Reprezentacja łączna

W matematyce reprezentacja sprzężona (lub działanie sprzężone ) grupy Liego G jest sposobem reprezentacji elementów grupy jako liniowych przekształceń algebry Liego grupy , uważanej za przestrzeń wektorową . $_$ jeśli G to _ n n Na odwracalne macierze , to sprzężona reprezentacja jest homomorfizmem grupowym, który wysyła odwracalną macierz n -na- n do endomorfizmu przestrzeni wektorowej wszystkich przekształceń liniowych $R$$\ mathbb {R} ^ {n}}$ zdefiniowane przez: ${\ Displaystyle x \ mapsto gxg ^ {- 1}}$ .

Dla dowolnej grupy Liego tę naturalną reprezentację uzyskuje się przez linearyzację (tj. przyjęcie różniczki ) działania G na siebie przez koniugację . Reprezentację sprzężoną można zdefiniować dla liniowych grup algebraicznych w dowolnych polach .

Definicja

Zobacz także: Teoria reprezentacji i grupa Liego § Algebra Liego związana z grupą Liego

Niech G będzie grupą Liego i niech

${\ Displaystyle \ Psi: G \ do \ nazwa operatora {Aut} (G)}$

będzie odwzorowaniem g ↦ Ψ _g , gdzie Aut ( G ) jest grupą automorfizmów G i Ψ _g : G → G dana przez wewnętrzny automorfizm (koniugacja)

${\ Displaystyle \ Psi _ {g} (h) = ghg ​​^ {- 1} ~.}$

To Ψ jest homomorfizmem grupy Liego .

g _Dla każdego g w G zdefiniuj Ad _g jako pochodną Ψ na początku układu współrzędnych:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Reklama} _ {g} = (d \ Psi _ {g}) _ {e}: T_ {e} G \ strzałka w prawo T_{e}G}$

gdzie d jest $e$ i jest styczną początku e jest tożsamości grupy G ). Ponieważ jest automorfizmem grupy Liego, $jest$ _g algebry Liego ; tj. odwracalna ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ liniowa sol do siebie, który zachowuje nawias Liego . Ponadto, ponieważ ${\ Displaystyle g \ mapsto \ Psi _ {g}}$ jest homomorfizmem grupowym, ${\ Displaystyle g \ mapsto \ operatorname {Ad} _ {g}}$ też jest homomorfizmem grupowym . Stąd mapa

${\ Displaystyle \ operatorname {Ad} \ dwukropek G \ do \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}), \, g \$

jest reprezentacją grupową zwaną reprezentacją sprzężoną G .

Jeśli G jest zanurzoną podgrupą Liego $})}$ grupy liniowej (zwanej zanurzoną liniową grupą Liego , to algebra Liego sol n ( do ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ składa się z macierzy, a mapa wykładnicza jest macierzą wykładniczą ${\ Displaystyle \ operatorname {exp} (X) = e ^ {X}}$ dla macierze X z małymi normami operatorów. Zatem dla $\ Displaystyle \ Psi _{g}(\operatorname {exp} (tX))=ge^{tX}g^{-1}}$ w G i małego X w , biorąc pochodną $-$ w t = 0, otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} _ {g} (X) = gXg ^ {- 1}}$

gdzie po prawej stronie mamy iloczyny macierzy. Jeśli $)$ (to znaczy G to ta wzór jest ważny dla wszystkich g w G i wszystkich X w ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Krótko mówiąc, reprezentacja sprzężona jest reprezentacją izotropową związaną z działaniem koniugacji G wokół elementu tożsamości G .

Pochodna Ad

Zawsze można przejść od reprezentacji grupy Liego G do reprezentacji jej algebry Liego, biorąc pochodną przy tożsamości.

