Liniowa grupa algebraiczna

W matematyce liniowa grupa algebraiczna jest podgrupą grupy odwracalnych macierzy ( po $mnożeniu$ macierzy ) , która zdefiniowana równania . Przykładem jest grupa ortogonalna , zdefiniowana przez relację gdzie $n}}$ ${\ displaystyle M ^ {T}}$ $M}$ { \ displaystyle .

Wiele grup Liego można postrzegać jako liniowe grupy algebraiczne na polu liczb rzeczywistych lub zespolonych . (Na przykład każdą zwartą grupę Liego można uważać za liniową grupę algebraiczną nad R (koniecznie R -anizotropową i redukcyjną), podobnie jak wiele niezwartych grup, takich jak prosta grupa Liego SL( n , R ) .) Proste grupy Liego zostały sklasyfikowane przez Wilhelma Killinga i Élie Cartana w latach 80. i 90. XIX wieku. W tamtym czasie nie robiono specjalnego użytku z faktu, że strukturę grupy można zdefiniować za pomocą wielomianów, to znaczy, że są to grupy algebraiczne. Założycielami teorii grup algebraicznych są Maurer , Chevalley i Kolchin ( 1948 ). W latach pięćdziesiątych Armand Borel skonstruował większość istniejącej obecnie teorii grup algebraicznych.

Jednym z pierwszych zastosowań tej teorii było zdefiniowanie grup Chevalleya .

Przykłady

Dla dodatniej liczby całkowitej $displaystyle$ $odwracalnych$ grupa liniowa nad polem $się$ ze wszystkich $razy n}$ $n$ macierze, jest liniową grupą algebraiczną nad ${\ displaystyle k}$ . Zawiera podgrupy

{\ Displaystyle U \ podzbiór B \ podzbiór GL (n)}

składający się z macierzy postaci, wzgl.

_ \ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{tablica}}\right)}

i

{\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {tablica} {cccc} *&*&\ kropki &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{tablica}}\right)}

.

Grupa $U} )}$ przykładem unipotentnej liniowej $,$ grupa przykładem rozwiązalnej grupy algebraicznej zwanej podgrupą borelowską . $U$ . Konsekwencją twierdzenia Lie-Kolchina jest to $}$ że każda połączona rozwiązywalna podgrupa jest sprzężony z ${\ displaystyle B}$ . Dowolną unipotentną podgrupę można skoniugować w ${\ displaystyle U}$ .

$macierzy$ algebraiczną $.$ jest grupa o

Grupa nazywana jest grupą multiplikatywną , zwykle oznaczaną przez ${m}}}$ $operatorname$ . Grupa -punktów ${m}} (k)}$ $) {\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\$ grupa multiplikatywna ${\ Displaystyle k ^ {*} }$ niezerowych elementów pola ${\ displaystyle k}$ . Grupę addytywną , której $k$ ${$ izomorficzne z grupą addytywną $\ displaystyle$ można również wyrazić k $\ operatorname {GL} (2)}$ na przykład jako podgrupa $Displaystyle$ sol :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i * \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}.}

Te dwa podstawowe przykłady przemiennych liniowych grup algebraicznych, grupy multiplikatywne i addytywne, zachowują się bardzo różnie pod względem ich liniowych reprezentacji (jako grupy algebraiczne). Każda reprezentacja grupy $.$ jest sumą nieredukowalnych reprezentacji (Wszystkie jego nieredukowalne reprezentacje mają wymiar 1, postaci ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}$ dla liczby całkowitej ${\ displaystyle n}$ .) Natomiast jedyną nieredukowalną reprezentacją grupy addytywnej $jest$ . Tak więc każda reprezentacja $displaystyle \ mathbf {G} _ {\ operatorname {a}}}$ taka jak powyższa dwuwymiarowa reprezentacja) jest iterowanym rozszerzeniem sol za { trywialnych reprezentacji, a nie sumy bezpośredniej (chyba że reprezentacja jest trywialna). Teoria struktury liniowych grup algebraicznych analizuje każdą liniową grupę algebraiczną pod względem tych dwóch podstawowych grup i ich uogólnień, grup tori i unipotent, jak omówiono poniżej.

Definicje

W przypadku ciała algebraicznie zamkniętego k znaczna część struktury rozmaitości algebraicznej X nad k jest zakodowana w jego zbiorze X ( k ) k - punktów wymiernych , co pozwala na elementarną definicję liniowej grupy algebraicznej. Najpierw zdefiniuj funkcję z grupy abstrakcyjnej GL ( n , k ) do k , aby była regularna , jeśli można ją zapisać jako wielomian we wpisach n × n macierz A iw 1/det( A ), gdzie det jest wyznacznikiem . Wtedy liniowa grupa algebraiczna G nad ciałem algebraicznie domkniętym k jest podgrupą G ( k ) grupy abstrakcyjnej GL ( n , k ) dla pewnej liczby naturalnej n takiej , że G ( k ) jest zdefiniowana przez zanik pewnego zbioru regularnych Funkcje.

