Nieokreślona grupa ortogonalna

W matematyce nieokreślona grupa ortogonalna O( p , q ) jest grupą Liego wszystkich przekształceń liniowych n - wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej , które n pozostawiają p + q niezmienniczkę niezdegenerowaną , symetryczną dwuliniową formę sygnatury ( p , q ) , gdzie = . Nazywana jest również grupą pseudoortogonalną lub uogólnioną grupą ortogonalną . Wymiarem grupy jest n ( n - 1)/2 .

Nieokreślona specjalna grupa ortogonalna , SO( p , q ) jest podgrupą O ( p , q ) składającą się ze wszystkich elementów o wyznaczniku 1. Inaczej niż w przypadku określonym, SO( p , q ) nie jest spójny – ma 2 składowe – i istnieją dwie dodatkowe podgrupy o skończonym indeksie, a mianowicie połączone SO ⁺ ( p , q ) i O ⁺ ( p , q ) , który ma 2 składowe - patrz § Topologia dla definicji i dyskusji.

Sygnatura formy określa grupę aż do izomorfizmu ; zamiana p na q oznacza zastąpienie metryki jej wartością ujemną, a więc daje tę samą grupę. Jeśli p lub q jest równe zeru, to grupa jest izomorficzna ze zwykłą grupą ortogonalną O( n ). W dalszej części zakładamy, że zarówno p , jak i q są dodatnie.

Grupa O( p , q ) jest zdefiniowana dla przestrzeni wektorowych nad liczbami rzeczywistymi . W przypadku zespolonych wszystkie grupy O ( p , q ; do ) są izomorficzne ze zwykłą grupą ortogonalną O ( p + q ; do ) , ponieważ transformacja ${\ displaystyle z_ {j} \ mapsto iz_ { J}}$ zmienia podpis formularza. Nie należy tego mylić z nieokreśloną jednostkową grupą U( p , q ) , która zachowuje półliniową formę sygnatury ( p , q ) .

W parzystym wymiarze n = 2 p , O( p , p ) jest znane jako rozdzielona grupa ortogonalna .

Przykłady

Odwzorowania typu „squeeze” , tutaj r = 3/2 , to podstawowe symetrie hiperboliczne.

Podstawowym przykładem są odwzorowania ściskane , czyli grupa SO ⁺ (1, 1) (składnika tożsamościowego) przekształceń liniowych zachowujących hiperbolę jednostkową . Konkretnie, są to macierze ${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {mała macierz} \ cosh (\ alfa) i \ sinh (\ alfa) \\\ sinh (\ alfa) i \ cosh (\ alfa) \ koniec {mała macierz}} \ prawo], }$ i można ją interpretować jako obroty hiperboliczne, tak jak grupę SO(2) można interpretować jako obroty kołowe.

W fizyce grupa Lorentza O(1,3) ma kluczowe znaczenie, będąc miejscem dla elektromagnetyzmu i szczególnej teorii względności . (Niektóre teksty używają O (3,1) dla grupy Lorentza; jednak O (1,3) jest powszechne w kwantowej teorii pola , ponieważ geometryczne właściwości równania Diraca są bardziej naturalne w O (1,3) .)

Definicja macierzy

Można zdefiniować O( p , q ) jako grupę macierzy , podobnie jak klasyczną grupę ortogonalną O( n ). Rozważ $}$ diagonalną podaną przez ${\ Displaystyle (p + q) \ razy (p + q)$

{\ Displaystyle g = \ operatorname {diag} (\ underbrace {1, \ ldots, 1} _ {p}, \ underbrace {-1, \ ldots, -1} _ {q}).}

Następnie możemy zdefiniować symetryczną formę dwuliniową ${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot ] _ {p, q}}$ na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p + q}}$ według wzoru

{\ Displaystyle [x, y] _ {p, q} = \ langle x, gy \ rangle = x_ {1} y_ {1} + \ cdots + x_ {p} y_ {p} -x_ {p + 1} y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}

,

gdzie $}$ standardowym iloczynem wewnętrznym na $\ mathbb {R} ^ {p +$ .

