Formularz Maurera-Cartana

W matematyce forma Maurera-Cartana dla grupy Liego $G$ jest wyróżniającą się postacią różniczkową na $G$ , która zawiera podstawowe nieskończenie małe informacje o strukturze $G$ . Był często używany przez Élie Cartana jako podstawowy składnik jego metody przesuwania klatek i nosi jego imię razem z imieniem Ludwiga Maurera .

Jako forma pojedyncza, forma Maurera-Cartana jest szczególna, ponieważ przyjmuje swoje wartości w algebrze Liego związanej z grupą Liego $G$ . Algebra Liego jest utożsamiana z $przestrzenią$ styczną G przy tożsamości, oznaczoną $T e G$ . Forma Maurera-Cartana $ω$ jest zatem jednoformą zdefiniowaną globalnie na $G$ , która jest liniowym odwzorowaniem przestrzeni stycznej $T g G$ w każdym $g \in G$ na $T e G$ . Podaje się go jako przesunięcie wektora w $T g G$ wzdłuż lewego translacji w grupie:

{\ Displaystyle \ omega (v) = (L_ {g ^ {-1}}) _ {*} v, \ quad v \ w T_ {g} G.}

Motywacja i interpretacja

Grupa Lie działa na siebie poprzez mnożenie pod mapowaniem

{\ Displaystyle G \ razy G \ ni (g, h) \ mapsto gh \ w G.}

jemu $współczesnych$ było zidentyfikowanie głównej jednorodnej przestrzeni G. To znaczy rozmaitość $P$ identyczna z grupą $G$ , ale bez ustalonego wyboru elementu jednostkowego. Ta motywacja pochodziła częściowo z programu Erlangen Felixa Kleina , w którym interesowało nas pojęcie symetrii w przestrzeni, gdzie symetrie przestrzeni były przekształceniami tworzącymi grupę Liego. Geometriami będącymi przedmiotem zainteresowania były przestrzenie jednorodne $G / H$ , ale zwykle bez ustalonego wyboru pochodzenia odpowiadającego cosetowi $eH$ .

Główna jednorodna przestrzeń $G$ $jest$ rozmaitością $P$ abstrakcyjnie scharakteryzowaną przez swobodne i przechodnie działanie G na $P$ . Forma Maurera -Cartana daje odpowiednią nieskończenie małą charakterystykę głównej jednorodnej przestrzeni. Jest to jednoforma zdefiniowana na $P$ spełniająca warunek całkowalności znany jako równanie Maurera-Cartana. Korzystając z tego warunku całkowalności, możliwe jest zdefiniowanie mapy wykładniczej algebry Liego iw ten sposób uzyskać lokalnie działanie grupowe na $P$ .

Budowa

Wewnętrzna konstrukcja

Niech $g ≅ T e G$ będzie przestrzenią styczną grupy Liego $G$ przy tożsamości (jej algebry Liego ). $G$ działa na siebie poprzez lewe tłumaczenie

{\ Displaystyle L: G \ razy G \ do G}

takie, że dla danego $g \in G$ mamy

{\ Displaystyle L_ {g}: G \ do G \ quad {\ mbox {gdzie}} \ quad L_ {g} (h) = gh,}

a to indukuje odwzorowanie wiązki stycznej do samej siebie: $*}: T_ {h} G \ do T_ {gh} G.}$ { Lewo niezmienne pole wektorowe to sekcja $X$ $T G$ taka, że

{\ Displaystyle (L_ {g}) _ {*} X = X \ quad \ forall g \ w G.}

Maurera -Cartana $ω$ jest jednoformą o wartości $g na$ $G$ zdefiniowaną na wektorach $v \in T g G$ wzorem

{\ Displaystyle \ omega _ {g} (v) = (L_ {g ^ {-1}}) _ {*} v.}

Konstrukcja zewnętrzna

Jeśli $G$ jest osadzone w $GL(n)$ przez odwzorowanie o wartościach macierzowych $g = (g ij)$ , to można zapisać $ω$ jawnie jako

{\ Displaystyle \ omega _ {g} = g ^ {- 1} \, dg.}

W tym sensie forma Maurera-Cartana jest zawsze lewą pochodną logarytmiczną mapy tożsamości $G$ .

