Zabijanie pola wektorowego

W matematyce pole wektorowe Killinga ( często nazywane polem Killinga ), nazwane na cześć Wilhelma Killinga , jest polem wektorowym na rozmaitości riemannowskiej (lub rozmaitości pseudo-riemanna ), która zachowuje metrykę . Pola śmierci są nieskończenie małymi generatorami izometrii ; to znaczy przepływy generowane przez pola zabijania są ciągłymi izometriami rozmaitości . Mówiąc prościej, przepływ generuje symetrię w tym sensie, że przesunięcie każdego punktu obiektu o tę samą odległość w kierunku wektora zabijania nie zniekształci odległości na obiekcie.

Definicja

W szczególności pole wektorowe X jest polem zabijania, jeśli pochodna Liego względem X metryki g znika:

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0 \,.}$

Jeśli chodzi o połączenie Levi-Civita , tak

${\ Displaystyle g \ lewo (\ nabla _ {Y} X, Z \ prawej) + g \ lewo (Y, \ nabla _ {Z} X\prawo)=0\,}$

dla wszystkich wektorów Y i Z . We współrzędnych lokalnych odpowiada to równaniu Killing

${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mu} X _ {\ nu} + \ nabla _ {\ nu} X _ {\ mu} = 0 \,.}$

Warunek ten jest wyrażony w postaci kowariantnej. Dlatego wystarczy ustalić go w preferowanym układzie współrzędnych, aby obowiązywał we wszystkich układach współrzędnych.

Przykłady

Pole śmierci na okręgu

Pole śmierci na okręgu i płynięcie wzdłuż pola śmierci (powiększ dla animacji)

Pole wektorowe na okręgu, które jest skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara i ma taką samą długość w każdym punkcie, jest polem wektorowym Killing, ponieważ przesuwanie każdego punktu na okręgu wzdłuż tego pola wektorowego po prostu obraca okrąg.

Pola śmierci w płaskiej przestrzeni

Tutaj wyprowadzamy pola zabijania dla ogólnej płaskiej przestrzeni. Z równania Killinga i tożsamości Ricciego dla kowektora $a}}$ {

$\ Displaystyle \ nabla _ {a} \ nabla _ {b} K_ {c} - \ nabla _ {b} \ nabla _ {a}K_{c}=R^{d}{}_{kabina}K_{d}}$

(przy użyciu abstrakcyjnej notacji indeksowej ) gdzie jest $^$ krzywizny Riemanna następującą tożsamość można udowodnić dla pola zabijania ${a}}$$X$ :

${\ Displaystyle \ nabla _ {a} \ nabla _ {b} X_ {c} = R ^ {d} _ {acb} X_ {d}.}$

Gdy rozmaitość podstawowa $}$ przestrzenią płaską, to znaczy przestrzenią euklidesową lub ewentualnie przestrzenią pseudoeuklidesową (jak w przypadku przestrzeni Minkowskiego), możemy wybrać globalne płaskie współrzędne takie, że w tych współrzędnych połączenie Levi-Civita i M {\ displaystyle M stąd krzywizna Riemanna znika wszędzie, dając

${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} \ częściowe _ {\ nu} X _ {\ rho} = 0.}$

Całkowanie i narzucanie równania zabijania pozwala nam napisać ogólne rozwiązanie jako ${\ displaystyle X_ {\ rho}$ }

${\ Displaystyle X ^ {\ rho} = \ omega ^ {\ rho \ sigma} x_ {\ sigma} + c ^ {\ rho}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ mu \ nu} = - \ omega ^ {\ nu \ mu}}$ jest antysymetryczne. Przyjmując odpowiednie wartości i , otrzymujemy podstawę dla uogólnionej algebry Poincarégo izometrii przestrzeni płaskiej: ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ mu \ nu}}$ i ${\ Displaystyle c ^ {\ rho}}$

${\ Displaystyle M _ {\ mu \ nu} = x _ {\ mu} \ częściowe _ {\ nu} -x_ {\ nu} \ częściowe _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle P _ {\ rho} = \ częściowe _ {\ rho}.}$

Generują one odpowiednio pseudorotacje (obroty i wzmocnienia) i translacje. Intuicyjnie zachowują one (pseudo)-metrykę w każdym punkcie.

