Izotropowa forma kwadratowa

W matematyce mówi się, że forma kwadratowa nad polem F jest izotropowa , jeśli istnieje niezerowy wektor, na którym forma ma wartość zero. W przeciwnym razie forma kwadratowa jest anizotropowa . Dokładniej, jeśli q jest formą kwadratową w przestrzeni wektorowej V nad F , to mówi się, że niezerowy wektor v w V jest izotropowy , jeśli q ( v ) = 0 . Forma kwadratowa jest izotropowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wektor izotropowy (lub wektor zerowy ) dla tej formy kwadratowej.

Załóżmy, że ( V , q ) jest przestrzenią kwadratową , a W jest podprzestrzenią V. Wtedy W nazywa się podprzestrzenią izotropową V , jeśli jakiś wektor w niej jest izotropowy, podprzestrzenią całkowicie izotropową , jeśli wszystkie wektory w niej są izotropowe, a podprzestrzenią anizotropową , jeśli nie zawiera żadnych (niezerowych) wektorów izotropowych. Indeks izotropii przestrzeni kwadratowej to maksimum wymiarów podprzestrzeni całkowicie izotropowych.

Kwadratowa postać q w skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej V jest anizotropowa wtedy i tylko wtedy, gdy q jest formą określoną :

albo q jest dodatnio określone , tj. q ( v ) > 0 dla wszystkich niezerowych v w V ;
for all non-zero v in V lub q jest ujemnie określone , tj. q ( v ) ) < 0 <

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli forma kwadratowa jest niezdegenerowana i ma sygnaturę ( a , b ) , to jej indeks izotropii jest minimum a i b . Ważny przykład formy izotropowej nad liczbami rzeczywistymi występuje w przestrzeni pseudoeuklidesowej .

Płaszczyzna hiperboliczna

Niech F będzie ciałem o charakterystyce innej niż 2 i V = F ² . Jeśli weźmiemy pod uwagę ogólny element ( x , y ) V , to formy kwadratowe q = xy i r = x ² − y ^{2 są równoważne} , ponieważ istnieje przekształcenie liniowe na V , które sprawia, że q wygląda jak r , i wzajemnie. Najwyraźniej ( V , q ) i ( V , r ) są izotropowe. Ten przykład nazywa się płaszczyzną hiperboliczną w teorii form kwadratowych . Wspólna instancja ma F = liczby rzeczywiste , w którym to przypadku { x ∈ V : q ( x ) = stała różna od zera} i { x ∈ V : r ( x ) = stała różna od zera} to hiperbole . W szczególności { x ∈ V : r ( x ) = 1} jest jednostkową hiperbolą . Notacja ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ została użyta przez Milnora i Husemollera dla płaszczyzny hiperbolicznej, ponieważ przedstawiono znaki wyrazów wielomianu dwuwymiarowego r .

Afiniczna płaszczyzna hiperboliczna została opisana przez Emila Artina jako przestrzeń kwadratowa o podstawie { M , N } spełniającej M ² = N ² = 0, NM = 1 , gdzie iloczyny reprezentują postać kwadratową.

Poprzez tożsamość polaryzacji forma kwadratowa jest powiązana z symetryczną postacią dwuliniową B ( u , v ) = 1 / 4 ( q ( u + v ) - q ( u - v )) .

Dwa wektory u i v są ortogonalne , gdy B ( u , v ) = 0 . W przypadku płaszczyzny hiperbolicznej takie u i v są hiperboliczno-ortogonalne .

Podziel przestrzeń kwadratową

Przestrzeń o formie kwadratowej jest rozszczepiona (lub metaboliczna ), jeśli istnieje podprzestrzeń równa swojemu własnemu dopełnieniu ortogonalnemu ; równoważnie wskaźnik izotropii jest równy połowie wymiaru. Płaszczyzna hiperboliczna jest przykładem, a na polu o charakterystyce różnej od 2 każda podzielona przestrzeń jest bezpośrednią sumą płaszczyzn hiperbolicznych.

Związek z klasyfikacją form kwadratowych

Z punktu widzenia klasyfikacji form kwadratowych przestrzenie anizotropowe są podstawowym budulcem przestrzeni kwadratowych o dowolnych wymiarach. Dla pola ogólnego F klasyfikacja anizotropowych form kwadratowych jest problemem nietrywialnym. Natomiast formy izotropowe są zwykle znacznie łatwiejsze w obsłudze. Zgodnie z twierdzeniem Witta o dekompozycji każda wewnętrzna przestrzeń iloczynu nad polem jest prostopadłą sumą prostą podzielonej przestrzeni i przestrzeni anizotropowej.

Teoria pola

Jeśli F jest ciałem algebraicznie zamkniętym , na przykład ciałem liczb zespolonych , a ( V , q ) jest przestrzenią kwadratową o wymiarze co najmniej dwa, to jest izotropowe.
Jeśli F jest ciałem skończonym , a ( V , q ) jest przestrzenią kwadratową o wymiarze co najmniej trzech, to jest izotropowe (jest to konsekwencją twierdzenia Chevalleya-Warninga ).
Jeśli F jest ciałem Q _p liczb p -adycznych , a ( V , q ) jest przestrzenią kwadratową o wymiarze co najmniej pięciu, to jest izotropowa.

Zobacz też

Pete L. Clark, Formy kwadratowe rozdział I: teoria Wittsa z University of Miami w Coral Gables na Florydzie .
Tsit Yuen Lam (1973) Algebraiczna teoria form kwadratowych , §1.3 Płaszczyzna hiperboliczna i przestrzenie hiperboliczne, WA Benjamin .
Tsit Yuen Lam (2005) Wprowadzenie do form kwadratowych na polach , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne ISBN 0-8218-1095-2 .
O'Meara, OT (1963). Wprowadzenie do form kwadratowych . Springer-Verlag . P. 94 §42D Izotropia. ISBN 3-540-66564-1 .
Serre, Jean-Pierre (2000) [1973]. Kurs z arytmetyki . Absolwent Teksty z matematyki : Klasyka matematyki. Tom. 7 (przedruk wyd. 3). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3 . Zbl 1034.11003 .