Dla dowolnego ciała k , rozmaitości algebraiczne nad k są definiowane jako szczególny przypadek schematów nad k . W tym języku liniowa grupa algebraiczna G nad ciałem k jest gładkim , zamkniętym schematem podgrup GL ( n ) nad k dla pewnej liczby naturalnej n . W szczególności G jest definiowane przez zanikanie pewnego zestawu regularnych funkcji na GL ( n ) nad k , a funkcje te muszą mieć tę właściwość , że dla każdej przemiennej k - algebry R , G ( R ) jest podgrupą grupy abstrakcyjnej GL ( n , R ). (Zatem grupa algebraiczna G nad k jest nie tylko abstrakcyjną grupą G ( k ), ale raczej całą rodziną grup G ( R ) dla przemiennych k -algebr R ; taka jest filozofia opisu schematu za pomocą jego funktora punktów ).

W obu językach istnieje pojęcie homomorfizmu liniowych grup algebraicznych. Na przykład, gdy k jest algebraicznie domknięte, homomorfizm od G ⊂ GL ( m ) do H ⊂ GL ( n ) jest homomorfizmem abstrakcyjnych grup G ( k ) → H ( k ), który jest zdefiniowany przez regularne funkcje na G . To sprawia, że liniowe grupy algebraiczne nad k stają się kategorią . W szczególności definiuje to, co to znaczy, że dwie liniowe grupy algebraiczne są izomorficzne .

W języku schematów liniowa grupa algebraiczna G nad ciałem k jest w szczególności schematem grupowym nad k , czyli schematem nad k wraz z k -punktem 1 ∈ G ( k ) i morfizmami

{\ Displaystyle m \ dwukropek G \ razy _ {k} G \ do G, \; i \ dwukropek G \ do G}

nad k , które spełniają zwykłe aksjomaty dla map mnożenia i odwrotności w grupie (łączność, tożsamość, odwrotności). Liniowa grupa algebraiczna jest również gładka i typu skończonego na k i jest afiniczna (jako schemat). I odwrotnie, każdy schemat grupy afinicznej G typu skończonego na ciele k ma wierną reprezentację w GL ( n ) nad k dla pewnego n . Przykładem jest osadzanie grupy dodatków G _a do GL (2), jak wspomniano powyżej. W rezultacie można myśleć o liniowych grupach algebraicznych jako o grupach macierzowych lub, bardziej abstrakcyjnie, jako o gładkich schematach grup afinicznych w polu. (Niektórzy autorzy używają „liniowej grupy algebraicznej” na oznaczenie dowolnego schematu grup afinicznych typu skończonego w polu).

Aby w pełni zrozumieć liniowe grupy algebraiczne, należy wziąć pod uwagę bardziej ogólne (niegładkie) schematy grup. Na przykład niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym o charakterystyce p > 0. Wtedy homomorfizm f : G _m → G _m zdefiniowany przez x ↦ x ^p indukuje izomorfizm abstrakcyjnych grup k * → k *, ale f nie jest izomorfizmem grup algebraicznych (ponieważ x ^{1/ p} nie jest funkcją regularną). W języku schematów grupowych jest wyraźniejszy powód, dla którego f nie jest izomorfizmem: f jest surjekcją, ale ma nietrywialne jądro , a mianowicie schemat grupowy μ _p pierwiastków p jedności. Ten problem nie występuje w charakterystycznym zera. Rzeczywiście, każdy schemat grupowy typu skończonego na polu k o charakterystycznym zerze jest gładki na k . Schemat grupowy typu skończonego na dowolnym polu k jest gładki na k wtedy i tylko wtedy, gdy tak jest geometrycznie $,$ oznacza , że zmiana $zmniejszona$ jest , jest algebraicznym zamknięciem k

Ponieważ schemat afiniczny X jest określony przez jego pierścień O ( X ) funkcji regularnych, schemat grup afinicznych G na ciele k jest określony przez pierścień O ( G ) o strukturze algebry Hopfa (wywodzącej się z mnożenia i odwrotności mapy na G ). Daje to równoważność kategorii (odwracające strzałki) między schematami grup afinicznych nad k i przemiennymi algebrami Hopfa nad k . Na przykład algebrą Hopfa odpowiadającą grupie multiplikatywnej G _m = GL (1) jest pierścień wielomianu Laurenta k [ x , x ⁻¹ ], z mnożeniem określonym przez

{\ displaystyle x \ mapsto x \ czasami x.}

Podstawowe pojęcia

Dla liniowej grupy algebraicznej G nad ciałem k , składowa identyczności G ^o ( spójna składowa zawierająca punkt 1) jest podgrupą normalną o skończonym indeksie . Jest więc rozszerzenie grupy

{\ Displaystyle 1 \ do G ^ {\ circ} \ do G \ do F \ do 1,}

gdzie F jest skończoną grupą algebraiczną. (Dla k algebraicznie domkniętych F można utożsamiać z abstrakcyjną grupą skończoną). Z tego powodu badanie grup algebraicznych koncentruje się głównie na grupach połączonych.

