Przypuszczenie

Część rzeczywista (czerwona) i część urojona (niebieska) funkcji zeta Riemanna wzdłuż linii krytycznej Re ( s ) = 1/2. Pierwsze nietrywialne zera można zobaczyć przy Im( s ) = ±14,135, ±21,022 i ±25,011. Hipoteza Riemanna , słynna hipoteza, mówi, że wszystkie nietrywialne zera funkcji zeta leżą wzdłuż linii krytycznej.

W matematyce przypuszczenie jest konkluzją lub twierdzeniem , które jest wysuwane na próbę bez dowodu . Niektóre przypuszczenia, takie jak hipoteza Riemanna (wciąż przypuszczenie) lub ostatnie twierdzenie Fermata (przypuszczenie do udowodnienia w 1995 roku przez Andrew Wilesa ), ukształtowały znaczną część historii matematyki, ponieważ opracowywane są nowe obszary matematyki w celu ich udowodnienia.

Ważne przykłady

Ostatnie twierdzenie Fermata

W teorii liczb ostatnie twierdzenie Fermata ( $a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$ nazywane przypuszczeniem Fermata , zwłaszcza w starszych tekstach) stwierdza, że żadne trzy dodatnie liczby całkowite nie mogą spełniać równania a za $a}$ $}$ , ${\ displaystyle b$ $Displaystyle$ dla dowolnej wartości całkowitej większej niż dwa

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy wysunięte przez Pierre'a de Fermata w 1637 roku na marginesie egzemplarza Arithmetica , gdzie twierdził, że ma dowód, który jest zbyt duży, aby zmieścił się na marginesie. Pierwszy udany dowód został wydany w 1994 roku przez Andrew Wilesa i oficjalnie opublikowany w 1995 roku, po 358 latach wysiłków matematyków. Nierozwiązany problem stymulował rozwój algebraicznej teorii liczb w XIX wieku, a dowód twierdzenia o modułowości w XX wieku. Jest to jedno z najbardziej znaczących twierdzeń w historii matematyki , a przed udowodnieniem znajdowało się w Księdze Rekordów Guinnessa za „najtrudniejsze problemy matematyczne”.

Twierdzenie o czterech kolorach

Czterokolorowa mapa stanów USA (z pominięciem jezior).

W matematyce twierdzenie o czterech kolorach lub twierdzenie o mapie o czterech kolorach stwierdza, że przy każdym podziale płaszczyzny na sąsiadujące obszary, tworząc figurę zwaną mapą , do pokolorowania regionów mapy potrzeba nie więcej niż czterech kolorów — więc że żadne dwa sąsiednie regiony nie mają tego samego koloru. Dwa regiony są nazywane sąsiadującymi, jeśli mają wspólną granicę, która nie jest narożnikiem, gdzie narożniki to punkty wspólne dla trzech lub więcej regionów. Na przykład na mapie Stanów Zjednoczonych Ameryki Utah i Arizona sąsiadują ze sobą, ale Utah i Nowy Meksyk, które dzielą tylko punkt należący do Arizony i Kolorado, nie.

Möbius wspomniał o tym problemie w swoich wykładach już w 1840 roku. Hipoteza ta została po raz pierwszy wysunięta 23 października 1852 roku, kiedy Francis Guthrie , próbując pokolorować mapę hrabstw Anglii, zauważył, że potrzebne są tylko cztery różne kolory. Twierdzenie o pięciu kolorach , które ma krótki elementarny dowód, stwierdza, że pięć kolorów wystarczy do pokolorowania mapy i zostało udowodnione pod koniec XIX wieku; jednak udowodnienie, że wystarczą cztery kolory, okazało się znacznie trudniejsze. Od czasu pierwszego stwierdzenia twierdzenia o czterech kolorach w 1852 roku pojawiło się wiele fałszywych dowodów i fałszywych kontrprzykładów .

Twierdzenie o czterech kolorach zostało ostatecznie udowodnione w 1976 roku przez Kennetha Appela i Wolfganga Hakena . Było to pierwsze duże twierdzenie udowodnione za pomocą komputera . Podejście Appela i Hakena rozpoczęło się od pokazania, że istnieje określony zestaw 1936 map, z których każda nie może być częścią najmniejszego kontrprzykładu dla twierdzenia o czterech kolorach (tj. gdyby się pojawiły, można by zrobić mniejszy kontrprzykład ). Appel i Haken użyli specjalnego programu komputerowego, aby potwierdzić, że każda z tych map ma tę właściwość. Ponadto każda mapa, która mogłaby potencjalnie stanowić kontrprzykład, musi zawierać część, która wygląda jak jedna z tych 1936 map. Pokazując to na setkach stron analizy rąk, Appel i Haken doszli do wniosku, że nie istnieje żaden najmniejszy kontrprzykład, ponieważ każdy musi zawierać, ale nie zawierać, jednej z tych 1936 map. Ta sprzeczność oznacza, że w ogóle nie ma kontrprzykładów, a zatem twierdzenie jest prawdziwe. Początkowo ich dowód w ogóle nie był akceptowany przez matematyków, ponieważ dowód wspomagany komputerowo był niewykonalny dla człowieka do ręcznego sprawdzenia. Jednak od tego czasu dowód zyskał szerszą akceptację, chociaż nadal istnieją wątpliwości.