$( pseudo-)$ o całkowitym wymiarze w sumie istnieją płaska przestrzeń jest Ta liczba jest ogólna dla maksymalnie symetrycznych przestrzeni. Przestrzenie maksymalnie symetryczne można rozpatrywać jako podrozmaitości przestrzeni płaskiej, powstające jako powierzchnie o stałej właściwej odległości

${\ Displaystyle \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {p, q}: \ eta (\ mathbf {{ x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

które mają symetrię O(p,q) . Jeśli podrozmaitość ma wymiar $.$ ta grupa symetrii ma oczekiwany wymiar (jako grupa Liego )

Heurystycznie możemy wyprowadzić wymiar algebry pola Killinga. Traktowanie równania Killinga ${\ Displaystyle \ nabla _ {a} X_ {b} + \ nabla _ {b} X_ {a} = 0}$${\ Displaystyle \ nabla _ {a} \ nabla _ {b} X_ {c} = R ^ {c} _ {zły} X_ {c}.} jako układ równań różniczkowych drugiego rzędu$ z tożsamością dla ${\ displaystyle X_ {a}}$$,$ możemy określić wartość $w$ dowolnym momencie, biorąc pod uwagę dane początkowe Początkowe dane określają i $Displaystyle \ nabla _ {a} X_ {b} (p)$${\$ , że pochodna kowariantna jest antysymetryczna. W sumie jest to ${\ Displaystyle nn (n-1)/2 = n (n + 1)/2}$ niezależne wartości danych początkowych.

Konkretne przykłady można znaleźć poniżej, aby zapoznać się z przykładami przestrzeni płaskiej (przestrzeń Minkowskiego) i maksymalnie symetrycznych przestrzeni (kula, przestrzeń hiperboliczna).

Pola śmierci na płaszczyźnie hiperbolicznej

Pole śmierci na modelu górnej połowy płaszczyzny, na półkolistym wyborze punktów. To pole wektora zabijania generuje specjalną transformację konforemną. Kolor wskazuje wielkość pola wektorowego w tym punkcie.

Przykład zabawki dla pola wektora zabijania $się$ wyposażonej metrykę Poincaré ${\ Displaystyle g = y ^ {- 2} \ lewo (dx ^ {2} + dy ^ {2} \ prawo)}$ . Para ${\ Displaystyle (M, g)}$ jest zwykle nazywana $płaszczyzna$ hiperboliczna i wektora zabijania (przy użyciu standardowych współrzędnych). Powinno to być intuicyjnie jasne $,$ ponieważ pochodna kowariantna przenosi metrykę wzdłuż krzywej całkowej generowanej przez pole wektorowe (którego obraz oś).

Co więcej, metryka jest niezależna od $jest$$,$ z czego możemy od razu wywnioskować, że zabijania, korzystając z jednego z wyników poniżej w tym artykule

Grupa izometrii modelu górnej półpłaszczyzny (a raczej składnika połączonego z tożsamością) to ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {R})}$ (patrz model półpłaszczyzny Poincarégo ), a pozostałe dwa pola zabijania można wyprowadzić z rozważenia działania generatorów ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {R})}$ na górnej półpłaszczyźnie. Pozostałe dwa generujące pola zabijania to dylatacja ${\ Displaystyle D = x \ częściowe _ {x} + y \ częściowe _ {y}}$ i specjalna transformacja konforemna ${\ styl wyświetlania K=(x^{2}-y^{2})\częściowy _{x}+2xy\częściowy _{y}}$ .

Pola śmierci na 2-sferze

Pole śmierci na kuli. To pole wektora Killing generuje obrót wokół osi Z. Kolor wskazuje wysokość punktu bazowego każdego wektora w polu. Powiększ, aby zobaczyć animację przepływu wzdłuż pola śmierci.

$}}$ dwusfery lub bardziej ogólnie -sfery ${\$$S ^ {$ powinny być „oczywiste” od zwykłych intuicja: sfery posiadające symetrię obrotową powinny posiadać pola zabijania generujące obroty wokół dowolnej osi. Oznacza to $że$ że oczekujemy, będzie miał symetrię pod działaniem grupy rotacji 3D (3) .

