grupa Lorentza

Hendrik Antoon Lorentz (1853–1928), od którego pochodzi nazwa grupy Lorentz.

W fizyce i matematyce grupa Lorentza jest grupą wszystkich transformacji Lorentza czasoprzestrzeni Minkowskiego , klasycznym i kwantowym ustawieniem dla wszystkich (niegrawitacyjnych) zjawisk fizycznych . Nazwa grupy Lorentza pochodzi od nazwiska holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza .

Na przykład następujące prawa, równania i teorie uwzględniają symetrię Lorentza:

• Kinematyczne prawa szczególnej teorii względności
• Równania pola Maxwella w teorii elektromagnetyzmu
• Równanie Diraca w teorii elektronu
• Model standardowy fizyki cząstek elementarnych

Grupa Lorentza wyraża fundamentalną symetrię przestrzeni i czasu wszystkich znanych fundamentalnych praw przyrody . W wystarczająco małych obszarach czasoprzestrzeni, gdzie wariancje grawitacyjne są pomijalne, prawa fizyczne są niezmienne Lorentza w taki sam sposób, jak szczególna teoria względności.

Podstawowe właściwości

Grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarégo — grupy wszystkich izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego . Transformacje Lorentza to dokładnie izometrie, które pozostawiają stały początek. Zatem grupa Lorentza jest podgrupą izotropową grupy izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Z tego powodu grupa Lorentza jest czasami nazywana jednorodną grupą Lorentza , podczas gdy grupa Poincarégo jest czasami nazywana niejednorodną grupą Lorentza . Przykładami są transformacje Lorentza transformacje liniowe ; ogólne izometrie czasoprzestrzeni Minkowskiego są przekształceniami afinicznymi . Matematycznie grupę Lorentza można opisać jako nieokreśloną grupę ortogonalną O (1,3), macierzową grupę Liego , która zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle (t, x, y, z) \ mapsto t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ { 2}-z^{2}}$

na $^ {4}}$$)$ (Przestrzeń wektorowa wyposażona w tę formę kwadratową . Ta forma kwadratowa jest, po nałożeniu na formę macierzową (patrz klasyczna grupa ortogonalna ), interpretowana w fizyce jako tensor metryczny czasoprzestrzeni Minkowskiego.

Grupa Lorentza jest sześciowymiarową , niezwartą , nieabelową rzeczywistą grupą Liego , która nie jest spójna . Cztery połączone komponenty nie są po prostu połączone . Składnik tożsamości ( tj. składnik zawierający element tożsamości) grupy Lorentza sam jest grupą i jest często nazywany ograniczoną grupą Lorentza i jest oznaczany jako SO ⁺ (1,3). Ograniczona grupa Lorentza składa się z tych transformacji Lorentza, które zachowują obie orientacje przestrzeni i kierunku czasu. Jego podstawowa grupa ma rząd 2, a jej uniwersalne pokrycie, nieokreślona grupa spinowa Spin(1,3), jest izomorficzna zarówno ze specjalną grupą liniową SL(2, C ), jak iz grupą symplektyczną Sp(2, C ). Te izomorfizmy pozwalają grupie Lorentza działać na dużej liczbie struktur matematycznych ważnych dla fizyki, w szczególności na spinorach . Tak więc w relatywistycznej mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola bardzo często nazywa się SL(2, C ) grupa Lorentza, przy założeniu, że SO ⁺ (1,3) jest jej specyficzną reprezentacją (wektorową). Popularne w algebrze geometrycznej dwukwaterniony są również izomorficzne z SL(2, C ) .

Ograniczona grupa Lorentza powstaje również jako punktowa grupa symetrii pewnego zwykłego równania różniczkowego .

Zauważ, że ten artykuł odnosi się do $O(3,1)$ jako „Grupy Lorentza”, $SO(3,1)$ jako „Właściwej Grupy Lorentza”, a $SO^+(3,1)$ jako „Ograniczona Grupa Lorentza”. Wielu autorów (szczególnie zajmujących się fizyką) używa nazwy „Grupa Lorentza” zamiast $SO(3,1)$ (a czasem nawet $SO^+(3,1)$) zamiast $O(3,1)$. Podczas czytania takich autorów ważne jest, aby dokładnie wiedzieć, do kogo się odnoszą.

Połączone komponenty

Stożek światła w przestrzeni 2D plus wymiar czasu.

Ponieważ jest to grupa Liego , grupa Lorentza O(1,3) jest zarówno grupą, jak i dopuszcza opis topologiczny jako rozmaitość gładką . Jako kolektor ma cztery połączone elementy. Intuicyjnie oznacza to, że składa się z czterech topologicznie oddzielonych części.

Cztery połączone komponenty można podzielić na kategorie według dwóch właściwości transformacji, które mają ich elementy:

• wektor podobny do czasu wskazujący przyszłość zostałby odwrócony do wektora wskazującego przeszłość
• Niektóre elementy mają orientację odwróconą przez niewłaściwe transformacje Lorentza , na przykład niektóre vierbein (tetrady)

Transformacje Lorentza, które zachowują kierunek czasu, nazywane są ortochronicznymi . Podgrupa przekształceń ortochronicznych jest często oznaczana jako O ⁺ (1, 3). Te, które zachowują orientację, nazywane są właściwymi i jako przekształcenia liniowe mają wyznacznik +1. (Niewłaściwe transformacje Lorentza mają wyznacznik −1.) Podgrupę właściwych transformacji Lorentza oznaczono jako SO(1, 3).

Podgrupa wszystkich przekształceń Lorentza zachowujących zarówno orientację, jak i kierunek czasu nazywana jest właściwą, ortochroniczną grupą Lorentza lub ograniczoną grupą Lorentza i jest oznaczana przez SO ⁺ (1, 3). (Zauważ, że niektórzy autorzy odnoszą się do SO(1,3) lub nawet O(1,3), kiedy w rzeczywistości mają na myśli SO ⁺ (1, 3).)

Zbiorowi czterech połączonych składników można nadać strukturę grupową jako iloraz grupy O(1, 3)/SO ⁺ (1, 3), który jest izomorficzny z czterogrupą Kleina . Każdy element w O(1,3) można zapisać jako półprosty iloczyn właściwej transformacji ortochronicznej i element grupy dyskretnej

{1, P , T , PT }

gdzie P i T to operatory parzystości i odwrócenia czasu :

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1).

Zatem dowolną transformację Lorentza można określić jako właściwą, ortochroniczną transformację Lorentza wraz z kolejnymi dwoma bitami informacji, które wybierają jeden z czterech połączonych składników. Ten wzór jest typowy dla skończonych wymiarowych grup Liego.

Ograniczona grupa Lorentza

Ograniczona grupa Lorentza $wszystkich$ tożsamości grupy Lorentza, co oznacza, że ​​składa się można połączyć z tożsamością ciągłą krzywą leżącą w grupie. Ograniczona grupa Lorentza jest połączoną normalną podgrupą pełnej grupy Lorentza o tym samym wymiarze, w tym przypadku o wymiarze szóstym.

Ograniczona grupa Lorentza jest generowana przez zwykłe obroty przestrzenne i wzmocnienia Lorentza (które są obrotami w przestrzeni hiperbolicznej, która obejmuje kierunek podobny do czasu). Ponieważ każda właściwa, ortochroniczna transformacja Lorentza może być zapisana jako iloczyn obrotu (określonego przez 3 parametry rzeczywiste ) i wzmocnienia (również określonego przez 3 parametry rzeczywiste), potrzeba 6 parametrów rzeczywistych, aby określić dowolną właściwą ortochroniczną transformację Lorentza. Jest to jeden ze sposobów zrozumienia, dlaczego ograniczona grupa Lorentza jest sześciowymiarowa. (Zobacz także algebrę Liego grupy Lorentza ).