Różne pojęcia z abstrakcyjnej teorii grup można rozszerzyć na liniowe grupy algebraiczne. Łatwo jest zdefiniować, co to znaczy, że liniowa grupa algebraiczna jest przemienna , nilpotentna lub rozwiązywalna , przez analogię do definicji w abstrakcyjnej teorii grup. Na przykład liniowa grupa algebraiczna jest rozwiązywalna , jeśli ma szereg złożony z liniowych podgrup algebraicznych, tak że grupy ilorazowe są przemienne. Ponadto normalizator , środek i centralizator zamkniętej podgrupy H liniowej grupy algebraicznej G są naturalnie postrzegane jako zamknięte schematy podgrup G . Jeśli są gładkie nad k , to są liniowymi grupami algebraicznymi, jak zdefiniowano powyżej.

Można zapytać, w jakim stopniu właściwości połączonej liniowej grupy algebraicznej G na polu k są określone przez grupę abstrakcyjną G ( k ). Użytecznym wynikiem w tym kierunku jest to, że jeśli pole k jest doskonałe (na przykład o charakterystyce zerowej) lub jeśli G jest redukcyjne (jak zdefiniowano poniżej), to G jest niewymierne względem k . Dlatego, jeśli dodatkowo k jest nieskończone, grupa G ( k ) jest Zariskiego gęsty w G . Na przykład, przy wspomnianych założeniach, G jest przemienne, nilpotentne lub rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy G ( k ) ma odpowiednią właściwość.

W wynikach tych nie można pominąć założenia o powiązaniu. Na przykład, niech G będzie grupą μ ₃ ⊂ GL (1) pierwiastków sześciennych jedności nad liczbami wymiernymi Q . Wtedy G jest liniową grupą algebraiczną nad Q , dla której sol ( Q ) = 1 nie jest Zariskiego gęsty w G , ponieważ ${\ Displaystyle G ({\ overline {\ mathbf {Q}}})$ } grupa zamówień 3.

Na algebraicznie zamkniętym ciele istnieje silniejszy wynik dotyczący grup algebraicznych jako odmian algebraicznych: każda połączona liniowa grupa algebraiczna na algebraicznie zamkniętym ciele jest rozmaitością wymierną .

Algebra Liego grupy algebraicznej

Algebra Lie grupy algebraicznej $sol$ można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów: jako przestrzeń styczną T ₁ ( sol ) w elemencie tożsamości 1 ∈ ( k ) lub jako przestrzeń wyprowadzeń lewostronnie niezmiennych . Jeśli k jest algebraicznie domknięte, wyprowadzenie D : O ( G ) → O ( G ) nad k pierścienia współrzędnych G jest lewostronnie niezmienna, jeśli

{\ Displaystyle D \ lambda _ {x} = \ lambda _ {x} D}

dla każdego x w G ( k ), gdzie λ _x : O ( G ) → O ( G ) jest indukowane przez lewe mnożenie przez x . Dla dowolnego pola k lewa niezmienniczość wyprowadzenia jest zdefiniowana jako analogiczna równość dwóch odwzorowań liniowych O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). Nawias Liego dwóch wyprowadzeń jest określony przez [ D ₁ , re ₂ ] = re ₁ re ₂ - re ₂ re ₁ .

Przejście od sol do $.$ więc procesem różnicowania Dla elementu x ∈ sol ( k ), pochodna w 1 ∈ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ( k ) mapy koniugacji sol → sol , sol ↦ xgx -1 ^, jest automorfizmem sol , dając reprezentację łączną :

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Reklama} \ dwukropek G \ do \ nazwa operatora {Aut} ({\ mathfrak {g}}).}

W polu charakterystycznym zero połączona podgrupa H liniowej grupy algebraicznej G jest jednoznacznie określona przez jej algebrę Lie $Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ podzbiór {\ mathfrak {g}}} Ale$ \ nie każda podalgebra Liego odpowiada algebraicznej podgrupie $($ , jak widać na przykładzie torusa G = G _m ) ² nad C . W dodatniej charakterystyce może istnieć wiele różnych połączonych podgrup grupy G z tą samą algebrą Liego (ponownie, torus G = ( G _m ) ² dostarcza przykładów). Z tych powodów, chociaż algebra Liego grupy algebraicznej jest ważna, teoria struktury grup algebraicznych wymaga bardziej globalnych narzędzi.

Elementy półproste i unipotentne

Dla algebraicznie domkniętego ciała k , macierz g w GL ( n , k ) jest nazywana półprostą , jeśli jest diagonalizowalna , i unipotentną , jeśli macierz g - 1 jest nilpotentna . Równoważnie g jest unipotentne , jeśli wszystkie wartości własne g są równe 1. Kanoniczna forma Jordana dla macierzy oznacza, że każdy element g GL ( n , k ) można jednoznacznie zapisać jako iloczyn g = g _ss g _u taki, że g _ss jest półprosty, g _u jest jednopotentny, a g _ss i g _u dojeżdżają do pracy.

