Idealna grupa

W matematyce , a dokładniej w teorii grup , mówi się, że grupa jest doskonała , jeśli jest równa własnej podgrupie komutatorowej lub równoważnie, jeśli grupa nie ma nietrywialnych ilorazów abelowych (równoważnie, jej abelianizacja , która jest uniwersalnym ilorazem abelowym, jest banalny). W symbolach idealna grupa to taka, że ​​G ⁽¹⁾ = G (podgrupa komutatora równa się grupie) lub równoważnie taka, że ​​G ^ab = {1} (jego abelianizacja jest trywialna).

Przykłady

Najmniejszą (nietrywialną) grupą doskonałą jest grupa przemienna A ₅ . Mówiąc bardziej ogólnie, każda nieabelowa prosta grupa jest idealna, ponieważ podgrupa komutatora jest normalną podgrupą z ilorazem abelowym. I odwrotnie, idealna grupa nie musi być prosta; na przykład specjalna grupa liniowa nad polem z 5 elementami, SL(2,5) (lub binarna grupa dwudziestościenna , która jest z nią izomorficzna ) jest doskonała, ale nie prosta (ma nietrywialne centrum zawierające ${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} -1 i 0 \\ 0 i -1 \ koniec {mała macierz}} \ prawo) = \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 4 i 0 \\0&4\end{małamacierz}}\right)}$ ).

Bezpośredni produkt dowolnych dwóch prostych grup nieabelowych jest doskonały, ale nie prosty; komutatorem dwóch elementów jest [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]). Ponieważ komutatory w każdej grupie prostej tworzą zespół prądotwórczy, pary komutatorów tworzą zespół prądotwórczy iloczynu bezpośredniego.

Mówiąc bardziej ogólnie, quasiprosta grupa (doskonałe centralne rozszerzenie prostej grupy), która jest nietrywialnym rozszerzeniem (a zatem sama nie jest prostą grupą), jest doskonała, ale nie prosta; obejmuje to wszystkie nierozpuszczalne nieproste skończone specjalne grupy liniowe SL( n , q ) jako przedłużenia rzutowej specjalnej grupy liniowej PSL( n , q ) (SL(2,5) jest rozszerzeniem PSL(2,5), który jest izomorficzny z A ₅ ). Podobnie specjalna grupa liniowa nad rzeczywistą a liczby zespolone są doskonałe, ale ogólna grupa liniowa GL nigdy nie jest doskonała (z wyjątkiem przypadków trywialnych lub ponad , gdzie jest równa specjalnej grupie liniowej), ponieważ $\ mathbb {F} _ {2}}$ { \ nietrywialna abelianizacja i rzeczywiście podgrupa komutatora to SL.

Jednak nietrywialna grupa doskonała z konieczności nie jest rozwiązywalna ; a 4 dzieli swój porządek (jeśli jest skończony), ponadto jeśli 8 nie dzieli porządku, to 3 tak.

Każda grupa acykliczna jest doskonała, ale sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa: A ₅ jest doskonała, ale nie acykliczna (w rzeczywistości nie jest nawet superdoskonała ), patrz ( Berrick i Hillman 2003 ). W rzeczywistości dla ${\ Displaystyle n \ geq 5}$$naprzemienna$ jest , ale nie superdoskonała, z ${\ Displaystyle H_ {2} (A_ {n}, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} / 2}$ dla ${\ Displaystyle n \ geq 8}$ .

Każdy iloraz idealnej grupy jest doskonały. Nietrywialna skończona doskonała grupa, która nie jest prosta, musi zatem być przedłużeniem co najmniej jednej mniejszej prostej grupy nieabelowej. Ale może to być rozszerzenie więcej niż jednej prostej grupy. W rzeczywistości bezpośredni iloczyn doskonałych grup jest również doskonały.

Każda doskonała grupa G wyznacza inną doskonałą grupę E (jej uniwersalne rozszerzenie centralne ) wraz z surjekcją f : E → G , której jądro znajduje się w środku E, tak że f jest uniwersalne z tą własnością. Jądro f nazywa się mnożnikiem Schura G , ponieważ po raz pierwszy zbadał je Issai Schur w 1904 roku; jest izomorficzny z grupą homologii ${\ Displaystyle H_ {2} (G)}$ .

W konstrukcji plus algebraicznej teorii K , jeśli weźmiemy pod uwagę grupę $)}$${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (A) = {\ tekst {colim}} \ operatorname {$$} ($$A$ dla pierścienia przemiennego , to podgrupa macierzy elementarnych podgrupę.