Zbiór wszystkich rotacji tworzy podgrupę Liego izomorficzną ze zwykłą grupą rotacji SO(3) . Zbiór wszystkich wzmocnień nie tworzy jednak podgrupy, ponieważ połączenie dwóch wzmocnień na ogół nie skutkuje kolejnym wzmocnieniem. (Raczej para niewspółliniowych wzmocnień jest równoważna wzmocnieniu i obrotowi, a to odnosi się do obrotu Thomasa ). Wzmocnienie w pewnym kierunku lub obrót wokół pewnej osi generuje podgrupę z jednym parametrem .

Powierzchnie przechodniości

Hiperboloida jednego arkusza

Wspólna powierzchnia stożkowa

Hiperboloida dwóch arkuszy

Jeśli grupa G działa na przestrzeni V , to powierzchnia S ⊂ V jest powierzchnią przechodniości , jeśli S jest niezmiennikiem pod G (tj. ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S ) i dla dowolnych dwóch punktów s ₁ , s ₂ ∈ S istnieje g ∈ G takie, że gs ₁ = s ₂ . Z definicji grupy Lorentza zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle Q (x) = x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}.}$

Powierzchnie przechodniości ortochronicznej grupy Lorentza O ⁺ (1, 3) , Q ( x ) = const. działające na płaską czasoprzestrzeń są następujące: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1,3}}$

• ₀ Q ( x ) > 0, x > 0 jest górną gałęzią hiperboloidy złożonej z dwóch arkuszy. Punkty na tym arkuszu są oddzielone od początku wektorem przypominającym czas przyszły .
• ₀ Q ( x ) > 0, x < 0 jest dolną gałęzią tej hiperboloidy. Punkty na tym arkuszu to podobne do czasu przeszłego .
• ₀ Q ( x ) = 0, x > 0 to górna gałąź stożka świetlnego , przyszłego stożka świetlnego.
• ₀ Q ( x ) = 0, x < 0 to dolna gałąź stożka światła, poprzednia część stożka światła.
• Q ( x ) < 0 to hiperboloida jednego arkusza. Punkty na tym arkuszu są jak przestrzeń oddzielone od początku.
• Początek ₀ x = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0 .

Te powierzchnie są trójwymiarowe O , więc obrazy nie są wierne, ale są wierne odpowiednim faktom dotyczącym + ⁽ 1, 2) . Dla pełnej grupy Lorentza powierzchnie przechodniości są tylko cztery, ponieważ transformacja T przenosi górną gałąź hiperboloidy (stożka) na dolną i odwrotnie.

Jako przestrzenie symetryczne

Równoważnym sposobem sformułowania powyższych powierzchni przechodniości jest przestrzeń symetryczna w sensie teorii Liego. Na przykład górny arkusz hiperboloidy można zapisać jako przestrzeń ilorazową ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} ^ {+} (1,3) / {\ text{SO}}(3)}$ , ze względu na twierdzenie o stabilizatorze orbity . Ponadto ten górny arkusz zawiera również model trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej .

Reprezentacje grupy Lorentza

Obserwacje te stanowią dobry punkt wyjścia do znalezienia wszystkich nieskończenie wymiarowych reprezentacji unitarnych grupy Lorentza, a właściwie grupy Poincarégo, metodą reprezentacji indukowanych . Zaczyna się od „wektora standardowego”, po jednym dla każdej powierzchni przechodniości, a następnie pyta się, która podgrupa zachowuje te wektory. Fizycy nazywają te podgrupy małymi grupami . Problem sprowadza się wtedy zasadniczo do łatwiejszego problemu znalezienia reprezentacji małych grup. Na przykład standardowy wektor w jednej z hiperboli dwóch arkuszy można odpowiednio wybrać jako ( m , 0, 0, 0) . Dla każdego m ≠ 0 wektor przebija dokładnie jeden arkusz. W tym przypadku mała grupa to SO(3) , grupa rotacyjna , której wszystkie reprezentacje są znane. Dokładna, nieskończenie wymiarowa reprezentacja jednostkowa, w ramach której cząstka się przekształca, jest częścią jej klasyfikacji. Nie wszystkie reprezentacje mogą odpowiadać cząstkom fizycznym (o ile wiadomo). Standardowe wektory na jednowarstwowych hiperbolach odpowiadałyby tachionom . Cząstki na stożku światła to fotony , a bardziej hipotetycznie grawitony . „Cząstką” odpowiadającą pochodzeniu jest próżnia.

Homomorfizmy i izomorfizmy

Zobacz też: Algebra przestrzeni fizycznej

Kilka innych grup jest homomorficznych lub izomorficznych z ograniczoną grupą Lorentza SO ⁺ (1, 3). Te homomorfizmy odgrywają kluczową rolę w wyjaśnianiu różnych zjawisk w fizyce.

• Specjalna grupa liniowa SL(2, C ) jest podwójnym pokryciem ograniczonej grupy Lorentza. Zależność ta jest szeroko stosowana do wyrażania niezmienniczości Lorentza równania Diraca i kowariancji spinorów . Innymi słowy, (ograniczona) grupa Lorentza jest izomorficzna z SL (2, do ) / ${\ Displaystyle \ mathbb {Z_ {2}}}$
• Grupa symplektyczna Sp(2, C ) jest izomorficzna z SL(2, C ); służy do konstruowania spinorów Weyla , a także do wyjaśnienia, w jaki sposób spinory mogą mieć masę.
• Grupa spinowa Spin(1, 3) jest izomorficzna z SL(2, C ); służy do wyjaśnienia spinu i spinorów w kategoriach algebry Clifforda , wyjaśniając w ten sposób, jak uogólnić grupę Lorentza na ogólne ustawienia geometrii Riemanna , w tym teorie supergrawitacji i teorię strun .
• Ograniczona grupa Lorentza jest izomorficzna z rzutową specjalną grupą liniową PSL(2, C ), która z kolei jest izomorficzna z grupą Möbiusa , grupą symetrii konforemnej geometrii na sferze Riemanna . Zależność ta ma kluczowe znaczenie dla klasyfikacji podgrup grupy Lorentza zgodnie z wcześniejszym schematem klasyfikacji opracowanym dla grupy Möbiusa.

Reprezentacja Weyla

Reprezentacja Weyla lub mapa spinorowa to para surjektywnych homomorfizmów od SL(2, C ) do SO ⁺ (1, 3). Tworzą dopasowaną parę pod parzystości , odpowiadającą lewemu i prawemu chiralnemu spinorowi.

Można zdefiniować działanie SL(2, C ) na czasoprzestrzeń Minkowskiego, zapisując punkt czasoprzestrzeni jako macierz hermitowską dwa na dwa w postaci

${\ Displaystyle {\ overline {X}} = {\ rozpocząć {bmatrix} ct + z & x-iy \\ x + iy & ct-z \ koniec {bmatrix}} = ct1 \! \! 1 + x \ sigma _ {x} +y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma}}}$

w kategoriach macierzy Pauliego .

Ta prezentacja, prezentacja Weyla, jest satysfakcjonująca

${\ Displaystyle \ det \, {\ overline {X}} = (ct) ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Dlatego utożsamiono przestrzeń macierzy hermitowskich (która jest czterowymiarowa, jako rzeczywista przestrzeń wektorowa) z czasoprzestrzenią Minkowskiego w taki sposób, że wyznacznik macierzy hermitowskiej jest kwadratem długości odpowiedniego wektora w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Element $_$ _

${\ Displaystyle {\ overline {X}} \ mapsto S {\ overline {X}} S ^ {\ sztylet} ~,}$

gdzie jest hermitowską transpozycją ${\ displaystyle S ^ {\ sztylet$$}$ . To działanie zachowuje wyznacznik, więc SL(2, C ) działa na czasoprzestrzeń Minkowskiego za pomocą (liniowych) izometrii. Forma powyższego z odwróconą parzystością to

${\ Displaystyle X = ct1 \! \! 1- {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}$

który przekształca się jako

${\ Displaystyle X \ mapsto \ lewo (S ^ {- 1} \ prawo) ^ {\ sztylet} XS ^ {- 1}}$

To, że jest to poprawna transformacja, wynika z odnotowania tego

${\ Displaystyle {\ overline {X}} X = \ lewo (c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2 }-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

pozostaje niezmiennikiem dla powyższej pary przekształceń.