Biorąc pochodną sąsiedniej mapy

${\ Displaystyle \ operatorname {Reklama}: G \ do \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$

w elemencie tożsamości daje sprzężoną reprezentację algebry Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Kłamstwo} ($ G ) }

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {reklama}: & \, {\ mathfrak {g}} \ do \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end {wyrównany}}}$

gdzie $\ Displaystyle \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}}) = \ operatorname {Kłamstwo} (\ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}})}$ jest algebrą Liego z $}})}$ którą można utożsamiać z wyprowadzenia sol $Displaystyle$$\mathfrak {g}}}$ . Można to pokazać

${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} _ {x} (y) = [x, y] \,}$

dla wszystkich $pól$ prawa strona jest dana (indukowana) wektorowych . Rzeczywiście, przypomnij sobie, że patrząc na algebrę Liego niezmiennych w lewo pól wektorowych na $jest$ , nawias w nawiasie podany jako: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ dla lewostronnie niezmiennych pól wektorowych X , Y ,

${\ Displaystyle [X, Y] = \ lim _ {t \ do 0} {1 \ ponad t} (d \ varphi _{-t}(Y)-Y)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ varphi _ {t}: G \ do G}$ oznacza przepływ generowany przez X . $okazuje$ się obie definiowanie przepływu. Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ varphi _ {t} = R _ {\ varphi _ {t} (e)}} gdzie$ R $\ Displaystyle R_ {h}}$ oznacza właściwe mnożenie przez ${\ Displaystyle h \ w G}$ . Z drugiej strony, ponieważ według reguły łańcuchowej ${\ Displaystyle \ Psi _ {g} = R_ {g ^ {-1}} \ circ L_ {g}$ }

${\ Displaystyle \ operatorname {Ad } _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))= dR_{g^{-1}}(Y)}$

ponieważ Y jest niezmiennikiem lewostronnym. Stąd,

${\ Displaystyle [X, Y] = \ lim _ {t \ do 0} {1 \ ponad t} ( \operatorname {Reklama} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}$ ,

co trzeba było pokazać.

Zatem $.$ samą zdefiniowaną w § Sprzężona reprezentacja Liego poniżej Reklama i reklama są powiązane poprzez mapę wykładniczą : w szczególności Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) dla wszystkich x w algebrze Liego. Jest to konsekwencja ogólnego wyniku odnoszącego homomorfizmy grupy Liego i algebry Liego za pomocą mapy wykładniczej.

Jeśli G jest głęboko liniową grupą Liego, to powyższe obliczenia upraszczają: rzeczywiście, jak zauważono wcześniej, ${\ Displaystyle \ operatorname {Ad} _ {g} (Y) = gYg ^ {-1}}$ , a zatem z ${\ Displaystyle g = e ^ {tX}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ad} _ {e ^ {tX}} (Y) = e ^ {tX} Ye ^ {-tX}}$ .

Biorąc pochodną tego w , mamy: ${\ displaystyle t = 0}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {X} Y = XY-YX}$ .

$przypadek$ można również wywnioskować z przypadku liniowego: rzeczywiście, niech będzie Liego mającą taką samą algebrę Liego jak G Wtedy pochodna Ad w elemencie identycznym dla G i pochodna dla G ' pokrywają się; stąd, bez utraty ogólności, można założyć, że G jest G ' .

Notacja z dużymi / małymi literami jest szeroko stosowana w literaturze. Tak więc na przykład wektor x w algebrze $generuje$ pole wektorowe X w grupie G Podobnie mapa sprzężona ad _x y = [ x , y ] wektorów w $sol {\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ homomorficzna względem pochodnej Liego L _X Y = [ X , Y ] pól wektorowych na grupie G rozpatrywanej jako rozmaitość .

Zobacz dalej pochodną mapy wykładniczej .