Po wyraźnym wyrażeniu w kategoriach standardowego $współrzędnych$ dla , pola zabijania mają nieoczywistą strukturę, która przesłania ich naturę Jest to wyartykułowane poniżej. Ta „nieoczywista” struktura jest typowa dla rozmaitości, które nie są sferami, a zatem 2-sfera zapewnia dobry model zabawkowy, na którym można badać intuicyjną interpretację pól śmierci.

Konwencjonalny wykres dla 2-kuli osadzonej we współrzędnych kartezjańskich ${\ Displaystyle$ jest podany przez $\ mathbb {R} ^ {3} }$

${\ Displaystyle x = \ sin \ teta \ cos \ fi, \ qquad y = \ sin \ teta \ sin \ fi, \qquad z=\cos \theta }$

tak, że parametryzuje wysokość i parametryzuje obrót wokół $displaystyle \$$theta$$}$ .

Cofając standardową $_$ _ współrzędne dają standardową metrykę na kuli,

${\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ teta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ teta d \ phi ^ {2}}$ .

Intuicyjnie, obrót wokół dowolnej osi powinien być izometrią. Na tym wykresie możemy od razu zapisać pole wektorowe, które generuje obroty wokół -osi: ${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ phi}}.}$

$sposobem,$$współrzędnych$ wszystkie komponenty metryczne są niezależne od aby zobaczyć, że wektorem zabijania (patrz poniżej ).

Naiwnie moglibyśmy mieć nadzieję na znalezienie innego wektora zabijania

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ teta}}.}$

Metryka jest zależna od $,$ że jest to wektor zabijania. W rzeczywistości, jawna ocena równania Killinga ujawnia, że ​​nie jest to pole Killinga. $dół$ przepływ generowany przez przesuwa punkty . W pobliżu $.$ metrykę, i widzimy, że nie jest to izometria, a zatem nie pole zabijania

Pola zabijania mają tę właściwość, że nawias Lie dwóch pól zabijania jest nadal polem zabijania. Zatem pola zabijania na rozmaitości M tworzą podalgebrę Liego pól wektorowych na M . Na przykład, możemy chcieć obliczyć wymiar tej algebry i jej stałe strukturalne oraz ewentualnie zidentyfikować algebrę Liego.

Ponieważ $_ Niestety,$ podstawą $.$ wcześniej, nie jest polem zabijania W tych współrzędnych trudno odgadnąć inne Pola Śmierci.

Możemy zrealizować algebrę pól śmierci, uznając ją $za$ osadzoną rozmaitość i pracując w ortonormalnych współrzędnych kartezjańskich $mathbb {R} ^ {3}$${\ displaystyle x, y, z}$ gdzie komutatory okażą się proste.

Generator jest rozpoznawany jako obrót wokół $z$$displaystyle z}$ \

${\ Displaystyle Z = x \ częściowe _ {y} -y \ częściowe _ {x} = 2 \ częściowe _ {\ fi}}$

Drugim generatorem są obroty wokół osi ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle X = z \ częściowe _ {y} -y \ częściowe _ {z}}$

Dojeżdżając do pracy tymi dwoma, znajduje się trzeci generator obrotów wokół osi ${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle Y = [X, Z] = z \ częściowe _ {x} -x \ częściowe _ {z}}$

Algebra dana przez liniowe kombinacje tych trzech generatorów zamyka się i mamy relacje

${\ Displaystyle [X, Y] = Z \ quad [Y, Z] = X \ quad [Z, Y] = X.}$ Identyfikujemy to jako algebrę Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc }}(3)}$

Wyrażenie i ${\ displaystyle Y}$ w kategoriach współrzędnych sferycznych daje ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle X = \ sin \ phi \ częściowe _ {\ teta} + \ łóżeczko \ teta \ cos \ phi \ częściowe _ {\ phi}}$

I

${\ Displaystyle Y = \ cos \ phi \ częściowe _ {\ teta} - \ łóżeczko \ teta \ grzech \ phi \ częściowe _ {\ phi}}$