Mapy te są suriekcyjne , a jądrem każdej mapy jest podgrupa dwóch elementów ± I. Zgodnie z pierwszym twierdzeniem o izomorfizmie , grupa ilorazowa PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I } jest izomorficzna z SO ⁺ (1, 3).

Mapa parzystości zamienia te dwa pokrycia. Odpowiada koniugacji hermitowskiej będącej automorfizmem ${\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C}).}$ Te dwa różne pokrycia odpowiadają dwóm różnym chiralnym działaniom grupy Lorentza na spinorach . Nieprzekreślona forma odpowiada prawoskrętnym spinorom przekształcającym się jako ${\ Displaystyle \ psi _ {R} \ mapsto S \ psi _ {R} ~,}$ podczas gdy forma nadliniowa odpowiada lewoskrętnym spinorom przekształcającym się jako ${\ Displaystyle \ psi _ {L} \ mapsto \ lewo (S ^ {\ sztylet} \ prawo) ^ {-1} \ psi _ {L} ~.}$

Należy zauważyć, że ta para pokryć nie przetrwa kwantyzacji; po skwantowaniu prowadzi to do szczególnego zjawiska anomalii chiralnej . Klasyczne (tj. nieskwantowane) symetrie grupy Lorentza są łamane przez kwantyzację; taka jest treść twierdzenia o indeksie Atiyaha-Singera .

Konwencje notacyjne

W fizyce konwencjonalnie oznacza się transformację Lorentza jako ${\ Displaystyle \ Lambda \ in \ operatorname {SO} ^ {+} (1,3)}$ jako ${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} ~,}$ pokazując w ten sposób macierz z indeksami czasoprzestrzeni ${\ Displaystyle \ mu, \ nu = 0,1,2 3.}$ Czterowektor można utworzyć z macierzy Pauliego na dwa różne sposoby: as ${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} = (ja, {\ vec {\ sigma}})}$ i jako ${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} = \ lewo (ja, - {\ vec {\ sigma}} \ prawej) ~.} Te dwie formy są powiązane przez$ transformację parzystości . Zauważ, że ${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} = \ sigma ^ {\ mu} ~.}$

Biorąc pod uwagę transformację Lorentza ${\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ mapsto x ^ {\ pierwsza \ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu } x ^ {\ nu} ~,}$ podwójne pokrycie ortochronicznej grupy Lorentza przez ${\ Displaystyle S \ w \ nazwa operatora {SL} (2, \ mathbb {C})}$ podane powyżej można zapisać jako

${\ Displaystyle x ^ {\ pierwsza \ mu} {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} = { \overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\ nu }S^{\sztylet}}$

Porzucając $_$ przybiera

${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = S {\ overline {\ sigma }}_{\nu }S^{\sztylet }}$

Postać koniugatu parzystości to

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = \ lewo (S ^ {- 1 }\right)^{\sztylet }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Dowód

To, że powyższa forma jest poprawna dla notacji indeksowanej, nie jest od razu oczywiste, częściowo dlatego, że podczas pracy w notacji indeksowanej dość łatwo jest przypadkowo pomylić transformatę Lorentza z jej odwrotnością lub transpozycją. To $że tożsamość jest$ wynika z tego, gdy jest zapisana w . Transformaty Lorentza nie są tensory w przekształceniach Lorentza! Zatem bezpośredni dowód tej tożsamości jest przydatny do ustalenia jej poprawności. Można to wykazać, zaczynając od tożsamości

${\ Displaystyle \ omega \ sigma ^ {k} \ omega ^ {- 1} = - \ lewo (\ sigma ^ {k} \ prawo)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{*}}$

gdzie ${\ Displaystyle k = 1,2,3}$ tak, że powyższe są tylko zwykłymi macierzami Pauliego i ${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {\ textsf {T}} }$$złożona$ transpozycja macierzy, a Macierz to ${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega = i \ sigma _ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Napisany jako czterowektor, związek jest

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mu} ^ {\ textsf {T}} = \ sigma _ {\ mu} ^ {*} = \ omega {\ overline {\sigma}}_{\mu}\omega^{-1}}$

To przekształca się jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {\ mu} ^ {\ textsf {T}} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} & = \ omega {\ overline {\ sigma}} _{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\, S^{\sztylet}\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{ \nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\sztylet }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\ w prawo)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\right)^{*}\end{wyrównane} }}$

Biorąc jeszcze jedną transpozycję, dostajesz

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = \ lewo (S ^ {- 1 }\right)^{\sztylet }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Grupa symplektyczna

Grupa symplektyczna Sp(2, C ) jest izomorficzna z SL(2, C ). Ten izomorfizm jest skonstruowany w taki sposób, aby zachować $formę$ dwuliniową na to znaczy pozostawić formę niezmienniczą przy przekształceniach Można to sformułować w następujący sposób. Grupa symplektyczna jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Sp} (2, \ mathbb {C}) = \ lewo \ {S \ w \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ omega = i \ sigma _ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Inne popularne oznaczenia $;$ elementu czasami jest $używany$ , ale powoduje to zamieszanie z ideą prawie złożonych struktur , nie są takie same, ponieważ zmieniają się inaczej.

Biorąc pod uwagę parę spinorów Weyla (spinory dwuskładnikowe)

${\ Displaystyle u = {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \ koniec {bmatrix}} ~ \ quad v = {\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

niezmienna forma dwuliniowa jest konwencjonalnie zapisywana jako

${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle = - \ langle v, u \ rangle = u_ {1 }v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

Ta forma jest niezmienna w grupie Lorentza, więc dla ${\ Displaystyle S \ in \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {C})$ }

${\ Displaystyle \ langle Su, Sv \ rangle = \ langle u, v \ rangle}$

Definiuje to rodzaj „iloczynu skalarnego” spinorów i jest powszechnie używane do definiowania niezmiennego terminu masowego Lorentza w Lagranżianach . Istnieje kilka godnych uwagi właściwości, które są ważne dla fizyki. ${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = -1}$ i tak ω $\ Displaystyle \ omega ^ {- 1} = \ omega ^ { \textsf {T}}=\omega ^{\sztylet}=-\omega}$

Relację definiującą można zapisać jako

${\ Displaystyle \ omega S ^ {\ textsf {T}} \ omega ^ {- 1} = S ^ {- 1}}$

co bardzo przypomina definiującą relację dla grupy Lorentza

${\ Displaystyle \ eta \ Lambda ^ {\ textsf {T}} \ eta ^ {- 1} = \ Lambda ^ {- 1}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ eta = \ operatorname {diag} (+ 1, -1, -1, -1)}$ jest tensorem metrycznym dla przestrzeni Minkowskiego i oczywiście ${\ Displaystyle \ Lambda \ in \ operatorname {SO} (1,3)}$ jak poprzednio.