Dla dowolnego ciała k element g GL ( n , k ) jest półprosty, jeśli staje się diagonalizowalny na algebraicznym domknięciu k . Jeśli pole k jest doskonałe, to półproste i unipotentne części g również leżą w GL ( n , k ). Wreszcie, dla dowolnej liniowej grupy algebraicznej G ⊂ GL ( n ) nad ciałem k , zdefiniuj a k -punkt G jest półprosty lub jednopotentny, jeśli jest półprosty lub jednopotentny w GL ( n , k ). (Właściwości te są w rzeczywistości niezależne od wyboru wiernej reprezentacji G .) Jeśli ciało k jest doskonałe, to półproste i unipotentne części punktu k G są automatycznie w G . To znaczy ( rozkład Jordana ): każdy element g z G ( k ) można jednoznacznie zapisać jako iloczyn g = g _ss g _u w G ( k ) taki, że g _ss jest półprosty, g _u jest jednopotentny, a g _ss i g _u dojeżdżają do pracy ze sobą. Redukuje to problem opisu klas koniugacji w G ( k ) do przypadków semiprostych i unipotentnych.

Tori

Torus nad ciałem algebraicznie domkniętym k oznacza grupę izomorficzną z ( Gm ) n ^, iloczynem n kopii grupy multiplikatywnej po k , dla pewnej liczby _naturalnej n . Dla liniowej grupy algebraicznej G maksymalny torus w G oznacza torus w G , który nie jest zawarty w żadnym większym torusie. Na przykład grupa macierzy diagonalnych w GL ( n ) nad k jest maksymalnym torusem w GL ( n ), izomorficznym z ( G _m ) ⁿ . Podstawowym wynikiem tej teorii jest to, że dowolne dwa torusy maksymalne w grupie G nad algebraicznie zamkniętym polem k są sprzężone przez jakiś element G ( k ). Ranga G oznacza wymiar dowolnego maksymalnego torusa .

$oznacza$ dowolnego pola k torus T nad k liniową grupę algebraiczną nad k , której zmiana podstawy do algebraicznego domknięcia jest z ( G _m ) ⁿ nad ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$ dla pewnej liczby naturalnej n . Podzielony torus na k oznacza grupę izomorficzną z ( G _m ) ⁿ nad k dla pewnego n . Przykładem nierozdzielonego torusa nad liczbami rzeczywistymi R jest

{\ Displaystyle T = \ {(x, y) \ w A _ {\ mathbf {R}} ^ {2}: x ^{2}+y^{2}=1\},}

o strukturze grupowej określonej wzorem na mnożenie liczb zespolonych x + iy . Tutaj T jest torusem o wymiarze 1 nad R . Nie jest rozszczepiony, ponieważ jego grupa punktów rzeczywistych T ( R ) jest grupą kołową , która nawet jako grupa abstrakcyjna nie jest izomorficzna z G _m ( R ) = R *.

Każdy punkt torusa nad polem k jest półprosty. I odwrotnie, jeśli G jest spójną liniową grupą algebraiczną, tak że każdy element $jest$ , .

Dla liniowej grupy algebraicznej G nad ogólnym ciałem k , nie można oczekiwać, że wszystkie maksymalne torusy w G nad k będą sprzężone przez elementy G ( k ). Na przykład zarówno multiplikatywna grupa Gm _, jak i grupa okręgów T powyżej występują jako maksymalne torusy w SL (2) nad R . Jednak zawsze jest prawdą, że dowolne dwa maksymalne rozszczepione torusy w G nad k (co oznacza rozszczepiony torus w G które nie są zawarte w większym podzielonym torusie) są sprzężone przez jakiś element G ( k ). W rezultacie sensowne jest zdefiniowanie rangi k lub rangi podziału grupy G nad k jako wymiaru dowolnego maksymalnego podzielonego torusa w G nad k .

Dla dowolnego maksymalnego torusa T w liniowej grupie algebraicznej G na polu k , Grothendieck wykazał, że ${ k}}}$ torusem maksymalnym w $k$ . Wynika z tego, że dowolne dwa maksymalne torusy w G nad polem k mają ten sam wymiar, chociaż nie muszą być izomorficzne.

Grupy unipotentne

Niech U _n będzie grupą macierzy górnotrójkątnych w GL ( n ) z wpisami na przekątnej równymi 1, nad ciałem k . Schemat grupowy nad ciałem k (na przykład liniowa grupa algebraiczna) nazywamy unipotentnym , jeśli jest izomorficzny ze schematem zamkniętej podgrupy U _n dla pewnego n . Łatwo sprawdzić, że grupa U _n jest nilpotentna. W rezultacie każdy schemat grupy unipotentnej jest nilpotentny.

Liniowa grupa algebraiczna $G$ na polu k wtedy i tylko wtedy, gdy każdy unipotentny

Grupa B _n macierzy górno trójkątnych w GL ( n ) jest iloczynem półprostym

{\ Displaystyle B_ {n} = T_ {n} \ lrazy U_ {n},}

gdzie Tn jest torusem _diagonalnym₍ Gm ) ⁿ . Mówiąc bardziej ogólnie, każda połączona rozwiązalna liniowa grupa algebraiczna jest półprostym iloczynem torusa z grupą unipotentną T ⋉ U .

