Przypuszczenie sumy potęg Eulera

Hipoteza Eulera jest odrzuconą hipotezą w matematyce związaną z ostatnim twierdzeniem Fermata . Został zaproponowany przez Leonharda Eulera w 1769 r. Stwierdza on, że dla wszystkich liczb całkowitych n i k większych od 1, jeśli suma n wielu k potęg dodatnich liczb całkowitych sama jest k - tą potęgą, to n jest większe lub równe k :

  za
k 1   +   za
k 2   + ... +   za
k n   = b ^k ⇒ n ≥ k

Hipoteza ta jest próbą uogólnienia Wielkiego Twierdzenia Fermata, które jest szczególnym przypadkiem n = 2 : jeśli   a
k ​​1   +   a
k 2   = b ^k , to 2 ≥ k .

Chociaż przypuszczenie dotyczy przypadku k = 3 (co wynika z Wielkiego Twierdzenia Fermata dla trzecich potęg), zostało obalone dla k = 4 i k = 5 . Nie wiadomo, czy hipoteza się nie powiedzie, czy też obowiązuje dla dowolnej wartości k ≥ 6 .

Tło

Euler był świadomy równości 59 ⁴ + 158 ⁴ = 133 ⁴ + 134 ⁴ obejmującej sumy czterech czwartych potęg; nie jest to jednak kontrprzykład , ponieważ żaden termin nie jest izolowany po jednej stronie równania. Dostarczył również kompletne rozwiązanie problemu czterech sześcianów, jak w liczbie Platona 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ lub numer taksówki 1729. Ogólne rozwiązanie równania

${\ Displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} = x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3}}$

Jest

$\ Displaystyle x_ {1} = 1- ( a-3b)(a^{2}+3b^{2}),\quad x_{2}=(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1}$

$\ Displaystyle x_ {3} = (a + 3b) - ( a^{2}+3b^{2})^{2},\quad x_{4}=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)}$

gdzie aib są dowolnymi liczbami całkowitymi.

kontrprzykłady

Hipoteza Eulera została obalona przez LJ Landera i TR Parkina w 1966 roku, kiedy poprzez bezpośrednie przeszukanie komputera na CDC 6600 znaleźli kontrprzykład dla k = 5 . Zostało to opublikowane w artykule zawierającym tylko dwa zdania. W sumie znane są trzy prymitywne (to znaczy takie, w których sumy nie mają wspólnego czynnika) kontrprzykłady:

275 + ^{845 +1105} +1335 = ^{1445 _} _ ^_ _

_ ^_ _ ^_ _ ^_ _ _ _ ^_ _ _ _ ^_ _

55 ⁵ + 3183 ⁵ + 28 969 ⁵ + 85 282 ⁵ = 85 359 ⁵ (Frye, 2004).

W 1988 roku Noam Elkies opublikował metodę konstruowania nieskończonej sekwencji kontrprzykładów dla przypadku k = 4 . Jego najmniejszym kontrprzykładem był

2 682 440 ⁴ + 15 365 639 ⁴ + 18 796 760 ⁴ = 20 615 673 ⁴ .

Szczególny przypadek rozwiązań Elkiesa można sprowadzić do tożsamości

(85 v ² + 484 v − 313) ⁴ + (68 v ² − 586 v + 10) ⁴ + (2 u ) ⁴ = (357 v ² − 204 v + 363) ⁴

Gdzie

u ² = 22 030 + 28 849 v - 56 158 v ² + 36 941 v ³ - 31 790 v ⁴ .

To jest = − _krzywa eliptyczna 31/467 . z wymiernym punktem v 1 Z tego początkowego racjonalnego punktu można obliczyć nieskończoną kolekcję innych. Podstawienie v ₁ do tożsamości i usunięcie wspólnych czynników daje przykład liczbowy cytowany powyżej.

W 1988 roku Roger Frye znalazł najmniejszy możliwy kontrprzykład

95 800 ⁴ + 217 519 ⁴ + 414 560 ⁴ = 422 481 ⁴

dla k = 4 przez bezpośrednie wyszukiwanie komputerowe przy użyciu technik sugerowanych przez Elkiesa. To rozwiązanie jest jedynym z wartościami zmiennych poniżej 1 000 000.