Grupy obejmujące

Ponieważ SL(2, C ) jest po prostu spójny, jest to uniwersalna grupa pokrywająca ograniczonej grupy Lorentza SO ⁺ (1, 3) . Przez ograniczenie istnieje homomorfizm SU(2) → SO(3) . Tutaj specjalna grupa unitarna SU(2), która jest izomorficzna z grupą kwaternionów o normach jednostkowych , jest również po prostu spójna, więc jest to grupa pokrywająca grupy rotacyjnej SO(3). Każda z tych map obejmujących są podwójnymi pokryciami w tym sensie, że dokładnie dwa elementy grupy pokrywającej odwzorowują każdy element ilorazu. Często mówi się, że ograniczona grupa Lorentza i grupa rotacji są podwójnie powiązane . Oznacza to _, że podstawowa grupa każdej grupy jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną Z2 .

grup spinowych jest podwójne pokrycie . Rzeczywiście, oprócz podwójnych pokryć

Spin ⁺ (1, 3) = SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3)

Spin(3) = SU(2) → SO(3)

mamy podwójne pokrycia

Kołek (1, 3) → O (1, 3)

Spin (1, 3) → SO (1, 3)

Spin ⁺ (1, 2) = SU (1, 1) → SO (1, 2)

podwójne pokrycia spinoryczne są zbudowane z algebr Clifforda .

Topologia

Lewa i prawa grupa w podwójnym pokryciu

SU(2) → SO(3)

są cofnięciami deformacji odpowiednio lewej i prawej grupy w podwójnym pokryciu

SL(2, do ) → SO ⁺ (1, 3).

Ale jednorodna przestrzeń SO ⁺ (1, 3)/SO(3) jest homeomorficzna z hiperboliczną 3-przestrzenią H ³ , więc przedstawiliśmy ograniczoną grupę Lorentza jako główną wiązkę włókien z włóknami SO(3) i zasadą H ³ . Ponieważ ta ostatnia jest homeomorficzna z R ³ , podczas gdy SO(3) jest homeomorficzna z trójwymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową R P ³ , widzimy, że ograniczona grupa Lorentza jest lokalnie homeomorficzna z iloczynem R P ³ z R3 . ^_ Ponieważ przestrzeń bazowa jest kurczliwa, można to rozszerzyć do globalnego homeomorfizmu.

Klasy koniugacji

Ponieważ ograniczona grupa Lorentza SO ⁺ (1, 3) jest izomorficzna z grupą Möbiusa PSL(2, C ), jej klasy koniugacji również dzielą się na pięć klas:

• Transformacje eliptyczne
• Transformacje hiperboliczne
• Transformacje loksodromiczne
• Transformacje paraboliczne
• Trywialna transformacja tożsamości

W artykule na temat transformacji Möbiusa wyjaśniono, w jaki sposób powstaje ta klasyfikacja, biorąc pod uwagę punkty stałe transformacji Möbiusa w ich działaniu na sferę Riemanna, co odpowiada tutaj zerowym przestrzeniom własnym ograniczonych transformacji Lorentza w ich działaniu na czasoprzestrzeń Minkowskiego.

W poniższych podsekcjach podano przykład każdego typu, wraz z efektem generowanej przez niego podgrupy jednoparametrowej (np. na wygląd nocnego nieba).

Transformacje Möbiusa to konforemne transformacje sfery Riemanna (lub sfery niebieskiej). Następnie sprzężenie z dowolnym elementem SL(2, C ) daje następujące przykłady odpowiednio dowolnych przekształceń eliptycznych, hiperbolicznych, loksodromicznych i parabolicznych (ograniczonych) Lorentza. Wpływ na linie przepływu odpowiednich podgrup jednoparametrowych polega na przekształceniu wzoru widocznego w przykładach przez pewną transformację konforemną. Na przykład eliptyczna transformacja Lorentza może mieć dowolne dwa różne stałe punkty na sferze niebieskiej, ale punkty nadal płyną wzdłuż łuków kołowych od jednego stałego punktu do drugiego. Pozostałe przypadki są podobne.

Eliptyczny

Elementem eliptycznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {i} {2}} \ theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

i ma punkty stałe ξ = 0, ∞. Zapisując działanie jako X ↦ P ₁ X P ₁ ^† i zbierając terminy, mapa spinorowa przekształca to w (ograniczoną) transformację Lorentza

${\ Displaystyle Q_ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1&0&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)&0 \\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Ta transformacja reprezentuje następnie obrót wokół osi z , exp( iθJ _z ). Generowana przez nią podgrupa jednoparametrowa jest uzyskiwana przez przyjęcie θ za zmienną rzeczywistą, kąt obrotu, zamiast za stałą.

Odpowiednie ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem tożsamości) mają te same dwa stałe punkty, bieguny północny i południowy. Transformacje przesuwają wszystkie inne punkty wokół okręgów szerokości geograficznej, tak że ta grupa daje ciągły obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół osi z wraz ze wzrostem θ . Podwojenie kąta widoczne na mapie spinorowej jest charakterystyczną cechą podwójnych pokryć spinoralnych .

Hiperboliczny

Elementem hiperbolicznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {\ eta} {2}} \ prawo )&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

i ma punkty stałe ξ = 0, ∞. W rzucie stereograficznym ze sfery Riemanna na płaszczyznę euklidesową efektem tej transformacji Möbiusa jest dylatacja od początku.

Mapa spinorowa przekształca to w transformację Lorentza

${\ Displaystyle Q_ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cosh (\ eta) i 0 i 0 i \ sinh (\ eta) \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 i 0 \\\ sinh (\ eta) i 0 i 0 i \ cosh (\ eta) \ koniec {bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Ta transformacja reprezentuje wzmocnienie wzdłuż osi z z szybkością η . Generowana przez nią podgrupa jednoparametrowa jest uzyskiwana przez przyjęcie η za zmienną rzeczywistą, a nie stałą. Odpowiednie ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem tożsamości) mają te same punkty stałe (bieguny północne i południowe) i przesuwają wszystkie inne punkty wzdłuż długości geograficznych od bieguna południowego w kierunku bieguna północnego.

loksodromiczny

Elementem loksodromicznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {3} = P_ {2} P_ {1} = P_ {1} P_ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {1} {2}} (\ eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

i ma punkty stałe ξ = 0, ∞. Mapa spinorowa przekształca to w transformację Lorentza

${\ Displaystyle Q_ {3} = Q_ {2} Q_ {1} = Q_ {1} Q_ {2}.}$

Generowana w ten sposób podgrupa jednoparametrowa jest uzyskiwana przez zastąpienie η + i θ dowolną rzeczywistą wielokrotnością tej stałej zespolonej. (Jeżeli η , θ zmieniają się niezależnie, to otrzymujemy dwuwymiarową podgrupę abelową , składającą się z jednoczesnych obrotów wokół osi z i wzmocnień wzdłuż osi z ; natomiast omawiana tutaj podgrupa jednowymiarowa składa się z tych elementów tej dwuwymiarową podgrupę taką, że szybkość wzmocnienia i kąt obrotu ma stały stosunek ).

Odpowiednie ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem tożsamości) mają te same dwa stałe punkty (bieguny północne i południowe). Przesuwają wszystkie inne punkty z bieguna południowego w kierunku bieguna północnego (lub odwrotnie) wzdłuż rodziny krzywych zwanych loxodromami . Każdy loksodrom kręci się nieskończenie często wokół każdego bieguna.

Paraboliczny

Elementem parabolicznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {4} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i \ alfa \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

i ma pojedynczy punkt stały ξ = ∞ na sferze Riemanna. W rzucie stereograficznym pojawia się jako zwykłe przesunięcie wzdłuż osi rzeczywistej .

Mapa spinorowa przekształca to w macierz (reprezentującą transformację Lorentza)

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q_ {4} & = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 + {\ Frac {1} {2}} \ vert \ alfa \ vert ^ {2} & \ operatorname {Re} ( \alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha)&0&1&\operatorname {Im} (\alpha)\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2 }&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\ \[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\nazwa_operatora {Re} (\alpha )&\nazwa_operatora {Im} (\alpha )&0\\\nazwa_operatora {Re} (\alpha )&0&0&-\nazwa_operatora {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha)&0&0&\operatorname {Im} (\alpha)\\0&\operatorname {Re} (\alpha)&\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmacierz}}~.\end{wyrównane}}}$

Generuje to dwuparametrową podgrupę abelową, którą uzyskuje się, uznając α za zmienną zespoloną, a nie stałą. Odpowiednie ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem transformacji tożsamości) przesuwają punkty wzdłuż rodziny okręgów, z których wszystkie są styczne na biegunie północnym do pewnego koła wielkiego . Wszystkie punkty inne niż sam biegun północny poruszają się wzdłuż tych okręgów.

