Grupa kwaternionów

Tabliczka mnożenia grupy kwaternionów (forma uproszczona)
1 I J k
1 1 I J k
I I −1 k - j
J J - k −1 I
k k J - ja −1
Schemat cyklu Q 8 . Każdy kolor określa szereg potęg dowolnego elementu połączonego z elementem tożsamości e = 1. Na przykład cykl w kolorze czerwonym odzwierciedla fakt, że i 2 = e , i 3 = i i i 4 = e. Czerwony cykl odzwierciedla również, że i 2 = e , i 3 = i i i 4 = e.

W teorii grup grupa kwaternionów Q 8 (czasami po prostu oznaczana przez Q) jest grupą nieabelową ósmego rzędu , izomorficzną z ośmioelementowym podzbiorem } kwaternionów w ramach mnożenia. Jest ona przekazywana poprzez prezentację grupową

gdzie e jest elementem tożsamości i e dojeżdża do pozostałych elementów grupy.

Kolejna prezentacja Q 8 to

W porównaniu z grupą dwuścienną

Grupa kwaternionów Q 8 ma ten sam rząd co grupa dwuścienna D 4 , ale inną strukturę, jak pokazują wykresy Cayleya i cykli:

Pytanie 8 D 4
Wykres Cayleya Cayley graph Q8.svg
Czerwone strzałki łączą g gi , zielone łączą g gj .
Dih 4 Cayley Graph; generators a, b.svg
Wykres cyklu GroupDiagramQ8.svg Dih4 cycle graph.svg

Na diagramach dla D 4 elementy grupowe są oznaczone ich działaniem na literę F w reprezentacji definiującej R 2 . Tego samego nie można zrobić dla Q 8 , ponieważ nie ma ono wiernej reprezentacji w R2 i R3 . D 4 można zrealizować jako podzbiór kwaternionów rozdzielonych w ten sam sposób, w jaki Q 8 można postrzegać jako podzbiór kwaternionów.

Stół Cayleya

Tabliczkę Cayleya (tabliczkę mnożenia) dla Q 8 podaje wzór:

× mi mi I I J J k k
mi mi mi I I J J k k
mi mi mi I I J J k k
I I I mi mi k k J J
I I I mi mi k k J J
J J J k k mi mi I I
J J J k k mi mi I I
k k k J J I I mi mi
k k k J J I I mi mi

Nieruchomości

elementy i , j i k mają w Q 8 rząd czwarty , a dowolne dwa z nich tworzą całą grupę. Inna prezentacja Q 8 oparta tylko na dwóch elementach, aby pominąć tę redundancję, to:

Można wziąć na przykład i }

Grupa kwaternionów ma niezwykłą właściwość bycia hamiltonianem : Q 8 jest nieabelowe, ale każda podgrupa jest normalna . Każda grupa Hamiltona zawiera kopię Q 8 .

Grupa kwaternionowa Q 8 i grupa dwuścienna D 4 to dwa najmniejsze przykłady nilpotentnej grupy nieabelowej.

Centrum i komutatora Q 8 to podgrupa _ Wewnętrzna automorfizmu Q 8 grupę modulo czynników który jest izomorficzny z Czterogrupa Kleina V. Pełna grupa automorfizmu Q 8 jest izomorficzna z S 4 , grupa symetryczna na czterech literach (patrz reprezentacje macierzy poniżej), a zewnętrzna grupa automorfizmu Q 8 to zatem S 4 /V, która jest izomorficzna do S3 .

Grupa kwaternionów Q 8 ma pięć klas koniugacji, i tak pięć nieredukowalnych reprezentacji nad liczbami zespolonymi o wymiarach 1, 1, 1, 1, 2:

Trywialna reprezentacja .

Reprezentacje znaków z i, j, k-jądrem : Q 8 ma trzy maksymalne podgrupy normalne: podgrupy cykliczne generowane odpowiednio przez i, j i k. Dla każdej maksymalnej podgrupy normalnej N otrzymujemy jednowymiarową reprezentację rozkładającą się na czynniki poprzez 2-elementową grupę ilorazową G / N . Reprezentacja wysyła elementy N do 1, a elementy poza N do -1.

Reprezentacja 2-wymiarowa : Opisana poniżej w Reprezentacjach macierzowych .

Tablica znaków Q 8 okazuje się taka sama jak tablica D 4 :

Klasa reprezentacji (ρ)/koniugacji { mi } { mi } {ja, ja } {j, jot } {k, k }
Trywialna reprezentacja 1 1 1 1 1
Reprezentacja znaku za pomocą i-jądra 1 1 1 −1 −1
Reprezentacja znaku z jądrem j 1 1 −1 1 −1
Reprezentacja znaku z k-jądrem 1 1 −1 −1 1
Reprezentacja 2-wymiarowa 2 −2 0 0 0

Ponieważ nieredukowalne znaki powyższych wierszach mają wartości rzeczywiste, daje to Q 8 { \ na minimalne dwustronne ideały :

gdzie idempotenty odpowiadają nieredukowalnym mi

aby

Każdy z tych nieredukowalnych ideałów jest izomorficzny z prawdziwą centralną algebrą prostą , a pierwsze cztery z . Ostatni ideał jest izomorficzny z polem skośnym kwaternionów zgodnie z zależnością:

Ponadto homomorfizm projekcji podany przez ma ideał jądra wygenerowany przez idempotent:

więc kwaterniony można również otrzymać jako pierścień ilorazowy . .

