Charakterystyczna podgrupa

W matematyce , szczególnie w obszarze algebry abstrakcyjnej zwanej teorią grup , charakterystyczną podgrupą jest podgrupa , która jest odwzorowywana na siebie przez każdy automorfizm grupy macierzystej . Ponieważ każda mapa koniugacji jest wewnętrznym automorfizmem , każda charakterystyczna podgrupa jest normalna ; chociaż odwrotność nie jest gwarantowana. Przykładami charakterystycznych podgrup są podgrupa komutatora i środek grupy .

Definicja

Podgrupę H grupy G nazywamy podgrupą charakterystyczną , jeżeli dla każdego automorfizmu φ grupy G istnieje φ( H ) ≤ H ; następnie napisz H char G .

Równoważne byłoby wymaganie silniejszego warunku φ( H ) = H dla każdego automorfizmu φ G , ponieważ φ ⁻¹ ( H ) ≤ H implikuje inkluzję odwrotną H ≤ φ ( H ) .

Podstawowe właściwości

Mając H char G , każdy automorfizm G indukuje automorfizm grupy ilorazowej G/H , co daje homomorfizm Aut( G ) → Aut( G / H ) .

Jeżeli G ma unikalną podgrupę H o danym indeksie, to H jest charakterystyczne w G .

Pojęcia pokrewne

Normalna podgrupa

Główny artykuł: normalna podgrupa

Podgrupa H , która jest niezmienna dla wszystkich automorfizmów wewnętrznych, nazywana jest normalną ; także niezmienna podgrupa.

∀φ ∈ Inn( G ): φ[ H ] ≤ H

Ponieważ Inn( G ) ⊆ Aut( G ) i charakterystyczna podgrupa jest niezmienna dla wszystkich automorfizmów, każda charakterystyczna podgrupa jest normalna. Jednak nie każda normalna podgrupa jest charakterystyczna. Oto kilka przykładów:

• Niech H będzie grupą nietrywialną i niech G będzie iloczynem bezpośrednim , H × H . Wtedy obie podgrupy, {1} × H i H × {1} , są normalne, ale żadna z nich nie jest charakterystyczna. W szczególności żadna z tych podgrup nie jest niezmienna w ramach automorfizmu ( x , y ) → ( y , x ) , który zamienia dwa czynniki.
• Aby uzyskać konkretny przykład, niech V będzie czterogrupą Kleina (która jest izomorficzna z iloczynem bezpośrednim, ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ razy \ mathbb {Z} _ { 2}}$ ). Ponieważ ta grupa jest abelowa , każda podgrupa jest normalna; ale każda permutacja 3 elementów nietożsamościowych jest automorfizmem V , więc 3 podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne. Tutaj V = { mi , za , b , ab } . Rozważmy H = { e , a } i rozważmy automorfizm, T( e ) = e , T( a ) = b , T( b ) = a , T( ab ) = ab ; wtedy T( H ) nie jest zawarte w H .
• W grupie kwaternionów rzędu 8 każda z cyklicznych podgrup rzędu 4 jest normalna, ale żadna z nich nie jest charakterystyczna. Jednak podgrupa {1, −1} jest charakterystyczna, ponieważ jest jedyną podgrupą rzędu 2.
• Jeśli n jest parzyste, grupa dwuścienna rzędu 2 n ma 3 podgrupy o indeksie 2, z których wszystkie są normalne. Jedną z nich jest podgrupa cykliczna, która jest charakterystyczna. Pozostałe dwie podgrupy są dwuścienne; są one permutowane przez zewnętrzny automorfizm grupy macierzystej i dlatego nie są charakterystyczne.

Ściśle charakterystyczna podgrupa

Ściśle charakterystyczna podgrupa lub wyodrębniona podgrupa , która jest niezmienna w przypadku surjektywnych endomorfizmów . W przypadku grup skończonych suriektywność endomorfizmu implikuje iniektywność, więc endomorfizm surjektywny jest automorfizmem; zatem bycie ściśle charakterystycznym jest równoważne charakterystyce . Nie dotyczy to już grup nieskończonych.

W pełni charakterystyczna podgrupa

Dla jeszcze silniejszego ograniczenia, w pełni charakterystyczna podgrupa (również w pełni niezmienna podgrupa ; por. Podgrupa niezmienna ), H , grupy G , jest grupą pozostającą niezmienną przy każdym endomorfizmie G ; to jest,

∀φ ∈ Koniec( G ): φ[ H ] ≤ H .