Chcielibyśmy powiedzieć, że te trzy pola zabijania to kompletny zestaw generatorów algebry. Jednym ze sposobów, aby $\ mathbb {R} ^ {3} }$ zobaczyć, jest to, że jako podrozmaitość , jej symetrie są ścisłym podzbiorem symetrii $displaystyle$ . Symetrie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ są generowane przez obroty i translacje. Można to pokazać za pomocą równania Killinga. Translacje nie zachowują sfery jednostkowej, ale rotacje tak. $to$ kompletny zestaw generatorów algebry pól zabijania, które możemy obrotów

Pola śmierci w przestrzeni Minkowskiego

Pola śmierci przestrzeni Minkowskiego to 3 translacje przestrzeni, translacja czasu, trzy generatory obrotów ( mała grupa ) i trzy generatory wzmocnień . To są

• Translacje czasu i przestrzeni

  ${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ~, \ qquad \ częściowe _ {x} ~, \ qquad \ częściowe _ {y} ~, \ qquad \ częściowe _ {z} ~;}$

• Pola wektorowe generujące trzy obroty, często nazywane generatorami J ,

  ${\ Displaystyle -y \ częściowe _ {x} + x \ częściowe _ {y} ~, \ qquad -z \ częściowe _ {y} + y \ częściowe _ {z} ~, \ qquad -x \ częściowe _ {z }+z\częściowo _{x}~;}$

• Pola wektorowe generujące trzy wzmocnienia, generatory K ,

  ${\ Displaystyle x \ częściowe _ {t} + t \ częściowe _ {x} ~, \ qquad y \ częściowe _ {t} + t \ częściowe _ {y} ~, \ qquad z \ częściowe _ {t} + t \częściowe _{z}.}$

Wzmocnienia i rotacje generują grupę Lorentza . Wraz z translacjami czasoprzestrzennymi tworzy to algebrę Liego dla grupy Poincarégo .

Pola śmierci w ogólnej teorii względności

Pola śmierci są używane do omawiania izometrii w ogólnej teorii względności (w której geometria czasoprzestrzeni zniekształcona przez pola grawitacyjne jest postrzegana jako 4-wymiarowa rozmaitość pseudo-riemanna ). W konfiguracji statycznej, w której nic nie zmienia się w czasie, wektor czasu będzie wektorem zabijania, a zatem pole zabijania będzie wskazywało kierunek ruchu do przodu w czasie. Na przykład metryka Schwarzschilda ma cztery pola zabijania: metryka jest niezależna $stąd$ , ${\ displaystyle \partial _ {t}}$ to podobne do czasu pole zabijania. Pozostałe trzy to trzy generatory obrotów omówione powyżej. Metryka Kerra dla obracającej się czarnej dziury ma tylko dwa pola zabijania: pole podobne do czasu i pole generujące obroty wokół osi obrotu czarnej dziury.

Przestrzeń de Sittera i ${\ Frac {n (n + 1)}} 2}}}$ anty-de Sittera to przestrzenie maksymalnie symetryczne, przy czym -wymiarowe wersje każdej z nich posiadają $Displaystyle$ Pola śmierci.

Pole śmierci o stałej współrzędnej

sol ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} \,}$ w jakiejś podstawie współrzędnych ${a} \,}$ ze współrzędnych $Displaystyle dx$ , wtedy ${\ Displaystyle K ^ {\ mu} = \ delta _ {\ kappa} ^ {\ mu} \,}$ jest wektorem zabijania, gdzie ${\ Displaystyle \ delta _ {\ kappa} ^ {\ mu} \,}$ to delta Kroneckera .

Aby to udowodnić, załóżmy ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu}, _ {0} = 0 \,}$ . $K ^ {\ mu} = \ delta _ {0} ^ {\ mu} \,}$$\ styl wyświetlania K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$ i K

Teraz spójrzmy na warunek zabicia

${\ Displaystyle K _ {\ mu; \ nu} + K _ {\ nu; \ mu} = K_ {\ mu, \ nu} + K_ {\ nu, \ mu} -2 \ Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{ \sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

i od ${\ Displaystyle g _ {\ rho 0} g ^ {\ rho \ sigma} = \ delta _ {0} ^ {\ sigma} \,$ . Stan Zabicia staje się

${\ Displaystyle g_ {\ mu 0, \ nu} + g_ {\ nu 0, \ mu} - (g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,}$

to jest ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu, 0} = 0}$ , co jest prawdą.