Hauptvermutung

Hauptvermutung (po niemiecku główne przypuszczenie) topologii geometrycznej to przypuszczenie, że dowolne dwie triangulacje przestrzeni triangulowalnej mają wspólne udoskonalenie , pojedynczą triangulację, która jest podziałem obu z nich. Został pierwotnie sformułowany w 1908 roku przez Steinitza i Tietze .

Obecnie wiadomo, że to przypuszczenie jest fałszywe. Wersja bez kolektora została obalona przez Johna Milnora w 1961 roku przy użyciu skrętu Reidemeistera .

kolektora jest prawdziwa w wymiarach m ≤ 3 . Przypadki m = 2 i 3 zostały udowodnione przez Tibora Radó i Edwina E. Moise odpowiednio w latach dwudziestych i pięćdziesiątych XX wieku.

Przypuszczenia Weila

W matematyce hipotezy Weila były bardzo wpływowymi propozycjami André Weila ( 1949 ) dotyczącymi funkcji generujących (znanych jako lokalne funkcje zeta ) wywodzących się z liczenia punktów na rozmaitościach algebraicznych na polach skończonych .

Rozmaitość V nad skończonym ciałem z q elementami ma skończoną liczbę punktów wymiernych , jak również punkty nad każdym skończonym ciałem z q ^k elementami zawierającymi to ciało. Funkcja generująca ma współczynniki wyprowadzone z liczb N _k punktów nad (zasadniczo unikalnym) polem z elementami q ^{k .}

Weil przypuszczał, że takie funkcje zeta powinny być funkcjami wymiernymi , spełniać postać równania funkcyjnego i powinny mieć swoje zera w ograniczonych miejscach. Dwie ostatnie części zostały dość świadomie wzorowane na funkcji zeta Riemanna i hipotezie Riemanna . Racjonalność udowodnił Dwork (1960) , równanie funkcyjne Grothendieck (1965) , a odpowiednik hipotezy Riemanna Deligne (1974)

Hipoteza Poincarégo

W matematyce hipoteza Poincarégo jest twierdzeniem o charakterystyce 3-sfery , czyli hipersfery, która ogranicza kulę jednostkową w przestrzeni czterowymiarowej. Przypuszczenie stwierdza, że:

Każda prosto spójna , zamknięta 3- rozmaitość jest homeomorficzna z 3-sferą.

Równoważna forma przypuszczenia obejmuje grubszą formę równoważności niż homeomorfizm, zwaną równoważnością homotopii : jeśli 3-rozmaitość jest homotopią równoważną 3-sferze, to z konieczności jest dla niej homeomorficzna .

, pierwotnie wymyślone przez Henri Poincaré w 1904 r., Dotyczy przestrzeni, która lokalnie wygląda jak zwykła przestrzeń trójwymiarowa, ale jest połączona, ma skończony rozmiar i nie ma żadnych granic (zamknięta trójwymiarowa rozmaitość ). Hipoteza Poincarégo głosi, że jeśli taka przestrzeń ma dodatkową właściwość polegającą na tym, że każda pętla w przestrzeni może być w sposób ciągły zacieśniana do punktu, to z konieczności jest to sfera trójwymiarowa. Analogiczny wynik znany jest od pewnego czasu w wyższych wymiarach.

Po prawie stuleciu wysiłków matematyków Grigorij Perelman przedstawił dowód hipotezy w trzech artykułach udostępnionych w 2002 i 2003 roku na arXiv . Dowód był kontynuacją programu Richarda S. Hamiltona , który wykorzystywał przepływ Ricciego do próby rozwiązania problemu. Hamilton wprowadził później modyfikację standardowego przepływu Ricciego, zwaną przepływem Ricciego, z chirurgią, aby systematycznie wycinać pojedyncze obszary w miarę ich rozwoju w kontrolowany sposób, ale nie był w stanie udowodnić, że ta metoda jest „zbieżna” w trzech wymiarach. Perelman zakończył tę część dowodu. Kilka zespołów matematyków potwierdziło, że dowód Perelmana jest poprawny.

Hipoteza Poincarégo, zanim została udowodniona, była jednym z najważniejszych otwartych pytań w topologii .