$\ Displaystyle (p +$ definiujemy jako grupę $×$ macierze, które zachowują tę formę dwuliniową:

{\ Displaystyle \ operatorname {O} (p, q) = \ {A \ w M_ {p + q} (\ mathbb {R}) | [Ax, Ay] _ {p, q} = [x, y] _{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}

.

Mówiąc dokładniej, składa się z takich macierzy, $\ Displaystyle \$ O $operatorname {O} (p, q)}$

{\ Displaystyle gA ^ {\ operatorname {tr}} g = A ^ {- 1}}

,

gdzie jest transpozycją ZA $tr}}}$ $operatorname$ .

Otrzymuje się grupę izomorficzną (w rzeczywistości podgrupę sprzężoną GL( p + q ) ) zastępując g dowolną macierzą symetryczną z p dodatnimi wartościami własnymi i q ujemnymi. Diagonalizacja tej macierzy daje koniugację tej grupy z grupą standardową O( p , q ) .

Podgrupy

Grupę SO ⁺ ( p , q ) i powiązane podgrupy O( p , q ) można opisać algebraicznie. Podziel macierz L na O( p , q ) jako macierz blokową :

{\ Displaystyle L = {\ rozpocząć {pmatrix} A & B \\ C & D \ koniec {pmatrix}}}

gdzie A , B , C i D to odpowiednio bloki p × p , p × q , q × p i q × q . Można pokazać, że zbiór macierzy w O ( p , q ) , których lewy górny blok p × p A ma wyznacznik dodatni, jest podgrupą. Lub, ujmując to inaczej, jeśli

{\ Displaystyle L = {\ rozpocząć {pmatrix} A & B \\ C & D \ koniec {pmatrix}} \; \ operatorname {i} \; M ={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}

wtedy w O( p , q )

{\ Displaystyle (\ nazwa operatora {sgn} \ det A) (\ nazwa operatora {sgn} \ det W) = \ nazwa operatora {sgn} \ det (AW + BY).}

Analogiczny wynik dla prawego dolnego bloku q × q również obowiązuje. Podgrupa SO ⁺ ( p , q ) składa się z macierzy L takich, że det A i det D są dodatnie.

Dla wszystkich macierzy L w O ( p , q ) , wyznaczniki A i D mają tę właściwość, że ${\ textstyle {\ frac {\ det A} {\ det D}} = \ det L }$ i że ${\ Displaystyle |\ det A|=|\ det D |\ geq 1.}$ W szczególności podgrupa SO ( p , q ) składa się z macierzy L takich, że det A i det D mają ten sam znak.

Topologia

Zakładając, że zarówno p , jak i q są dodatnie, żadna z grup O( p , q ) ani SO ( p , q ) nie są połączone i mają odpowiednio cztery i dwie składowe. ₀ π (O( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ to czterogrupa Kleina , gdzie każdy czynnik określa, czy element zachowuje lub odwraca odpowiednie orientacje na p i q podprzestrzenie wymiarowe, na których forma jest określona; zauważ, że odwrócenie orientacji tylko w jednej z tych podprzestrzeni odwraca orientację w całej przestrzeni. Specjalna grupa ortogonalna ma składowe ₀ π (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, z których każdy albo zachowuje obie orientacje, albo odwraca obie orientacje, w obu przypadkach zachowując ogólną orientacja. ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}

Składnik identyczności O ( p , q ) jest często oznaczany jako SO ⁺ ( p , q ) i może być utożsamiany ze zbiorem elementów w SO( p , q ) , które zachowują obie orientacje. Notacja ta jest powiązana z notacją O ⁺ (1, 3) dla ortochronicznej grupy Lorentza , gdzie + odnosi się do zachowania orientacji w pierwszym (czasowym) wymiarze.