Paraboliczne transformacje Lorentza są często nazywane rotacjami zerowymi . Ponieważ są to prawdopodobnie najmniej znane z czterech typów nietożsamościowych transformacji Lorentza (eliptyczna, hiperboliczna, loksodromiczna, paraboliczna), zilustrowano tutaj, jak określić wpływ przykładu parabolicznej transformacji Lorentza na czasoprzestrzeń Minkowskiego.

Podana powyżej macierz daje transformację

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ koniec {bmatrix}} \ rightarrow {\ rozpocząć {bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ koniec {bmatrix}} + \operatorname {Re} (\alpha)\;{\begin{bmatrix}x\\tz\\0\\x\end{bmatrix}}+\operatorname {Im} (\alpha)\;{\begin{bmatrix }y\\0\\zt\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}tz\\0\ \0\\tz\end{bmacierz}}.}$

Teraz, bez utraty ogólności, wybierz Im(α) = 0 . Zróżnicowanie tej transformacji w odniesieniu do teraz rzeczywistego parametru grupowego α i oszacowanie przy α = 0 daje odpowiednie pole wektorowe (operator różniczkowy liniowy cząstkowy pierwszego rzędu),

${\ Displaystyle x \, \ lewo (\ częściowe _ {t} + \ częściowe _ {z} \ prawej) + (tz) \, \ częściowe _ {x}.}$

Zastosuj to do funkcji f( t , x , y , z ) i zażądaj, aby pozostała niezmienna; tj. zostaje unicestwiony przez tę transformację. Rozwiązanie otrzymanego liniowego równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle f (t, x, y, z) = F \ lewo (y, \ ,tz,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

gdzie F jest dowolną gładką funkcją. Argumenty F dają trzy wymierne niezmienniki opisujące, w jaki sposób punkty (zdarzenia) poruszają się w ramach tej transformacji parabolicznej, ponieważ same się nie poruszają,

${\ Displaystyle y = c_ {1}, ~~~~ tz = c_ {2}, ~~~~ t ^ {2} -x ^ {2} -z ^ {2} = c_ {3}.}$

Wybór rzeczywistych wartości stałych po prawej stronie daje trzy warunki, a tym samym określa krzywą w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Ta krzywa jest orbitą transformacji.

Postać niezmienników wymiernych pokazuje, że te linie przepływu (orbity) mają prosty opis: pomijając nieistotną współrzędną y , każda orbita jest przecięciem płaszczyzny zerowej t = z + c ₂ , z hiperboloidą t ² − x ² - z ² = do ₃ . Przypadek c ₃ = 0 ma hiperboloidę zdegenerowaną do stożka światła, a orbity stają się parabolami leżącymi w odpowiednich płaszczyznach zerowych.

Konkretna linia zerowa leżąca na stożku światła pozostaje niezmienna ; odpowiada to unikalnemu (podwójnemu) stałemu punktowi na kuli Riemanna wspomnianej powyżej. Inne zerowe linie przechodzące przez początek są „obracane wokół stożka” przez transformację. Podążanie za ruchem jednej takiej linii zerowej, gdy α wzrasta, odpowiada podążaniu za ruchem punktu wzdłuż jednej z kołowych linii przepływu na sferze niebieskiej, jak opisano powyżej.

wybór Re( α ) = 0 daje podobne orbity, teraz z zamienionymi rolami x i y .

Przekształcenia paraboliczne prowadzą do symetrii cechowania bezmasowych cząstek (takich jak fotony ) ze spiralnością | godzina | ≥ 1. W powyższym wyraźnym przykładzie, na bezmasową cząstkę poruszającą się w z , a więc z 4-pędowym P = ( p , 0, 0, p ) , w ogóle nie wpływa kombinacja x -boost i y -rotacja K _x - J _y zdefiniowanej poniżej, w „małej grupie” swojego ruchu. Jest to oczywiste z omówionego jawnego prawa transformacji: jak każdy wektor podobny do światła, P jest teraz niezmienne; tj. wszystkie ślady lub efekty α zniknęły. c ₁ = c ₂ = c ₃ = 0, w omawianym szczególnym przypadku. (Inny podobny generator, K _y + J _x , jak również it i J _z , razem tworzą małą grupę wektora podobnego do światła, izomorficznego do E (2).)

Działanie wzmocnienia Lorentza w kierunku x na stożek świetlny i „niebiański krąg” w czasoprzestrzeni 1+2. Po zastosowaniu macierzy wzmocnień Lorentza do całej przestrzeni, koło niebieskie musi zostać odzyskane poprzez przeskalowanie każdego punktu do t = 1.

Wygląd nocnego nieba

Ten izomorfizm powoduje, że transformacje Möbiusa sfery Riemanna reprezentują sposób, w jaki transformacje Lorentza zmieniają wygląd nocnego nieba, widziany przez obserwatora, który manewruje z prędkościami relatywistycznymi względem „gwiazd stałych”.

Załóżmy, że „gwiazdy stałe” żyją w czasoprzestrzeni Minkowskiego i są modelowane przez punkty na sferze niebieskiej. Wtedy dany punkt na sferze niebieskiej można powiązać z ξ = u + iv , liczbą zespoloną odpowiadającą punktowi na sferze Riemanna i można go utożsamić z wektorem zerowym ( wektorem przypominającym światło ) w przestrzeni Minkowskiego

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} u ^ {2} + v ^ {2} + 1 \\ 2u \\ -2v \\u^{2}+v^{2}-1\end{bmacierz}}}$

lub, w reprezentacji Weyla (mapa spinorowa), macierz hermitowska

${\ Displaystyle N = 2 {\ początek {bmatrix} u ^ {2} + v ^ {2} i u + iv \\ u-iv i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

Działanie wzmocnienia Lorentza w ujemnym kierunku z na przestrzenną projekcję sfery niebieskiej (w pewnym wyborze układu ortonormalnego). Ponownie, po zastosowaniu macierzy wzmocnienia Lorentza do całej przestrzeni, sfera niebieska musi zostać odzyskana przez ponowne przeskalowanie do t = 1 lub równoważnie |x| = 1.

Zbiór rzeczywistych wielokrotności skalarnych tego wektora zerowego, zwany linią zerową przechodzącą przez początek, reprezentuje linię wzroku od obserwatora w określonym miejscu i czasie (dowolne zdarzenie, które możemy utożsamić z początkiem czasoprzestrzeni Minkowskiego) do różnych odległych obiekty, takie jak gwiazdy. Następnie punkty sfery niebieskiej (odpowiednik linii wzroku) są utożsamiane z pewnymi macierzami hermitowskimi.

Geometria rzutowa i różne widoki 2-sfery

Ten obraz wyłania się czysto w języku geometrii rzutowej. (Ograniczona) grupa Lorentza działa na rzutowej sferze niebieskiej . Jest to przestrzeń niezerowych wektorów zerowych z pod danym ilorazem dla $przestrzeni$${\ Displaystyle (t, x, y, z) \ sim (t', x', y', z')}$ jeśli ${\ Displaystyle (t', x', y', z') = (\ lambda t, \ lambda x, \ lambda y, \ lambda z)} dla λ > {\$ Displaystyle $> 0}$ . Nazywa się to sferą niebieską, ponieważ pozwala nam przeskalować współrzędną czasową $1$ po zastosowaniu transformacji Lorentza, zapewniając, że część przypominająca przestrzeń znajduje się na sferze jednostkowej.