• Fizyczne znaczenie jest na przykład takie, że jeśli żaden ze współczynników metrycznych nie jest funkcją czasu, rozmaitość musi automatycznie mieć podobny do czasu wektor zabijania.
• W kategoriach laika, jeśli obiekt nie przekształca się ani nie „ewoluuje” w czasie (kiedy mija czas), upływający czas nie zmieni wymiarów obiektu. Sformułowany w ten sposób wynik brzmi jak tautologia, ale trzeba zrozumieć, że przykład jest bardzo wymyślony: Pola zabijania dotyczą również znacznie bardziej złożonych i interesujących przypadków.

I odwrotnie, jeśli metryka $dopuszcza$ pole śmierci $Displaystyle \ częściowe$${ 0}g_{\mu \nu}=0}$ można skonstruować współrzędne, dla których . Te $współrzędne$ są konstruowane przez przyjęcie hiperpowierzchni takiej, że $nigdzie$ nie jest styczna do $displaystyle \ Sigma$ . Weź współrzędne ${\ Displaystyle x ^ {i}}$ na ${\ Displaystyle \ Sigma}$ , a następnie zdefiniuj lokalne współrzędne ${\ Displaystyle (t, x ^ {i})}$ gdzie oznacza ${\ displaystyle t}$ parametr wzdłuż $za {\ Displaystyle X ^ {a}}$ całkowej oparty na $}$ podstawie ( $\ Displaystyle (x ^ {i})$ . W tych współrzędnych pochodna Liego redukuje się do pochodnej współrzędnych, to znaczy

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g _ {\ mu \ nu} = \ częściowe _ {0} g_ {\ mu \ nu}}$

a zgodnie z definicją pola zabijania lewa strona znika.

Nieruchomości

Pole zabijania jest określone jednoznacznie przez wektor w pewnym punkcie i jego gradient (tj. wszystkie kowariantne pochodne pola w punkcie).

Nawias Kłamstwa dwóch pól zabijania jest nadal polem zabijania. Pola zabijania na rozmaitości M tworzą zatem podalgebrę Liego pól wektorowych na M . To jest algebra Liego grupy izometrii rozmaitości, jeśli M jest zupełna . Rozmaitość Riemanna z przechodnią grupą izometrii jest przestrzenią jednorodną .

Do rozdzielaczy kompaktowych

• Ujemna krzywizna Ricciego oznacza, że ​​nie ma nietrywialnych (niezerowych) pól zabijania.
• Niedodatnia krzywizna Ricciego oznacza, że ​​dowolne pole Killinga jest równoległe. tj. pochodna kowariantna wzdłuż dowolnego pola wektorowego jest identycznie zerowa.
• Jeśli krzywizna przekroju jest dodatnia, a wymiar M jest parzysty, pole zabijania musi mieć zero.

Kowariantna dywergencja każdego pola wektora Killing znika.

Jeśli $_$ polem $zabijania$ i jest polem $jest$ , _ _

Jeśli jest $polem$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = 0 \,.}$$.$ i jest harmoniczną formą p to

Geodezja

Każdy wektor zabijania odpowiada wielkości, która jest zachowana wzdłuż geodezji . Ta zachowana ilość jest iloczynem metrycznym między wektorem Killinga a geodezyjnym wektorem stycznym. Wzdłuż afinicznie sparametryzowanej geodezyjnej z wektorem stycznym $U ^ {b}$$następnie$ biorąc pod uwagę wektor zabijania , ilość $Displaystyle$ jest konserwowane:

${\ Displaystyle U ^ {a} \ nabla _ {a} (U ^ {b} X_ {b}) = 0}$

Pomaga to w analitycznym badaniu ruchów w czasoprzestrzeni z symetriami.

