Grupa izometrii
W matematyce grupa izometrii przestrzeni metrycznej jest zbiorem wszystkich izometrii bijektywnych (tj. map bijektywnych, zachowujących odległość) z przestrzeni metrycznej na siebie, ze złożeniem funkcji jako operacją grupową . Jej elementem tożsamościowym jest funkcja tożsamościowa . Elementy grupy izometrii są czasami nazywane ruchami przestrzeni.
Każda grupa izometrii przestrzeni metrycznej jest podgrupą izometrii. Reprezentuje w większości przypadków możliwy zbiór symetrii obiektów/figur w przestrzeni lub funkcji zdefiniowanych w przestrzeni. Zobacz grupę symetrii .
Dyskretna grupa izometrii to taka grupa izometrii, że dla każdego punktu przestrzeni zbiór obrazów punktu pod izometriami jest zbiorem dyskretnym .
W przestrzeni pseudoeuklidesowej metryka jest zastępowana izotropową formą kwadratową ; transformacje zachowujące tę formę są czasami nazywane „izometriami”, a następnie mówi się, że ich zbiór tworzy grupę izometrii przestrzeni pseudoeuklidesowej.
Przykłady
- Grupa izometrii podprzestrzeni przestrzeni metrycznej składającej się z punktów trójkąta skalenowego jest grupą trywialną . Podobną przestrzenią dla trójkąta równoramiennego jest grupa cykliczna drugiego rzędu, C 2 . Podobną przestrzenią dla trójkąta równobocznego jest D 3 , grupa dwuścienna rzędu 6 .
- kuli dwuwymiarowej to grupa ortogonalna O(3).
- Grupą izometrii n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest grupa euklidesowa E( n ).
- Grupa izometrii modelu dysku Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej to rzutowa specjalna grupa unitarna SU(1,1) .
- Grupa izometrii modelu półpłaszczyzny Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej to PSL(2,R) .
- Grupa izometrii przestrzeni Minkowskiego to grupa Poincarégo .
- Symetryczne przestrzenie Riemanna to ważne przypadki, w których grupa izometrii jest grupą Liego .
Zobacz też
- Grupa punktowa
- Grupy punktów w dwóch wymiarach
- Grupy punktów w trzech wymiarach
- Punkty stałe grup izometrii w przestrzeni euklidesowej