Sprzężona reprezentacja algebry Liego

Niech $. Biorąc pod$ algebrą Liego na jakimś polu $uwagę$ element x algebry Liego definiuje się działanie sprzężone x na mapie jako ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} _ {x}: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}} \$

dla wszystkich y w ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Nazywa się to endomorfizmem sprzężonym lub działaniem sprzężonym . ( ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x}}$ jest również często oznaczany jako ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$ .) Ponieważ nawias jest dwuliniowy, określa to liniowy mapowanie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama}: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})=(\operatorname {koniec} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}$

dany przez x ↦ ad _x . Wewnątrz End ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}})}$ nawias jest z definicji podawany przez komutator dwóch operatorów:

${\ Displaystyle [T, S] = T \ circ SS \ circ T}$

gdzie $.$ skład map liniowych Korzystając z powyższej definicji nawiasu, tożsamość Jacobiego

${\ Displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x ]]+[z,[x,y]]=0}$

przyjmuje formę

${\ Displaystyle \ lewo ([\ nazwa operatora {reklama} _ {x}, \ nazwa operatora {reklama} _ {y} ]\right)(z)=\left(\operatorname {reklama} _{[x,y]}\right)(z)}$

gdzie x , y i z są dowolnymi elementami ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Ta ostatnia tożsamość mówi, że ad jest homomorfizmem algebry Liego; tj. odwzorowanie liniowe, które przenosi nawiasy do nawiasów. $Stąd$ reklama jest reprezentacją algebry Liego jest nazywana sprzężoną reprezentacją algebry .

sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest skończenie wymiarowy i wybrano dla niego podstawę, to $\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}}) }$ jest algebrą Liego macierzy kwadratowych, a skład odpowiada mnożeniu macierzy .

$opartym$ na teorii modułów konstrukcja mówi, że modułem samym w sobie.

$.$ reklamy jest centrum ( to tylko przeformułowanie definicji) Z drugiej strony, dla każdego elementu , odwzorowanie liniowe jest zgodne z zasadą Leibniza ${\ Displaystyle$${\ mathfrak {g}$ prawo :

${\ Displaystyle \ delta ([x, y]) = [\ delta (x), y] + [ x,\delta (y)]}$

dla wszystkich x i y w algebrze (przekształcenie tożsamości Jacobiego). To znaczy ad $}})}$ _{ \ Displaystyle ( { $g$ , przestrzeń wszystkich wyprowadzeń ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Kiedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Kłamstwo} (G)}$ jest algebrą Liego grupy Liego G , ad jest różniczką Ad na elemencie tożsamości G .

Istnieje następujący wzór podobny do $x$ Leibniza : dla skalarów elementów algebry Liego $\ Displaystyle x, y, z$ ,

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {reklama} _ {x} - \ alfa - \ beta) ^ {n} [y, z] = \ suma _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n} {i }}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta)^{ni}z\right].}$

Stałe struktury

Wyraźne elementy macierzowe reprezentacji sprzężonej są określone przez stałe strukturalne algebry. To znaczy, niech {e ⁱ } będzie zbiorem wektorów bazowych dla algebry, z

${\ Displaystyle [e ^ {i}, e ^ {j}] = \ suma _ {k} {c ^ {ij}} _ {k} e ^ {k}.}$

Następnie elementy macierzy dla ad _{e ⁱ} są podane przez

${\ Displaystyle {\ lewo [\ nazwa operatora {reklama} _ {e ^ {i}} \ prawo] _ {k}} ^ {j} = {c ^ {ij}} _ {k} ~.}$

Tak więc, na przykład, sprzężona reprezentacja su(2) jest definiującą reprezentacją so(3) .

Przykłady

• Jeśli G jest abelem wymiaru n , sprzężona reprezentacja G jest trywialną n -wymiarową reprezentacją.
• Jeśli G jest macierzową grupą Lie $.$ podgrupą to jej algebra Liego n n macierzy z komutatorem dla nawiasu Liego (tj. podalgebry sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ . W tym przypadku mapa przylegająca jest dana przez Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ .
• Jeśli G to SL(2, R ) (rzeczywiste macierze 2×2 z wyznacznikiem 1), algebra Liego G składa się z rzeczywistych macierzy 2×2 ze śladem 0. Reprezentacja jest równoważna z reprezentacją daną przez działanie G przez liniową podstawienie w przestrzeni form binarnych (tj. 2 zmiennych) form kwadratowych .

