Składnik tożsamości

W matematyce , a konkretnie w teorii grup , składnik tożsamości grupy G odnosi się do kilku ściśle powiązanych pojęć największej połączonej podgrupy G zawierającej element tożsamości .

⁰ W topologii zbioru punktów składową tożsamości topologicznej grupy G jest połączony składnik G z G , który zawiera element tożsamości grupy. Składnik ścieżki tożsamości grupy topologicznej G jest składnikiem ścieżki G , który zawiera element tożsamości grupy .

⁰ W geometrii algebraicznej składnik tożsamości algebraicznej grupy G na polu k jest składnikiem tożsamości leżącej u podstaw przestrzeni topologicznej. Składowa tożsamości schematu grupowego G na schemacie bazowym S jest, z grubsza mówiąc, schematem grupowym G , którego włókno w punkcie s z S jest składową spójną (G _s ) ⁰ włókna G _s , grupa algebraiczna.

Nieruchomości

⁰ Składnik tożsamościowy G grupy topologicznej lub algebraicznej G jest zamkniętą podgrupą normalną G . Jest zamknięty, ponieważ komponenty są zawsze zamknięte. Jest to podgrupa, ponieważ mnożenie i inwersja w grupie topologicznej lub algebraicznej są z definicji odwzorowaniami ciągłymi . Co więcej, dla dowolnego automorfizmu ciągłego a z G mamy

⁰⁰ za ( sol ) = sol .

⁰ Zatem G jest charakterystyczną podgrupą G , więc jest normalna.

⁰⁰ Składnik tożsamości G grupy topologicznej G nie musi być otwarty w G . W rzeczywistości możemy mieć G = { e }, w którym to przypadku G jest całkowicie rozłączony . Jednak składnik tożsamości przestrzeni lokalnie połączonej ścieżką (na przykład grupa Liego ) jest zawsze otwarty, ponieważ zawiera połączone ścieżkami sąsiedztwo { e }; a zatem jest zbiorem domkniętym .

Składnik ścieżki tożsamości grupy topologicznej może generalnie być mniejszy niż składnik tożsamości (ponieważ połączenie ścieżki jest silniejszym warunkiem niż połączenie), ale zgadzają się one, jeśli G jest lokalnie połączony ścieżkami.

Grupa komponentów

⁰⁰⁰⁰ Grupa ilorazowa G / G nazywana jest grupą składników lub grupą składników G . Jego elementy to tylko połączone komponenty G . Grupa składników G / G jest grupą dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy G jest otwarty. Jeśli G jest grupą algebraiczną typu skończonego , taką jak afiniczna grupa algebraiczna , to G / G jest właściwie skończona grupa .

Można podobnie zdefiniować grupę komponentów ścieżki jako grupę komponentów ścieżki (iloraz G przez identyczny komponent ścieżki) i generalnie grupa komponentów jest ilorazem grupy komponentów ścieżki, ale jeśli G jest lokalnie połączony ścieżką, to grupy się zgadzają . Grupę składowych ścieżki można również scharakteryzować jako zerową grupę homotopii , ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (G, e).}$

Przykłady

• Grupa niezerowych liczb rzeczywistych z mnożeniem ( R *,•) ma dwa składowe, a grupa składowych to ({1,−1},•).
• ⁰ Rozważmy grupę jednostek U w pierścieniu rozdzielonych liczb zespolonych . W zwykłej topologii płaszczyzny { z = x + j y : x , y ∈ R }, U jest podzielone na cztery składowe liniami y = x i y = - x , gdzie z nie ma odwrotności. Wtedy U = { z : | y | < x } . W tym przypadku grupa składników U jest izomorficzna z czterogrupą Kleina .
• Składnik tożsamościowy grupy addytywnej ( Z _p ,+) liczb całkowitych p-adycznych jest zbiorem singletonowym {0}, ponieważ Z _p jest całkowicie rozłączne.
• Grupa Weyla redukcyjnej grupy algebraicznej G jest grupą składników grupy normalizatora maksymalnego torusa G .
• Rozważmy schemat grupowy μ ₂ = Spec( Z [ x ]/( x ² - 1)) drugiego pierwiastka jedności zdefiniowanego w schemacie podstawowym Spec ( Z ). Topologicznie μn _składa się z dwóch kopii krzywej Spec( Z ) sklejonych ze sobą w punkcie (to jest ideał pierwszy ) 2. Zatem μn _jest spójny jako przestrzeń topologiczna, a więc jako schemat. Jednak μ ₂ nie jest równe jego składowej tożsamości, ponieważ włókno w każdym punkcie Spec ( Z ) z wyjątkiem 2 składa się z dwóch dyskretnych punktów.

Grupa algebraiczna G nad polem topologicznym K dopuszcza dwie topologie naturalne, topologię Zariskiego i topologię odziedziczoną po K . Składnik tożsamości G często zmienia się w zależności od topologii. Na przykład ogólna grupa liniowa GL _n ( R ) jest spójna jako grupa algebraiczna, ale ma dwie składowe ścieżki jako grupę Liego, macierze wyznacznika dodatniego i macierze wyznacznika ujemnego. Dowolna połączona grupa algebraiczna nad niearchimedesowym ciałem lokalnym K jest całkowicie rozłączony w K -topologii, a zatem ma trywialny składnik tożsamości w tej topologii.

notatka

• Lew Semenowicz Pontryagin , Grupy topologiczne , 1966.
•    Demazur, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algebriques. Tom I: Géométrie algébrique, généralités, groupes komutatifs , Paryż: Masson, ISBN 978-2225616662 , MR 0302656
•    Demazur, Michel ; Alexandre Grothendieck , wyd. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - tom. 1 (Notatki z wykładów z matematyki 151 ) . Notatki z wykładów z matematyki (w języku francuskim). Tom. 151. Berlin; Nowy Jork: Springer-Verlag . s. xv+564. doi : 10.1007/BFb0058993 . ISBN 978-3-540-05179-4 . MR 0274458 .

Linki zewnętrzne

• Demazur, M .; Grothendieck, A. , Gille, P.; Polo, P. (red.), Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés Générales des Schémas en Groupes Poprawione i opatrzone komentarzami wydanie oryginału z 1970 roku.