Przypuszczenie Ore'a

Ponieważ podgrupa komutatorów jest generowana przez komutatory, idealna grupa może zawierać elementy, które są produktami komutatorów, ale same nie są komutatorami. Øystein Ore udowodnił w 1951 r., Że naprzemienne grupy na pięciu lub więcej elementach zawierały tylko komutatory i przypuszczał , że tak jest w przypadku wszystkich skończonych nieabelowych grup prostych. Przypuszczenie Rudy zostało ostatecznie udowodnione w 2008 roku. Dowód opiera się na twierdzeniu o klasyfikacji .

Lemat Gruna

Podstawowym faktem dotyczącym grup doskonałych jest lemat Grün z ( Grün 1935 , Satz 4, s. 3): iloraz grupy doskonałej przez jej środek jest bezśrodkowy (ma środek trywialny).

Dowód: Jeśli G jest grupą doskonałą, niech Z ₁ i Z ₂ oznaczają pierwsze dwa wyrazy górnego środkowego szeregu G (tzn. Z ₁ jest środkiem G , a Z ₂ / Z ₁ jest środkiem G / Z ₁ ). Jeśli H i K są podgrupami G , oznacz komutator H i K przez [ H , K ] i zauważ, że [ Z ₁ , G ] = 1 i [ Z ₂ , G ] ⊆ Z ₁ , aw konsekwencji (konwencja, że ​​[ X , Y , Z ] = [[ X , Y ] , Z ] następuje):

${\ Displaystyle [Z_ {2}, G, G] = [[Z_ {2}, G ],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}$

${\ Displaystyle [G, Z_ {2}, G] = [[G, Z_ {2}], G] = [[Z_ {2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.}$

Z lematu trzech podgrup (lub równoważnie, z tożsamości Halla-Witta ) wynika, że ​​[ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1} . Dlatego Z ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G ), a środkiem grupy ilorazów G / Z ( G ) jest banalna grupa .

W konsekwencji wszystkie wyższe centra (to znaczy wyższe wyrazy w górnym szeregu centralnym ) grupy doskonałej są równe środkowi.

Homologia grupowa

Pod względem homologii grupowej grupa doskonała to dokładnie taka, której pierwsza grupa homologii znika: H ₁ ( G , Z ) = 0, ponieważ pierwsza grupa homologii grupy jest dokładnie abelianizacją grupy, a doskonała oznacza trywialną abelianizację. Zaletą tej definicji jest to, że dopuszcza wzmocnienie:

• Grupa superdoskonała to taka, której pierwsze dwie grupy homologii znikają: ${\ Displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z}) = H_ {2} ( G,\mathbb {Z} )=0}$ .
• Grupa acykliczna to taka, której wszystkie (zredukowane) grupy homologiczne znikają ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {i} (G; \ mathbb {Z}) = 0 .}$ (Jest to równoważne zniknięciu wszystkich grup homologii innych niż ${\ displaystyle H_ {0}}$ ).

Grupa quasi-idealna

Zwłaszcza w dziedzinie algebraicznej K-teorii mówi się, że grupa jest quasi-doskonała, jeśli jej podgrupa komutatora jest doskonała; w symbolach grupa quasi-doskonała to taka, że ​​G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (komutatorem podgrupy komutatora jest podgrupa komutatora), podczas gdy grupa doskonała to taka, że ​​G ⁽¹⁾ = G ( podgrupa komutatora to cała grupa). Patrz ( Karoubi 1973 , s. 301–411) i ( Inassaridze 1995 , s. 76).

Notatki

•   Berrick, A. Jon; Hillman, Jonathan A. (2003), „Doskonałe i acykliczne podgrupy skończenie przedstawialnych grup”, Journal of the London Mathematical Society , druga seria, 68 (3): 683–98, doi : 10.1112 / s0024610703004587 , MR 2009444
•    Grün, Otto (1935), "Beiträge zur Gruppenteorie. I." , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (w języku niemieckim), 174 : 1–14, ISSN 0075-4102 , Zbl 0012.34102
•    Inassaridze, Hvedri (1995), Algebraiczna teoria K , Matematyka i jej zastosowania, tom. 311, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-3185-8 , MR 1368402
• Karoubi, Max (1973), Périodicité de la K-théorie hermitienne, Hermitian K-Theory and Geometric Applications , Lecture Notes in Math., tom. 343, Springer-Verlag
•    Rose, John S. (1994), Kurs teorii grup , Nowy Jork: Dover Publications, Inc., s. 61, ISBN 0-486-68194-7 , MR 1298629

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Doskonała grupa” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Lemat Gruna” . MathWorld .