Tensor energii naprężenia

Biorąc pod uwagę zachowany, symetryczny tensor ${\ Displaystyle T ^ {ab}}$ , to znaczy spełniający ${\ Displaystyle T ^ {ab} = T ^ {ba}}$ i $\ Displaystyle \ nabla _ {a} T ^ {ab} = 0}$ , które są właściwościami typowymi dla tensora energii naprężenia i wektora zabijania , możemy skonstruować ${\ Displaystyle X_ {b}}$ konserwowana ilość ${\ Displaystyle J ^ {a}: = T ^ {ab} X_ {b}}$ satysfakcjonujące

${\ Displaystyle \ nabla _ {a} J ^ {a} = 0.}$

Rozkład Cartana

Jak wspomniano powyżej, nawias Lie dwóch pól zabijania jest nadal polem zabijania. Pola zabijania na rozmaitości $tworzą$$zatem$ Lie subalgebra wszystkich pól ${\ Displaystyle M.}$ Wybór punktu algebrę można rozłożyć na dwie części: ${\ Displaystyle p \ in M ​​~,}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} = \ {X \ w {\ mathfrak {g}}: X (p) = 0 \}}$

I

${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = \ {X \ w {\ mathfrak {g}}: \ nabla X (p) = 0 \}}$

gdzie $kowariantną$ pochodną . _ Te dwie części przecinają się trywialnie, ale generalnie nie rozdzielają się ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Na przykład, jeśli jest jednorodną przestrzenią Riemanna, mamy ${\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {m}$$Displaystyle$ wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ symetryczną przestrzenią.

$.$ izometrie lokalnie definiują podrozmaitość całkowitej przestrzeni, a pola zabijania pokazują, jak „przesuwać się” po $podrozmaitości$ Rozciągają się one na przestrzeni stycznej tej podrozmaitości. Przestrzeń styczna $skutecznie$ mieć ten sam wymiar, co izometrie działające punkcie . Oznacza to, że oczekuje się, że ${\ Displaystyle T_ {p} N \ cong {\ mathfrak {m.}} ~.}$ Jednak ogólnie rzecz biorąc, liczba pól zabijania jest większa niż wymiar tej przestrzeni stycznej. Jak to może być? Odpowiedź jest taka, że ​​„dodatkowe” pola zabijania są zbędne. Wzięte razem, pola zapewniają nadmiernie kompletną podstawę dla przestrzeni stycznej w dowolnym wybranym punkcie; kombinacje liniowe mogą zniknąć w tym konkretnym punkcie. Było to widoczne na przykładzie Pola Śmierci na 2-sferze: są 3 Pola Śmierci; w dowolnym punkcie dwa obejmują przestrzeń styczną w tym punkcie, a trzeci jest liniową kombinacją pozostałych dwóch. Wybranie dowolnych dwóch definiuje ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m.}};}$ pozostałe zdegenerowane kombinacje liniowe definiują przestrzeń ortogonalną ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h.}}.}$

Inwolucja Cartana

Inwolucja Cartana jest zdefiniowana jako odbicie lustrzane lub odwrócenie kierunku geodezyjnego. Jego różniczka odwraca kierunek stycznych do geodezyjnej. Jest to operator liniowy normy jeden; ma dwie niezmienne podprzestrzenie o wartości własnej +1 i -1. Te dwie podprzestrzenie odpowiadają odpowiednio i p $\ displaystyle {\ mathfrak {p}$$}$ .

Można to zrobić bardziej precyzyjnie. Ustalając punkt, rozważ geodezyjny punkt $}$ przez ${\ Displaystyle p \ in M$ z ${\ Displaystyle \ gamma (0) = p ~.}$$Displaystyle p \$ Inwolucja jest zdefiniowana jako $p}}$ {

${\ Displaystyle \ sigma _ {p} (\ gamma (\ lambda)) = \ gamma (- \ lambda)}$

Ta mapa jest inwolucją, ponieważ ${\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = 1 ~.}$ Gdy ogranicza się do geodezji wzdłuż pól śmierci, jest to również wyraźnie izometria. Jest jednoznacznie zdefiniowany.