Gładko połączona grupa unipotentna nad doskonałym polem k (na przykład pole algebraicznie domknięte) ma szereg składowy, w którym wszystkie grupy ilorazowe są izomorficzne z grupą addytywną G _a .

Podgrupy Borela

Podgrupy borelowskie są ważne dla teorii struktury liniowych grup algebraicznych. Dla liniowej grupy algebraicznej G nad algebraicznie zamkniętym ciałem k , podgrupa borelowa G oznacza maksymalnie gładko spójną rozwiązalną podgrupę. Na przykład jedna podgrupa Borela GL ( n ) jest podgrupą B macierzy górnego trójkąta (wszystkie wpisy poniżej przekątnej są zerowe).

Podstawowym wynikiem tej teorii jest to, że dowolne dwie podgrupy borelowskie grupy połączonej G na algebraicznie zamkniętym polu k są sprzężone przez jakiś element G ( k ). (Standardowy dowód wykorzystuje twierdzenie Borela o punkcie stałym : dla połączonej rozwiązywalnej grupy G działającej na odpowiedniej rozmaitości X na algebraicznie zamkniętym polu k , istnieje punkt k w X , który jest ustalony przez działanie G ). koniugacja podgrup borelowskich w GL ( n ) sprowadza się do twierdzenia Lie-Kolchina : każda gładko połączona rozwiązywalna podgrupa GL ( n ) jest sprzężona z podgrupą podgrupy górnego trójkąta w GL ( n ).

Dla dowolnego pola k , podgrupa borelowska B z G jest zdefiniowana jako podgrupa nad k taka, że nad algebraicznym domknięciem ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$ k , $displaystyle B_ {\ overline {k}}}$ \ jest podgrupą borelowską ${\ displaystyle G _ {\ overline {k}}}$ . Zatem G może, ale nie musi, mieć podgrupę borelowską nad k .

Dla zamkniętego schematu podgrup H z G , przestrzeń ilorazowa G / H jest gładkim schematem quasi-rzutowym na k . Gładką podgrupę P połączonej grupy G nazywamy paraboliczną , jeśli G / P jest rzutowa na k (lub równoważnie, właściwa na k ). Ważną właściwością podgrup borelowskich B jest to, że G / B jest rozmaitością rzutową, zwaną rozmaitością flagową G. Oznacza to, że podgrupy borelowskie są podgrupami parabolicznymi. Dokładniej, dla k algebraicznie domkniętych podgrup borelowskich są dokładnie minimalne paraboliczne podgrupy G ; odwrotnie, każda podgrupa zawierająca podgrupę borelowską jest paraboliczna. Można więc wymienić wszystkie podgrupy paraboliczne G (aż do koniugacji przez G ( k )), wymieniając wszystkie liniowe podgrupy algebraiczne G , które zawierają ustaloną podgrupę borelowską. Na przykład podgrupy P ⊂ GL (3) nad k , które zawierają podgrupę Borela B macierzy górnego trójkąta, to samo B , cała grupa GL (3) i podgrupy pośrednie

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {bmatrix} * & * & * \\ 0 & * i * \\ 0 & * & * \ koniec {bmatrix}} \ prawo \ }}

i

{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {bmatrix} *&*&*\\*&*&*\\0&0&*\koniec {bmatrix}}\right\}.}

Odpowiednie rzutowe rozmaitości jednorodne GL (3)/ P to (odpowiednio): flagowa rozmaitość wszystkich łańcuchów podprzestrzeni liniowych

{\ Displaystyle 0 \ podzbiór V_ {1} \ podzbiór V_ {2} \ podzbiór A_ {k} ^ {3}}

z V _i wymiaru i ; punkt; przestrzeń rzutowa P ² linii (jednowymiarowych podprzestrzeni liniowych ) w A ³ ; oraz podwójną przestrzeń rzutową P ² płaszczyzn w A ³ .

Grupy półproste i redukujące

Spójna liniowa grupa algebraiczna G nad ciałem algebraicznie zamkniętym nazywana jest półprostą , jeśli każda gładko połączona, rozwiązywalna podgrupa normalna G jest trywialna. Mówiąc bardziej ogólnie, spójna liniowa grupa algebraiczna G na algebraicznie zamkniętym polu jest nazywana redukcyjną , jeśli każda gładko połączona unipotentna normalna podgrupa G jest trywialna. (Niektórzy autorzy nie wymagają łączenia grup redukcyjnych.) Grupa półprosta jest redukcyjna. Grupa G nad dowolnym polem k nazywa się półprostym lub redukcyjnym, jeśli $lub$ . Na przykład grupa SL ( n ) macierzy n × n z wyznacznikiem 1 na dowolnym polu k jest półprosta, podczas gdy nietrywialny torus jest reduktywny, ale nie półprosty. Podobnie, GL ( n ) jest redukcyjna _, ale nie półprosta (ponieważ jej centrum Gm jest nietrywialną gładko spójną, rozwiązywalną podgrupą normalną).