Złożona algebra grup jest zatem do gdzie jest algebrą bikwaternionów .

Reprezentacje macierzowe

Tabliczka mnożenia grupy kwaternionów jako podgrupy SL (2, C ). Wpisy są reprezentowane przez sektory odpowiadające ich argumentom: 1 (zielony), i (niebieski), -1 (czerwony), - i (żółty).

dwuwymiarowa nieredukowalna złożona daje kwaternionów jako ogólnej liniowej . Grupa kwaternionów jest multiplikatywną podgrupą algebry kwaternionów:

który ma regularną reprezentację przez lewe mnożenie samego siebie, jako złożona przestrzeń wektorowa o podstawie odpowiada ∈ -odwzorowanie liniowe Wynikowa reprezentacja

jest dany przez:

Ponieważ wszystkie powyższe macierze mają wyznacznik jednostkowy, jest to reprezentacja Q 8 w specjalnej grupie liniowej . .

Wariant daje reprezentację za pomocą macierzy unitarnych (tabela po prawej). Niech mapowaniu liniowemu że jest obliczane przez:

Warto zauważyć, że fizycy stosują wyłącznie inną konwencję reprezentacji macierzy, aby nawiązać kontakt ze zwykłymi macierzami Pauliego :

Ten konkretny wybór jest wygodny i elegancki, gdy opisuje się stany spinu 1/2 w podstawie i uwzględnia operatory drabinki momentu pędu

Tabliczka mnożenia grupy kwaternionów jako podgrupy SL(2,3) . Elementy pola są oznaczone 0, +, −.

Istnieje również ważne działanie Q 8 na dwuwymiarową przestrzeń wektorową nad polem skończonym . (tabela po prawej). Reprezentacja modułowa jest dana wzorem

Tę reprezentację można uzyskać z pola rozszerzenia :

gdzie i grupa multiplikatywna ma cztery generatory, rzędu 8. Dla każdego dwuwymiarowego _ przyznaje mapowanie liniowe:

Ponadto mamy automorfizm Frobeniusa satysfakcjonujący } i Następnie powyższe macierze reprezentacji to:

Ta reprezentacja realizuje Q 8 jako normalną podgrupę GL (2, 3) . Zatem dla każdej macierzy mamy automorfizm grupowy

gdzie W rzeczywistości dają one pełną grupę automorfizmu jako:

Jest to izomorficzne z grupą symetryczną S 4 , ponieważ odwzorowania liniowe są jednowymiarowe podprzestrzenie cztery punkty przestrzeni rzutowej

Ponadto ta reprezentacja permutuje osiem niezerowych wektorów z dając osadzenie Q 8 w grupie symetrycznej S 8 , oprócz osadzania określone przez reprezentacje regularne.

Grupa Galois

Jak pokazał Richard Dean w 1981 r., grupę kwaternionów można przedstawić jako grupę Galois Gal(T/ Q ), gdzie Q jest ciałem liczb wymiernych , a T jest polem podziału przez Q wielomianu

.

W opracowaniu wykorzystano podstawowe twierdzenie teorii Galois do określenia czterech pól pośrednich między Q i T oraz ich grupami Galois, a także dwa twierdzenia o cyklicznym rozciąganiu stopnia czwartego na polu.

Uogólniona grupa kwaternionów

Uogólniona grupa kwaternionów Q 4 n rzędu 4 n jest zdefiniowana w prezentacji

dla liczby całkowitej n ≥ 2 , ze zwykłą grupą kwaternionów określoną przez n = 2. Coxeter nazywa Q 4 n grupą dicykliczną , przypadek specjalny binarnej grupy wielościennej i związane z grupą wielościenną i grupa dwuścienna . Uogólnioną grupę kwaternionów można zrealizować jako podgrupę wygenerowaną przez

gdzie omega jako podgrupę kwaternionów jednostkowych generowanych przez i y .

Uogólnione grupy kwaternionów mają tę właściwość, że każda podgrupa abelowa jest cykliczna. Można wykazać, że skończona grupa p posiadająca tę właściwość (każda podgrupa abelowa jest cykliczna) jest albo cykliczną, albo uogólnioną grupą kwaternionową, jak zdefiniowano powyżej. Inną cechą charakterystyczną jest to, że skończona p , w której istnieje unikalna podgrupa rzędu p , jest albo cykliczna, albo 2-grupowa izomorficzna z uogólnioną grupą kwaternionową. W szczególności dla skończonego ciała F o nieparzystej charakterystyce podgrupa 2-Sylow SL 2 ( F ) jest nieabelowa i ma tylko jedną podgrupę rzędu 2, więc ta podgrupa 2-Sylow musi być uogólnioną grupą kwaternionów ( Gorenstein 1980 , s. 42). Niech p r będzie rozmiarem F , gdzie p jest liczbą pierwszą, rozmiar podgrupy 2-Sylow SL 2 ( F ) wynosi 2 n , gdzie n = ord 2 ( p 2 - 1) + ord 2 ( r ) .

Brauera – Suzuki pokazuje, że grupy, których podgrupy Sylowa 2 są uogólnionymi kwaternionami, nie mogą być proste.

Inna terminologia zastrzega nazwę „uogólniona grupa kwaternionów” dla grupy dicyklicznej rzędu potęgi 2, co dopuszcza prezentację

Zobacz też

Notatki

Linki zewnętrzne