Schemat cyklu Q 8 . Każdy kolor określa szereg potęg dowolnego elementu połączonego z elementem tożsamości e = 1. Na przykład cykl w kolorze czerwonym odzwierciedla fakt, że i 2 = e , i 3 = i i i 4 = e. Czerwony cykl odzwierciedla również, że i 2 = e , i 3 = i i i 4 = e.
Na diagramach dla D 4 elementy grupowe są oznaczone ich działaniem na literę F w reprezentacji definiującej R 2 . Tego samego nie można zrobić dla Q 8 , ponieważ nie ma ono wiernej reprezentacji w R2 i R3 . D 4 można zrealizować jako podzbiór kwaternionów rozdzielonych w ten sam sposób, w jaki Q 8 można postrzegać jako podzbiór kwaternionów.
Stół Cayleya
Tabliczkę Cayleya (tabliczkę mnożenia) dla Q 8 podaje wzór:
×
mi
mi
I
I
J
J
k
k
mi
mi
mi
I
I
J
J
k
k
mi
mi
mi
I
I
J
J
k
k
I
I
I
mi
mi
k
k
J
J
I
I
I
mi
mi
k
k
J
J
J
J
J
k
k
mi
mi
I
I
J
J
J
k
k
mi
mi
I
I
k
k
k
J
J
I
I
mi
mi
k
k
k
J
J
I
I
mi
mi
Nieruchomości
elementy i , j i k mają w Q 8 rząd czwarty , a dowolne dwa z nich tworzą całą grupę. Inna prezentacja Q 8 oparta tylko na dwóch elementach, aby pominąć tę redundancję, to:
Można wziąć na przykład i }
Grupa kwaternionów ma niezwykłą właściwość bycia hamiltonianem : Q 8 jest nieabelowe, ale każda podgrupa jest normalna . Każda grupa Hamiltona zawiera kopię Q 8 .
Grupa kwaternionowa Q 8 i grupa dwuścienna D 4 to dwa najmniejsze przykłady nilpotentnej grupy nieabelowej.
Grupa kwaternionów Q 8 ma pięć klas koniugacji, i tak pięć nieredukowalnych reprezentacji nad liczbami zespolonymi o wymiarach 1, 1, 1, 1, 2:
Trywialna reprezentacja .
Reprezentacje znaków z i, j, k-jądrem : Q 8 ma trzy maksymalne podgrupy normalne: podgrupy cykliczne generowane odpowiednio przez i, j i k. Dla każdej maksymalnej podgrupy normalnej N otrzymujemy jednowymiarową reprezentację rozkładającą się na czynniki poprzez 2-elementową grupę ilorazową G / N . Reprezentacja wysyła elementy N do 1, a elementy poza N do -1.
Reprezentacja 2-wymiarowa : Opisana poniżej w Reprezentacjach macierzowych .
Tablica znaków Q 8 okazuje się taka sama jak tablica D 4 :
Klasa reprezentacji (ρ)/koniugacji
{ mi }
{ mi }
{ja, ja }
{j, jot }
{k, k }
Trywialna reprezentacja
1
1
1
1
1
Reprezentacja znaku za pomocą i-jądra
1
1
1
−1
−1
Reprezentacja znaku z jądrem j
1
1
−1
1
−1
Reprezentacja znaku z k-jądrem
1
1
−1
−1
1
Reprezentacja 2-wymiarowa
2
−2
0
0
0
Ponieważ nieredukowalne znaki powyższych wierszach mają wartości rzeczywiste, daje to Q 8 { \ na minimalne dwustronne ideały :
Każdy z tych nieredukowalnych ideałów jest izomorficzny z prawdziwą centralną algebrą prostą , a pierwsze cztery z . Ostatni ideał jest izomorficzny z polem skośnym kwaternionów zgodnie z zależnością:
Ponadto homomorfizm projekcji podany przez ma ideał jądra wygenerowany przez idempotent:
Złożona algebra grup jest zatem do gdzie jest algebrą bikwaternionów .