Każda grupa ma siebie (podgrupę niewłaściwą) i podgrupę trywialną jako dwie z jej w pełni charakterystycznych podgrup. Podgrupa komutatora grupy jest zawsze podgrupą w pełni charakterystyczną.

Każdy endomorfizm G indukuje endomorfizm G/H , co daje odwzorowanie End( G ) → End( G / H ) .

Podgrupa werbalna

Jeszcze silniejszym ograniczeniem jest podgrupa werbalna , która jest obrazem w pełni niezmienniczej podgrupy grupy wolnej pod wpływem homomorfizmu. Mówiąc bardziej ogólnie, każda podgrupa werbalna jest zawsze w pełni charakterystyczna. Dla każdej zredukowanej grupy swobodnej, aw szczególności dla dowolnej grupy swobodnej , zachodzi również sytuacja odwrotna: każda w pełni charakterystyczna podgrupa jest werbalna.

przechodniość

Właściwość bycia charakterystycznym lub w pełni charakterystycznym jest przechodnia ; jeśli H jest (w pełni) charakterystyczną podgrupą K , a K jest (w pełni) charakterystyczną podgrupą G , to H jest (w pełni) charakterystyczną podgrupą G .

H znak K znak G ⇒ H znak G .

Co więcej, chociaż normalność nie jest przechodnia, prawdą jest, że każda charakterystyczna podgrupa normalnej podgrupy jest normalna.

H znak K ⊲ G ⇒ H ⊲ G

Podobnie, chociaż bycie ściśle charakterystycznym (wyróżnionym) nie jest przechodnie, prawdą jest, że każda w pełni charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej podgrupy jest ściśle charakterystyczna.

Jednak w przeciwieństwie do normalności, jeśli H char G i K jest podgrupą G zawierającą H , to ogólnie H niekoniecznie jest charakterystyczne dla K .

H znak G , H < K < G ⇏ H znak K

Zabezpieczenia

Każda podgrupa, która jest w pełni charakterystyczna, jest z pewnością ściśle charakterystyczna i charakterystyczna; ale charakterystyczna lub nawet ściśle charakterystyczna podgrupa nie musi być w pełni charakterystyczna.

Centrum grupy jest zawsze ściśle charakterystyczną podgrupą, ale nie zawsze w pełni charakterystyczną. Na przykład skończona grupa rzędu 12, Sym (3) × ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ , ma homomorfizm przyjmujący ( π , y ) do ((1, 2) ^y , 0) , które zajmuje centrum , do podgrupy Sym (3) × 1 , ${\ Displaystyle 1 \ razy \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ spotyka się z centrum tylko w tożsamości.

Zależność między tymi właściwościami podgrup można wyrazić jako:

Podgrupa ⇐ Podgrupa normalna ⇐ Podgrupa charakterystyczna ⇐ Podgrupa ściśle charakterystyczna ⇐ Podgrupa w pełni charakterystyczna ⇐ Podgrupa słowna

Przykłady

Skończony przykład

Rozważmy grupę (grupa rzędu 12, która jest bezpośrednim iloczynem rzędu _grupy $.$ 6 i grupy cyklicznej 2 ) Środek G jest izomorficzny z jego drugim czynnikiem ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ . Zauważ $e$ że pierwszy czynnik, S ₃ , zawiera podgrupy izomorficzne z na przykład { , (12)} ; niech ${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} _ {2}<\ rightarrow {\ text {S}} _ {3}}$ będzie odwzorowaniem morfizmu ${\ Displaystyle \ mathbb { Z} _{2}}$ na wskazaną podgrupę. Wtedy kompozycja rzutu G na jego drugi czynnik $czynnika ,$ po którym następuje f , a następnie włączenie S ₃ do G jako pierwszego endomorfizm G $,$ pod którym obraz środka , nie jest zawarty w środku, więc tutaj środek nie jest w podgrupą G.

Grupy cykliczne

Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.

Funktory podgrup

Podgrupa pochodna (lub podgrupa komutatora) grupy jest podgrupą werbalną. Podgrupa torsyjna grupy abelowej jest podgrupą w pełni niezmienną.

Grupy topologiczne

Składnik tożsamości grupy topologicznej jest zawsze charakterystyczną podgrupą.

Zobacz też

• Charakterystycznie prosta grupa