Każda zwarta spójna grupa Liego ma złożoność , która jest zespoloną redukcyjną grupą algebraiczną. W rzeczywistości ta konstrukcja daje zgodność jeden do jednego między zwartymi połączonymi grupami Liego i złożonymi grupami redukcyjnymi, aż do izomorfizmu.

Liniowa grupa algebraiczna G nad ciałem k nazywana jest prostą (lub k - prostą ), jeśli jest półprosta, nietrywialna i każda gładko spójna podgrupa normalna G nad k jest trywialna lub równa G . (Niektórzy autorzy nazywają tę właściwość „prawie prostą”.) Różni się to nieco od terminologii dla grup abstrakcyjnych tym, że prosta grupa algebraiczna może mieć nietrywialne centrum (chociaż centrum musi być skończone). Na przykład dla dowolnej liczby całkowitej n co najmniej 2 i dowolnego pola k , grupa SL ( n ) nad k jest prosta, a jej środkiem jest schemat grupowy μ _{n n} - tych pierwiastków jedności.

Każda spójna liniowa grupa algebraiczna G nad doskonałym ciałem k jest (w unikalny sposób) przedłużeniem grupy redukcyjnej R o gładko spójną grupę unipotentną U , zwaną pierwiastkiem unipotentnym G :

{\ Displaystyle 1 \ do U \ do G \ do R \ do 1.}

Jeśli k ma charakterystyczne zero, $unipotentną$ dokładniejszy rozkład Leviego : każda połączona liniowa grupa algebraiczna G na k jest półprostym iloczynem grupy redukcyjnej przez grupę

Klasyfikacja grup redukcyjnych

Do grup redukcyjnych zalicza się najważniejsze w praktyce liniowe grupy algebraiczne, takie jak grupy klasyczne : GL ( n ), SL ( n ), grupy ortogonalne SO ( n ) oraz grupy symplektyczne Sp (2 n ). Z drugiej strony definicja grup redukcyjnych jest dość „negatywna” i nie jest jasne, czy można się spodziewać o nich wiele do powiedzenia. Co ciekawe, Claude Chevalley podał pełną klasyfikację grup redukcyjnych w algebraicznie zamkniętym polu: są one określone przez dane pierwiastkowe . W szczególności proste grupy w algebraicznie zamkniętym polu k są klasyfikowane (do ilorazów według schematów skończonych podgrup centralnych) za pomocą ich diagramów Dynkina . Uderzające jest to, że ta klasyfikacja jest niezależna od charakterystyki k . Na przykład wyjątkowe grupy Liego G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ i E ₈ można zdefiniować w dowolnej charakterystyce (a nawet jako schematy grupowe nad Z ). Klasyfikacja skończonych grup prostych mówi, że większość skończonych grup prostych powstaje jako grupa k -punktów prostej grupy algebraicznej nad skończonym ciałem k lub jako mniejsze warianty tej konstrukcji.

Każda grupa redukcyjna na polu jest ilorazem iloczynu torusa i kilku prostych grup przez skończony schemat podgrup centralnych. Na przykład,

{\ Displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ razy SL (n)) / \ mu _ {n}.}

W przypadku dowolnego pola k grupa redukcyjna G nazywana jest rozszczepioną , jeśli zawiera podzielony maksymalny torus nad k (to znaczy podzielony torus w G , który pozostaje maksymalny nad algebraicznym domknięciem k ). Na przykład GL ( n ) jest rozszczepioną grupą redukcyjną na dowolnym polu k . Chevalley wykazał, że klasyfikacja jest podzielona grupy reduktywne są takie same w każdym polu. Natomiast klasyfikacja dowolnych grup redukcyjnych może być trudna, w zależności od pola podstawowego. Na przykład każda niezdegenerowana forma kwadratowa q nad ciałem k określa grupę redukcyjną SO ( q ), a każda centralna algebra prosta A nad k określa grupę redukcyjną SL ₁ ( A ). W rezultacie problem klasyfikacji grup redukcyjnych nad k zasadniczo obejmuje problem klasyfikowania wszystkich form kwadratowych po k lub wszystkich centralnych algebr prostych po k . Te problemy są łatwe dla k algebraicznie domkniętych i są zrozumiałe dla niektórych innych ciał, takich jak pola liczbowe , ale dla pól dowolnych istnieje wiele otwartych pytań.

Aplikacje

Teoria reprezentacji

Jednym z powodów znaczenia grup redukcyjnych jest teoria reprezentacji. Każda nieredukowalna reprezentacja grupy unipotentnej jest trywialna. Mówiąc bardziej ogólnie, dla dowolnej liniowej grupy algebraicznej G zapisanej jako rozszerzenie

{\ Displaystyle 1 \ do U \ do G \ do R \ do 1}

z U unipotent i R redukcyjnym, każda nieredukowalna reprezentacja czynników G przez R . Skupia to uwagę na teorii reprezentacji grup redukcyjnych. (Dla jasności, rozważane tutaj reprezentacje są reprezentacjami G jako grupy algebraicznej . Tak więc dla grupy G na polu k reprezentacje są na przestrzeniach k -wektorowych, a działanie G jest określone przez regularne funkcje. To jest ważnym, ale innym problemem do sklasyfikowania ciągłe reprezentacje grupy G ( R ) dla rzeczywistej grupy redukcyjnej G lub podobne problemy w innych dziedzinach).