Hipoteza Riemanna

W matematyce hipoteza Riemanna , zaproponowana przez Bernharda Riemanna ( 1859 ), jest przypuszczeniem, że wszystkie nietrywialne zera funkcji zeta Riemanna mają część rzeczywistą 1/2. Nazwa ta jest również używana w odniesieniu do niektórych blisko spokrewnionych analogów, takich jak hipoteza Riemanna dotycząca krzywych w polach skończonych .

Hipoteza Riemanna implikuje wyniki dotyczące rozkładu liczb pierwszych . Wraz z odpowiednimi uogólnieniami niektórzy matematycy uważają to za najważniejszy nierozwiązany problem w czystej matematyce . Hipoteza Riemanna, wraz z hipotezą Goldbacha , jest częścią ósmego problemu Hilberta na liście 23 nierozwiązanych problemów Davida Hilberta ; jest to również jeden z problemów nagrody milenijnej Clay Mathematics Institute .

Problem P kontra NP

Problem P kontra NP jest głównym nierozwiązanym problemem w informatyce . Nieformalnie pyta, czy każdy problem, którego rozwiązanie może szybko zweryfikować komputer, może być również szybko rozwiązany przez komputer; powszechnie przypuszcza się, że odpowiedź brzmi „nie”. Zasadniczo po raz pierwszy wspomniano o tym w liście napisanym przez Kurta Gödla do Johna von Neumanna w 1956 roku . Gödel zapytał, czy pewien problem NP-zupełny można rozwiązać w czasie kwadratowym czy liniowym. Dokładne sformułowanie problemu P=NP zostało wprowadzone w 1971 roku przez Stephena Cooka w jego przełomowym artykule „Złożoność procedur dowodzenia twierdzeń” i przez wielu jest uważane za najważniejszy otwarty problem w tej dziedzinie. Jest to jeden z siedmiu problemów z Nagrodą Milenijną wybranych przez Clay Mathematics Institute do nagrody w wysokości 1 000 000 USD za pierwsze poprawne rozwiązanie.

Inne domysły

Hipoteza Goldbacha
Hipoteza bliźniaczych liczb pierwszych
Hipoteza Collatza
Hipoteza Manina
Hipoteza Maldacena
Hipoteza Eulera , zaproponowana przez Eulera w XVIII wieku, ale dla której od połowy XX wieku znaleziono kontrprzykłady dla wielu wykładników (począwszy od n = 4)
Hardy'ego -Littlewooda to para przypuszczeń dotyczących rozkładu liczb pierwszych, z których pierwsza rozszerza wspomnianą wcześniej hipotezę bliźniaczych liczb pierwszych. Żaden z nich nie został ani udowodniony, ani obalony, ale udowodniono , że oba nie mogą być jednocześnie prawdziwe (tj. przynajmniej jeden musi być fałszywy). Nie udowodniono, która z nich jest fałszywa, ale powszechnie uważa się, że pierwsza hipoteza jest prawdziwa, a druga fałszywa.
Program Langlandsa to dalekosiężna sieć idei „ ujednolicających domysłów ”, które łączą różne poddziedziny matematyki (np. między teorią liczb a teorią reprezentacji grup Liego ). Niektóre z tych przypuszczeń zostały już udowodnione.

Rozwiązanie domysłów

Dowód

Matematyka formalna opiera się na dającej się udowodnić prawdzie. W matematyce dowolna liczba przypadków potwierdzających uniwersalnie skwantyfikowane przypuszczenie, bez względu na to, jak duże, jest niewystarczająca do ustalenia prawdziwości przypuszczenia, ponieważ pojedynczy kontrprzykład mógłby natychmiast obalić przypuszczenie. Czasopisma matematyczne czasami publikują pomniejsze wyniki zespołów badawczych, które rozszerzyły poszukiwania kontrprzykładu dalej niż dotychczas. Na przykład hipoteza Collatza , która dotyczy tego, czy pewne ciągi liczb całkowitych się kończą, została przetestowana dla wszystkich liczb całkowitych do 1,2 × 10 ¹² (ponad bilion). Jednak brak znalezienia kontrprzykładu po szeroko zakrojonych poszukiwaniach nie stanowi dowodu, że przypuszczenie jest prawdziwe - ponieważ przypuszczenie może być fałszywe, ale z bardzo dużym minimalnym kontrprzykładem.

Niemniej jednak matematycy często uważają przypuszczenie za mocno poparte dowodami, mimo że jeszcze nie udowodnione. Dowody te mogą być różnego rodzaju, takie jak weryfikacja konsekwencji lub silne powiązania ze znanymi wynikami.

Przypuszczenie uważa się za udowodnione tylko wtedy, gdy wykazano, że jest logicznie niemożliwe, aby było fałszywe. Można to zrobić na różne sposoby; zobacz metody dowodu matematycznego, aby uzyskać więcej informacji.

