( B , N ) para

W matematyce para ( B , N ) jest strukturą na grupach typu Lie , która pozwala na dawanie jednolitych dowodów wielu wyników, zamiast dawania dużej liczby dowodów dla każdego przypadku. Z grubsza rzecz biorąc, pokazuje, że wszystkie takie grupy są podobne do ogólnej grupy liniowej w polu. Zostały one wprowadzone przez matematyka Jacquesa Titsa i są czasami nazywane systemami cycków .

Definicja

Para ( B , N ) jest parą podgrup B i N grupy G taką, że zachodzą następujące aksjomaty:

• G jest generowane przez B i N .
• Punkt przecięcia T , B i N jest normalną podgrupą N .
• Grupa W = N/T jest generowana przez zbiór S elementów rzędu 2 takich, że
  • Jeśli s jest elementem S , a w jest elementem W , to sBw jest zawarte w sumie BswB i BwB .
  • Żaden element S nie normalizuje B .

Zbiór S jest jednoznacznie określony przez B i N , a para ( W , S ) jest systemem Coxetera .

Terminologia

Pary BN są blisko spokrewnione z grupami redukcyjnymi , a terminologia w obu przedmiotach się pokrywa. Rozmiar S nazywa się rangą . Nazywamy

• B (standardowa) podgrupa borelowska ,
• T (standardowa) podgrupa Cartana , i
• W grupie Weyl .

Nazywa się podgrupę G

• paraboliczny , jeśli zawiera koniugat B ,
• standardowy paraboliczny , jeśli w rzeczywistości zawiera sam B i
• a Borel (lub minimalny paraboliczny ) , jeśli jest koniugatem B.

Przykłady

Abstrakcyjne przykłady par BN wynikają z pewnych działań grupowych.

• Załóżmy, że G jest dowolną podwójnie przechodnią grupą permutacji na zbiorze E z więcej niż 2 elementami. Niech B będzie podgrupą G ustalającą punkt x , a N będzie podgrupą ustalającą lub wymieniającą 2 punkty x i y . Podgrupa T jest więc zbiorem elementów ustalających zarówno x , jak i y , a W ma rząd 2, a jej nietrywialny element jest reprezentowany przez wszystko, co wymienia x i y .
• I odwrotnie, jeśli G ma parę (B, N) rangi 1, to działanie G na cosets B jest podwójnie przechodnie . Tak więc pary BN rangi 1 są mniej więcej takie same jak działania podwójnie przechodnie na zbiorach z więcej niż 2 elementami.

Bardziej konkretne przykłady par BN można znaleźć w grupach redukcyjnych.

• Załóżmy, że G jest ogólną grupą liniową GL _n ( K ) nad ciałem K . Przyjmujemy, że B to górne macierze trójkątne, T to macierze diagonalne, a N to macierze jednomianowe , czyli macierze z dokładnie jednym niezerowym elementem w każdym wierszu i kolumnie. Istnieje n − 1 generatorów, reprezentowanych przez macierze otrzymane przez zamianę dwóch sąsiednich rzędów macierzy diagonalnej. Grupa Weyla to grupa symetryczna na n literach.
• Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli G jest grupą redukcyjną na polu K , to grupa G = G ( K ) ma parę BN, w której
  • B = P ( K ), gdzie P jest minimalną podgrupą paraboliczną G i
  • N = N ( K ), gdzie N jest normalizatorem podzielonego maksymalnego torusa zawartego w P .
• W szczególności każda skończona grupa typu Liego ma strukturę pary BN.
  • W polu dwóch elementów podgrupa Cartana jest w tym przykładzie trywialna.
• Półprosta, po prostu połączona grupa algebraiczna na ciele lokalnym ma parę BN, gdzie B jest podgrupą Iwahori .

Nieruchomości

rozkład Bruhata

Dekompozycja Bruhata stwierdza, że ​​G = BWB . Dokładniej, podwójne cosets B\G/B są reprezentowane przez zbiór wind W do N .

Podgrupy paraboliczne

Każda podgrupa paraboliczna jest równa swojemu normalizatorowi w G .

Każda standardowa parabola ma postać BW ( X ) B dla pewnego podzbioru X z S , gdzie W ( X ) oznacza podgrupę Coxetera wygenerowaną przez X. Co więcej, dwie standardowe parabole są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy ich zbiory X są takie same. Stąd istnieje bijekcja między podzbiorami S a parabolami standardowymi. Mówiąc bardziej ogólnie, ta bijekcja rozciąga się na klasy koniugacji podgrup parabolicznych.

Twierdzenie o prostocie Titsa

Par BN można użyć do udowodnienia, że ​​wiele grup typu Lie jest prostych modulo ich centrów. Dokładniej, jeśli G ma taką parę BN , że B jest grupą rozwiązywalną , przecięcie wszystkich koniugatów B jest trywialne, a zbioru generatorów W nie można rozłożyć na dwa niepuste zbiory komutujące, to G jest proste zawsze, gdy jest to idealna grupa . W praktyce wszystkie te warunki z wyjątkiem idealnego G są łatwe do sprawdzenia. Sprawdzenie, czy G jest doskonałe, wymaga trochę nieporządnych obliczeń (w rzeczywistości istnieje kilka małych grup typu Lie, które nie są doskonałe). Ale pokazanie, że grupa jest doskonała, jest zwykle o wiele łatwiejsze niż pokazanie, że jest proste.

Cytaty

•     Abramenko, Piotr; Brązowy, Kenneth S. (2008). Budynki. Teoria i zastosowania . Skoczek. ISBN 978-0-387-78834-0 . MR 2439729 . Zbl 1214.20033 . Sekcja 6.2.6 omawia pary BN.
•    Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups , Graduate Texts in Mathematics, tom. 126 (wyd. 2), Nowy Jork: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN 0-387-97370-2 , MR 1102012
•     Bourbaki, Nicolas (1981). Grupy kłamstw i algebry kłamstw: rozdziały 4–6 . Elementy matematyki (w języku francuskim). Hermanna. ISBN 2-225-76076-4 . MR 0240238 . Zbl 0483.22001 . Rozdział IV, § 2 to standardowe odniesienie dla par BN.
•     Bourbaki, Nicolas (2002). Grupy kłamstw i algebry kłamstw: rozdziały 4–6 . Elementy matematyki. Skoczek. ISBN 3-540-42650-7 . MR 1890629 . Zbl 0983.17001 .
•    Serre, Jean-Pierre (2003). Drzewa . Skoczek. ISBN 3-540-44237-5 . Zbl 1013.20001 .