Grupa O( p , q ) również nie jest zwarta , ale zawiera zwarte podgrupy O( p ) i O ( q ) działające na podprzestrzeniach, na których forma jest określona. W rzeczywistości O( p ) × O( q ) jest maksymalnie zwartą podgrupą O ( p , q ) , podczas gdy S(O ( p ) × O ( q )) jest maksymalnie zwartą podgrupą SO ( p , q ) . Podobnie SO( p ) × SO( q ) jest maksymalnie zwartą podgrupą SO ⁺ ( p , q ) . Zatem przestrzenie są homotopijnie równoważne iloczynom (specjalnych) grup ortogonalnych, z których można obliczyć niezmienniki algebrotopologiczne. (Zobacz Maksymalną podgrupę zwartą ).

W szczególności podstawowa grupa SO SO + ⁽ p , q ) jest iloczynem podstawowych grup składników, π ₁ (SO ⁺ ( p , q )) = π ₁ (SO( p )) × π ₁ ( q )) ( , i jest dana przez:

π ₁ (SO ⁺ ( p , q ))	p = 1	p = 2	p ≥ 3
q = 1	C ₁	Z	C ₂
q = 2	Z	Z × Z	Z × C ₂
q ≥ 3	C ₂	C ₂ × Z	do ₂ × do ₂

Podzielona grupa ortogonalna

W parzystych wymiarach środkowa grupa O( n , n ) jest znana jako rozszczepiona grupa ortogonalna i jest szczególnie interesująca, ponieważ występuje na przykład jako grupa transformacji T-dwoistości w teorii strun. Jest to rozszczepiona grupa Liego odpowiadająca złożonej algebrze Liego tak _{2 n} (grupa Liego rozszczepionej postaci rzeczywistej algebry Liego); dokładniej, komponentem tożsamości jest podzielona grupa Liego, ponieważ komponentów nieidentycznych nie można zrekonstruować z algebry Liego. W tym sensie jest przeciwieństwem określonej grupy ortogonalnej O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , która jest zwartą postacią rzeczywistą algebry Liego zespolonej.

Przypadek (1, 1) odpowiada multiplikatywnej grupie liczb zespolonych rozdzielonych .

Pod względem bycia grupą typu Liego – tj. konstrukcją grupy algebraicznej z algebry Liego – rozdzielone grupy ortogonalne to grupy Chevalleya , podczas gdy nierozdzielone grupy ortogonalne wymagają nieco bardziej skomplikowanej konstrukcji i są to grupy Steinberga .

Podzielone grupy ortogonalne są używane do konstruowania uogólnionej różnorodności flag na niealgebraicznie zamkniętych polach.

Zobacz też

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
Anthony Knapp , Grupy kłamstw poza wprowadzeniem , wydanie drugie, Progress in Mathematics, tom. 140, Birkäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 - opis nieokreślonej grupy ortogonalnej znajduje się na stronie 372
Popov, VL (2001) [1994], „Grupa ortogonalna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Szirokow, DS (2012). Wykłady z algebr Clifforda i spinorów Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (po rosyjsku). doi : 10.4213/book1373 . Zbl 1291.15063 .
Joseph A. Wolf , Przestrzenie o stałej krzywiźnie , (1967) str. 335.

^ Popov 2001
^ Sala 2015 , s. 8, sekcja 1.2
^ Sala 2015 Sekcja 1.2.3
^ Sala 2015 Rozdział 1, Ćwiczenie 1
^ ^a ^b Lester, JA (1993). „Ortochroniczne podgrupy O (p, q)”. Algebra liniowa i wieloliniowa . 36 (2): 111–113. doi : 10.1080/03081089308818280 . Zbl 0799.20041 .
^ Shirokov 2012 , s. 88–96, sekcja 7.1
^ Shirokov 2012 , s. 89–91, lematy 7.1 i 7.2

[1] Popov 2001

[2] Sala 2015 , s. 8, sekcja 1.2

[3] Sala 2015 Sekcja 1.2.3

[4] Sala 2015 Rozdział 1, Ćwiczenie 1

[lester-5] Lester, JA (1993). „Ortochroniczne podgrupy O (p, q)”. Algebra liniowa i wieloliniowa . 36 (2): 111–113. doi : 10.1080/03081089308818280 . Zbl 0799.20041 .

[6] Shirokov 2012 , s. 88–96, sekcja 7.1

[7] Shirokov 2012 , s. 89–91, lematy 7.1 i 7.2