Od strony Möbiusa, ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ działa na złożonej przestrzeni rzutowej $\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1 }}$ , który można wykazać jako dyfeomorficzny do 2-sfery - jest to czasami określane jako sfera Riemanna . Iloraz w przestrzeni rzutowej prowadzi do ilorazu w grupie ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ .

Wreszcie, te dwa elementy można połączyć ze sobą, używając złożonego wektora rzutowego do skonstruowania wektora zerowego. Jeśli jest $.$$rzutowym$$}$ można go tensować z jego sprzężeniem hermitowskim, aby uzyskać $Displaystyle 2 \ razy 2$ Macierz hermitowska. Z innego miejsca w tym artykule wiemy, że tę przestrzeń macierzy można postrzegać jako 4-wektory. Przestrzeń macierzy pochodząca z przekształcenia każdego wektora rzutowego w sferze Riemanna w macierz jest znana jako Kula Blocha .

Algebra kłamstw

Jak w przypadku każdej grupy Liego, przydatnym sposobem badania wielu aspektów grupy Lorentza jest jej algebra Liego . $\$ grupa Lorentza macierzową grupą Liego $mathfrak { więc}}(1,3)}$ odpowiednia algebra Liego jest macierzową algebrą Liego, którą można obliczyć jako

${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (1, 3)=\left\{4\times 4\,\,\,\mathbb {R} {\text{macierze o wartościach}}\,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1 ,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {wszystko} \,t\right\}}$ .

Jeśli jest $macierzą$ diagonalną z wpisami ukośnymi $(1, -1, -1, -1)}$ , to algebra Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {o}} (1,3)}$ składa się z macierzy takich, że $\ razy 4$$}$

${\ Displaystyle \ eta X \ eta = - X ^ {\ textsf {T}}}$ .

Wyraźnie składa się z matryc postaci ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}}$$}$

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 & a & b & c \\ a & 0 & d & e \\ b & -d & 0 & f \\ c & -e & -f & 0 \ koniec {pmatrix}}$ }

gdzie $, e, f}$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Ta algebra Liego jest sześciowymiarowa. Podalgebra ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} (1,3)}$ składająca się z elementów, w których ${\ Displaystyle a}$ , ${\ Displaystyle b}$ i ${\ Displaystyle c}$ równe zero jest izomorficzne z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (3)}$ .

Pełna grupa Lorentza ${\ Displaystyle {\ tekst {O}} (1,3)}$ , właściwa grupa Lorentza ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} (1, 3)}$ i właściwa ortochroniczna grupa Lorentza (składnik połączony z tożsamością) mają tę samą algebrę Liego, ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} ^ {+} (1,3)}$ co jest zwykle oznaczane jako ${\ Displaystyle {\ mathfrak {więc}} (1,3)}$ .

Ponieważ składnik tożsamości grupy Lorentza jest izomorficzny ze skończonym ilorazem $SL}} (2, \ mathbb {C})}$ { grupa Lorentza do grupy Möbiusa), algebra Liego grupy Lorentza jest izomorficzna z algebrą Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$ . Jako złożona algebra Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$ jest trójwymiarowy, ale jest sześciowymiarowy, gdy jest postrzegany jako prawdziwa algebra Liego.

Relacje komutacyjne algebry Lorentza

Standardowe $displaystyle$$przyjmuj$$_ \{0,1,2,3\}}$ gdzie wartości . $,$ one z przyjmowania tylko jednego z a innych Składniki można zapisać jako

${\ Displaystyle (M ^ {\ mu \ nu}) _ {\ rho \ sigma} = \ delta ^ {\ mu} }_{\rho }\delta ^{\nu }{}_{\sigma }-\delta ^{\nu }{}_{\rho }\delta ^{\mu }{}_{\sigma }}$ .

Relacje komutacyjne są

${\ Displaystyle [M ^ {\ mu \ nu}, M ^ {\ rho \ sigma}] = M ^ {\ mu \ sigma} \ eta ^ {\ nu \ rho} -M ^ {\ nu \ sigma} \ eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

Istnieją różne możliwe wybory stosowanej konwencji. $W fizyce powszechne$ uwzględnianie czynnika z elementami podstawowymi, co $daje$ współczynnik w relacjach komutacji

Następnie $_$ i $_$ _

Stałe struktury dla algebry Lorentza można odczytać z relacji komutacji. Dowolny zbiór elementów bazowych, które spełniają te relacje, tworzy reprezentację algebry Lorentza.

Generatory wzmocnień i obrotów

Grupę Lorentza można traktować jako podgrupę grupy dyfeomorfizmu R 4 ⁱ dlatego jej algebrę Liego można utożsamiać z polami wektorowymi na R ⁴ . W szczególności wektory, które generują izometrie w przestrzeni, to jego wektory zabijania , co stanowi wygodną alternatywę dla pola wektorowego niezmiennego w lewo do obliczania algebry Liego. Możemy zapisać zestaw sześciu generatorów :

• Pola wektorowe na R ⁴ generujące trzy obroty i J ,

  ${\ Displaystyle -y \ częściowe _ {x} + x \ częściowe _ {y} \ równoważne iJ_ {z} ~, \ qquad -z \ częściowe _ {y} + y \ częściowe _ {z} \ równoważne iJ_ {x }~,\qquad -x\częściowe _{z}+z\częściowe _{x}\równoważnik iJ_{y}~;}$

• Pola wektorowe na R ⁴ generujące trzy wzmocnienia i K ,

  ${\ Displaystyle x \ częściowe _ {t} + t \ częściowe _ {x} \ równoważne iK_ {x} ~, \ qquad y \ częściowe _ {t} + t \ częściowe _ {y} \ równoważne iK_ {y} ~ ,\qquad z\częściowe _{t}+t\częściowe _{z}\równoważnik iK_{z}.}$

Czynnik wydaje się zapewniać $.$ że generatory obrotów są hermitowskie

pola wektorowego otrzymać grupę jednoparametrową , zapisaną w postaci liniowego operatora różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu, takiego jak

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = - y \ częściowe _ {x} + x \ częściowe _ {y}.}$

Odpowiedni problem z wartością $_{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$ funkcję $skalarną$$i$ rozwiąż $)$ z pewnymi warunkami początkowymi) to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe x} {\ częściowe \ lambda}} = - y, \; {\ Frac {\ częściowe y} {\ częściowe \ lambda}} = x, \; x (0) = x_ {0},\;y(0)=y_{0}.}$

Rozwiązanie można napisać

${\ Displaystyle x (\ lambda) = x_ {0} \cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

Lub

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ koniec {bmatrix}} = {\ zacząć {bmatrix} 1&0&0&0 \\0&\ cos (\ lambda)&-\ sin (\ lambda) &0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\ \z_{0}\end{bmacierz}}}$

gdzie łatwo rozpoznamy jednoparametrową macierzową grupę obrotów exp( i λ J _z ) wokół osi z.

Różniczkując względem parametru grupowego λ i ustalając w ten sposób λ = 0, odzyskujemy macierz standardową,

${\ Displaystyle iJ_ {z} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}} ~,}$

co odpowiada polu wektorowemu, od którego zaczęliśmy. Ilustruje to, jak przechodzić między macierzowymi i wektorowymi reprezentacjami polowymi elementów algebry Liego. Mapa wykładnicza odgrywa tę szczególną rolę nie tylko dla grupy Lorentza, ale ogólnie dla grup Liego.