Charakteryzacja jako połączenie

Jeśli uznamy grupę Liego $G$ za wiązkę główną na rozmaitości składającej się z jednego punktu, to postać Maurera-Cartana można również scharakteryzować abstrakcyjnie jako unikalne połączenie główne na wiązce głównej $G$ . Rzeczywiście, jest to jedyna $g = T e G$ o wartości $1$ na $G$ satysfakcjonująca

$Displaystyle \ omega _ {e} = \ operatorname {id}: T_ {e} G \ rightarrow {\ mathfrak {g}}, {\ tekst {i} }}$
${\ Displaystyle \ forall g \ in G \ quad \ omega _ {g} = \ operatorname {Reklama} (h)(R_{h}^{*}\omega _{e}),{\text{ gdzie }}h=g^{-1},}$

gdzie $R h *$ jest wycofaniem form wzdłuż prawej translacji w grupie, a $Ad (h)$ jest działaniem sprzężonym na algebrze Liego.

Nieruchomości

Jeśli $X$ jest lewostronnie niezmiennym polem wektorowym na $G$ , to $ω (X)$ jest stałe na $G$ . Ponadto, jeśli $X$ i $Y$ są lewostronnie niezmienne, to

{\ Displaystyle \ omega ([X, Y]) = [\ omega (X), \ omega (Y)]}

gdzie nawias po lewej stronie to nawias Liego pól wektorowych , a nawias po prawej stronie to nawias algebry Liego $g$ . (Można to wykorzystać jako definicję nawiasu na $g$ ). Fakty te można wykorzystać do ustalenia izomorfizmu algebr Liego

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G \ cong \ {{\ hbox {lewo niezmienne pola wektorowe na G}} \}.}

Z definicji pochodnej zewnętrznej , jeśli $X$ i $Y$ są dowolnymi polami wektorowymi, to

{\ Displaystyle d \ omega (X, Y) = X (\ omega (Y)) -Y (\ omega (X)) - \ omega ([X, Y]).}

Tutaj $ω (Y)$ jest funkcją o wartości $g$ uzyskaną przez dualność z parowania jednopostaciowego $ω$ z polem wektorowym $Y$ , a $X (ω (Y))$ jest pochodną Liego tej funkcji wzdłuż $X$ . Podobnie $Y (ω (X))$ jest pochodną Liego wzdłuż $Y$ funkcji o wartości $g$ $ω (X)$ .

W szczególności, jeśli $X$ i $Y$ są lewostronnie niezmienne, to

{\ Displaystyle X (\ omega (Y)) = Y (\ omega (X)) = 0,}

Więc

{\ Displaystyle d \ omega (X, Y) + [\ omega (X), \ omega (Y)] = 0}

ale pola niezmienne w lewo rozciągają się na przestrzeń styczną w dowolnym punkcie (przesunięcie podstawy w $T e G$ pod dyfeomorfizmem jest nadal podstawą), więc równanie jest prawdziwe dla dowolnej pary pól wektorowych $X$ i $Y$ . Jest to znane jako równanie Maurera-Cartana . Często pisze się jako

{\ Displaystyle d \ omega + {\ Frac {1} {2}} [\ omega, \ omega] = 0.}

Tutaj $[ω, ω]$ oznacza nawias form o wartościach algebry Liego .

Rama Maurera-Cartana

Można również postrzegać formę Maurera – Cartana jako zbudowaną z ramy Maurera – Cartana . Niech $E i$ będzie bazą sekcji $T G$ składającą się z pól wektorowych niezmienniczych w lewo, a $θ j$ będzie podwójną bazą sekcji $T * G$ taką, że $θ j (E i) = δ i j$ , delta Kroneckera . Następnie $Ei_$ jest ramą Maurera-Cartana, a $θ i$ jest współramą Maurera-Cartana .

Ponieważ $E i$ jest lewostronnie niezmienne, zastosowanie do niego formy Maurera-Cartana po prostu zwraca wartość $E i$ przy tożsamości. Zatem $ω (mi ja) = mi ja (mi) \in sol$ . W ten sposób można zapisać formę Maurera – Cartana

{\ Displaystyle \ omega = \ suma _ {i} E_ {i} (e) \ czasami \ theta ^ {i}.}

()

Załóżmy, że nawiasy Liego pól wektorowych $E i$ są dane przez

{\ Displaystyle [E_ {i}, E_ {j}] = \ suma _ {k} {c_ {ij}} ^ {k} E_ {k}.}

Wielkości $c ij k$ są stałymi strukturalnymi algebry Liego (względem bazy $E i$ ). Proste obliczenie, korzystając z definicji pochodnej zewnętrznej $d$ daje

\ Displaystyle d \ teta ^ {i} (E_ {j}, E_ {k}) = - \ teta ^ {i} ([E_ {j}, E_ {k}]) = - \sum _{r}{c_{jk}}^{r}\theta ^{i}(E_{r})=-{c_{jk}}^{i}=-{\frac {1}{2 }}({c_{jk}}^{i}-{c_{kj}}^{i}),}

tak, że przez dwoistość

{\ Displaystyle d \ theta ^ {i} = - {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {jk} {c_ {jk}} ^ {i} \ theta ^ {j} \ klin \ theta ^ { k}.}