Chevalley wykazał, że nieredukowalne reprezentacje podzielonej grupy redukcyjnej na polu k są skończone wymiarowo i są indeksowane przez dominujące wagi . Jest to to samo, co dzieje się w teorii reprezentacji zwartych połączonych grup Liego lub w teorii reprezentacji skończonych wymiarów złożonych półprostych algebr Liego . Dla k charakterystycznego zera wszystkie te teorie są zasadniczo równoważne. W szczególności każda reprezentacja grupy redukcyjnej G na polu charakterystycznym zero jest bezpośrednią sumą reprezentacji nieredukowalnych, a jeśli G jest rozdwojone, znaki reprezentacji nieredukowalnych są określone wzorem Weyla . Twierdzenie Borela -Weila daje geometryczną konstrukcję nieredukowalnych reprezentacji grupy redukcyjnej G w charakterystycznym zerze, jako przestrzenie odcinków wiązek linii nad rozmaitością flagową G / B .

Teoria reprezentacji grup redukcyjnych (innych niż torus) w polu o dodatniej charakterystyce p jest mniej dobrze poznana. W tej sytuacji reprezentacja nie musi być bezpośrednią sumą nieredukowalnych reprezentacji. I chociaż reprezentacje nieredukowalne są indeksowane przez dominujące wagi, wymiary i charakter reprezentacji nieredukowalnych są znane tylko w niektórych przypadkach. Andersen, Jantzen i Soergel ( 1994 ) wyznaczyli te cechy (dowodząc hipotezy Lusztiga ), gdy charakterystyczna p jest wystarczająco duża w porównaniu z liczbą Coxetera z grupy. Dla małych liczb pierwszych p nie ma nawet dokładnego przypuszczenia.

Działania grupowe i teoria niezmienników geometrycznych

Działanie liniowej grupy algebraicznej G na rozmaitość (lub schemat) X na polu k jest morfizmem

{\ Displaystyle G \ razy _ {k} X \ do X}

spełnia aksjomaty działania grupowego . Podobnie jak w innych typach teorii grup, ważne jest badanie działań grupowych, ponieważ grupy powstają naturalnie jako symetrie obiektów geometrycznych.

Częścią teorii działań grupowych jest teoria niezmienników geometrycznych , której celem jest skonstruowanie rozmaitości ilorazowej X / G , opisującej zbiór orbit liniowej grupy algebraicznej G na X jako rozmaitość algebraiczną. Pojawiają się różne komplikacje. Na przykład, jeśli X jest rozmaitością afiniczną, to można spróbować skonstruować X / G jako Spec pierścienia niezmienników O ( X ) ^G . Jednakże, Masayoshi Nagata wykazał, że pierścień niezmienników nie musi być generowany w sposób skończony jako k -algebra (a więc Spec pierścienia jest schematem, ale nie odmianą), co jest negatywną odpowiedzią na 14. problem Hilberta . W kierunku dodatnim pierścień niezmienników jest generowany skończenie, jeśli G jest redukcyjne, na mocy twierdzenia Habousha , udowodnionego w charakterystycznym zerze przez Hilberta i Nagatę.

Teoria niezmienników geometrycznych obejmuje dalsze subtelności, gdy grupa redukcyjna G działa na rozmaitość rzutową X . W szczególności teoria definiuje otwarte podzbiory punktów „stabilnych” i „półstabilnych” w X , z morfizmem ilorazowym zdefiniowanym tylko na zbiorze punktów półstabilnych.

Pojęcia pokrewne

Liniowe grupy algebraiczne dopuszczają warianty w kilku kierunkach. $,$ istnienie odwrotnej mapy liniowej monoidu

Grupy kłamstw

Dla liniowej grupy algebraicznej G nad liczbami rzeczywistymi R , grupa punktów rzeczywistych G ( R ) jest grupą Liego , głównie dlatego, że rzeczywiste wielomiany opisujące mnożenie na G są funkcjami gładkimi . Podobnie, dla liniowej grupy algebraicznej G nad C , G ( C ) jest zespoloną grupą Liego . Znaczna część teorii grup algebraicznych została opracowana przez analogię do grup Liego.

Istnieje kilka powodów, dla których grupa Liego może nie mieć struktury liniowej grupy algebraicznej nad R .