Nieruchomości

Poniższa tabela podsumowuje właściwości różnych map wymienionych w definicji

${\ Displaystyle \ Psi \ dwukropek G \ do \ nazwa operatora {Aut} (G) \,}$	${\ Displaystyle \ Psi _ {g} \ dwukropek G \ do G \,}$
homomorfizm grupy kłamstw: ${\ Displaystyle \ Psi _ {gh} = \ Psi _ {g} \ Psi _ {h}}$	Automorfizm grupy kłamstw: ${\ Displaystyle \ psi _ {g} (ab) = \ psi _ {g} (a) \ psi _ {g} (b)}$ ${\ Displaystyle (\ Psi _ {g}) ^ {- 1} = \ Psi _ {g ^ {- 1}}}$
${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} \ dwukropek G \ do \ nazwa operatora {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$	${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {g} \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}}}$
Homomorfizm grup kłamstw: ${\ Displaystyle \ operatorname {Reklama} _ {gh} = \ operatorname {Reklama} _ {g} \ operatorname {Reklama} _ {h}}$	Automorfizm algebry kłamstw: $liniowa$ jest ${\ Displaystyle \ lewo (\ nazwa operatora {reklama} _ {g} \ prawa) ^ {- 1} = \ nazwa operatora {reklama} _ {g ^ {-1}}}$ ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {g} [x, y] = [\ nazwa operatora {reklama} _ {g} x, \operatorname {Reklama} _{g}y]}$
${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ do \ nazwa operatora {Der} ({\ mathfrak {g}})}$	${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {x} \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}}}$
Homomorfizm algebry kłamstw: ${\ displaystyle \ nazwa operatora {reklama}}$ jest liniowa ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {[x, y]} = [\ nazwa operatora {reklama} _ {x}, \ nazwa operatora {reklama} _ {y }]}$	Wyprowadzenie z algebry kłamstw: ${\ displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {x}}$ jest liniowy ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {x} [y, z] = [\ nazwa operatora {reklama} _{x}y,z]+[y,\nazwa_operatora {reklama} _{x}z]}$

Obraz G pod reprezentacją sprzężoną jest oznaczony przez Ad ( G ) . Jeśli G jest spójny , jądro sprzężonej reprezentacji pokrywa się z jądrem Ψ, które jest po prostu środkiem G. Dlatego sprzężona reprezentacja połączonej grupy Liego G jest wierna wtedy i tylko wtedy, gdy G jest bez środka. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli G nie jest spójny, to jądrem mapy sprzężonej jest ₀ centralizator składnika tożsamości G z G . Z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie mamy

${\ Displaystyle \ operatorname {Reklama} (G) \ kong G / Z_ {G} (G_ {0}).}$

Biorąc pod uwagę skończenie wymiarową rzeczywistą algebrę Liego ${$ na podstawie trzeciego twierdzenia Liego , istnieje połączona grupa Liego $\ Displaystyle \ operatorname {Int} ({\ mathfrak { g}})}$ , którego algebra Liego jest obrazem sprzężonej reprezentacji ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ (tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {Kłamstwo} (\ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}})) = \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {g}})}.) Nazywa się$ to sprzężoną grupą ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}$ }

${$ , jeśli jest algebrą Liego połączonej grupy Liego $} ({\ mathfrak {g}})}$ \ Int jest obrazem sprzężonej reprezentacji sol ⁡ ${\ Displaystyle \ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}}) = \ operatorname {Reklama} (G$ .

