Hiperbola jednostkowa

Hiperbola jednostkowa jest niebieska, jej sprzężenie jest zielone, a asymptoty są czerwone.

W geometrii hiperbola jednostkowa to zbiór punktów ( x , y ) na płaszczyźnie kartezjańskiej , które spełniają ukryte równanie ${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1. }$ W badaniu nieokreślonych grup ortogonalnych hiperbola jednostkowa stanowi podstawę alternatywnej długości radialnej

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} -y ^ {2}}}.}$

Podczas gdy $okrąg$ otacza hiperbola jednostkowa wymaga hiperboli sprzężonej, ją w płaszczyźnie Ta para hiperboli ma wspólne asymptoty y = x i y = − x . Gdy używany jest koniugat hiperboli jednostkowej, alternatywna długość radialna to ${\ displaystyle r = {\ sqrt {y ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Hiperbola jednostkowa jest szczególnym przypadkiem hiperboli prostokątnej o określonej orientacji , położeniu i skali . W związku z tym jego ekscentryczność wynosi ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}.}$

Hiperbola jednostkowa znajduje zastosowania, w których okrąg musi zostać zastąpiony hiperbolą dla celów geometrii analitycznej. Wybitnym przykładem jest przedstawienie czasoprzestrzeni jako przestrzeni pseudoeuklidesowej . Tam asymptoty hiperboli jednostkowej tworzą stożek świetlny . Ponadto zwrócenie uwagi Gregoire'a de Saint-Vincenta na obszary sektorów hiperbolicznych doprowadziło do powstania funkcji logarytmicznej i nowoczesnej parametryzacji hiperboli według obszarów sektorów. Kiedy rozumie się pojęcia sprzężonych hiperboli i kątów hiperbolicznych, to klasyka liczby zespolone , które są zbudowane wokół koła jednostkowego, można zastąpić liczbami zbudowanymi wokół hiperboli jednostkowej.

Asymptoty

Główny artykuł: Asymptota

Ogólnie mówi się, że linie asymptotyczne do krzywej zbiegają się w kierunku krzywej. W geometrii algebraicznej i teorii krzywych algebraicznych istnieje inne podejście do asymptot. Krzywa jest najpierw interpretowana na płaszczyźnie rzutowej przy użyciu jednorodnych współrzędnych . Wtedy asymptoty są liniami, które są styczne do krzywej rzutowej w punkcie w nieskończoności , omijając w ten sposób jakąkolwiek potrzebę pojęcia odległości i zbieżności. We wspólnej ramie ( x, y, z ) są współrzędne jednorodne z linią w nieskończoności określone równaniem z = 0. Na przykład CG Gibson napisał:

Dla standardowej prostokątnej hiperboli w ℝ ² , odpowiednia krzywa rzutowa to ${\ Displaystyle$${\ Displaystyle F = x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}$ co spełnia z = 0 w punktach P = (1: 1: 0) i Q = (1: −1 : 0). Zarówno P, jak i Q są proste na F , ze stycznymi x + y = 0, x - y = 0; w ten sposób odzyskujemy znane „asymptoty” elementarnej geometrii.

schemat Minkowskiego

Główny artykuł: diagram Minkowskiego

Diagram Minkowskiego rysowany jest w płaszczyźnie czasoprzestrzennej, w której aspekt przestrzenny został ograniczony do jednego wymiaru. Jednostkami odległości i czasu na takiej płaszczyźnie są

• jednostki długości 30 centymetrów i nanosekund , lub
• jednostki astronomiczne i interwały 8 minut i 20 sekund, lub
• lata świetlne i lata .

Każda z tych skal współrzędnych skutkuje fotonowymi połączeniami zdarzeń wzdłuż ukośnych linii nachylenia plus lub minus jeden. Pięć elementów składa się na diagram, którego Hermann Minkowski użył do opisania przekształceń teorii względności: hiperbola jednostkowa, hiperbola sprzężona, osie hiperboli, średnica hiperboli jednostkowej i średnica sprzężona . Płaszczyzna z osiami odnosi się do spoczynkowego układu odniesienia . Średnica hiperboli jednostkowej reprezentuje układ odniesienia w ruchu z szybkością a gdzie tanh a = y / x i ( x , y ) to punkt końcowy średnicy na hiperboli jednostkowej. Średnica sprzężona reprezentuje przestrzenną hiperpłaszczyznę równoczesności odpowiadającą szybkości a . W tym kontekście hiperbola jednostkowa jest hiperbolą kalibracyjną . Powszechnie w teorii względności hiperbola z osią pionową jest traktowana jako podstawowa:

Strzałka czasu biegnie od dołu do góry figury — konwencja przyjęta przez Richarda Feynmana w jego słynnych diagramach. Przestrzeń jest reprezentowana przez płaszczyzny prostopadłe do osi czasu. Tu i teraz jest osobliwością pośrodku.