Odwracając procedurę z poprzedniej sekcji, widzimy, że transformacje Möbiusa, które odpowiadają naszym sześciu generatorom, wynikają z potęgowania odpowiednio η /2 (dla trzech wzmocnień) lub iθ /2 (dla trzech obrotów) razy trzy macierze Pauliego

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \\ 1 & 0 \ koniec {bmatrix}}, \; \; \ sigma _ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i - i \\ i & 0 \end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Generatory grupy Möbiusa

Kolejny zespół generujący powstaje poprzez izomorfizm do grupy Möbiusa. W poniższej tabeli wymieniono sześć generatorów, w których

• Pierwsza kolumna podaje generator przepływu pod działaniem Möbiusa (po rzucie stereograficznym ze sfery Riemanna) jako rzeczywiste pole wektorowe na płaszczyźnie euklidesowej.
• Druga kolumna zawiera odpowiednią jednoparametrową podgrupę transformacji Möbiusa.
• Trzecia kolumna podaje odpowiednią jednoparametrową podgrupę przekształceń Lorentza (obraz pod naszym homomorfizmem poprzedniej jednoparametrowej podgrupy).
• Czwarta kolumna podaje odpowiedni generator przepływu pod działaniem Lorentza jako rzeczywiste pole wektorowe w czasoprzestrzeni Minkowskiego.

Zauważ, że generatory składają się z

• Dwie parabole (zerowe obroty)
• Jeden hiperboliczny (zwiększenie w kierunku) ${\ displaystyle \ częściowy _ {z} }$
• Trzy eliptyki (obroty odpowiednio wokół osi x , y , z )

Pole wektorowe na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	Podgrupa jednoparametrowa reprezentująca transformacje Möbiusa ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$	Podgrupa jednoparametrowa reprezentująca transformacje Lorentza ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} ^ {+} (1,3)$ }	Pole wektorowe na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1,3}}$
Paraboliczny
${\ Displaystyle \ częściowe _ {u} \, \!}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i \ alfa \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 + {\ Frac {1} {2} }\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2} }\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X_ {1} = x & (\ częściowe _ {t} + \ częściowe _ {z}) + {}\\&(tz)\częściowe _{x}\end{wyrównane}}}$
${\ Displaystyle \ częściowe _ {v} \, \!}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i ja \ alfa \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 + {\ Frac {1} {2} }\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2} }\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X_ {2} = y & (\ częściowe _ {t} + \ częściowe _ {z})$
Hiperboliczny
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (u \ częściowe _ {u} + v \ częściowe _ {v} \ prawej)}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {\ eta} {2}} \ prawej) i 0 \\ 0 & \ exp \ left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ cosh (\ eta) i 0 i 0 i \ sinh (\ eta) \\ 0 i 1 i 0 i 0 \ \0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle X_ {3} = z \ częściowe _ {t} + t \ częściowe _ {z} \, \!}$
Eliptyczny
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (-v \ częściowe _ {u} + u \ częściowe _ {v} \ prawej)}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {i \ theta} {2}} \ prawo) i 0 \\ 0& \exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i \ sałata (\ teta) i - \ grzech (\ theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmacierz}}}$	${\ Displaystyle X_ {4} = - y \ częściowe _ {x} + x \ częściowe _ {y}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {v ^ {2} -u ^ {2} -1} {2}} \ częściowe _ {u} -uv \, \częściowe _{v}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sałata \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2 }}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta}{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta}{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i \ sałata (\ teta) i 0 i \ grzech (\ teta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmacierz}}}$	${\ Displaystyle X_ {5} = - x \ częściowe _ {z} + z \ częściowe _ {x}}$
${\ Displaystyle uv \ \ częściowe _ {u} + {\ Frac {1-u ^ {2} + v ^ {2}} {2}} \częściowe _{v}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ bo \ lewo ({\ Frac {\ theta}} 2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta}{2}}\right)&\ cos \left({\frac {\theta}{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i \ sałata (\ teta) i - \ sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmacierz}}}$	${\ Displaystyle X_ {6} = - z \ częściowe _ {y} + y \ częściowe _ {z}}$

Przykład praktyczny: obrót wokół osi y

Zacząć od

${\ Displaystyle \ sigma _ {2} = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i \\ -i & 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

wykładniczy:

${\ Displaystyle \ exp \ lewo ({\ Frac {i \ teta} {2}} \, \ sigma _ {2} \ prawej) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos \ lewo ({\ frac {\ teta} {2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta}{2}}\right)& \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.}$

Ten element ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ reprezentuje jednoparametrową podgrupę (eliptycznych) transformacji Möbiusa:

${\ Displaystyle \ xi \ mapsto \ xi '= {\ Frac {\ cos \ lewo ({\ Frac {\ teta} {2}} \ prawo) \, \ xi - \ sin \ lewo ({\ frac {\ teta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta}{2}} \Prawidłowy)}}.}$

Następny,

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d \ xi '} {d \ teta}} \ prawo | _ {\ teta = 0} = - {\ Frac {1 + \ xi ^ {2}} {2}} .}$

Odpowiednie pole wektorowe na (uważane za obraz w rzucie stereograficznym) to ${\ displaystyle S ^$$}$

${\ Displaystyle - {\ Frac {1 + \ xi ^ {2}} {2}} \ \ częściowe _ {\ xi}.}$

Pisząc , ${R$$\$ \

${\ Displaystyle - {\ Frac {1 + u ^ {2} -v ^ {2}} {2}} \, \ częściowe _ {u} -uv \, \ częściowe _ {v}.}$

Wracając do naszego elementu ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} (2, \ mathbb {C})}$ , wypisując akcję ${\ Displaystyle X \ mapsto PXP ^ {\ sztylet}}$ i zbierając terminy, stwierdzamy, że obraz pod mapą spinorową jest elementem ${\ Displaystyle {\ tekst {SO}} ^ {+} (1,3)}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1&0&0&0 \\0&\ cos (\ teta) i 0&\ sin (\ teta) \\0&0&1&0 \\0&-\ sin (\ teta) & 0&\ cos (\ teta) \ koniec {bmatrix }}.}$

Różniczkując względem , daje $\$ pole wektorowe na ${R} ^ {1,3}$$\$ ,

${\ Displaystyle z \ częściowe _ {x} -x \ częściowe _ {z}. \, \!}$

Jest to ewidentnie generator obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół osi ${\ displaystyle y}$ .

Podgrupy grupy Lorentza

Podalgebry algebry Liego grupy Lorentza można wyliczyć, aż do koniugacji, z której można wymienić zamknięte podgrupy ograniczonej grupy Lorentza, aż do koniugacji. (Szczegółowe $w$ cytowanej poniżej książce Halla). Można je łatwo wyrazić za pomocą generatorów w powyższej tabeli.

Jednowymiarowe podalgebry odpowiadają oczywiście czterem klasom koniugacji elementów grupy Lorentza:

• ${\ Displaystyle X_ {1}}$ generuje jednoparametrową podalgebrę parabolicznych SO (0, 1),
• ${\ Displaystyle X_ {3}}$ generuje jednoparametrową podalgebrę wzmocnień SO (1, 1),
• ${\ Displaystyle X_ {4}}$ generuje jednoparametrowy obrót SO (2),
• ${\ Displaystyle X_ {3} + aX_ {4}}$$($ dla dowolnego jednoparametrową podalgebrę przekształceń loksodromicznych.

(Ściśle mówiąc, ostatnia odpowiada nieskończenie wielu klasom, ponieważ różne ${\ displaystyle a}$ różne klasy). Dwuwymiarowe podalgebry to: za

• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$ generować abelową podalgebrę składającą się wyłącznie z parabolicznych,
• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {3}}$ generować nieabelową podalgebrę izomorficzną z algebrą Liego grupy afinicznej Aff (1),
• ${\ Displaystyle X_ {3}, X_ {4}}$ generować abelową podalgebrę składającą się z wzmocnień, obrotów i loksodromów, z których wszystkie mają tę samą parę punktów stałych.