Pierwiastki półprostej grupy Liego

Jeśli G jest półproste , niezerowe wagi sprzężonej reprezentacji tworzą system główny . (Ogólnie rzecz biorąc, zanim przejdziemy dalej, należy przejść do złożoności algebry Liego.) Aby zobaczyć, jak to działa, rozważmy przypadek G = SL( n , R ). Możemy przyjąć grupę macierzy diagonalnych diag( t ₁ , ..., t _n ) jako nasz maksymalny torus T . Koniugacja przez element T wysyła

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a_ {11}& a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} i a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^ {-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22 }&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_ {n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\koniec{bmacierzy}}.}$

Zatem T działa trywialnie na ^diagonalną część algebry Liego G i z wektorami własnymi t _it j _-1 na różne wpisy poza przekątną. Pierwiastki G to wagi diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _ja t _j ⁻¹ . Stanowi to standardowy opis systemu korzeniowego G = SL _n ( R ) jako zbiór wektorów postaci e _ja - e _j .

Przykład SL(2, R)

Przy obliczaniu systemu korzeniowego dla jednego z najprostszych przypadków Grup Liego grupa SL(2, R ) dwuwymiarowych macierzy o wyznaczniku 1 składa się ze zbioru macierzy postaci:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} a & b \\ c & d \\\ koniec {bmatrix}}}$

gdzie a , b , c , d real i ad − bc = 1.

Maksymalnie zwarta spójna abelowa podgrupa Liego, czyli maksymalny torus T , jest dana przez podzbiór wszystkich macierzy postaci

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} t_ {1} i 0 \\ 0 i t_ {2} \ \\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\ \0&\exp(-\theta )\\\end{bmacierz}}}$

z ${\ displaystyle t_ {1} t_ {2} = 1}$ . Algebrą Liego maksymalnego torusa jest podalgebra Cartana składająca się z macierzy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ teta & 0 \\ 0 & - \ teta \\\ koniec {bmatrix}} = \ teta {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 0 \\\ koniec {bmatrix}} - \ teta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

Jeśli sprzężymy element SL(2, R ) z elementem maksymalnego torusa, otrzymamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} t_ {1} i 0 \\ 0 i 1/t_ {1} \\\ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\ c/t_{1}&d/t_{1}\\\koniec{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\koniec{bmatrix}}={\ początek{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\koniec{bmatrix}}}$

Matryce

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 \\ 0 i 0 \\\ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 0 \\ 0 i 1 \\\ koniec {bmatrix} }{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

są wtedy „wektory własne” operacji koniugacji o wartościach własnych ${\ Displaystyle 1,1, t_ {1} ^ {2}, t_ {1} ^ {- 2}}$ . Funkcja Λ, która daje, $znakiem multiplikatywnym lub homomorfizmem od torusa grupy$ R. Funkcja λ dająca θ jest wagą algebry Liego z przestrzeń wagowa określona przez rozpiętość macierzy.

Satysfakcjonujące jest pokazanie multiplikatywności postaci i liniowości wagi. Można dalej udowodnić, że różniczkę Λ można wykorzystać do stworzenia wagi. Pouczające jest również rozważenie przypadku SL(3, R ).

Warianty i analogi

Reprezentację sprzężoną można również zdefiniować dla grup algebraicznych w dowolnym polu.

Reprezentacja sprzężona jest przeciwstawną reprezentacją reprezentacji sprzężonej. Alexandre Kirillov zauważył, że orbita dowolnego wektora w reprezentacji współsprzężonej jest rozmaitością symplektyczną . Zgodnie z filozofią teorii reprezentacji znaną jako metoda orbity (patrz także wzór na postać Kirillova ), nieredukowalne reprezentacje grupy Liego G powinien być w jakiś sposób indeksowany przez jego współsączące orbity. Zależność ta jest najściślejsza w przypadku nilpotentnych grup Liego .

Zobacz też

• Adjoint bundle – pakiet wektorowy powiązany z dowolnym pakietem głównym przez reprezentację adjoint Strony wyświetlające opisy danych wiki jako rozwiązanie awaryjne

Notatki

•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•   Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Podstawy geometrii różniczkowej, tom. 1 (nowe wydanie). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5 .
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666 .