Konwencja pionowej osi czasu wywodzi się od Minkowskiego z 1908 roku i jest również zilustrowana na stronie 48 książki Eddingtona The Nature of the Physical World (1928).

Parametryzacja

Główny artykuł: Kąt hiperboliczny

Gałęzie hiperboli jednostkowej ewoluują jako punkty ${\ Displaystyle (\ cosh a, \ sinh a)}$ i ${\ Displaystyle (- \ cosh a, - \ sinh a)}$ w zależności od parametru kąta hiperbolicznego ${\ displaystyle a}$ .

Bezpośredni sposób parametryzacji hiperboli jednostkowej zaczyna się od hiperboli xy = 1 sparametryzowanej funkcją wykładniczą : ${\ Displaystyle (e ^ {t}, \ e ^ {- t}).}$

$_ \1&-1\end{pmacierz}}\ :}$ hiperbolę liniowe macierzy

${\ Displaystyle (e ^ {t}, \ e ^ {- t}) \ A = ({\ Frac {e ^ {t} + e ^ {-t}} {2}}, \ {\ Frac {e ^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).}$

Ten parametr t jest kątem hiperbolicznym , który jest argumentem funkcji hiperbolicznych .

Wczesne wyrażenie sparametryzowanej hiperboli jednostkowej można znaleźć w Elements of Dynamic (1878) autorstwa WK Clifforda . Opisuje ruch quasi-harmoniczny w hiperboli w następujący sposób:

Ruch $_$ _ kilka ciekawych analogii do eliptycznego ruchu harmonicznego. ... Przyspieszenie ${\ Displaystyle {\ ddot {\ rho}} = n ^ {2} \ rho \;}$ dlatego jest zawsze proporcjonalny do odległości od środka, jak w eliptycznym ruchu harmonicznym, ale skierowany od środka.

Jako szczególny stożek , hiperbola może być parametryzowana poprzez proces dodawania punktów na stożku. Poniższy opis został podany przez rosyjskich analityków:

Ustal punkt E na stożku. Rozważmy, że punkty, w których prosta poprowadzona przez E równoległa do AB przecina stożek po raz drugi, są sumą punktów A i B .

${\ Displaystyle (x_ {1}, \ y_ {1})}$ hiperboli stałym $1,0$ E suma i ${\ Displaystyle (x_ {2}, \ y_ {2})}$ jest punktem ${\ Displaystyle (x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2}, \ y_ {1} x_ {2} + y_ {2} x_ {1})}$ w ramach parametryzacji ${\ Displaystyle x=\cosh \ t}$ i ${\ Displaystyle y = \ sinh \ t}$ to dodanie odpowiada dodaniu parametru t .

Złożona algebra płaszczyzn

Główny artykuł: Split-liczba zespolona

Podczas gdy okrąg jednostkowy jest powiązany z liczbami zespolonymi , hiperbola jednostkowa jest kluczem do podzielonej płaszczyzny liczb zespolonych składającej się z z = x + yj , gdzie j ² = +1. Wtedy jz = y + xj , więc działanie j na płaszczyźnie polega na zamianie współrzędnych. W szczególności ta akcja zamienia hiperbolę jednostkową z jej koniugatem i zamienia pary sprzężonych średnic hiperboli.

Pod względem parametru kąta hiperbolicznego a hiperbola jednostkowa składa się z punktów

${\ Displaystyle \ pm (\ cosh a + j \ sinh a)}$ , gdzie j = (0,1).

Prawa gałąź hiperboli jednostkowej odpowiada dodatniemu współczynnikowi. W rzeczywistości ta gałąź jest obrazem mapy wykładniczej działającej na osi j . Zatem ta gałąź jest krzywą ${\ Displaystyle f (a) = \ exp (aj).}$ Nachylenie krzywej w a jest określone przez pochodną

${\ Displaystyle f ^ {\ pierwsza} (a) = \ sinh a + j \ cosh a = jf (a).}$ Dla każdego za , ${\ Displaystyle f ^ {\ pierwsza} (a}$ ) jest hiperboliczny ortogonalny do ${\ Displaystyle f (a)}$ . Zależność ta jest analogiczna do prostopadłości exp( a i) i i exp( a i), gdy i ² = − 1.

Ponieważ ${\ Displaystyle \ exp (aj) \ exp (bj) = \ exp ((a + b) j)}$ , gałąź to grupa podlegająca mnożeniu.

W przeciwieństwie do grupy kołowej , ta jednostka hiperboli nie jest zwarta . Podobnie jak w przypadku zwykłej płaszczyzny zespolonej, punkt nie leżący na przekątnych ma rozkład biegunowy przy użyciu parametryzacji hiperboli jednostkowej i alternatywnej długości radialnej.

•   F. Reese Harvey (1990) Spinory i kalibracje , rysunek 4.33, strona 70, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 .