Grupa Liego z nieskończoną grupą składowych G/Go ^nie może być zrealizowana jako liniowa grupa algebraiczna.
Grupa algebraiczna G nad R może być spójna jako grupa algebraiczna, podczas gdy grupa Liego G ( R ) nie jest spójna, i podobnie dla grup po prostu spójnych . Na przykład grupa algebraiczna SL (2) jest po prostu spójna na dowolnym polu, podczas gdy grupa Liego SL (2, R ) ma grupę podstawową izomorficzną z liczbami całkowitymi Z . Podwójna okładka H SL ( 2 , R ), znana jako grupa metaplektyczna , to grupa Liego, której nie można postrzegać jako liniowej grupy algebraicznej nad R . Co więcej, H nie ma wiernej reprezentacji w skończonych wymiarach.
Anatolij Maltsev wykazał, że każdą prosto połączoną nilpotentną grupę Liego można postrzegać jako unipotentną grupę algebraiczną G nad R w wyjątkowy sposób. (Jako odmiana, G jest izomorficzna z przestrzenią afiniczną o pewnym wymiarze nad R .) W przeciwieństwie do tego, istnieją po prostu połączone rozwiązalne grupy Liego, których nie można postrzegać jako rzeczywistych grup algebraicznych. Na przykład uniwersalne pokrycie H produktu półbezpośredniego S ¹ ⋉ R ² ma środek izomorficzny do Z , która nie jest liniową grupą algebraiczną, więc H nie może być postrzegana jako liniowa grupa algebraiczna nad R .

Odmiany abelowe

Grupy algebraiczne , które nie są pokrewne, zachowują się zupełnie inaczej. W szczególności gładko połączony schemat grupowy, który jest rozmaitością rzutową na polu, nazywany jest rozmaitością abelową . W przeciwieństwie do liniowych grup algebraicznych, każda odmiana abelowa jest przemienna. Niemniej jednak odmiany abelowe mają bogatą teorię. Nawet przypadek krzywych eliptycznych (odmiany abelowe o wymiarze 1) ma kluczowe znaczenie dla teorii liczb , z zastosowaniami obejmującymi dowód ostatniego twierdzenia Fermata .

kategorie Tannaki

Skończenie-wymiarowe reprezentacje grupy algebraicznej G wraz z iloczynem tensorowym reprezentacji tworzą kategorię tannakowską Rep _G . W rzeczywistości kategorie tannakowskie z „funktorem włókien” nad polem są równoważne schematom grup afinicznych. (Każdy schemat grup afinicznych na ciele k jest proalgebraiczny w tym sensie, że jest odwrotną granicą schematów grup afinicznych typu skończonego na k ). Na przykład grupa Mumforda-Tate'a i grupy motywiczne Galois są konstruowane przy użyciu tego formalizmu. Pewne własności grupy (pro-)algebraicznej G można odczytać z jej kategorii reprezentacji. Na przykład, w polu charakterystycznym zero, Rep _G jest kategorią semiprostą wtedy i tylko wtedy, gdy składowa tożsamości G jest proredukcyjna.

Zobacz też

Grupy typu Lie to skończone grupy proste zbudowane z prostych grup algebraicznych na skończonych polach.
Twierdzenie Langa
Uogólniona odmiana flagi , rozkład Bruhata , para BN , grupa Weyla , podgrupa Cartana , grupa typu przylegającego , indukcja paraboliczna
Forma rzeczywista (teoria kłamstw) , diagram Satake
Adeliczna grupa algebraiczna , przypuszczenie Weila o liczbach Tamagawy
Klasyfikacja Langlandsa , program Langlandsa , geometryczny program Langlandsa
Torsor , kohomologia nieabelowa , grupa specjalna , niezmiennik kohomologiczny , wymiar zasadniczy , hipoteza Knesera-Titsa , hipoteza Serre'a II
Grupa pseudoredukcyjna
Różniczkowa teoria Galois
Rozkład na liniowej grupie algebraicznej

Notatki

Andersen, HH ; Jantzen, JC ; Soergel, W. (1994), Reprezentacje grup kwantowych na p -tym korzeniu jedności i półprostych grup w charakterystyce p : Niezależność p , Astérisque, tom. 220, Société Mathématique de France , ISSN 0303-1179 , MR 1272539
Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (wyd. 2), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2 , MR 1102012
Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Reprezentacje zwartych grup kłamstw , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9 , MR 0781344
Conrad, Brian (2014), „Schematy grup redukcyjnych” (PDF) , Autour des schémas en groupes , tom. 1, Paryż: Société Mathématique de France , s. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0 , MR 3309122
Deligne, Pierre ; Milne, JS (1982), „Kategorie Tannakian” , Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties , Lecture Notes in Mathematics, tom. 900, Springer Nature , s. 101–228, ISBN 3-540-11174-3 , MR 0654325
De Medts, Tom (2019), Liniowe grupy algebraiczne (notatki z kursu) (PDF) , Uniwersytet w Gandawie
Humphreys, James E. (1975), Liniowe grupy algebraiczne , Springer, ISBN 0-387-90108-6 , MR 0396773
Kolchin, ER (1948), „Algebraiczne grupy macierzowe i teoria Picarda-Vessiota jednorodnych liniowych równań różniczkowych zwyczajnych”, Annals of Mathematics , druga seria, 49 (1): 1–42, doi : 10.2307/1969111 , ISSN 0003- 486X , JSTOR 1969111 , MR 0024884
Milne, JS (2017), Grupy algebraiczne: teoria schematów grupowych typu skończonego w polu , Cambridge University Press , ISBN 978-1107167483 , MR 3729270
Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (wyd. 2), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5 , MR 1642713

Linki zewnętrzne

„Liniowa grupa algebraiczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]