Jedna metoda dowodu, mająca zastosowanie, gdy istnieje tylko skończona liczba przypadków, które mogą prowadzić do kontrprzykładów, jest znana jako „ brutalna siła ”: w tym podejściu wszystkie możliwe przypadki są brane pod uwagę i pokazane, że nie dają kontrprzykładów. W niektórych przypadkach liczba przypadków jest dość duża, w którym to przypadku dowód brutalnej siły może ze względów praktycznych wymagać użycia algorytmu komputerowego do sprawdzenia wszystkich przypadków. początkowo wątpiono w ważność dowodów brutalnej siły twierdzenia o czterech kolorach przeprowadzonych przez komputer z 1976 i 1997 r., Ale ostatecznie została potwierdzona w 2005 r. Przez oprogramowanie do udowadniania twierdzeń .

Kiedy przypuszczenie zostało udowodnione , nie jest już przypuszczeniem, lecz twierdzeniem . Wiele ważnych twierdzeń było kiedyś domysłami, takich jak twierdzenie o geometryzacji (które rozstrzygnęło hipotezę Poincarégo ), ostatnie twierdzenie Fermata i inne.

Odparcie

Przypuszczenia obalone przez kontrprzykłady są czasami określane jako fałszywe przypuszczenia (por. hipoteza Pólyi i hipoteza sumy potęg Eulera ). W przypadku tego ostatniego pierwszy kontrprzykład znaleziony dla przypadku n = 4 dotyczył liczb w milionach, chociaż później stwierdzono, że minimalny kontrprzykład jest w rzeczywistości mniejszy.

Niezależne domysły

Nie każda hipoteza kończy się udowodnieniem, że jest prawdziwa lub fałszywa. Ostatecznie wykazano, że hipoteza kontinuum , która próbuje ustalić względną liczność pewnych zbiorów nieskończonych , jest niezależna od ogólnie przyjętego zestawu aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkla . Możliwe jest zatem przyjęcie tego stwierdzenia lub jego zaprzeczenia jako nowego aksjomatu w spójny sposób (podobnie jak równoległy postulat Euklidesa można uznać za prawdziwy lub fałszywy w systemie aksjomatycznym dla geometrii).

W takim przypadku, jeśli dowód wykorzystuje to stwierdzenie, badacze często będą szukać nowego dowodu, który nie wymaga hipotezy (w taki sam sposób, w jaki pożądane jest, aby twierdzenia w geometrii euklidesowej były udowadniane tylko przy użyciu aksjomatów geometrii neutralnej, tj. bez postulatu równoległości). Jedynym głównym wyjątkiem od tego w praktyce jest aksjomat wyboru , ponieważ większość badaczy zwykle nie martwi się, czy wynik tego wymaga - chyba że badają w szczególności ten aksjomat.

Dowody warunkowe

Czasami przypuszczenie nazywa się hipotezą , gdy jest często i wielokrotnie używane jako założenie w dowodach innych wyników. Na przykład hipoteza Riemanna jest przypuszczeniem z teorii liczb , które — między innymi — przewiduje rozkład liczb pierwszych . Niewielu teoretyków liczb wątpi, że hipoteza Riemanna jest prawdziwa. W rzeczywistości, w oczekiwaniu na jego ostateczny dowód, niektórzy przystąpili nawet do opracowania dalszych dowodów, które są uzależnione od prawdziwości tego przypuszczenia. Nazywa się je dowodami warunkowymi : przyjęte przypuszczenia pojawiają się na razie w hipotezach twierdzenia.

Te „dowody” rozpadłyby się jednak, gdyby okazało się, że hipoteza jest fałszywa, dlatego istnieje spore zainteresowanie weryfikowaniem prawdziwości lub fałszywości tego typu przypuszczeń.

W innych naukach

Karl Popper był pionierem użycia terminu „przypuszczenie” w filozofii naukowej . Przypuszczenie jest związane z hipotezą , która w nauce odnosi się do przypuszczenia, które można przetestować.

Zobacz też

Prace cytowane

Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 (43): 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , ISSN 1618-1913 , MR 0340258 , S2CID 1231393 43
Dwork, Bernard (1960), „O racjonalności funkcji zeta odmiany algebraicznej”, American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, tom. 82, nr 3, 82 (3): 631–648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372974 , MR 0140494
Grothendieck, Alexander (1995) [1965], "Formuła Lefschetza i racjonalne funkcje L", Séminaire Bourbaki , tom. 9, Paryż: Société Mathématique de France , s. 41–55, MR 1608788

Linki zewnętrzne

Media związane z Conjectures w Wikimedia Commons
Otwórz Ogród Problemów
Witryna internetowa „Nierozwiązane problemy”.