Reprezentacje macierzowe
Tabliczka mnożenia grupy kwaternionów jako podgrupy SL (2, C ). Wpisy są reprezentowane przez sektory odpowiadające ich argumentom: 1 (zielony), i (niebieski), -1 (czerwony), - i (żółty).
dwuwymiarowa nieredukowalna złożona daje kwaternionów jako ogólnej liniowej . Grupa kwaternionów jest multiplikatywną podgrupą algebry kwaternionów:
który ma regularną reprezentację przez lewe mnożenie samego siebie, jako złożona przestrzeń wektorowa o podstawie odpowiada ∈ -odwzorowanie liniowe Wynikowa reprezentacja
jest dany przez:
Ponieważ wszystkie powyższe macierze mają wyznacznik jednostkowy, jest to reprezentacja Q 8 w specjalnej grupie liniowej . .
Wariant daje reprezentację za pomocą macierzy unitarnych (tabela po prawej). Niech mapowaniu liniowemu że jest obliczane przez:
Warto zauważyć, że fizycy stosują wyłącznie inną konwencję reprezentacji macierzy, aby nawiązać kontakt ze zwykłymi macierzami Pauliego :
Ta reprezentacja realizuje Q 8 jako normalną podgrupę GL (2, 3) . Zatem dla każdej macierzy mamy automorfizm grupowy
gdzie W rzeczywistości dają one pełną grupę automorfizmu jako:
Jest to izomorficzne z grupą symetryczną S 4 , ponieważ odwzorowania liniowe są jednowymiarowe podprzestrzenie cztery punkty przestrzeni rzutowej
Ponadto ta reprezentacja permutuje osiem niezerowych wektorów z dając osadzenie Q 8 w grupie symetrycznej S 8 , oprócz osadzania określone przez reprezentacje regularne.
W opracowaniu wykorzystano podstawowe twierdzenie teorii Galois do określenia czterech pól pośrednich między Q i T oraz ich grupami Galois, a także dwa twierdzenia o cyklicznym rozciąganiu stopnia czwartego na polu.
Uogólniona grupa kwaternionów
Uogólniona grupa kwaternionów Q 4 n rzędu 4 n jest zdefiniowana w prezentacji
gdzie omega jako podgrupę kwaternionów jednostkowych generowanych przez i y .
Uogólnione grupy kwaternionów mają tę właściwość, że każda podgrupa abelowa jest cykliczna. Można wykazać, że skończona grupa p posiadająca tę właściwość (każda podgrupa abelowa jest cykliczna) jest albo cykliczną, albo uogólnioną grupą kwaternionową, jak zdefiniowano powyżej. Inną cechą charakterystyczną jest to, że skończona p , w której istnieje unikalna podgrupa rzędu p , jest albo cykliczna, albo 2-grupowa izomorficzna z uogólnioną grupą kwaternionową. W szczególności dla skończonego ciała F o nieparzystej charakterystyce podgrupa 2-Sylow SL 2 ( F ) jest nieabelowa i ma tylko jedną podgrupę rzędu 2, więc ta podgrupa 2-Sylow musi być uogólnioną grupą kwaternionów ( Gorenstein 1980 , s. 42). Niech p r będzie rozmiarem F , gdzie p jest liczbą pierwszą, rozmiar podgrupy 2-Sylow SL 2 ( F ) wynosi 2 n , gdzie n = ord 2 ( p 2 - 1) + ord 2 ( r ) .
Brauera – Suzuki pokazuje, że grupy, których podgrupy Sylowa 2 są uogólnionymi kwaternionami, nie mogą być proste.
Inna terminologia zastrzega nazwę „uogólniona grupa kwaternionów” dla grupy dicyklicznej rzędu potęgi 2, co dopuszcza prezentację