b; a}}$

I

$\ Displaystyle F_ {ab} = {\ Frac {1} {2}} (X_ {a; b} -X_ {b; a}) }$

Zauważ, że ${\ displaystyle X_ {a}}$ są kowariantnymi składnikami ${\ displaystyle X}$ .

Równoważne warunki

Z matematycznego punktu widzenia warunek, aby pole wektorowe było rzutowe, jest równoważny istnieniu jednoformatowego spełniania $X}$$displaystyle$

${\ Displaystyle X_ {a; bc} \ = R_ {abcd} X ^ {d} + 2g_ {a (b} \ psi$

co jest równoważne

${\ Displaystyle h_ {ab; c} \ = 2g_ {ab} \ psi _ {c} + g_ {ac} \ psi$

Zbiór wszystkich globalnych rzutowych pól wektorowych na połączonej lub zwartej rozmaitości tworzy skończenie wymiarową $) i spełnia dla$ oznaczoną przez ${\ Displaystyle \ dim P (M) \ równoważnik n (n + 2)}$ algebra rzutowa rozmaitości warunek: . Tutaj rzutowe pole wektorowe jest jednoznacznie określane przez określenie wartości ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ nabla X}$ i ${\ Displaystyle \ nabla \ nabla X}$ (równoważnie, określając ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle h}$ , $}$${\ Displaystyle$$)$ i w dowolnym punkcie ${\ displaystyle M}$ . (Dla niepołączonych rozmaitości należy określić te 3 w jednym punkcie na połączony komponent.) Projekcje również spełniają właściwości:

${a}{}_{c}\psi _{b;d}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} R ^ {a} {} _ {bcd} = \ delta ^ {a} {} _ {d} \ psi _ {b; c} - \ delta$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} R_ {ab} = -3 \ psi _ {a; b}}$

Podalgebry

$,$ które tworzą podalgebry . Te podalgebry są przydatne na przykład do klasyfikowania czasoprzestrzeni w ogólnej teorii względności.

Algebra afiniczna

Afiniczne pola wektorowe ( $($ ) spełniają ${\ displaystyle \ nabla h = 0}$ równoważnie, i stąd każda afiniczna jest rzutowa. Afiny zachowują strukturę geodezyjną pół Riem. rozmaitość (odczytaj czasoprzestrzeń), zachowując jednocześnie parametr afiniczny. Zbiór wszystkich afinów na ) P. ( M $\$$}$${\ Displaystyle A (M)}$ ( algebra afiniczna ) i spełnia połączone M , ${\ Displaystyle \ dim A (M) \ równoważnik n (n + 1) }$ . Wektor afiniczny $)$ jednoznacznie określany przez określenie wartości pola wektorowego i jego pierwszej pochodnej kowariantnej ( $równoważnie$ określając $i$ i ) w dowolnym punkcie ${\ displaystyle M}$ . Afiny zachowują również tensory Riemanna, Ricciego i Weyla, tj

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} R ^ {a} {} _ {bcd} = 0}$ , $\ Displaystyle {\ mathcal { L}} _ {X} R_ {ab} = 0}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} C ^ {a} {} _ {bcd} = 0 }$

Algebra homotetyczna

Homotetyczne pola wektorowe ( homotety ) zachowują metrykę do stałego współczynnika, tj. ${\ Displaystyle h = {\ mathcal {L}} _ {X} g = 2cg}$ . ∇ ${\ Displaystyle \ nabla h = 0} ,$$\ Displaystyle A (M)}$ afiniczna a zbiór wszystkich jednorodności na tworzy podalgebrę Lie oznaczoną $)$ przez ${\ Displaystyle H (M)}$ ( algebra homotetyczna ) i spełnia połączone M

${\ Displaystyle \ dim H (M) \ równoważnik {\ Frac {1} {2}} n (n + 1) + 1}$ .

przez określenie wartości pola wektorowego i jego pierwszej kowariantnej pochodnej (równoważnie, określając ) w dowolnym punkcie ${\ displaystyle X}$$i$ fa $\ displaystyle c$ Kolektor.

Zabijanie algebry

Pola wektorów zabijania (zabójstwa) zachowują metrykę, tj. ${\ displaystyle h = {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0}$ . Biorąc ${\ displaystyle c = 0}$ we właściwości definiującej jednorodność, widać, że każde Zabijanie jest jednorodnością (a więc afiną), a zbiór wszystkich pól wektorowych Zabijania na tworzy ${\ displaystyle M}$ Podalgebra kłamstw oznaczona przez $\ Displaystyle H ($${\ Displaystyle K (M)}$ ( algebra zabijania ) i spełnia połączone M

${\ Displaystyle \ dim K (M) \ równoważnik {\ Frac {1} {2}} n (n + 1)}$ .

$i$ jednoznacznie określane przez określenie wartości pola wektorowego i jego pierwszej kowariantnej pochodnej (równoważnie, określając ) $w$ dowolnym punkcie (dla każdego połączonego składnika) $} \displaystyle M}$ .

Aplikacje

W ogólnej teorii względności wiele czasoprzestrzeni ma pewne symetrie, które można scharakteryzować za pomocą pól wektorowych w czasoprzestrzeni. Na przykład przestrzeń Minkowskiego $=$ maksymalną algebrę rzutową, tj. $}}) = 24}$ .

Wiele innych zastosowań pól wektorowych symetrii w ogólnej teorii względności można znaleźć w Hall (2004), który zawiera również obszerną bibliografię, w tym wiele artykułów naukowych z dziedziny symetrii w ogólnej teorii względności .

•   Biedny, W. (1981). Różniczkowe struktury geometryczne . Nowy Jork: McGraw Hill. ISBN 0-07-050435-0 .
• Yano, K. (1970). Wzory całkowe w geometrii riemannowskiej . Nowy Jork: Marcel Dekker. ISBN ???.
•   Hall, Graham (2004). Symetrie i struktura krzywizny w ogólnej teorii względności (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapur: Światowy Pub Naukowy. ISBN 981-02-1051-5 .