Uogólnienia

Jedna interpretacja liczby Platona, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

Główny artykuł: przypuszczenia Landera, Parkina i Selfridge'a

W 1967 roku LJ Lander, TR Parkin i John Selfridge przypuszczali, że jeśli

$\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = \ suma _ {j = 1} ^ {m}b_{j}^{k}}$ ,

gdzie a _i ≠ b _j są dodatnimi liczbami całkowitymi dla wszystkich 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ m , to m + n ≥ k . W szczególnym przypadku m = 1 przypuszczenie mówi, że jeśli

$\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(w warunkach podanych powyżej) wtedy n ≥ k − 1 .

Szczególny przypadek można opisać jako problem podzielenia doskonałej potęgi na kilka podobnych potęg. Dla k = 4, 5, 7, 8 i n = k lub k - 1 istnieje wiele znanych rozwiązań. Niektóre z nich wymieniono poniżej. Od 2002 r. Nie ma rozwiązań dla ${\ displaystyle k = 6}$ , których końcowy wyraz wynosi ≤ 730000.

Zobacz OEIS : A347773 , aby uzyskać więcej danych.

k = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ ( liczba Platona 216)

Tak jest w przypadku a = 1, b = 0 wzoru Srinivasa Ramanujana

$^{2}-4ab+4b^{2})^{3}.}$

${\ Displaystyle (3a ^ {2} + 5ab-5b ^ {2}) ^ {3} + (4a ^ {2} -4ab + 6b ^ {2}) ^ {3} + (5a ^ {2} - 5ab-3b^{2})^{3}=($

${3})^{3}}$

Sześcian jako suma trzech sześcianów może być również sparametryzowany jako

${\ Displaystyle a ^ {3} (a^{3}+b^{3})^{3}=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{ 3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b$

${\ Displaystyle a ^ {3} (a ^ {3} + 2b ^ {3}) ^ {3} = a ^ {3} (a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3} + b ^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}.}$

lub jako

Liczba 2 100 000 ³ można wyrazić jako sumę trzech sześcianów na dziewięć różnych sposobów.

k = 4

95 800 ⁴ + 217 519 ⁴ + 414 560 ⁴ = 422 481 ⁴ (R. Frye, 1988)

30 ⁴ + 120 ⁴ + 272 ⁴ + 315 ⁴ = 353 ⁴ (R. Norrie, 1911)

Jest to najmniejsze rozwiązanie problemu autorstwa R. Norrie.

k = 5

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ (Lander i Parkin, 1966)

19 ⁵ + 43 ⁵ + 46 ⁵ + 47 ⁵ + 67 ⁵ = 72 ⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, najmniejszy, 1967)

21 ⁵ + 23 ⁵ + 37 ⁵ + 79 ⁵ + 84 ⁵ = 94 ⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, drugi najmniejszy, 1967)

7 ⁵ + 43 ⁵ + 57 ⁵ + 80 ⁵ + 100 ⁵ = 107 ⁵ (Sastry, 1934, trzeci najmniejszy)

k = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 525 ⁷ = 568 ⁷ (M. Dodrill, 1999)

k = 8

90 ⁸ + 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ⁸ + 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ (S. Chase, 2000)

Zobacz też

• Równanie Jacobiego-Maddena
• Problem Prouheta-Tarry'ego-Escotta
• Przypuszczenie Beala
• Czwórka pitagorejska
• Ogólny numer taksówki
• Sumy potęg , lista powiązanych przypuszczeń i twierdzeń

Linki zewnętrzne

• Tito Piezas III, zbiór tożsamości algebraicznych
• Jarosław Wróblewski, Równe sumy jednakowych potęg
• Ed Pegg Jr., Gry matematyczne, sumy mocy
• James Waldby, Tabela piątych potęg równa piątej potęgi (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, Wszystkie rozwiązania równania diofantycznego a ⁶ + b ⁶ = c ⁶ + d ⁶ + e ⁶ + f ⁶ + g ⁶ dla a , b , c , d , e , f , g < 250000 znaleziono z rozproszony projekt Boinc
• EulerNet: obliczanie minimalnych równych sum podobnych potęg
• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie Eulera o sumie potęg” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Hipoteza Eulera Quartic” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Równanie diofantyczne - czwarte potęgi” . MathWorld .
• Hipoteza Eulera na stronie library.thinkquest.org
• Proste wyjaśnienie hipotezy Eulera z matematyki jest dla ciebie dobre!