Niech $.$ grupą izometrii generowanych przez pola zabijania Funkcja ${\ Displaystyle s_ {p}: G \ do G}$ przez

${\ Displaystyle s_ {p} (g) = \ sigma _ {p} \ circ g \ circ \ sigma _ {p }=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

jest homomorfizmem sol $\ displaystyle G}$ . Jego nieskończenie mały jest θ $\ Displaystyle \ theta _ {p}: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ theta _ {p} (X) = \ lewo. {\ Frac {d} {d \ lambda}} s_ {p} \ lewo (e ^ {\ lambda X} \ prawo) \ prawo | _{\lambda =0}}$

W tym sensie inwolucja Cartana jest homomorfizmem algebry Liego

${\ Displaystyle \ teta _ {p} [X, Y] = \ lewo [\ teta _ {p} X, \ teta _ {p} Y \Prawidłowy]}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle X, Y \ in {\ mathfrak {g}} ~.}$ Podprzestrzeń ${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ma nieparzystą parzystość w ramach inwolucji Cartana , podczas gdy ${\ displaystyle {\ mathfrak {h }}}$ ma parzystość. Oznacza to, że oznaczając inwolucję Cartana w punkcie, $displaystyle$ θ p $\ theta _ {p}}$

$\ Displaystyle \ lewo. \ theta _ {p} \ prawo | _ {\ mathfrak {m}} = -Id}$

I

$\ Displaystyle \ lewo. \ theta _ {p} \ prawo | _ {\ mathfrak {h}} = + Id}$

gdzie $tożsamości$ . Z tego wynika, że ​​podprzestrzeń $w$ podalgebrą Lie z ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ tym ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {h}}, {\ mathfrak {h}}] \ subset {\ mathfrak {h}} ~.} Ponieważ są to parzyste i nieparzyste podprzestrzenie parzystości, nawiasy Liego są podzielone, tak$ że ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {h}}, {\ mathfrak {m}}] \ podzbiór {\ mathfrak {m}}}$ i ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {m}}, {\ mathfrak {m}}] \ podzbiór {\ mathfrak {h}} ~.}$

Powyższy rozkład zachodzi we wszystkich punktach dla $\ displaystyle$ symetrycznej $p \ in M}$ ; dowody można znaleźć w Jost. Utrzymują się również w bardziej ogólnych ustawieniach, ale niekoniecznie we wszystkich punktach rozmaitości.

W szczególnym przypadku przestrzeni symetrycznej wyraźnie stwierdza się, że $to$ znaczy pola zabijania obejmują całą styczną przestrzeń symetrycznej przestrzeni. Równoważnie, tensor krzywizny jest kowariantnie stały w przestrzeniach lokalnie symetrycznych, a więc są one lokalnie równoległe; to jest twierdzenie Cartana-Ambrose'a-Hicksa .

Uogólnienia

• $skalarnego$ uogólnić na pola wektorów zabijania ${\ displaystyle \ lambda.}$ przez dla pewnego Pochodne rodzin jednoparametrowych map konforemnych to konforemne pola zabijania.
• Zabijające pola tensorowe $znika$ symetryczne pola tensorowe T takie, że pozbawiona część symetryzacji . Przykłady rozmaitości z tensorami Killinga obejmują obracającą się czarną dziurę i kosmologię FRW .
• Zabijające pola wektorowe można również zdefiniować na dowolnej rozmaitości M (ewentualnie bez metryki), jeśli weźmiemy dowolną grupę Liego G działającą na nią zamiast grupy izometrii. W tym szerszym znaczeniu pole wektorowe zabijania jest przesunięciem niezmiennego pola wektorowego w prawo na G przez działanie grupowe. Jeśli działanie grupowe jest $skuteczne$ , to przestrzeń pól wektorowych Killing jest izomorficzna z algebrą Lie .

Zobacz też

• Afiniczne pole wektorowe
• Połączenie krzywizny
• Jednorodne pole wektorowe
• Zabójcza forma
• Zabójczy horyzont
• Zabijanie spinora
• Kolinacja materii
• Symetrie czasoprzestrzenne