()

Równanie to jest często nazywane równaniem Maurera-Cartana . Aby odnieść to do poprzedniej definicji, która dotyczyła tylko postaci Maurera-Cartana $ω$ , weź zewnętrzną pochodną (1) :

{\ Displaystyle d \ omega = \ suma _ {i} E_ {i} (e) \ czasami d \ theta ^ {i} \, = \, - {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {ijk }{c_{jk}}^{i}E_{i}(e)\czasami \theta ^{j}\klin \theta ^{k}.}

Elementy ramy są podane przez

{\ Displaystyle d \ omega (E_ {j}, E_ {k}) = - \ suma _ {i} {c_ {jk}} ^ {i} E_ {i} (e) = - [E_ {j} ( e),E_{k}(e)]=-[\omega (E_{j}),\omega (E_{k})],}

co ustanawia równoważność dwóch form równania Maurera – Cartana.

Na jednorodnej przestrzeni

sposobie przesuwania klatek Cartana . W tym kontekście można postrzegać formę Maurera – Cartana jako formę 1 $zdefiniowaną$ na tautologicznej wiązce głównej związanej z jednorodną przestrzenią . Jeśli $H$ jest zamkniętą podgrupą G , to $G / H$ jest rozmaitością gładką o wymiarze $dim$ $G - dim H$ . Mapa ilorazowa $G \to G / H$ indukuje strukturę wiązki $H$ -principal nad $G / H$ . Formularz Maurera-Cartana na grupie Liego $G$ daje płaskie połączenie Cartana dla tego głównego pakietu. W szczególności, jeśli $H = {e$ }, to połączenie Cartana jest zwykłą formą połączenia i mamy

{\ Displaystyle d \ omega + \ omega \ klin \ omega = 0}

co jest warunkiem zaniku krzywizny.

W metodzie przesuwania ramek bierze się czasem pod uwagę lokalną sekcję wiązki tautologicznej, powiedzmy $s : G / H \to G$ . (Jeśli pracujemy na podrozmaitości jednorodnej przestrzeni, to $s$ musi być tylko lokalnym przekrojem podrozmaitości.) Wycofanie postaci Maurera – Cartana wzdłuż $s$ definiuje niezdegenerowaną formę o wartości $g$ $1$ $θ = s * ω$ nad podstawą. Wynika to z równania Maurera-Cartana

{\ Displaystyle d \ teta + {\ Frac {1} {2}} [\ teta, \ teta] = 0.}

Ponadto, jeśli $s U$ i $s V$ są parą przekrojów lokalnych określonych odpowiednio na zbiorach otwartych $U$ i $V$ , to są one powiązane elementem $H$ w każdym włóknie wiązki:

{\ Displaystyle h_ {UV} (x) = s_ {V} \ circ s_ {U} ^ {-1} (x), \ quad x \ w U \ cap V.}

Różnica $h$ daje warunek zgodności odnoszący się do dwóch sekcji w obszarze nakładania się:

{\ Displaystyle \ theta _ {V} = \ operatorname {Ad} (h_ {UV} ^ {- 1}) \ theta _{U}+(h_{UV})^{*}\omega _{H}}

gdzie $ω H$ jest formą Maurera – Cartana na grupie $H$ .

Układ niezdegenerowanych form $1$ o wartości $g$ $θ U$ określonych na zbiorach otwartych w rozmaitości $M$ , spełniających równania strukturalne Maurera-Cartana i warunki zgodności nadaje rozmaitości $M$ lokalnie strukturę przestrzeni jednorodnej $G / H$ . Innymi $słowy$ , istnieje lokalny dyfeomorfizm M w przestrzeni jednorodnej, taki że $θ U$ jest wycofaniem formy Maurera-Cartana wzdłuż pewnej części pakietu tautologicznego. Jest to konsekwencją istnienia prymitywów pochodnej Darboux .

Notatki

Cartan, Elie (1904). „Sur la structure des groupes infinis de transforms” (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153–206. doi : 10.24033/asens.538 .
RW Sharpe (1996). Geometria różniczkowa: uogólnienie programu Erlangen przez Cartana . Springer-Verlag w Berlinie. ISBN 0-387-94732-9 .
Szlomo Sternberg (1964). „Rozdział V, Grupy Lie. Sekcja 2, Formy niezmienne i algebra Liego”. Wykłady z geometrii różniczkowej . Prentice Hall. LCCN 64-7993 .