Trójwymiarowe podalgebry wykorzystują schemat klasyfikacji Bianchiego :

• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}}$ generować podalgebrę Bianchiego V , izomorficzną z algebrą Liego Hom (2), grupą jednorodności euklidesowych ,
• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {4}}$ generować podalgebrę Bianchiego VII ₀ , izomorficzną z algebrą Liego E (2), grupą euklidesową ,
• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} + aX_ {4}}$ , gdzie ${\ Displaystyle a \ neq 0}$ generować Bianchi VII _podalgebra ,
• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {3}, X_ {5}}$ generować podalgebrę Bianchiego VIII , izomorficzną z algebrą Liego SL (2, R ), grupą izometrii płaszczyzna hiperboliczna ,
• ${\ Displaystyle X_ {4}, X_ {5}, X_ {6}}$ generować podalgebrę Bianchiego IX , izomorficzną z algebrą Liego SO (3), grupą rotacji.

Typy Bianchiego odnoszą się do klasyfikacji trójwymiarowych algebr Liego dokonanej przez włoskiego matematyka Luigiego Bianchiego .

Wszystkie czterowymiarowe podalgebry są sprzężone

• ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}}$ generować podalgebrę izomorficzną z algebrą Liego Sim (2), grupa podobieństw euklidesowych .

Podalgebry tworzą siatkę (patrz rysunek), a każda podalgebra generuje przez potęgowanie zamkniętą podgrupę ograniczonej grupy Liego. Z nich można zbudować wszystkie podgrupy grupy Lorentza, aż do koniugacji, przez pomnożenie przez jeden z elementów czterogrupy Kleina.

Krata podalgebr algebry Liego SO(1, 3), aż do koniugacji.

Podobnie jak w przypadku każdej połączonej grupy Liego, przestrzenie coset zamkniętych podgrup ograniczonej grupy Lorentza lub przestrzenie jednorodne mają duże znaczenie matematyczne. Kilka, krótkich opisów:

• Grupa Sim(2) jest stabilizatorem linii zerowej ; tj. punktu na sferze Riemanna — więc przestrzeń jednorodna SO ⁺ (1, 3)/Sim(2) jest geometrią Kleina , która reprezentuje geometrię konforemną na kuli S ² .
• Składowa tożsamościowa grupy euklidesowej SE(2) jest stabilizatorem wektora zerowego , więc przestrzeń jednorodna SO ⁺ (1, 3)/SE(2) jest przestrzenią pędu cząstki bezmasowej; geometrycznie ta geometria Kleinowska reprezentuje zdegenerowaną geometrię stożka światła w czasoprzestrzeni Minkowskiego.
• Grupa rotacji SO(3) jest stabilizatorem czasopodobnego wektora , więc przestrzeń jednorodna SO ⁺ (1, 3)/SO(3) jest przestrzenią pędu masywnej cząstki; geometrycznie przestrzeń ta jest niczym innym jak trójwymiarową przestrzenią hiperboliczną H ³ .

Uogólnienie do wyższych wymiarów

Główny artykuł: Nieokreślona grupa ortogonalna

Koncepcja grupy Lorentza ma naturalne uogólnienie na czasoprzestrzeń o dowolnej liczbie wymiarów. Matematycznie grupa Lorentza ( n + 1) - wymiarowej przestrzeni Minkowskiego jest nieokreśloną ortogonalną grupą O ( n , 1) liniowych przekształceń R ^{n +1} , która zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}) \ mapsto x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}$

Grupa O(1, n ) zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}}$

Jest izomorficzny z O( n , 1), ale cieszy się większą popularnością w fizyce matematycznej, głównie dlatego, że algebra równania Diraca i bardziej ogólnie algebry spinora i Clifforda są „bardziej naturalne” z tym podpisem.

Typową notacją przestrzeni wektorowej, wyposażonej $\ mathbb {R} ^ { 1,n}}$ ten wybór formy kwadratowej, jest $n {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {} R 1 ,$ .

Wiele właściwości grupy Lorentza w czterech wymiarach (gdzie n = 3 ) można bezpośrednio uogólnić na dowolne n . Na przykład grupa Lorentza O ( n , 1) ma cztery połączone składowe i działa poprzez konforemne transformacje na sferze niebieskiej ( n -1) w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Składnik tożsamości SO ⁺ ( n , 1) jest wiązką SO( n ) nad hiperboliczną n -przestrzenią H ⁿ .

Niskowymiarowe przypadki n = 1 i n = 2 są często przydatne jako „modele zabawkowe” dla przypadku fizycznego n = 3 , podczas gdy wielowymiarowe grupy Lorentza są używane w teoriach fizycznych, takich jak teoria strun , które zakładają istnienie ukrytych wymiarów . Grupa Lorentza O( n , 1) jest również grupą izometrii n -wymiarowej przestrzeni de Sittera dS _n , którą można zrealizować jako przestrzeń jednorodną O( n , 1)/O( n − 1, 1). _W szczególności O(4,1) jest grupą izometrii wszechświata de Sittera dS4 , modelem kosmologicznym.

Zobacz też

Transformacja Lorentza Teoria reprezentacji grup Lorentza grupa Poincarégo grupa Möbiusa Przestrzeń Minkowskiego

Biquaternions Nieokreślona grupa ortogonalna Kwaterniony i rotacja przestrzenna Szczególna teoria względności Symetria w mechanice kwantowej

Lista do przeczytania

• Emil Artin (1957) Geometric Algebra , rozdział III: Symplectic and Orthogonal Geometry via Internet Archive , obejmuje grupy ortogonalne O (p, q)
•   Carmeli, Mosze (1977). Teoria grup i ogólna teoria względności, reprezentacje grupy Lorentza i ich zastosowania w polu grawitacyjnym . McGraw-Hill, Nowy Jork. ISBN 978-0-07-009986-9 . Odniesienie kanoniczne; patrz rozdziały 1–6 , aby zapoznać się z reprezentacjami grupy Lorentza.
•   Frankel, Teodor (2004). Geometria fizyki (wyd. 2) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2 . Doskonałe źródło informacji o teorii kłamstw, wiązkach włókien, pokryciach spinorycznych i wielu innych tematach.
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . Zobacz Wykład 11 dla nieredukowalnych reprezentacji SL(2, C ).
• Gelfand, IM ; Minlos, RA ; Shapiro, Z.Ya. (1963), Reprezentacje grup rotacyjnych i Lorentza oraz ich zastosowania , Nowy Jork: Pergamon Press
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666 .
•   Hall, GS (2004). Symetrie i struktura krzywizny w ogólnej teorii względności . Singapur: świat naukowy. ISBN 978-981-02-1051-9 . Zobacz rozdział 6 dla podalgebr algebry Liego grupy Lorentza.
•   Hatcher, Allen (2002). Topologia algebraiczna . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1 . Zobacz także „ wersja online” . Źródło 3 lipca 2005 . Zobacz sekcję 1.3 , aby zapoznać się z pięknie ilustrowaną dyskusją na temat zakrywania przestrzeni. Zobacz sekcję 3D , aby zapoznać się z topologią grup rotacji.
•   Misner, Karol ; Thorne, Kip S .; Wheeler, John (1973). Grawitacja . WH Freeman and Company . ISBN 978-0-7167-0344-0 . §41.3
•   Naber, Grzegorz (1992). Geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego . Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 978-0486432359 . (Przedruk z Dover.) Doskonałe odniesienie do czasoprzestrzeni Minkowskiego i grupy Lorentza.
•   Needham, Tristan (1997). Wizualna analiza złożona . Oksford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853446-4 . Zobacz rozdział 3 , gdzie znajdziesz doskonale zilustrowane omówienie transformacji Möbiusa.
•   Weinberg, S. (2002), Kwantowa teoria pól , tom. 1, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
•    Wigner, EP (1939), „O jednolitych reprezentacjach niejednorodnej grupy Lorentza”, Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR 1968551 , MR 1503456 .